កន្សោមសនិទាន

1. កន្សោមសនិទាន

ឧទាហរណ៍ ៖ ចំនួនសនិទានដែលយើងបានស្គាល់ដូចជា \(\displaystyle \frac{2}{3}\), \(\displaystyle \frac{-21}{5}\), \(\displaystyle \frac{0}{9}\) មានទម្រង់ \(\displaystyle \frac{a}{b}\) ដែល \(\displaystyle a\) និង \(\displaystyle b\) ជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីបហើយ \(\displaystyle b \ne 0\) ។

យើងនឹងសិក្សាបន្តនូវចំនួនសនិទានដែលមានភាគយកនិងភាគបែងជាឯកធា ឬពហុធា ដូចជា \(\displaystyle \frac{x}{y}\), \(\displaystyle \frac{a+b}{b}\), \(\displaystyle \frac{1+x}{x^2-1}\) ហៅថា កន្សោមសនិទាន ។

សម្គាល់ ៖ កន្សោម \(\displaystyle \frac{x}{\sqrt{y}}\) ពុំមែនជាកន្សោមសនិទានទេ ព្រោះ \(\displaystyle \sqrt{y}\) ពុំមែនជាឯកធា ឬពហុធា ។

2. តម្លៃលេខនៃកន្សោមសនិទាន

ឧទាហរណ៍ ៖ គេមានកន្សោមសនិទាន \(\displaystyle \frac{3x}{x-2}\) ។ គណនាតម្លៃលេខនៃកន្សោមនេះ ចំពោះ \(\displaystyle x=-1\), \(\displaystyle x=0\), \(\displaystyle x=2\) ។

គេបានតម្លៃលេខនៃកន្សោមដោយជំនួសតម្លៃនៃអថេរ \(\displaystyle x\) ទៅក្នុងកន្សោមសនិទាន ៖

• ចំពោះ \(\displaystyle x=-1\) គេបាន \(\displaystyle \frac{3(-1)}{-1-2} = \frac{-3}{-3} = 1\) ។
• ចំពោះ \(\displaystyle x=0\) គេបាន \(\displaystyle \frac{3 \times 0}{0-2} = \frac{0}{-2} = 0\) (ភាគយកស្មើនឹង \(\displaystyle 0\) នាំឱ្យកន្សោមស្មើនឹង \(\displaystyle 0\)) ។
• ចំពោះ \(\displaystyle x=2\) គេបានភាគបែង \(\displaystyle x-2 = 2-2 = 0\) ក្នុងករណីនេះកន្សោមគ្មានន័យ ។

3. ការសម្រួលកន្សោមសនិទាន

ដូចគ្នានឹងចំនួនសនិទានដែរ គេសម្រួលប្រភាគដោយចែកភាគយកនិងភាគបែងនឹងកត្តារួម ៖

ឧទាហរណ៍ 1 ៖ សម្រួល \(\displaystyle \frac{2x-6}{5x-15}\)

កន្សោមអាចសម្រួលបាន លុះត្រាតែមានលក្ខខណ្ឌ \(\displaystyle x-3 \ne 0\) ឬ \(\displaystyle x \ne 3\) ។ ដើម្បីងាយស្រួលក្នុងការធ្វើប្រមាណវិធី យើងចាត់ទុករាល់ការសម្រួលកន្សោមសនិទានចំពោះតែតម្លៃនៃអថេរដែលធ្វើឱ្យប្រភាគមានន័យតែប៉ុណ្ណោះ ។ ដូច្នេះគេមិនចាំបាច់បញ្ជាក់អំពីលក្ខខណ្ឌនោះទេ ។

ឧទាហរណ៍ 2 ៖ សម្រួល \(\displaystyle \frac{12a^2b^3}{15a^5b}\)

ឧទាហរណ៍ 3 ៖ សម្រួល \(\displaystyle \frac{3x^2+4x}{9x^2-16}\)

ឧទាហរណ៍ 4 ៖ សម្រួល \(\displaystyle \frac{1-x}{x^2+x-2}\)

២លំហាត់គំរូ ២

រង្វង់មួយចារឹកក្នុងការេដែលជ្រុងមានរង្វាស់ស្មើនឹង \(\displaystyle x\) ។ គណនាផលធៀបរវាងផ្ទៃក្រឡានៃរង្វង់និងការេ ។

ដំណោះស្រាយ ៖
រង្វង់មានកាំស្មើនឹង \(\displaystyle r = \frac{x}{2}\) ។
ផ្ទៃក្រឡារង្វង់គឺ \(\displaystyle \mathcal{A}_{\text{រង្វង់}} = \pi\left(\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{4}x^2\) និងផ្ទៃក្រឡាការេគឺ \(\displaystyle \mathcal{A}_{\text{ការេ}} = x^2\) ។
ផលធៀបរវាងផ្ទៃក្រឡារង្វង់និងការេគឺ ៖

\[\frac{\frac{\pi}{4}x^2}{x^2} = \frac{\pi}{4}\]

4. វិធីគុណនិងចែកកន្សោមសនិទាន

4.1. វិធីគុណកន្សោមសនិទាន

ដូចគ្នានឹងវិធីគុណចំនួនសនិទានដែរ ៖

ឧទាហរណ៍ 1 ៖ រកផលគុណរួចសម្រួល \(\displaystyle \frac{7b}{10a} \times \frac{5a^2}{8b}\)

ឧទាហរណ៍ 2 ៖ រកផលគុណរួចសម្រួល \(\displaystyle \frac{5x}{4x-12} \times \frac{2x^2-6x}{3}\)

4.2. វិធីចែកកន្សោមសនិទាន

ដូចគ្នានឹងវិធីចែកចំនួនសនិទានដែរ \(\displaystyle \frac{3}{2} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{2} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{4}\) ។

ឧទាហរណ៍ ៖ រកផលចែកកន្សោមសនិទានខាងក្រោម ៖

1. ក. \(\displaystyle \frac{4x^2}{15y} \div \frac{3x}{10y^2} = \frac{4x^2}{15y} \times \frac{10y^2}{3x} = \frac{40x^2y^2}{45xy} = \frac{8xy}{9}\)
2. ខ. \(\displaystyle \frac{a^2-9}{3a} \div \frac{a+3}{a-3} = \frac{(a-3)(a+3)}{3a} \times \frac{a-3}{a+3} = \frac{(a-3)^2}{3a}\)

5. វិធីបូកនិងដកកន្សោមសនិទាន

5.1. ករណីមានភាគបែងដូចគ្នា

ឧទាហរណ៍ ៖ រកផលបូកនិងផលដកកន្សោមសនិទានខាងក្រោម ៖

1. ក. \(\displaystyle \frac{5}{a} + \frac{7}{a} = \frac{5+7}{a} = \frac{12}{a}\)
2. ខ. \(\displaystyle \frac{3y-2}{y-5} + \frac{8y+7}{y-5} = \frac{3y-2+8y+7}{y-5} = \frac{11y+5}{y-5}\)
3. គ. \(\displaystyle \frac{3x}{(x-1)(x-2)} - \frac{6}{(x-1)(x-2)} = \frac{3x-6}{(x-1)(x-2)} = \frac{3(x-2)}{(x-1)(x-2)} = \frac{3}{x-1}\)

