- ចង្អុលបង្ហាញត្រីកោណប៉ុនគ្នានិងធាតុត្រូវគ្នានៃត្រីកោណប៉ុនគ្នាបានច្បាស់លាស់
- ប្រើលក្ខណៈករណីប៉ុនគ្នានៃត្រីកោណដើម្បីដោះស្រាយចំណោទបានត្រឹមត្រូវ
- ចង្អុលបង្ហាញទំនាក់ទំនងរវាងជ្រុងនិងមុំក្នុងត្រីកោណបានច្បាស់លាស់
- អនុវត្តទ្រឹស្ដីវិសមភាពត្រីកោណបានត្រឹមត្រូវ
- ប្រៀបធៀបអង្កត់កែងនិងអង្កត់ទ្រេត អង្កត់ទ្រេតនិងអង្កត់ទ្រេត។
1. ត្រីកោណប៉ុនគ្នា
1.1. និយមន័យនៃត្រីកោណប៉ុនគ្នា
គូសត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) មួយនៅលើក្រដាសកាតុង ហើយកាត់វាចេញ។ ប្រើរូបត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) ជាគំរូដើម្បីគូសត្រីកោណ \(\displaystyle A'B'C'\) លើក្រដាសកាតុងហើយកាត់វាចេញ។
បើគេយកត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) ដាក់ឱ្យត្រួតពីលើត្រីកោណ \(\displaystyle A'B'C'\) នោះយើងសង្កេតឃើញថាត្រីកោណទាំងពីរត្រួតស៊ីគ្នា មានន័យថាធាតុនីមួយៗនៃត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) ត្រួតស៊ីគ្នាធាតុត្រូវគ្នានៃត្រីកោណ \(\displaystyle A'B'C'\)។ គេថាត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) និងត្រីកោណ \(\displaystyle A'B'C'\) ជាត្រីកោណប៉ុនគ្នា។
គេកំណត់សរសេរ \(\displaystyle \Delta ABC \cong \Delta A'B'C'\)។
ដោយត្រីកោណពីរនេះត្រួតស៊ីគ្នានោះ គេបានធាតុត្រូវគ្នាប៉ុនគ្នាដូចខាងក្រោម ៖
\(\displaystyle \Delta ABC \cong \Delta A'B'C'\)
| មុំត្រូវគ្នា | ជ្រុងត្រូវគ្នា |
| \(\displaystyle \angle A = \angle A'\) | \(\displaystyle AB = A'B'\) |
| \(\displaystyle \angle B = \angle B'\) | \(\displaystyle AC = A'C'\) |
| \(\displaystyle \angle C = \angle C'\) | \(\displaystyle BC = B'C'\) |
ត្រីកោណពីរជាត្រីកោណប៉ុនគ្នា លុះត្រាតែធាតុត្រូវគ្នាជាធាតុប៉ុនគ្នា។
បើត្រីកោណពីរជាត្រីកោណប៉ុនគ្នា តើអ្នកអាចសន្និដ្ឋានបានដូចម្ដេច? ចូរឱ្យឧទាហរណ៍ពន្យល់ចម្លើយរបស់អ្នក។
ធាតុត្រូវគ្នាប្រាំមួយគូជាធាតុប៉ុនគ្នា
បើ \(\displaystyle \Delta ABC \cong \Delta A'B'C'\) នោះ
ពន្យល់ថា ហេតុអ្វីបានជាត្រីកោណពីរខាងស្តាំមិនប៉ុនគ្នា។
មើលចម្លើយ
តាមមុំអម។
1.2. លក្ខខណ្ឌនៃត្រីកោណប៉ុនគ្នា
ត្រីកោណពីរប៉ុនគ្នា កាលណាមានធាតុត្រូវគ្នាប្រាំមួយគូជាធាតុប៉ុនគ្នា។ ក្នុងករណីនេះគេសិក្សាតែធាតុបីប៉ុនរៀងគ្នាតាមលក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោម ៖
1.2.1. ជ្រុងមួយប៉ុនគ្នាជាប់និងមុំពីរប៉ុនរៀងគ្នា (ម.ជ.ម)
សង់ \(\displaystyle \Delta ABC\) និង \(\displaystyle \Delta A'B'C'\) ដែលមុំ \(\displaystyle \angle A = \angle A' = 60^\circ\), \(\displaystyle \angle B = \angle B' = 40^\circ\) និងជ្រុង \(\displaystyle AB = A'B' = 6\text{ cm}\) រួចប្រៀបធៀបត្រីកោណទាំងពីរនេះ។
• សង់ \(\displaystyle \Delta ABC\) លើក្រដាសថ្លា
- គូសអង្កត់ \(\displaystyle AB\) មួយដែល \(\displaystyle AB = 6\text{ cm}\) នៅលើបន្ទាត់ \(\displaystyle l\)
- ប្រើរ៉ាប់ទ័រត្រង់ចំណុច \(\displaystyle A\) និង \(\displaystyle B\) គូសមុំ \(\displaystyle 60^\circ\) និង \(\displaystyle 40^\circ\) រៀងគ្នា
- ភ្ជាប់ជ្រុងនៃមុំ \(\displaystyle A\) និង \(\displaystyle B\) ជួបគ្នាត្រង់ \(\displaystyle C\)។ គេបានត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) ដែលត្រូវសង់។
• សង់ \(\displaystyle \Delta A'B'C'\) តាមរបៀបដូចគ្នានឹង \(\displaystyle \Delta ABC\)។
• ប្រៀបធៀប \(\displaystyle \Delta ABC\) និង \(\displaystyle \Delta A'B'C'\)
យក \(\displaystyle \Delta ABC\) ទៅដាក់ត្រួតពីលើ \(\displaystyle \Delta A'B'C'\) ដោយឱ្យជ្រុង \(\displaystyle AB\) ត្រួតស៊ីគ្នាលើ \(\displaystyle A'B'\) យើងសង្កេតឃើញថា
- ជ្រុង \(\displaystyle AC\) ត្រួតស៊ីគ្នាលើជ្រុង \(\displaystyle A'C'\) ព្រោះ \(\displaystyle \angle A = \angle A' = 60^\circ\)
- ជ្រុង \(\displaystyle BC\) ត្រួតស៊ីគ្នាលើជ្រុង \(\displaystyle B'C'\) ព្រោះ \(\displaystyle \angle B = \angle B' = 40^\circ\)
ដោយធាតុត្រូវគ្នាប៉ុនគ្នា តាមនិយមន័យ យើងអាចសន្និដ្ឋានបានថា ត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) និង \(\displaystyle A'B'C'\) ជាត្រីកោណប៉ុនគ្នា។
ត្រីកោណពីរប៉ុនគ្នា កាលណាវាមានជ្រុងមួយប៉ុនគ្នាជាប់និងមុំពីរប៉ុនរៀងគ្នា។
បន្ទាប់ពីបានប្រៀបធៀបឱ្យត្រីកោណពីរប៉ុនគ្នាតាមលក្ខខណ្ឌ ម.ជ.ម រួចហើយតាមនិយមន័យគេអាចទាញបានធាតុត្រូវគ្នាដទៃទៀតប៉ុនគ្នាហៅថា វិបាក។
| សម្មតិកម្ម | សន្និដ្ឋាន | វិបាក |
| \(\displaystyle \angle A = \angle A'\) \(\displaystyle AB = A'B'\) \(\displaystyle \angle B = \angle B'\) | \(\displaystyle \Delta ABC \cong \Delta A'B'C'\) (តាមលក្ខខណ្ឌ ម.ជ.ម) | \(\displaystyle AC = A'C'\) \(\displaystyle BC = B'C'\) \(\displaystyle \angle C = \angle C'\) |
គេឱ្យអង្កត់ \(\displaystyle AB\) និង \(\displaystyle CD\) ប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំណុច \(\displaystyle E\) ដែល \(\displaystyle EA = EB\) និងអង្កត់ \(\displaystyle AD\) ស្របនឹងអង្កត់ \(\displaystyle CB\)។
- ក. ប្រៀបធៀបត្រីកោណ \(\displaystyle AED\) និង \(\displaystyle BEC\)
- ខ. ទាញបញ្ជាក់ថា \(\displaystyle ED = EC\)។
ក. ក្នុង \(\displaystyle \Delta AED\) និង \(\displaystyle \Delta BEC\) មាន
- \(\displaystyle \angle AED = \angle BEC\) (មុំទល់កំពូល)
- \(\displaystyle EA = EB\) (សម្មតិកម្ម)
- \(\displaystyle \angle EAD = \angle EBC\) (មុំឆ្លាស់ក្នុងព្រោះ \(\displaystyle AD \parallel BC\))
ដូច្នេះ \(\displaystyle \Delta AED \cong \Delta BEC\) (តាមលក្ខខណ្ឌ ម.ជ.ម)។
ខ. ទាញបញ្ជាក់ថា \(\displaystyle ED = EC\)
ដោយ \(\displaystyle \Delta AED \cong \Delta BEC\) នោះគេអាចទាញបានជ្រុងត្រូវគ្នាប៉ុនរៀងគ្នា។
ដូច្នេះ \(\displaystyle ED = EC\)។
រូបខាងស្តាំនេះមាន \(\displaystyle \angle ABC = \angle AED\) និង \(\displaystyle BC = DE\)។ បង្ហាញថា \(\displaystyle \Delta ABC \cong \Delta AED\) និង \(\displaystyle AD = AC\)។
1.2.2. មុំមួយប៉ុនគ្នាអមដោយជ្រុងពីរប៉ុនរៀងគ្នា (ជ.ម.ជ)
សង់ត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) និង \(\displaystyle A'B'C'\) ដែលមុំ \(\displaystyle \angle A = \angle A' = 60^\circ\), \(\displaystyle AB = A'B' = 4\text{ cm}\) និងជ្រុង \(\displaystyle AC = A'C' = 6\text{ cm}\) រួចប្រៀបធៀបត្រីកោណទាំងពីរនេះ។
• សង់ត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) នៅលើក្រដាសថ្លា
- ប្រើបន្ទាត់ក្រិតគូសជ្រុង \(\displaystyle AB\) មានប្រវែង \(\displaystyle 4\text{ cm}\)
- ប្រើរ៉ាប់ទ័រគូសមុំ \(\displaystyle \angle BAx = 60^\circ\)
- ប្រើបន្ទាត់ក្រិតដៅចំណុច \(\displaystyle C\) នៅលើកន្លះបន្ទាត់ \(\displaystyle Ax\) ដែលជ្រុង \(\displaystyle AC\) មានប្រវែង \(\displaystyle 6\text{ cm}\)
- គេបានត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) ដែលត្រូវសង់។
• សង់ត្រីកោណ \(\displaystyle A'B'C'\) តាមរបៀបដូចគ្នានឹងត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\)។
• ប្រៀបធៀប \(\displaystyle \Delta ABC\) និង \(\displaystyle \Delta A'B'C'\)
យក \(\displaystyle \Delta ABC\) ទៅដាក់ត្រួតពីលើ \(\displaystyle \Delta A'B'C'\) ដោយឱ្យមុំ \(\displaystyle \angle A\) ត្រួតស៊ីគ្នានឹង \(\displaystyle \angle A'\) យើងសង្កេតឃើញថា
- ជ្រុង \(\displaystyle AB\) ត្រួតស៊ីគ្នាលើជ្រុង \(\displaystyle A'B'\) ព្រោះ \(\displaystyle AB = A'B' = 4\text{ cm}\)
- ជ្រុង \(\displaystyle AC\) ត្រួតស៊ីគ្នាលើជ្រុង \(\displaystyle A'C'\) ព្រោះ \(\displaystyle AC = A'C' = 6\text{ cm}\)។
ដោយ \(\displaystyle \Delta ABC\) និង \(\displaystyle \Delta A'B'C'\) មានធាតុត្រូវគ្នា ប៉ុនគ្នា តាមនិយមន័យត្រីកោណទាំងពីរនេះប៉ុនគ្នា។