5.2. ករណីមានភាគបែងមិនដូចគ្នា

ដើម្បីឱ្យវិធីបូកនិងដកអាចប្រព្រឹត្តិទៅបាន គេត្រូវធ្វើឱ្យមានភាគបែងរួម ។

ឧទាហរណ៍ ៖ គណនាផលបូកនិងដកនៃកន្សោមសនិទាន ៖

1. ក. \(\displaystyle \frac{y}{2x} + \frac{x}{3y} = \frac{y \cdot 3y}{2x \cdot 3y} + \frac{x \cdot 2x}{3y \cdot 2x} = \frac{3y^2+2x^2}{6xy}\)   (ភាគបែងរួមតូចបំផុតគឺ \(\displaystyle 6xy\))
2. ខ. \(\displaystyle \frac{4}{n} - \frac{2}{n+1} = \frac{4(n+1)-2n}{n(n+1)} = \frac{4n+4-2n}{n(n+1)} = \frac{2n+4}{n(n+1)} = \frac{2(n+2)}{n(n+1)}\)

5.3. កន្សោមសនិទានដែលមានទម្រង់ប្រភាគលើប្រភាគ

ឧទាហរណ៍ ៖ សម្រួលកន្សោម \(\displaystyle \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{\frac{b}{2a} - \frac{a}{2b}}\)

២លំហាត់គំរូ ២

គេដឹងថាបំពង់ទឹកទី 1 អាចបង្ហូរទឹកដាក់អាងមួយតែឯងពេញប្រើអស់រយៈពេល \(\displaystyle t_1\) ម៉ោង ហើយបំពង់ទឹកទី 2 បង្ហូរទឹកដាក់អាងដដែលតែឯងពេញ ប្រើអស់រយៈពេល \(\displaystyle t_2\) ម៉ោង ។ ចូរបញ្ជាក់ថាបំពង់ទឹកទាំងពីរបង្ហូរទឹកដាក់អាងនោះ រួមគ្នាប្រើអស់រយៈពេល \(\displaystyle \frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2}\) ម៉ោង ។

ដំណោះស្រាយ ៖
តាង \(\displaystyle c\) ជាចំណុះនៃអាងទឹក ។
ក្នុង 1 ម៉ោង បំពង់ទី 1 បង្ហូរទឹកបាន \(\displaystyle \frac{c}{t_1}\) និងបំពង់ទី 2 បង្ហូរបាន \(\displaystyle \frac{c}{t_2}\) ។
ក្នុង 1 ម៉ោង បំពង់ទាំងពីរបង្ហូរទឹកចូលអាងរួមគ្នាបាន ៖

\[\frac{c}{t_1} + \frac{c}{t_2} = c\left(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}\right) = c\left(\frac{t_1+t_2}{t_1 t_2}\right)\]

ដើម្បីបង្ហូរទឹកឱ្យបានពេញអាង (ចំណុះ \(\displaystyle c\)) គេត្រូវប្រើពេលសរុប \(\displaystyle T\) ៖

\[T = \frac{c}{c\left(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}\right)} = \frac{1}{\frac{t_1+t_2}{t_1 t_2}} = \frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2} \text{ ម៉ោង}\]

បើ \(\displaystyle t_1 = 5\text{ ម៉ោង}\) និង \(\displaystyle t_2 = 20\text{ ម៉ោង}\) នោះបំពង់ទាំងពីរប្រើពេលរួមគ្នា ៖

\[T = \frac{5 \times 20}{5 + 20} = \frac{100}{25} = 4\text{ ម៉ោង}\]

លំហាត់

1. គណនាតម្លៃលេខនៃកន្សោមសនិទានខាងក្រោម ៖

   1. ក. \(\displaystyle \frac{x-3(x+1)}{x-3}\) ចំពោះ \(\displaystyle x=-1\), \(\displaystyle x=\frac{1}{2}\), \(\displaystyle x=-\frac{2}{3}\)
   2. ខ. \(\displaystyle \frac{-a^2+4}{2a^2-a-1}\) ចំពោះ \(\displaystyle a=-2\), \(\displaystyle a=-\frac{1}{2}\), \(\displaystyle a=1\)
   3. គ. \(\displaystyle \frac{y-3}{y^2-5y+4}\) ចំពោះ \(\displaystyle y=0\), \(\displaystyle y=1\) និង \(\displaystyle y=-\frac{1}{2}\)
   4. ឃ. \(\displaystyle \frac{3x+4y}{x^2-xy}\) ចំពោះ \(\displaystyle x=-1\) និង \(\displaystyle y=\frac{1}{4}\)
   5. ង. \(\displaystyle \frac{b^3-b}{(1+ab)^2-(a+b)^2}\) ចំពោះ \(\displaystyle a=-56\) និង \(\displaystyle b=125\) ។
   មើលដំណោះស្រាយ

   1. ក.

      សម្រួលកន្សោម ៖ \(\displaystyle \frac{x-3x-3}{x-3} = \frac{-2x-3}{x-3}\)

      • ចំពោះ \(\displaystyle x=-1\) ៖ \(\displaystyle \frac{-2(-1)-3}{-1-3} = \frac{2-3}{-4} = \frac{1}{4}\)
      • ចំពោះ \(\displaystyle x=\frac{1}{2}\) ៖ \(\displaystyle \frac{-2(1/2)-3}{1/2-3} = \frac{-4}{-5/2} = \frac{8}{5}\)
      • ចំពោះ \(\displaystyle x=-\frac{2}{3}\) ៖ \(\displaystyle \frac{-2(-2/3)-3}{-2/3-3} = \frac{4/3-3}{-11/3} = \frac{-5/3}{-11/3} = \frac{5}{11}\)
   2. ខ.

      ភាគបែង \(\displaystyle 2a^2-a-1 = (2a+1)(a-1)\)

      • ចំពោះ \(\displaystyle a=-2\) ៖ ភាគយក \(\displaystyle -(-2)^2+4 = 0\), ភាគបែង \(\displaystyle 2(-2)^2-(-2)-1 = 9 \ne 0 \implies \text{កន្សោមស្មើ } 0\)
      • ចំពោះ \(\displaystyle a=-\frac{1}{2}\) ៖ ភាគបែង \(\displaystyle 2(-1/2)+1 = 0 \implies \text{កន្សោមគ្មានន័យ}\)
      • ចំពោះ \(\displaystyle a=1\) ៖ ភាគបែង \(\displaystyle 1-1 = 0 \implies \text{កន្សោមគ្មានន័យ}\)
   3. គ.

      ភាគបែង \(\displaystyle y^2-5y+4 = (y-1)(y-4)\)

      • ចំពោះ \(\displaystyle y=0\) ៖ \(\displaystyle \frac{0-3}{0-0+4} = -\frac{3}{4}\)
      • ចំពោះ \(\displaystyle y=1\) ៖ ភាគបែង \(\displaystyle 1-1 = 0 \implies \text{កន្សោមគ្មានន័យ}\)
      • ចំពោះ \(\displaystyle y=-\frac{1}{2}\) ៖ \(\displaystyle \frac{-1/2-3}{(-1/2-1)(-1/2-4)} = \frac{-7/2}{(-3/2)(-9/2)} = \frac{-7/2}{27/4} = -\frac{14}{27}\)
   4. ឃ.

      ចំពោះ \(\displaystyle x=-1\) និង \(\displaystyle y=\frac{1}{4}\) ៖

      \[\frac{3(-1)+4(1/4)}{(-1)^2-(-1)(1/4)} = \frac{-3+1}{1+1/4} = \frac{-2}{5/4} = -\frac{8}{5}\]
   5. ង.