ត្រីកោណពីរប៉ុនគ្នា កាលណាវាមានមុំមួយប៉ុនគ្នា អមដោយជ្រុងពីរប៉ុនរៀងគ្នា។
| សម្មតិកម្ម | សន្និដ្ឋាន | វិបាក |
| \(\displaystyle AB = A'B'\) \(\displaystyle \angle A = \angle A'\) \(\displaystyle AC = A'C'\) | \(\displaystyle \Delta ABC \cong \Delta A'B'C'\) (តាមលក្ខខណ្ឌ ជ.ម.ជ) | \(\displaystyle \angle B = \angle B'\) \(\displaystyle BC = B'C'\) \(\displaystyle \angle C = \angle C'\) |
គូស \(\displaystyle \angle XOY\) មួយនិងកន្លះបន្ទាត់ \(\displaystyle OZ\) ជាកន្លះបន្ទាត់ពុះនៃមុំនេះ។ នៅលើកន្លះបន្ទាត់ \(\displaystyle OX\) និង \(\displaystyle OY\) គេដៅចំណុច \(\displaystyle A\) និង \(\displaystyle B\) រៀងគ្នាដែល \(\displaystyle OA = OB\)។ នៅលើកន្លះបន្ទាត់ \(\displaystyle OZ\) គេដៅចំណុច \(\displaystyle M\) មួយ។ ប្រៀបធៀបត្រីកោណ \(\displaystyle OMA\) និង \(\displaystyle OMB\) រួចទាញវិបាក។
ប្រៀបធៀបត្រីកោណ \(\displaystyle OMA\) និង \(\displaystyle OMB\)
ក្នុង \(\displaystyle \Delta OMA\) និង \(\displaystyle \Delta OMB\) មាន
- \(\displaystyle OA = OB\) (សម្មតិកម្ម)
- \(\displaystyle \angle AOM = \angle BOM\) (\(\displaystyle OM\) ជាកន្លះបន្ទាត់ពុះនៃ \(\displaystyle \angle XOY\))
- \(\displaystyle OM\) ជ្រុងរួមនៃត្រីកោណទាំងពីរ
ដូច្នេះ \(\displaystyle \Delta OMA \cong \Delta OMB\) (តាមលក្ខខណ្ឌ ជ.ម.ជ)។
វិបាក ៖ គេទាញបានធាតុត្រូវគ្នាផ្សេងទៀតប៉ុនគ្នា ៖
គូស \(\displaystyle \Delta AOB\) មួយ។ \(\displaystyle A'\) ជាចំណុចឆ្លុះនៃ \(\displaystyle A\) ធៀបនឹង \(\displaystyle O\) និង \(\displaystyle B'\) ជាចំណុចឆ្លុះនៃ \(\displaystyle B\) ធៀបនឹង \(\displaystyle O\)។ ស្រាយបំភ្លឺថា \(\displaystyle \Delta OAB \cong \Delta OA'B'\)។
មើលចម្លើយ
ករណី ជ.ម.ជ។
1.2.3. ជ្រុងទាំងបីប៉ុនរៀងគ្នា (ជ.ជ.ជ)
សង់ \(\displaystyle \Delta ABC\) និង \(\displaystyle \Delta A'B'C'\) ដែលជ្រុង \(\displaystyle AB = A'B' = 6\text{ cm}\), \(\displaystyle AC = A'C' = 5\text{ cm}\) និង \(\displaystyle BC = B'C' = 3\text{ cm}\) រួចប្រៀបធៀបត្រីកោណទាំងពីរនេះ។
• សង់ត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) នៅលើក្រដាសថ្លា
- ជ្រើសរើសចំណុច \(\displaystyle A\) មួយ នៅលើបន្ទាត់ \(\displaystyle l\)។
- សង់ជ្រុង \(\displaystyle AB\) នៅលើបន្ទាត់ \(\displaystyle l\) ដែល \(\displaystyle AB = 6\text{ cm}\)
- យក \(\displaystyle A\) ជាផ្ចិតគូសធ្នូរង្វង់មួយមានកាំស្មើនឹង \(\displaystyle 5\text{ cm}\)
- យក \(\displaystyle B\) ជាផ្ចិតគូសធ្នូរង្វង់មួយមានកាំស្មើនឹង \(\displaystyle 3\text{ cm}\)
- តាង \(\displaystyle C\) ជាចំណុចប្រសព្វនៃធ្នូទាំងពីរ
- គូសអង្កត់ \(\displaystyle AC\) និង \(\displaystyle BC\)។ គេបានត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) ដែលត្រូវសង់។
• សង់ត្រីកោណ \(\displaystyle A'B'C'\) តាមរបៀបដូចគ្នានឹងត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\)
• ប្រៀបធៀប \(\displaystyle \Delta ABC\) និង \(\displaystyle \Delta A'B'C'\)
យើងយក \(\displaystyle \Delta ABC\) ទៅដាក់លើ \(\displaystyle \Delta A'B'C'\) ដោយឱ្យជ្រុង \(\displaystyle AB\) ត្រួតស៊ីគ្នាលើជ្រុង \(\displaystyle A'B'\) យើងឃើញថា កំពូល \(\displaystyle C\) និង \(\displaystyle C'\) ត្រួតលើគ្នាស្ថិតនៅតែម្ខាងនៃជ្រុង \(\displaystyle A'C'\) ហើយប្រវែងជ្រុងទាំងបីកំណត់បានទីតាំងនៃត្រីកោណតែមួយគត់ មានន័យថាត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) និង \(\displaystyle A'B'C'\) ត្រួតស៊ីគ្នា ព្រោះជ្រុងត្រូវគ្នាទាំងបីគូមានប្រវែងស្មើគ្នា។ ដូច្នេះត្រីកោណទាំងពីរនេះប៉ុនគ្នា។
ត្រីកោណពីរប៉ុនគ្នា កាលណាវាមានជ្រុងទាំងបីប៉ុនរៀងគ្នា។
| សម្មតិកម្ម | សន្និដ្ឋាន | វិបាក |
| \(\displaystyle AB = A'B'\) \(\displaystyle AC = A'C'\) \(\displaystyle BC = B'C'\) | \(\displaystyle \Delta ABC \cong \Delta A'B'C'\) (តាមលក្ខខណ្ឌ ជ.ជ.ជ) | \(\displaystyle \angle A = \angle A'\) \(\displaystyle \angle B = \angle B'\) \(\displaystyle \angle C = \angle C'\) |
រូបខាងស្តាំនេះ \(\displaystyle EF = HK\), \(\displaystyle FJ = GK\) និង \(\displaystyle EG = HJ\)។ បង្ហាញថា \(\displaystyle \Delta EFG \cong \Delta HKJ\)។
គេមាន
តាម \(\displaystyle (1)\) និង \(\displaystyle (2)\) នាំឱ្យ \(\displaystyle FG = JK\)
ក្នុង \(\displaystyle \Delta EFG\) និង \(\displaystyle \Delta HKJ\) មាន
- \(\displaystyle EF = HK\) (សម្មតិកម្ម)
- \(\displaystyle EG = HJ\) (សម្មតិកម្ម)
- \(\displaystyle FG = JK\) (សម្រាយខាងលើ)
ដូច្នេះ \(\displaystyle \Delta EFG \cong \Delta HKJ\) (តាមលក្ខខណ្ឌ ជ.ជ.ជ)។
រូបខាងស្តាំនេះគេឱ្យ \(\displaystyle RZ = VW\), \(\displaystyle TZ = SW\) និង \(\displaystyle RS = TV\)។ ប្រៀបធៀប \(\displaystyle \Delta RZT\) និង \(\displaystyle \Delta VWS\)។
មើលចម្លើយ
ករណី ជ.ជ.ជ។
1.3. លក្ខខណ្ឌចំពោះត្រីកោណកែងប៉ុនគ្នា
ត្រីកោណកែងពីរប៉ុនគ្នា មានពីរលក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោម ៖
1.3.1. អ៊ីប៉ូតេនុសប៉ុនគ្នានិងមុំស្រួចមួយប៉ុនគ្នា (អ.ម)
ក្នុង \(\displaystyle \Delta ABC\) និង \(\displaystyle \Delta A'B'C'\) មាន \(\displaystyle \angle C = \angle C'\), \(\displaystyle \angle A = \angle A' = 90^\circ\), \(\displaystyle BC = B'C'\)។ បង្ហាញថា \(\displaystyle \Delta ABC \cong \Delta A'B'C'\)។
ក្នុងត្រីកោណកែង \(\displaystyle ABC\) គេបាន
ក្នុងត្រីកោណកែង \(\displaystyle A'B'C'\) គេបាន
ដោយ \(\displaystyle \angle C = \angle C'\) (សម្មតិកម្ម) នោះ \(\displaystyle \angle B = \angle B'\)
ក្នុង \(\displaystyle \Delta ABC\) និង \(\displaystyle \Delta A'B'C'\) មាន
\(\displaystyle (1)\), \(\displaystyle (2)\) និង \(\displaystyle (3)\) ដូច្នេះ \(\displaystyle \Delta ABC \cong \Delta A'B'C'\) (តាមលក្ខខណ្ឌ ម.ជ.ម)។
ត្រីកោណកែងពីរប៉ុនគ្នា កាលណាវាមានអ៊ីប៉ូតេនុសប៉ុនគ្នានិងមុំស្រួចមួយប៉ុនគ្នា។
គេឱ្យ \(\displaystyle M\) ជាចំណុចមួយស្ថិតនៅលើកន្លះបន្ទាត់ពុះនៃ \(\displaystyle \angle XOY\)។ តាមចំណុច \(\displaystyle M\) គេគូសបន្ទាត់កែងនឹង \(\displaystyle OX\) ត្រង់ \(\displaystyle A\) និង \(\displaystyle OY\) ត្រង់ \(\displaystyle B\)។ បង្ហាញថា \(\displaystyle MA = MB\)។
ត្រីកោណកែង \(\displaystyle OMA\) និងត្រីកោណកែង \(\displaystyle OMB\) មាន
- \(\displaystyle OM\) ជាអ៊ីប៉ូតេនុសរួម
- \(\displaystyle \angle MOA = \angle MOB\) (ព្រោះ \(\displaystyle OM\) ជាកន្លះបន្ទាត់ពុះនៃ \(\displaystyle \angle AOB\))
ដូច្នេះ \(\displaystyle \Delta OMA \cong \Delta OMB\) (តាមលក្ខខណ្ឌ អ.ម)។
វិបាក ៖ \(\displaystyle MA = MB\)។
- គ្រប់ចំណុចនៅលើកន្លះបន្ទាត់ពុះនៃមុំមួយ ត្រូវឋិតនៅស្មើចម្ងាយពីជ្រុងទាំងពីរនៃមុំនោះ។
- ច្រាសមកវិញគ្រប់ចំណុចដែលមានចម្ងាយស្មើទៅនឹងជ្រុងទាំងពីរនៃមុំមួយ ត្រូវឋិតនៅលើកន្លះបន្ទាត់ពុះនៃមុំនោះ។
\(\displaystyle ABC\) ជាត្រីកោណសមបាតត្រង់កំពូល \(\displaystyle A\)។ កម្ពស់គូសចេញពីកំពូល \(\displaystyle B\) និង \(\displaystyle C\) កាត់ជ្រុង \(\displaystyle AC\) និង \(\displaystyle AB\) ត្រង់ \(\displaystyle D\) និង \(\displaystyle E\) រៀងគ្នា។ បង្ហាញថា \(\displaystyle BD = CE\) និង \(\displaystyle BE = CD\)។
មើលចម្លើយ
ករណី ម.ជ.ម។
1.3.2. អ៊ីប៉ូតេនុសប៉ុនគ្នានិងជ្រុងមុំកែងមួយប៉ុនគ្នា (អ.ជ)
ក្នុង \(\displaystyle \Delta ABC\) និង \(\displaystyle \Delta A'B'C'\) មាន \(\displaystyle \angle A = \angle A' = 90^\circ\), \(\displaystyle AB = A'B'\), \(\displaystyle BC = B'C'\)។ តើត្រីកោណកែងទាំងពីរនេះប៉ុនគ្នាឬទេ?