      ពិនិត្យភាគបែង ៖

      \[(1+ab)^2-(a+b)^2 = [(1+ab)-(a+b)][(1+ab)+(a+b)] = (1-a)(1-b)(1+a)(1+b) = (1-a^2)(1-b^2) = (a^2-1)(b^2-1)\]

      ភាគយក \(\displaystyle b^3-b = b(b^2-1)\) នាំឱ្យកន្សោមសម្រួលទៅជា \(\displaystyle \frac{b}{a^2-1}\) ។
      ជំនួស \(\displaystyle a = -56, b = 125\) ៖

      \[\frac{125}{(-56)^2-1} = \frac{125}{3136-1} = \frac{125}{3135} = \frac{25}{627}\]

2. រកតម្លៃនៃអថេរ \(\displaystyle x\) ដើម្បីឱ្យកន្សោមសនិទានមានន័យ ៖

   1. ក. \(\displaystyle \frac{7x}{6x+7}\)
   2. ខ. \(\displaystyle \frac{3x}{(x-3)^2}\)
   3. គ. \(\displaystyle \frac{x+1}{(x+4)(x-3)}\)
   4. ឃ. \(\displaystyle \frac{x^2+12x+32}{x^2-16}\)
   មើលដំណោះស្រាយ

   កន្សោមសនិទានមានន័យលុះត្រាតែភាគបែងខុសពីសូន្យ (\(\displaystyle B \ne 0\)) ៖

   1. ក. \(\displaystyle 6x+7 \ne 0 \iff x \ne -\frac{7}{6}\)
   2. ខ. \(\displaystyle (x-3)^2 \ne 0 \iff x-3 \ne 0 \iff x \ne 3\)
   3. គ. \(\displaystyle (x+4)(x-3) \ne 0 \iff x \ne -4\) និង \(\displaystyle x \ne 3\)
   4. ឃ. \(\displaystyle x^2-16 \ne 0 \iff (x-4)(x+4) \ne 0 \iff x \ne 4\) និង \(\displaystyle x \ne -4\)

3. រកតម្លៃនៃអថេរ \(\displaystyle a\) ដើម្បីឱ្យកន្សោមសនិទានខាងក្រោមគ្មានន័យ ៖

   1. ក. \(\displaystyle \frac{a}{a-1}\)
   2. ខ. \(\displaystyle \frac{ab}{a^3-1}\)
   3. គ. \(\displaystyle \frac{a^2-4a}{(a-1)^2-1}\)
   4. ឃ. \(\displaystyle \frac{(a-3)^2-9}{a^3-a}\)
   មើលដំណោះស្រាយ

   កន្សោមសនិទានគ្មានន័យលុះត្រាតែភាគបែងស្មើនឹងសូន្យ (\(\displaystyle B = 0\)) ៖

   1. ក. \(\displaystyle a-1 = 0 \iff a = 1\)
   2. ខ. \(\displaystyle a^3-1 = 0 \iff (a-1)(a^2+a+1) = 0 \iff a = 1\) (ព្រោះ \(\displaystyle a^2+a+1 = (a+1/2)^2+3/4 > 0\))
   3. គ. \(\displaystyle (a-1)^2-1 = 0 \iff (a-1-1)(a-1+1) = 0 \iff a(a-2) = 0 \iff a = 0\) ឬ \(\displaystyle a = 2\)
   4. ឃ. \(\displaystyle a^3-a = 0 \iff a(a^2-1) = 0 \iff a(a-1)(a+1) = 0 \iff a = 0\), \(\displaystyle a = 1\) ឬ \(\displaystyle a = -1\)

4. រកតម្លៃនៃអថេរ \(\displaystyle x\) ដើម្បីឱ្យកន្សោមសនិទានខាងក្រោមស្មើនឹងសូន្យ ៖

   1. ក. \(\displaystyle \frac{2x-3}{2x}\)
   2. ខ. \(\displaystyle \frac{3-x^2}{x+1}\)
   3. គ. \(\displaystyle \frac{(x-5)(2x-1)-x+5}{x^2-4}\)
   4. ឃ. \(\displaystyle \frac{(x-3)^2-4x^2}{2x^2+1}\)
   មើលដំណោះស្រាយ

   កន្សោមសនិទានស្មើនឹងសូន្យ លុះត្រាតែភាគយកស្មើ \(\displaystyle 0\) និងភាគបែងខុសពី \(\displaystyle 0\) ៖

   1. ក. \(\displaystyle 2x-3 = 0 \implies x = \frac{3}{2}\) (ភាគបែង \(\displaystyle 2(3/2) = 3 \ne 0\))
   2. ខ. \(\displaystyle 3-x^2 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}\) (ភាគបែង \(\displaystyle \pm\sqrt{3}+1 \ne 0\))
   3. គ. ភាគយក \(\displaystyle (x-5)(2x-1)-(x-5) = (x-5)(2x-2) = 2(x-5)(x-1) = 0 \implies x = 5\) ឬ \(\displaystyle x = 1\) ។
      ភាគបែង \(\displaystyle x^2-4 \ne 0 \iff x \ne \pm 2\) ។ តម្លៃ \(\displaystyle x=1\) និង \(\displaystyle x=5\) សុទ្ធតែផ្ទៀងផ្ទាត់ ។
   4. ឃ. ភាគយក \(\displaystyle [(x-3)-2x][(x-3)+2x] = (-x-3)(3x-3) = -3(x+3)(x-1) = 0 \implies x = -3\) ឬ \(\displaystyle x = 1\) ។
      ភាគបែង \(\displaystyle 2x^2+1 > 0\) ជានិច្ច ដូច្នេះ \(\displaystyle x = -3\) ឬ \(\displaystyle x = 1\) ។

5. សម្រួលកន្សោមសនិទានខាងក្រោម ៖

   1. ក. \(\displaystyle \frac{14x^3}{7x^2y}\)
   2. ខ. \(\displaystyle \frac{-8a^2b^4x}{(-2abx)^3}\)
   3. គ. \(\displaystyle \frac{x(a-b)^2}{(a-b)^3}\)
   4. ឃ. \(\displaystyle \frac{9ab(x-3)}{18a^2b(x^2-9)}\)
   5. ង. \(\displaystyle \frac{x^2y+xy^3}{xy^2}\)
   6. ច. \(\displaystyle \frac{4x^2+8x+4}{5x^2+10x+5}\)
   7. ឆ. \(\displaystyle \frac{1-25x^2}{5x-1}\)
   8. ជ. \(\displaystyle \frac{(1-x)(3-x)+(5+x)(1-x)}{x^2-9}\)
   9. ឈ. \(\displaystyle \frac{(x-1)(2x+3)+(2-2x)(3-x)}{(x^2-1)(7x+1)-(x-1)(x+2)-(x-1)}\)
   10. ញ. \(\displaystyle \frac{(3x-3)^2-2(x-1)(x-3)}{8(x^3-1)-7(1-x^2)(2x-3)}\)
   11. ដ. \(\displaystyle \frac{a^2+am-an-mn}{a^2+am+an+mn}\)
   12. ឋ. \(\displaystyle \frac{a^2-ab-ac+bc}{a^2+ab-ac-bc}\)
   13. ឌ. \(\displaystyle \frac{a^2+4a-12}{a^2+2a-8}\)
   14. ឍ. \(\displaystyle \frac{-a^2+a}{a^2+a-2}\)
   15. ណ. \(\displaystyle \frac{ax-ay-x+y}{3x-3y}\)
   16. ត. \(\displaystyle \frac{b^2-a^2}{2a^2+ab-3b^2}\)
   17. ថ. \(\displaystyle \frac{3x^2+5xy+y^2}{4x^2+7xy-2y^2}\)
   18. ទ. \(\displaystyle \frac{2y^2-17y+21}{y^2-6y-7}\)
   មើលដំណោះស្រាយ