ដោយ \(\displaystyle AB = A'B'\) យើងអាចត្រឡប់ ហើយដាក់ជ្រុង \(\displaystyle A'C'\) ត្រួតលើជ្រុង \(\displaystyle AC\) ដែលជាជ្រុងនៃ \(\displaystyle \Delta A'B'C'\) និង \(\displaystyle \Delta ABC\)។
ដោយ \(\displaystyle \angle A = \angle A' = 90^\circ\) យើងដឹងថា \(\displaystyle \angle BAB' = \angle BAC + \angle CAB' = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\) ជាមុំជាប់បន្ថែម។
ដូច្នេះអង្កត់ \(\displaystyle BA\) និងអង្កត់ \(\displaystyle AB'\) ភ្ជាប់គ្នាបានអង្កត់ \(\displaystyle BB'\) មួយ។
ក្នុង \(\displaystyle \Delta BCB'\) មាន \(\displaystyle CB = CB'\) នោះ \(\displaystyle \Delta BCB'\) ជាត្រីកោណសមបាតត្រង់កំពូល \(\displaystyle C\)។ ដូច្នេះ \(\displaystyle \angle B = \angle B'\)។
ក្នុងត្រីកោណកែង \(\displaystyle BAC\) និង \(\displaystyle B'AC\) មាន
- \(\displaystyle CB = CB'\) អ៊ីប៉ូតេនុសប៉ុនគ្នា (សម្មតិកម្ម)
- \(\displaystyle \angle B = \angle B'\) មុំប៉ុនគ្នា
ដូច្នេះ \(\displaystyle \Delta ABC \cong \Delta A'B'C'\) (តាមលក្ខខណ្ឌ អ.ម)។
ត្រីកោណកែងពីរប៉ុនគ្នា កាលណាវាមានអ៊ីប៉ូតេនុសប៉ុនគ្នានិងជ្រុងមួយនៃមុំកែងប៉ុនគ្នា។
កន្លះបន្ទាត់ពុះនៃ \(\displaystyle \angle B\) និង \(\displaystyle \angle C\) ក្នុងត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) ប្រសព្វគ្នាត្រង់ \(\displaystyle I\)។ តាម \(\displaystyle I\) គេគូសបន្ទាត់កែងទៅនឹងជ្រុង \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\) និង \(\displaystyle AC\) ត្រង់ \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\) និង \(\displaystyle F\) រៀងគ្នា។
- ក. បង្ហាញថា \(\displaystyle ID = IE = IF\)
- ខ. បង្ហាញថាកន្លះបន្ទាត់ \(\displaystyle AI\) ជាកន្លះបន្ទាត់ពុះនៃ \(\displaystyle \angle BAC\)។
ក. ក្នុងត្រីកោណកែង \(\displaystyle BEI\) និង \(\displaystyle BDI\) មាន
- \(\displaystyle BI\) ជាអ៊ីប៉ូតេនុសរួម
- \(\displaystyle \angle IBE = \angle IBD\) (\(\displaystyle IB\) ជាកន្លះបន្ទាត់ពុះនៃ \(\displaystyle \angle ABC\))
ដូច្នេះ \(\displaystyle \Delta BEI \cong \Delta BDI\) (តាមលក្ខខណ្ឌ អ.ម)
វិបាក ៖ \(\displaystyle ID = IE \quad (1)\)។
ក្នុងត្រីកោណកែង \(\displaystyle CEI\) និង \(\displaystyle CFI\) មាន
- \(\displaystyle CI\) ជាអ៊ីប៉ូតេនុសរួម
- \(\displaystyle \angle ICE = \angle ICF\) (\(\displaystyle IC\) ជាកន្លះបន្ទាត់ពុះនៃ \(\displaystyle \angle BCA\))
ដូច្នេះ \(\displaystyle \Delta CEI \cong \Delta CFI\) (តាមលក្ខខណ្ឌ អ.ម)
វិបាក ៖ \(\displaystyle IE = IF \quad (2)\)។
តាម \(\displaystyle (1)\) និង \(\displaystyle (2)\) គេទាញបាន \(\displaystyle ID = IE = IF\)។
ខ. ក្នុងត្រីកោណកែង \(\displaystyle IDA\) និង \(\displaystyle IFA\) មាន
- \(\displaystyle AI\) ជាអ៊ីប៉ូតេនុសរួម
- \(\displaystyle ID = IF\) (សម្រាយខាងលើ)
ដូច្នេះ \(\displaystyle \Delta IDA \cong \Delta IFA\) (តាមលក្ខខណ្ឌ អ.ជ)
វិបាក ៖ \(\displaystyle \angle IAD = \angle IAF\) ឬ \(\displaystyle \angle IAB = \angle IAC\)
ដូច្នេះគេអាចសន្និដ្ឋានបានថា \(\displaystyle AI\) ជាកន្លះបន្ទាត់ពុះនៃមុំ \(\displaystyle \angle BAC\)។
តាមសម្រាយខាងលើ \(\displaystyle ID = IE = IF\) នោះចំណុច \(\displaystyle I\) ឋិតនៅស្មើចម្ងាយពីជ្រុងទាំងបីនៃត្រីកោណ។
កន្លះបន្ទាត់ពុះមុំក្នុងទាំងបីនៃត្រីកោណមួយប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំណុចតែមួយដែលឋិតនៅស្មើចម្ងាយពីជ្រុងទាំងបីនៃត្រីកោណនោះ។
\(\displaystyle ABC\) ជាត្រីកោណមួយនិង \(\displaystyle M\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃជ្រុង \(\displaystyle BC\)។ តាម \(\displaystyle M\) គេគូសបន្ទាត់កែងទៅនឹងជ្រុង \(\displaystyle AB\) និង \(\displaystyle AC\) ត្រង់ \(\displaystyle D\) និង \(\displaystyle E\) រៀងគ្នា។ បង្ហាញថា បើ \(\displaystyle MD = ME\) នោះ \(\displaystyle \angle B = \angle C\)។
មើលចម្លើយ
តាម \(\displaystyle \Delta BDM \cong \Delta MEC\)។
2. មេដ្យាទ័រនៃអង្កត់និងត្រីកោណសមបាត
2.1. លក្ខណៈមេដ្យាទ័រនៃអង្កត់
\(\displaystyle I\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃអង្កត់ \(\displaystyle BC\)។ បន្ទាត់ \(\displaystyle \Delta\) មួយកែងនឹងអង្កត់ \(\displaystyle BC\) ត្រង់ \(\displaystyle I\) គឺជាមេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ \(\displaystyle BC\)។
ចំណុច \(\displaystyle M\) មួយស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ \(\displaystyle \Delta\) មេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ \(\displaystyle BC\)។ ក្នុងត្រីកោណកែង \(\displaystyle MIB\) និង \(\displaystyle MIC\) មាន
- \(\displaystyle IM\) ជាជ្រុងរួម
- \(\displaystyle \angle MIB = \angle MIC = 90^\circ\) (ព្រោះ \(\displaystyle \Delta \perp BC\) ត្រង់ \(\displaystyle I\))
- \(\displaystyle IB = IC\) (\(\displaystyle I\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃអង្កត់ \(\displaystyle BC\))
ដូច្នេះ \(\displaystyle \Delta MIB \cong \Delta MIC\) (តាមលក្ខខណ្ឌ ជ.ម.ជ)
វិបាក ៖ \(\displaystyle MB = MC\), \(\displaystyle \angle IMB = \angle IMC\) និង \(\displaystyle \angle IBM = \angle ICM\)។
គេទាញបានលក្ខណៈដូចខាងក្រោម ៖
- គ្រប់ចំណុចឋិតនៅលើមេដ្យាទ័រនៃអង្កត់មួយត្រូវឋិតនៅស្មើចម្ងាយពីចុងទាំងពីរនៃអង្កត់នោះ។
- គ្រប់ចំណុចដែលឋិតនៅស្មើចម្ងាយពីចុងទាំងពីរនៃអង្កត់មួយ ចំណុចទាំងនេះឋិតនៅលើមេដ្យាទ័រនៃអង្កត់នោះ។
2.2. លក្ខណៈត្រីកោណសមបាត
តាមសម្រាយខាងលើ \(\displaystyle MB = MC\) នោះ \(\displaystyle \Delta BMC\) ជាត្រីកោណសមបាតកំពូល \(\displaystyle M\)។
ម្យ៉ាងទៀត
- \(\displaystyle \angle IMB = \angle IMC\) នោះ \(\displaystyle MI\) ជាកន្លះបន្ទាត់ពុះនៃ \(\displaystyle \angle M\)
- \(\displaystyle IB = IC\) នោះ \(\displaystyle MI\) ជាមេដ្យានរបស់ជ្រុង \(\displaystyle BC\) នៃ \(\displaystyle \Delta BMC\)
- \(\displaystyle MI \perp BC\) ត្រង់ចំណុចកណ្ដាល \(\displaystyle I\) នោះ \(\displaystyle MI\) ជាកម្ពស់និងជាមេដ្យាទ័ររបស់ជ្រុង \(\displaystyle BC\) នៃ \(\displaystyle \Delta BMC\)។
គេអាចទាញបានលក្ខណៈដូចខាងក្រោម ៖
ក្នុងត្រីកោណសមបាតមាន
- មុំបាតទាំងពីរជាមុំប៉ុនគ្នា
- មេដ្យាទ័រ មេដ្យាន កម្ពស់គូសចេញពីកំពូល និងកន្លះបន្ទាត់ពុះនៃមុំកំពូលនោះឋិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ។
មេដ្យាទ័ររបស់ជ្រុង \(\displaystyle AB\) និង \(\displaystyle BC\) នៃត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) ប្រសព្វគ្នាត្រង់ \(\displaystyle O\)។
- ក. បង្ហាញថា \(\displaystyle OA = OB = OC\)
- ខ. បើ \(\displaystyle N\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃ \(\displaystyle AC\) បង្ហាញថា \(\displaystyle ON \perp AC\)
ក. មេដ្យាទ័ររបស់ជ្រុង \(\displaystyle AB\) និង \(\displaystyle BC\) កាត់ \(\displaystyle AB\) និង \(\displaystyle BC\) ត្រង់ \(\displaystyle L\) និង \(\displaystyle M\) រៀងគ្នា។ ដោយ \(\displaystyle O\) ជាប្រសព្វមេដ្យាទ័ររបស់ជ្រុង \(\displaystyle AB\) និង \(\displaystyle BC\)
ដូច្នេះ \(\displaystyle OA = OB = OC\)។
ខ. គេមាន \(\displaystyle OA = OC\) (ស្រាយខាងលើ) នោះ \(\displaystyle \Delta AOC\) ជាត្រីកោណសមបាតកំពូល \(\displaystyle O\)
\(\displaystyle N\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃជ្រុង \(\displaystyle AC\) នោះ \(\displaystyle ON\) ជាមេដ្យាននៃជ្រុង \(\displaystyle AC\) របស់ \(\displaystyle \Delta AOC\) តាមលក្ខណៈត្រីកោណសមបាត គេបានបន្ទាត់ \(\displaystyle ON\) ជាមេដ្យាទ័រនៃជ្រុង \(\displaystyle AC\)។ ដូច្នេះ \(\displaystyle ON \perp AC\)។