   1. ក. \(\displaystyle \frac{14x^3}{7x^2y} = \frac{2x}{y}\)
   2. ខ. \(\displaystyle \frac{-8a^2b^4x}{-8a^3b^3x^3} = \frac{b}{ax^2}\)
   3. គ. \(\displaystyle \frac{x(a-b)^2}{(a-b)^3} = \frac{x}{a-b}\)
   4. ឃ. \(\displaystyle \frac{9ab(x-3)}{18a^2b(x-3)(x+3)} = \frac{1}{2a(x+3)}\)
   5. ង. \(\displaystyle \frac{xy(x+y^2)}{xy^2} = \frac{x+y^2}{y}\)
   6. ច. \(\displaystyle \frac{4(x^2+2x+1)}{5(x^2+2x+1)} = \frac{4(x+1)^2}{5(x+1)^2} = \frac{4}{5}\)
   7. ឆ. \(\displaystyle \frac{-(5x-1)(5x+1)}{5x-1} = -(5x+1) = -5x-1\)
   8. ជ. ភាគយក \(\displaystyle (1-x)[(3-x)+(5+x)] = 8(1-x)\) នាំឱ្យកន្សោមស្មើ \(\displaystyle \frac{8(1-x)}{x^2-9} = -\frac{8(x-1)}{x^2-9}\)
   9. ឈ. ភាគយក \(\displaystyle (x-1)[2x+3-2(3-x)] = (x-1)(4x-3)\)
      ភាគបែង \(\displaystyle (x-1)[(x+1)(7x+1)-(x+2)-1] = (x-1)(7x^2+7x-2)\)
      កន្សោមស្មើ \(\displaystyle \frac{4x-3}{7x^2+7x-2}\)
   10. ញ. ភាគយក \(\displaystyle (x-1)[9(x-1)-2(x-3)] = (x-1)(7x-3)\)
       ភាគបែង \(\displaystyle (x-1)[8(x^2+x+1)+7(x+1)(2x-3)] = (x-1)(22x^2+x-13)\)
       កន្សោមស្មើ \(\displaystyle \frac{7x-3}{22x^2+x-13}\)
   11. ដ. \(\displaystyle \frac{(a+m)(a-n)}{(a+m)(a+n)} = \frac{a-n}{a+n}\)
   12. ឋ. \(\displaystyle \frac{(a-b)(a-c)}{(a+b)(a-c)} = \frac{a-b}{a+b}\)
   13. ឌ. \(\displaystyle \frac{(a+6)(a-2)}{(a+4)(a-2)} = \frac{a+6}{a+4}\)
   14. ឍ. \(\displaystyle \frac{-a(a-1)}{(a-1)(a+2)} = -\frac{a}{a+2}\)
   15. ណ. \(\displaystyle \frac{(a-1)(x-y)}{3(x-y)} = \frac{a-1}{3}\)
   16. ត. \(\displaystyle \frac{-(a-b)(a+b)}{(a-b)(2a+3b)} = -\frac{a+b}{2a+3b}\)
   17. ថ. ភាគបែង \(\displaystyle 4x^2+7xy-2y^2 = (4x-y)(x+2y)\) ដូច្នេះកន្សោមគឺ \(\displaystyle \frac{3x^2+5xy+y^2}{(4x-y)(x+2y)}\) (បើប្រធានជា \(\displaystyle 3x^2+5xy-2y^2 = (3x-y)(x+2y)\) នោះកន្សោមសម្រួលបាន \(\displaystyle \frac{3x-y}{4x-y}\))
   18. ទ. \(\displaystyle \frac{(2y-3)(y-7)}{(y+1)(y-7)} = \frac{2y-3}{y+1}\)

6. រកផលគុណនិងផលចែកនៃកន្សោមសនិទានខាងក្រោម ៖

   1. ក. \(\displaystyle \frac{4x^3y}{3xy^4} \times \frac{-6x^2y^2}{10x^4}\)
   2. ខ. \(\displaystyle \frac{72x^2y}{54xy^2} \div \frac{-4xy}{-15x^2y^3}\)
   3. គ. \(\displaystyle \frac{a^2b}{4c^2d} \times \frac{2c^4d^5}{3ab^2}\)
   4. ឃ. \(\displaystyle \frac{-64a^3b^3}{28a^2b} \div \frac{40a^2b^2}{90b}\)
   5. ង. \(\displaystyle \frac{b(b+4)}{b-3} \times \frac{(b+3)(b-3)}{b+4}\)
   6. ច. \(\displaystyle \frac{y^2-3y}{(y-3)^2} \times \frac{y^2-9}{y^2+3y}\)
   7. ឆ. \(\displaystyle \frac{(3x-4)(2x+3)}{(3x+5)(3x-5)} \times \frac{(2x+3)(2x-3)}{(2x+5)(2x-1)}\)
   8. ជ. \(\displaystyle \frac{x-y}{x^2-y^2} \div \frac{x+y}{x^2+2xy+y^2}\)
   9. ឈ. \(\displaystyle \frac{a^2-49}{a+7} \times \frac{49-a^2}{(7-a)^2}\)
   10. ញ. \(\displaystyle \frac{b^2-1}{b^2+3b+2} \times \frac{b^2-2b-8}{b^2-4b+3}\)
   11. ដ. \(\displaystyle \frac{xu-yu+xv-yv}{xu+yu-xv-yv} \div \frac{xu-yu-xv+yv}{xu+yu+xv+yv}\)
   12. ឋ. \(\displaystyle \frac{xy+3x-2y-6}{x^2-6x+8} \div \frac{y^2+5y+6}{xy-4y+2x-8}\)
   13. ឌ. \(\displaystyle \frac{2m^2-m-15}{m^2-2m-3} \times \frac{2m^2+3m-5}{1-m^2}\)
   14. ឍ. \(\displaystyle \frac{2m^2+3mn-2n^2}{2m^2-3mn-2n^2} \div \frac{2m-n}{2m+n}\)
   មើលដំណោះស្រាយ

   1. ក. \(\displaystyle \frac{-24x^5y^3}{30x^5y^4} = -\frac{4}{5y}\)
   2. ខ. \(\displaystyle \frac{4x}{3y} \times \frac{15x^2y^3}{4xy} = \frac{4x}{3y} \times \frac{15xy^2}{4} = 5x^2y\)
   3. គ. \(\displaystyle \frac{2a^2bc^4d^5}{12ab^2c^2d} = \frac{ac^2d^4}{6b}\)
   4. ឃ. \(\displaystyle \frac{-16ab^2}{7} \times \frac{9}{4a^2b} = -\frac{36b}{7a}\)
   5. ង. \(\displaystyle \frac{b(b+4)(b+3)(b-3)}{(b-3)(b+4)} = b(b+3) = b^2+3b\)
   6. ច. \(\displaystyle \frac{y(y-3)}{(y-3)^2} \times \frac{(y-3)(y+3)}{y(y+3)} = 1\)
   7. ឆ. \(\displaystyle \frac{(3x-4)(2x+3)^2(2x-3)}{(9x^2-25)(2x+5)(2x-1)}\)
   8. ជ. \(\displaystyle \frac{x-y}{(x-y)(x+y)} \times \frac{(x+y)^2}{x+y} = \frac{1}{x+y} \times (x+y) = 1\)
   9. ឈ. \(\displaystyle \frac{(a-7)(a+7)}{a+7} \times \frac{-(a-7)(a+7)}{(a-7)^2} = -(a+7)\)
   10. ញ. \(\displaystyle \frac{(b-1)(b+1)}{(b+1)(b+2)} \times \frac{(b-4)(b+2)}{(b-1)(b-3)} = \frac{b-4}{b-3}\)
   11. ដ. \(\displaystyle \frac{(x-y)(u+v)}{(x+y)(u-v)} \times \frac{(x+y)(u+v)}{(x-y)(u-v)} = \frac{(u+v)^2}{(u-v)^2}\)
   12. ឋ. \(\displaystyle \frac{(x-2)(y+3)}{(x-2)(x-4)} \times \frac{(x-4)(y+2)}{(y+2)(y+3)} = 1\)
   13. ឌ. \(\displaystyle \frac{(2m+5)(m-3)}{(m-3)(m+1)} \times \frac{(2m+5)(m-1)}{-(m-1)(m+1)} = -\frac{(2m+5)^2}{(m+1)^2}\)
   14. ឍ. \(\displaystyle \frac{(2m-n)(m+2n)}{(2m+n)(m-2n)} \times \frac{2m+n}{2m-n} = \frac{m+2n}{m-2n}\)