មេដ្យាទ័រនៃជ្រុងទាំងបីរបស់ \(\displaystyle \Delta ABC\) ប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំណុច \(\displaystyle O\)។
\(\displaystyle OA = OB = OC\) នោះ \(\displaystyle O\) មានចម្ងាយស្មើទៅនឹងកំពូលទាំងបីនៃ \(\displaystyle \Delta ABC\)។
គេអាចកំណត់បានទ្រឹស្ដីបទដូចខាងក្រោម ៖
មេដ្យាទ័រជ្រុងទាំងបីនៃត្រីកោណមួយប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំណុចតែមួយដែលឋិតនៅស្មើចម្ងាយពីកំពូលទាំងបីនៃត្រីកោណនោះ។
3. វិសមភាពក្នុងត្រីកោណ
3.1. វិសមភាពចំពោះជ្រុងនិងមុំនៃត្រីកោណមួយ
ក្នុងត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) ជ្រុង \(\displaystyle AC\) ឈមនឹង \(\displaystyle \angle B\) ជ្រុង \(\displaystyle AB\) ឈមនឹង \(\displaystyle \angle C\) ដែល \(\displaystyle AC > AB\)។ បង្ហាញថា \(\displaystyle \angle B > \angle C\)។
នៅលើជ្រុង \(\displaystyle AC\) ដៅចំណុច \(\displaystyle D\) មួយដែល \(\displaystyle AD = AB\)។
គេបាន \(\displaystyle AB = AD\) នោះ \(\displaystyle \Delta ABD\) ជាត្រីកោណសមបាតត្រង់កំពូល \(\displaystyle A\) នាំឱ្យ \(\displaystyle \angle B_2 = \angle D_2\)។ ប៉ុន្តែ \(\displaystyle \angle D_2\) ជាមុំក្រៅនៃ \(\displaystyle \Delta BCD\) គេបាន \(\displaystyle \angle D_2 = \angle B_1 + \angle C\) នាំឱ្យ \(\displaystyle \angle D_2 > \angle C\)
ដោយ \(\displaystyle \angle B_2 = \angle D_2\) នោះ \(\displaystyle \angle B_2 > \angle C \quad (1)\)
ម្យ៉ាងទៀត \(\displaystyle \angle B = \angle B_1 + \angle B_2\) នោះ \(\displaystyle \angle B > \angle B_2 \quad (2)\)
គេទាញបានទ្រឹស្ដីបទដូចខាងក្រោម ៖
ក្នុងត្រីកោណមួយ
- បើជ្រុងពីរមិនប៉ុនគ្នា មុំដែលឈមនឹងជ្រុងទាំងពីរនេះក៏មិនប៉ុនគ្នាដែរ ហើយមុំដែលឈមនឹងជ្រុងធំជាង ជាមុំធំជាង។
- ច្រាសមកវិញ បើមុំពីរមិនប៉ុនគ្នាជ្រុងដែលឈមនឹងមុំទាំងពីរនេះក៏មិនប៉ុនគ្នាដែរ ហើយជ្រុងដែលឈមនឹងមុំធំជាង ជាជ្រុងធំជាង។
ក្នុង \(\displaystyle \Delta ABC\) មាន \(\displaystyle \angle A = 6x + 4^\circ\), \(\displaystyle \angle B = 7x + 12^\circ\) និង \(\displaystyle \angle C = 6x - 7^\circ\)។ រៀបជ្រុងនៃ \(\displaystyle \Delta ABC\) តាមលំដាប់ពីធំទៅតូច។
ក្នុង \(\displaystyle \Delta ABC\) គេបាន
ដោយ \(\displaystyle x = 9^\circ\) គេបាន
ដោយ \(\displaystyle \angle B > \angle A > \angle C\) គេបាន \(\displaystyle AC > BC > AB\)។
ដូច្នេះជ្រុងតាមលំដាប់ពីធំទៅតូចគឺ \(\displaystyle AC > BC > AB\)។
រូបខាងស្តាំនេះគេឱ្យ \(\displaystyle AB = AC = BD\) និង \(\displaystyle \angle ABC < \angle BAC\)។ បង្ហាញថា \(\displaystyle BD < BC\)។
3.2. វិសមភាពត្រីកោណ
\(\displaystyle ABC\) ជាត្រីកោណមួយ។ គេបន្លាយជ្រុង \(\displaystyle BC\) ឱ្យបាន \(\displaystyle CM\) ដែល \(\displaystyle CM = CA\)។ ប្រៀបធៀប \(\displaystyle AB\) និង \(\displaystyle BC + AC\)។
ក្នុង \(\displaystyle \Delta BAM\) គេបាន
ក្នុង \(\displaystyle \Delta ACM\) មាន \(\displaystyle CM = CA\) ដូច្នេះ \(\displaystyle \Delta ACM\) ជាត្រីកោណសមបាតកំពូល \(\displaystyle C\)។
គេទាញបាន \(\displaystyle \angle CAM = \angle CMA\)
\(\displaystyle \angle BAM > \angle CMA\) ឬ \(\displaystyle \angle BAM > \angle BMA\)
ក្នុង \(\displaystyle \Delta BAM\) មាន \(\displaystyle \angle BAM > \angle BMA\) នាំឱ្យ \(\displaystyle BM > AB\)
ដោយ \(\displaystyle BM = BC + CM = BC + AC\) (ព្រោះ \(\displaystyle AC = CM\))
ដូច្នេះ \(\displaystyle AC + BC > AB\)។
គេអាចទាញបានទ្រឹស្ដីបទវិសមភាពត្រីកោណដូចខាងក្រោម ៖
ផលបូកជ្រុងពីរនៃត្រីកោណមួយធំជាងជ្រុងមួយទៀត។
គ្រូម្នាក់បានឱ្យឈើបួនកំណាត់ទៅសុខាដើម្បីបង្កើតត្រីកោណមួយសម្រាប់ធ្វើជាគ្រោងស៊ុមព័ទ្ធសួនផ្កាមួយកន្លែង។ ប្រវែងនៃកំណាត់ឈើមាន \(\displaystyle 2\text{ m}\), \(\displaystyle 4.5\text{ m}\), \(\displaystyle 5.8\text{ m}\) និង \(\displaystyle 10.2\text{ m}\)។ តើសុខាអាចបង្កើតត្រីកោណខុសៗគ្នាបានប៉ុន្មាន?