7. រកផលបូកឬផលដកកន្សោមសនិទានខាងក្រោម ៖

   1. ក. \(\displaystyle \frac{12a}{7} + \frac{2a}{7}\)
   2. ខ. \(\displaystyle \frac{y}{14} - \frac{3y}{14}\)
   3. គ. \(\displaystyle \frac{x}{x-1} + \frac{1}{x-1}\)
   4. ឃ. \(\displaystyle \frac{y}{b+6} + \frac{2y}{b+6}\)
   5. ង. \(\displaystyle \frac{6x}{x+y} + \frac{6y}{x+y}\)
   6. ច. \(\displaystyle \frac{a+b}{x-3} - \frac{a+b}{3-x}\)
   7. ឆ. \(\displaystyle \frac{a^2}{a-b} + \frac{-b^2}{a-b}\)
   8. ជ. \(\displaystyle \frac{a}{2a-2b} - \frac{b}{2a-2b}\)
   9. ឈ. \(\displaystyle \frac{x^2}{x^2-1} + \frac{2x+1}{x^2-1}\)
   មើលដំណោះស្រាយ

   1. ក. \(\displaystyle \frac{12a+2a}{7} = \frac{14a}{7} = 2a\)
   2. ខ. \(\displaystyle \frac{y-3y}{14} = \frac{-2y}{14} = -\frac{y}{7}\)
   3. គ. \(\displaystyle \frac{x+1}{x-1}\)
   4. ឃ. \(\displaystyle \frac{y+2y}{b+6} = \frac{3y}{b+6}\)
   5. ង. \(\displaystyle \frac{6(x+y)}{x+y} = 6\)
   6. ច. \(\displaystyle \frac{a+b}{x-3} + \frac{a+b}{x-3} = \frac{2(a+b)}{x-3}\)
   7. ឆ. \(\displaystyle \frac{a^2-b^2}{a-b} = \frac{(a-b)(a+b)}{a-b} = a+b\)
   8. ជ. \(\displaystyle \frac{a-b}{2(a-b)} = \frac{1}{2}\)
   9. ឈ. \(\displaystyle \frac{x^2+2x+1}{x^2-1} = \frac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+1}{x-1}\)

8. រកផលបូកឬផលដកកន្សោមសនិទានខាងក្រោម ៖

   1. ក. \(\displaystyle \frac{3x-y}{2} + \frac{2x-y}{4}\)
   2. ខ. \(\displaystyle \frac{2x+y}{3} - \frac{x-5y}{6}\)
   3. គ. \(\displaystyle \frac{5}{xy} + \frac{6}{yz}\)
   4. ឃ. \(\displaystyle \frac{3c}{2ab} - \frac{a}{4bc}\)
   5. ង. \(\displaystyle \frac{4a}{2a+6} + \frac{3}{a+3}\)
   6. ច. \(\displaystyle \frac{a-b}{(a+b)^2} - \frac{a-b}{(a-b)^2}\)
   7. ឆ. \(\displaystyle \frac{b-c}{bc} + \frac{c-a}{ca} + \frac{a-b}{ab}\)
   8. ជ. \(\displaystyle \frac{4c}{10c-5b} + \frac{2b}{6c-3b}\)
   9. ឈ. \(\displaystyle \frac{a+1}{2a-8} - \frac{a+2}{12-3a}\)
   10. ញ. \(\displaystyle \frac{a}{(a-b)(b-c)} + \frac{b}{(b-c)(b-a)} + \frac{c}{(c-a)(c-b)}\)
   11. ដ. \(\displaystyle \frac{4a}{a^2-4a} + \frac{5a}{a^2+5a} + \frac{a+1}{1-a^2}\)
   12. ឋ. \(\displaystyle \frac{xy}{ab} + \frac{(x-a)(y-b)}{a(a-b)} + \frac{(x-b)(y-b)}{b(b-a)}\)
   13. ឌ. \(\displaystyle \frac{a-2}{a^2+4a+4} + \frac{a+2}{a-2}\)
   14. ឍ. \(\displaystyle \frac{p^2+4p+3}{p^2+7p+12} - \frac{p^2-6p+5}{p^2-2p+1}\)
   15. ណ. \(\displaystyle \frac{n^2-3n-4}{n^2-8n+16} + \frac{n^2+7n+10}{n^2+5n+6}\)
   16. ត. \(\displaystyle \frac{x-3}{x^2-x-6} - \frac{x+2}{x^2-4} - \frac{x+4}{x^2+8x+16}\)
   17. ថ. \(\displaystyle \frac{20x^2-23x-7}{30x^2-17x-35} - \frac{42x^2-5x-2}{30x^2-15x-3}\)
   18. ទ. \(\displaystyle \frac{a^2-9a+20}{a^2-16} - \frac{a^2-25}{a^2+12a+35}\)
   19. ធ. \(\displaystyle \frac{56y^2+5y-6}{49y^2+14y-8} + \frac{24y^2-2y-15}{12y^2+37y+21}\)
   មើលដំណោះស្រាយ

   1. ក. \(\displaystyle \frac{2(3x-y)+(2x-y)}{4} = \frac{6x-2y+2x-y}{4} = \frac{8x-3y}{4}\)
   2. ខ. \(\displaystyle \frac{2(2x+y)-(x-5y)}{6} = \frac{4x+2y-x+5y}{6} = \frac{3x+7y}{6}\)
   3. គ. \(\displaystyle \frac{5z+6x}{xyz}\)
   4. ឃ. \(\displaystyle \frac{6c^2-a^2}{4abc}\)
   5. ង. \(\displaystyle \frac{2a}{a+3} + \frac{3}{a+3} = \frac{2a+3}{a+3}\)
   6. ច. \(\displaystyle \frac{a-b}{(a+b)^2} - \frac{1}{a-b} = \frac{(a-b)^2-(a+b)^2}{(a+b)^2(a-b)} = \frac{-4ab}{(a+b)^2(a-b)}\)
   7. ឆ. \(\displaystyle \frac{a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)}{abc} = \frac{ab-ac+bc-ab+ca-bc}{abc} = 0\)
   8. ជ. \(\displaystyle \frac{4c}{5(2c-b)} + \frac{2b}{3(2c-b)} = \frac{12c+10b}{15(2c-b)}\)
   9. ឈ. \(\displaystyle \frac{a+1}{2(a-4)} + \frac{a+2}{3(a-4)} = \frac{3(a+1)+2(a+2)}{6(a-4)} = \frac{5a+7}{6(a-4)}\)
   10. ញ. តម្រូវភាគបែងរួម \(\displaystyle (a-b)(b-c)(c-a)\) ៖
       \(\displaystyle \frac{-a(c-a)-b(a-b)-c(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)} = \frac{-ac+a^2-ba+b^2-cb+c^2}{(a-b)(b-c)(c-a)} = 0\) (តាមលក្ខណៈស៊ីមេទ្រី)
   11. ដ. \(\displaystyle \frac{4}{a-4} + \frac{5}{a+5} - \frac{1}{a-1} = \frac{8a^2+17a-56}{(a-4)(a+5)(a-1)}\)
   12. ឋ. គណនារួម ៖ \(\displaystyle \frac{xy(a-b)-b(x-a)(y-b)+a(x-b)(y-b)}{ab(a-b)} = 1\)
   13. ឌ. \(\displaystyle \frac{a-2}{(a+2)^2} + \frac{a+2}{a-2} = \frac{(a-2)^2+(a+2)^3}{(a+2)^2(a-2)}\)
   14. ឍ. \(\displaystyle \frac{p+1}{p+4} - \frac{p-5}{p-1} = \frac{(p+1)(p-1)-(p-5)(p+4)}{(p+4)(p-1)} = \frac{p+19}{(p+4)(p-1)}\)
   15. ណ. \(\displaystyle \frac{n+1}{n-4} + \frac{n+5}{n+3} = \frac{(n+1)(n+3)+(n+5)(n-4)}{(n-4)(n+3)} = \frac{2n^2+5n-17}{(n-4)(n+3)}\)
   16. ត. \(\displaystyle \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+4} = \frac{-4}{x^2-4} - \frac{1}{x+4} = \frac{-x^2-4x-12}{(x^2-4)(x+4)}\)
   17. ថ. សម្រួលកត្តានីមួយៗរួចធ្វើផលដកតាមភាគបែងរួម
   18. ទ. \(\displaystyle \frac{(a-4)(a-5)}{(a-4)(a+4)} - \frac{(a-5)(a+5)}{(a+5)(a+7)} = \frac{a-5}{a+4} - \frac{a-5}{a+7} = \frac{3(a-5)}{(a+4)(a+7)}\)
   19. ធ. \(\displaystyle \frac{(8y+3)(7y-2)}{(7y+4)(7y-2)} + \frac{(8y+3)(3y-5)}{(4y+3)(3y+7)} = \frac{8y+3}{7y+4} + \frac{(8y+3)(3y-5)}{(4y+3)(3y+7)}\)

9. សម្រួលកន្សោមសនិទានខាងក្រោម ៖

   1. ក. \(\displaystyle \frac{\frac{1}{6}+\frac{1}{3}}{\frac{1}{5}+\frac{1}{5}}\)
   2. ខ. \(\displaystyle \frac{6-\frac{5}{2}+\frac{3}{8}}{3-\frac{5}{2}-\frac{7}{4}}\)
   3. គ. \(\displaystyle \frac{\frac{5}{6}-\frac{5}{7}}{\frac{5}{6}+\frac{5}{7}}\)
   4. ឃ. \(\displaystyle \frac{\frac{3}{x}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{3x}}\)
   5. ង. \(\displaystyle \frac{\frac{2x}{3}+2}{\frac{5x}{3}-\frac{15}{x}}\)
   6. ច. \(\displaystyle \frac{k+\frac{k-3}{k+1}}{k-\frac{2}{k+1}}\)
   7. ឆ. \(\displaystyle \frac{a-\frac{a-b}{1+ab}}{1+\frac{a(a-b)}{1+ab}}\)
   8. ជ. \(\displaystyle \left(a-\frac{4ab}{a+b}+b\right)\div\left(\frac{a}{a+b}-\frac{b}{b-a}-\frac{2ab}{a^2-b^2}\right)\)
   9. ឈ. \(\displaystyle \left[\frac{(a+b)^2+2b^2}{a^3-b^3}-\frac{1}{a-b}+\frac{a+b}{a^2+ab+b^2}\right]\div\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\right)\)
   10. ញ. \(\displaystyle \frac{1-2b}{1+\frac{1}{2b}}\div\frac{1+2b}{1-\frac{1}{2b}}\)
   11. ដ. \(\displaystyle \left[\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)\div\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\right)\right]\div\left(1+\frac{y}{x}\right)\)
   12. ឋ. \(\displaystyle \frac{a^2+ab}{a^2+ab+b^2}-\left[\frac{a(2a^2+ab-b^2)}{a^3-b^3}-2-\frac{b}{a-b}\right]\div\left(\frac{a-b}{a}-\frac{a}{a-b}\right)\)
   មើលដំណោះស្រាយ

   1. ក. \(\displaystyle \frac{3/6}{2/5} = \frac{1/2}{2/5} = \frac{1}{2} \times \frac{5}{2} = \frac{5}{4}\)
   2. ខ. \(\displaystyle \frac{48/8-20/8+3/8}{12/4-10/4-7/4} = \frac{31/8}{-5/4} = \frac{31}{8} \times \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{31}{10}\)
   3. គ. \(\displaystyle \frac{5(1/6-1/7)}{5(1/6+1/7)} = \frac{1/42}{13/42} = \frac{1}{13}\)
   4. ឃ. \(\displaystyle \frac{3/x}{2/(3x)} = \frac{3}{x} \times \frac{3x}{2} = \frac{9}{2}\)
   5. ង. \(\displaystyle \frac{\frac{2(x+3)}{3}}{\frac{5(x^2-9)}{3x}} = \frac{2(x+3)}{3} \times \frac{3x}{5(x-3)(x+3)} = \frac{2x}{5(x-3)}\)
   6. ច. \(\displaystyle \frac{\frac{k(k+1)+k-3}{k+1}}{\frac{k(k+1)-2}{k+1}} = \frac{k^2+2k-3}{k^2+k-2} = \frac{(k+3)(k-1)}{(k+2)(k-1)} = \frac{k+3}{k+2}\)
   7. ឆ. \(\displaystyle \frac{\frac{a(1+ab)-(a-b)}{1+ab}}{\frac{1+ab+a(a-b)}{1+ab}} = \frac{a+a^2b-a+b}{1+ab+a^2-ab} = \frac{b(a^2+1)}{a^2+1} = b\)
   8. ជ. \(\displaystyle a-\frac{4ab}{a+b}+b = \frac{(a+b)^2-4ab}{a+b} = \frac{(a-b)^2}{a+b}\)
      \(\displaystyle \frac{a}{a+b}+\frac{b}{a-b}-\frac{2ab}{a^2-b^2} = \frac{a(a-b)+b(a+b)-2ab}{a^2-b^2} = \frac{a^2-ab+ab+b^2-2ab}{a^2-b^2} = \frac{(a-b)^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{a-b}{a+b}\)
      លទ្ធផល ៖ \(\displaystyle \frac{(a-b)^2}{a+b} \div \frac{a-b}{a+b} = a-b\)
   9. ឈ. ភាគបែងរួមនៃវង់ក្រចកធំគឺ \(\displaystyle a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\) ៖
      \(\displaystyle \frac{(a+b)^2+2b^2-(a^2+ab+b^2)+(a+b)(a-b)}{a^3-b^3} = \frac{ab+2b^2}{a^3-b^3} = \frac{b(a+2b)}{a^3-b^3}\)
      តួចែក \(\displaystyle \frac{1}{b}-\frac{1}{a} = \frac{a-b}{ab}\) នាំឱ្យលទ្ធផលគឺ \(\displaystyle \frac{ab^2(a+2b)}{(a-b)^2(a^2+ab+b^2)}\)
   10. ញ. \(\displaystyle \frac{1-2b}{\frac{2b+1}{2b}} \times \frac{\frac{2b-1}{2b}}{1+2b} = \frac{2b(1-2b)}{2b+1} \times \frac{2b-1}{2b(1+2b)} = -\frac{(2b-1)^2}{(2b+1)^2}\)
   11. ដ. \(\displaystyle \frac{x^2-y^2}{xy} \div \frac{(x-y)^2}{xy} = \frac{(x-y)(x+y)}{(x-y)^2} = \frac{x+y}{x-y}\)
       ចែកបន្តនឹង \(\displaystyle 1+\frac{y}{x} = \frac{x+y}{x}\) ៖ \(\displaystyle \frac{x+y}{x-y} \times \frac{x}{x+y} = \frac{x}{x-y}\)
   12. ឋ. គណនាក្នុងវង់ក្រចកធំ និងចែកប្រភាគ នាំឱ្យកន្សោមសម្រួលស្មើនឹង \(\displaystyle 1\)
10. 1. ក. \(\displaystyle x, y, z\) ជាចំនួនសនិទានខុសពីសូន្យ ។ បើ \(\displaystyle A=\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\), \(\displaystyle B=\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\), \(\displaystyle C=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\) បង្ហាញថាតម្លៃនៃ \(\displaystyle A^2+B^2+C^2-ABC\) មិនអាស្រ័យនឹង \(\displaystyle x, y, z\) ។
    2. ខ. \(\displaystyle a, b, c\) ជាចំនួនសនិទានខុសពីសូន្យ ។ បង្ហាញឱ្យឃើញថា បើ \(\displaystyle abc=1\) នោះ \(\displaystyle \left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2+\left(c+\frac{1}{c}\right)^2=4+\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(b+\frac{1}{b}\right)\left(c+\frac{1}{c}\right)\) ។
    មើលដំណោះស្រាយ

    1. ក.

       យើងមាន ៖

       \[A^2 = \left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)^2 = \frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{y^2}+2\]
       \[B^2 = \frac{z^2}{x^2}+\frac{x^2}{z^2}+2, \quad C^2 = \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2\]
       \[\implies A^2+B^2+C^2 = \frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{y^2}+\frac{z^2}{x^2}+\frac{x^2}{z^2}+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+6\]

       ម្យ៉ាងទៀត ផលគុណ \(\displaystyle ABC\) ៖

       \[\begin{aligned} ABC &= \left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right) \\ &= \left(\frac{y}{x}+\frac{xy}{z^2}+\frac{z^2}{xy}+\frac{x}{y}\right)\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right) \\ &= \frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{y^2}+\frac{z^2}{x^2}+\frac{x^2}{z^2}+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2 \end{aligned}\]

       ដូច្នេះ ៖

       \[A^2+B^2+C^2-ABC = 6 - 2 = 4\]

       តម្លៃនេះស្មើ \(\displaystyle 4\) ថេរជានិច្ច មិនអាស្រ័យនឹងតម្លៃ \(\displaystyle x, y, z\) ឡើយ ។

    2. ខ.

       តាង \(\displaystyle A = a+\frac{1}{a}\), \(\displaystyle B = b+\frac{1}{b}\), \(\displaystyle C = c+\frac{1}{c}\) ។ ដោយ \(\displaystyle abc = 1\) ៖

       \[a = \frac{1}{bc} \implies a = \frac{y}{z}, \; b = \frac{z}{x}, \; c = \frac{x}{y}\]

       តាមការស្រាយក្នុងសំណួរ (ក.) គេបាន ៖

       \[A^2+B^2+C^2-ABC = 4 \implies A^2+B^2+C^2 = 4 + ABC\]

       ដូចនេះ ៖

       \[\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2+\left(c+\frac{1}{c}\right)^2 = 4+\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(b+\frac{1}{b}\right)\left(c+\frac{1}{c}\right)\]

11. រកតម្លៃ \(\displaystyle x\) ដើម្បីឱ្យកន្សោមសនិទាន \(\displaystyle \frac{(3x-0.15)(2x-6)}{2(x+3)(5x-2)}\) ស្មើនឹងសូន្យ ។

    មើលដំណោះស្រាយ

    កន្សោមស្មើនឹង \(\displaystyle 0\) លុះត្រាតែភាគយកស្មើ \(\displaystyle 0\) និងភាគបែងខុសពី \(\displaystyle 0\) ៖

    • ភាគយកស្មើ \(\displaystyle 0\) ៖ \(\displaystyle (3x-0.15)(2x-6) = 0\)

      \[3x - 0.15 = 0 \implies x = \frac{0.15}{3} = 0.05\]
      \[2x - 6 = 0 \implies x = 3\]
    • លក្ខខណ្ឌភាគបែង ៖ \(\displaystyle x+3 \ne 0 \implies x \ne -3\) និង \(\displaystyle 5x-2 \ne 0 \implies x \ne \frac{2}{5} = 0.4\) ។

    តម្លៃ \(\displaystyle x = 0.05\) និង \(\displaystyle x = 3\) សុទ្ធតែផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌ ។
    ដូចនេះ \(\displaystyle x = 0.05\) ឬ \(\displaystyle x = 3\) ។

12. ចិន្តាមានសៀវភៅភាសាខ្មែរនិងភាសាអង់គ្លេសទាំងអស់ចំនួន 45 ក្បាល ។ \(\displaystyle \frac{4}{5}\) នៃសៀវភៅភាសាខ្មែរនិង \(\displaystyle \frac{3}{4}\) នៃសៀវភៅភាសាអង់គ្លេសជាសៀវភៅប្រលោមលោក ។ ដោយដឹងថាចិន្តាមានសៀវភៅប្រលោមលោកទាំងអស់ចំនួន 35 ក្បាល ។ តើចិន្តាមានសៀវភៅប្រលោមលោកជាភាសាខ្មែរប៉ុន្មានក្បាល ?

    មើលដំណោះស្រាយ

    តាង \(\displaystyle K\) ជាចំនួនសៀវភៅភាសាខ្មែរ និង \(\displaystyle E\) ជាចំនួនសៀវភៅភាសាអង់គ្លេស ។
    តាមបម្រាប់ ៖

    \[K + E = 45 \implies E = 45 - K\]

    ចំនួនសៀវភៅប្រលោមលោកសរុបគឺ 35 ក្បាល ៖

    \[\frac{4}{5}K + \frac{3}{4}E = 35\]

    ជំនួស \(\displaystyle E = 45 - K\) ចូល ៖

    \[\begin{aligned} \frac{4}{5}K + \frac{3}{4}(45 - K) &= 35 \\ \frac{4}{5}K - \frac{3}{4}K + \frac{135}{4} &= 35 \\ \frac{16K - 15K}{20} &= 35 - 33.75 \\ \frac{1}{20}K &= 1.25 \\ K &= 1.25 \times 20 = 25\text{ ក្បាល} \end{aligned}\]

    ដូចនេះ ចំនួនសៀវភៅប្រលោមលោកជាភាសាខ្មែរគឺ ៖

    \[\frac{4}{5} \times 25 = 20\text{ ក្បាល}\]

13. កម្មករម្នាក់ធ្វើការមួយហើយក្នុងរយៈពេល \(\displaystyle d_1\) ថ្ងៃ ម្នាក់ទៀតធ្វើការនោះហើយក្នុងរយៈពេល \(\displaystyle d_2\) ថ្ងៃ និងម្នាក់ទៀតធ្វើហើយក្នុង \(\displaystyle d_3\) ថ្ងៃ ។

    1. ក. បើគេឱ្យកម្មករទាំងបីនាក់នេះធ្វើការរួមគ្នាវិញ តើប៉ុន្មានថ្ងៃទើបធ្វើការងារនោះហើយ ?
    2. ខ. អនុវត្តន៍ជាលេខចំពោះ \(\displaystyle d_1=20\text{ ថ្ងៃ}\), \(\displaystyle d_2=15\text{ ថ្ងៃ}\) និង \(\displaystyle d_3=12\text{ ថ្ងៃ}\) ។
    មើលដំណោះស្រាយ

    1. ក.

       តាង \(\displaystyle W\) ជាទំហំការងារសរុប (ឬ \(\displaystyle 1\) កិច្ចការ) ។
       ក្នុង \(\displaystyle 1\) ថ្ងៃ កម្មករនីមួយៗធ្វើបាន \(\displaystyle \frac{1}{d_1}\), \(\displaystyle \frac{1}{d_2}\), និង \(\displaystyle \frac{1}{d_3}\) នៃកិច្ចការ ។
       ក្នុង \(\displaystyle 1\) ថ្ងៃ កម្មករទាំង 3 ធ្វើការងាររួមគ្នាបាន ៖

       \[\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} + \frac{1}{d_3} = \frac{d_2 d_3 + d_1 d_3 + d_1 d_2}{d_1 d_2 d_3}\]

       ដូចនេះ រយៈពេលដែលកម្មករទាំងបីធ្វើការងារនោះហើយរួមគ្នាគឺ ៖

       \[T = \frac{d_1 d_2 d_3}{d_1 d_2 + d_2 d_3 + d_3 d_1}\text{ ថ្ងៃ}\]
    2. ខ.

       ចំពោះ \(\displaystyle d_1 = 20\), \(\displaystyle d_2 = 15\), \(\displaystyle d_3 = 12\) ៖

       \[\frac{1}{T} = \frac{1}{20} + \frac{1}{15} + \frac{1}{12} = \frac{3+4+5}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}\]
       \[\implies T = 5\text{ ថ្ងៃ}\]

       ដូចនេះ កម្មករទាំងបីធ្វើការរួមគ្នាប្រើពេល \(\displaystyle 5\) ថ្ងៃទើបហើយ ។

14. ពិនិត្យលំនាំគំរូខាងក្រោម ៖

    \[\begin{aligned} \frac{1}{1 \times 2} &= 1 - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2 \times 3} &= \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3 \times 4} &= \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \\ &\dots \\ \frac{1}{342} &= \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \end{aligned}\]
    1. ក. សរសេរជួរដេកទី 8 នៅក្នុងលំនាំគំរូនេះ
    2. ខ. ប្រើលំនាំគំរូខាងលើ ចូររកតម្លៃនៃ \(\displaystyle \frac{1}{50} - \frac{1}{51}\)
    3. គ. រកតម្លៃនៃ \(\displaystyle a\) និង \(\displaystyle b\) ។
    មើលដំណោះស្រាយ

    តាមលំនាំគំរូ ៖ ជួរដេកទី \(\displaystyle n\) មានទម្រង់ \(\displaystyle \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\) ។

    1. ក.

       ជួរដេកទី 8 (\(\displaystyle n=8\)) ៖

       \[\frac{1}{8 \times 9} = \frac{1}{8} - \frac{1}{9} \quad \left(\text{ឬ } \frac{1}{72} = \frac{1}{8} - \frac{1}{9}\right)\]
    2. ខ.

       ចំពោះ \(\displaystyle n = 50\) ៖

       \[\frac{1}{50} - \frac{1}{51} = \frac{1}{50 \times 51} = \frac{1}{2550}\]
    3. គ. យើងមាន \(\displaystyle \frac{1}{342} = \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{a(a+1)}\) ដែល \(\displaystyle b = a+1\) ។
       ដោះស្រាយ \(\displaystyle a(a+1) = 342 \iff a^2+a-342 = 0\) ៖
       ដោយ \(\displaystyle 18 \times 19 = 342\) គេបាន \(\displaystyle a = 18\) និង \(\displaystyle b = 19\) ។

15. ពិនិត្យលំនាំគំរូ ៖

    \[\begin{aligned} 11 - 2 &= 3^2 \\ 1111 - 22 &= 33^2 \\ 111111 - 222 &= 333^2 \\ &\dots \\ x - y &= 33333333^2 \end{aligned}\]
    1. ក. សរសេរជួរដេកទី 5 នៅក្នុងលំនាំគំរូនេះ
    2. ខ. រកតម្លៃ \(\displaystyle x\) និង \(\displaystyle y\) ។
    មើលដំណោះស្រាយ

    តាមការសង្កេត ៖ ជួរដេកទី \(\displaystyle n\) មានលេខ 3 ចំនួន \(\displaystyle n\) ខ្ទង់លើស្វ័យគុណពីរ, ចំនួន \(\displaystyle 1\) មាន \(\displaystyle 2n\) ខ្ទង់ និងចំនួន \(\displaystyle 2\) មាន \(\displaystyle n\) ខ្ទង់ ៖

    \[\underbrace{11\ldots1}_{2n \text{ ខ្ទង់}} - \underbrace{22\ldots2}_{n \text{ ខ្ទង់}} = (\underbrace{33\ldots3}_{n \text{ ខ្ទង់}})^2\]

    1. ក.

       ជួរដេកទី 5 (\(\displaystyle n=5\)) ៖

       \[1111111111 - 22222 = 33333^2 \quad (\text{លេខ } 1 \text{ មាន } 10 \text{ ខ្ទង់ និងលេខ } 2 \text{ មាន } 5 \text{ ខ្ទង់})\]
    2. ខ.

       ក្នុងកន្សោម \(\displaystyle x - y = 33333333^2\) លេខ 3 មាន 8 ខ្ទង់ (\(\displaystyle n=8\)) ៖

       • \(\displaystyle x\) មានលេខ 1 ចំនួន \(\displaystyle 2 \times 8 = 16\) ខ្ទង់ ៖ \(\displaystyle x = 1111111111111111\)
       • \(\displaystyle y\) មានលេខ 2 ចំនួន \(\displaystyle 8\) ខ្ទង់ ៖ \(\displaystyle y = 22222222\)

16. ពិនិត្យលំនាំគំរូចំនួន ៖

    \[\begin{aligned} 1^2 - 0^2 &= 1 \\ 2^2 - 1^2 &= 3 \\ 3^2 - 2^2 &= 5 \\ 4^2 - 3^2 &= 7 \\ &\dots \\ x^2 - y^2 &= 197 \end{aligned}\]
    1. ក. សរសេរជួរដេកទី 10 នៅក្នុងលំនាំគំរូនេះ
    2. ខ. រកតម្លៃនៃ \(\displaystyle 99^2 - 98^2\)
    3. គ. រកតម្លៃនៃ \(\displaystyle x\) និង \(\displaystyle y\) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ \(\displaystyle x^2 - y^2 = 197\) ។
    មើលដំណោះស្រាយ

    តាមរូបមន្តផលដកការេ ៖ \(\displaystyle n^2 - (n-1)^2 = [n-(n-1)][n+(n-1)] = 1 \cdot (2n-1) = 2n-1\) ។

    1. ក.

       ជួរដេកទី 10 (\(\displaystyle n=10\)) ៖

       \[10^2 - 9^2 = 2(10) - 1 = 19\]
    2. ខ.

       ចំពោះ \(\displaystyle n = 99\) ៖

       \[99^2 - 98^2 = 2(99) - 1 = 198 - 1 = 197\]
    3. គ.

       យើងមាន \(\displaystyle x^2 - y^2 = 197\) ដោយ \(\displaystyle x\) និង \(\displaystyle y\) ជាពីរចំនួនគត់តគ្នា (\(\displaystyle y = x-1\)) ៖

       \[2x - 1 = 197 \implies 2x = 198 \implies x = 99\]
       \[\implies y = 99 - 1 = 98\]

       ដូចនេះ \(\displaystyle x = 99\) និង \(\displaystyle y = 98\) ។

ខ្លឹមសារ៖ សៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី៨ របស់ក្រសួងអប់រំ យុវជន និងកីឡា · វាយអត្ថបទ គូររូបភាពឡើងវិញ និងរៀបចំលើអនឡាញដោយលោកគ្រូ សាន សុខលី សម្រាប់ការសិក្សាដោយឥតគិតថ្លៃ និងមិនរកប្រាក់ចំណេញ។ មិនមែនជាការបោះពុម្ពផ្លូវការរបស់ក្រសួងទេ។