សុខាអាចជ្រើសរើសឈើបីកំណាត់តាមបួនរបៀប ដើម្បីបង្កើតត្រីកោណសម្រាប់ធ្វើគ្រោងស៊ុមព័ទ្ធសួនផ្កា។ សុខាអាចជ្រើសរើសបន្សំដូចខាងក្រោម ៖
- ក. \(\displaystyle 2\text{ m}\), \(\displaystyle 4.5\text{ m}\) និង \(\displaystyle 5.8\text{ m}\)
- ខ. \(\displaystyle 2\text{ m}\), \(\displaystyle 4.5\text{ m}\) និង \(\displaystyle 10.2\text{ m}\)
- គ. \(\displaystyle 2\text{ m}\), \(\displaystyle 5.8\text{ m}\) និង \(\displaystyle 10.2\text{ m}\)
- ឃ. \(\displaystyle 4.5\text{ m}\), \(\displaystyle 5.8\text{ m}\) និង \(\displaystyle 10.2\text{ m}\)។
ដើម្បីកំណត់ថា បន្សំនីមួយៗនៃបន្សំទាំងបួន អាចប្រើសម្រាប់ផ្គុំបានត្រីកោណមួយ។ គេត្រូវសាកល្បងថាតើបន្សំណាខ្លះដែលមានប្រវែងជ្រុងទាំងបីផ្ទៀងផ្ទាត់វិសមភាពត្រីកោណ
ក. \(\displaystyle 2\text{ m}\), \(\displaystyle 4.5\text{ m}\) និង \(\displaystyle 5.8\text{ m}\)
- \(\displaystyle 2 + 5.8 > 4.5\) ពិតឬទេ? (ពិត)
- \(\displaystyle 4.5 + 5.8 > 2\) ពិតឬទេ? (ពិត)
- \(\displaystyle 2 + 4.5 > 5.8\) ពិតឬទេ? (ពិត)។
កំណាត់ឈើទាំងបីនេះអាចប្រើ ដើម្បីបង្កើតត្រីកោណមួយបាន។
ខ. \(\displaystyle 2\text{ m}\), \(\displaystyle 4.5\text{ m}\) និង \(\displaystyle 10.2\text{ m}\)
- \(\displaystyle 2 + 4.5 > 10.2\) ពិតឬទេ? (មិនពិត)។
កំណាត់ឈើទាំងបីនេះមិនអាចប្រើ ដើម្បីបង្កើតត្រីកោណមួយបានទេ។
គ. \(\displaystyle 2\text{ m}\), \(\displaystyle 5.8\text{ m}\) និង \(\displaystyle 10.2\text{ m}\)
- \(\displaystyle 2 + 5.8 > 10.2\) ពិតឬទេ? (មិនពិត)។
កំណាត់ឈើទាំងបីនេះមិនអាចប្រើ ដើម្បីបង្កើតត្រីកោណមួយបានទេ។
ឃ. \(\displaystyle 4.5\text{ m}\), \(\displaystyle 5.8\text{ m}\) និង \(\displaystyle 10.2\text{ m}\)
- \(\displaystyle 4.5 + 5.8 > 10.2\) ពិតឬទេ? (ពិត)
- \(\displaystyle 4.5 + 10.2 > 5.8\) ពិតឬទេ? (ពិត)
- \(\displaystyle 5.8 + 10.2 > 4.5\) ពិតឬទេ? (ពិត)។
កំណាត់ឈើទាំងបីនេះអាចប្រើ ដើម្បីបង្កើតត្រីកោណមួយបាន។
តើរង្វាស់ជ្រុងដែលឱ្យក្នុងករណីនីមួយៗខាងក្រោមនេះអាចគូសបានត្រីកោណមួយឬទេ? ព្រោះអ្វី?
- ក. \(\displaystyle 12\), \(\displaystyle 11\), \(\displaystyle 17\)
- ខ. \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\)
- គ. \(\displaystyle 4.7\), \(\displaystyle 9\), \(\displaystyle 4.1\)។
4. ការប្រៀបធៀបអង្កត់
4.1. ធៀបអង្កត់កែងនិងអង្កត់ទ្រេត
ចំណុច \(\displaystyle A\) មួយមិនឋិតនៅលើបន្ទាត់ \(\displaystyle \Delta\)។ គេគូសអង្កត់ \(\displaystyle AH \perp \Delta\)។ អង្កត់ \(\displaystyle AH\) ហៅថាអង្កត់កែងនឹងបន្ទាត់ \(\displaystyle \Delta\)។ ចំណុច \(\displaystyle H\) ហៅថាជើងចំណោលកែងនៃចំណុច \(\displaystyle A\) លើបន្ទាត់ \(\displaystyle \Delta\)។ \(\displaystyle AH\) ហៅថាប្រវែងអង្កត់កែងឬចម្ងាយពី \(\displaystyle A\) ទៅបន្ទាត់ \(\displaystyle \Delta\)។
ចំណុច \(\displaystyle B\) ឋិតនៅលើបន្ទាត់ \(\displaystyle \Delta\) ផ្សេងពី \(\displaystyle H\)។ អង្កត់ \(\displaystyle AB\) ហៅថាអង្កត់ទ្រេតដែល \(\displaystyle B\) ជាជើងអង្កត់ទ្រេត។ អង្កត់ \(\displaystyle HB\) ហៅថាចំណោលកែងនៃអង្កត់ \(\displaystyle AB\) លើបន្ទាត់ \(\displaystyle \Delta\)។ ចម្ងាយ \(\displaystyle HB\) ជាគម្លាតរវាងអង្កត់កែងនិងអង្កត់ទ្រេត។
4.2. ការប្រៀបធៀបអង្កត់ទ្រេតនិងអង្កត់កែង
\(\displaystyle \Delta AHB\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(\displaystyle H\) គេបាន
\(\displaystyle \angle H > \angle A\) នាំឱ្យ \(\displaystyle AB > BH\), \(\displaystyle \angle H > \angle B\) នាំឱ្យ \(\displaystyle AB > AH\)
ដូច្នេះក្នុងត្រីកោណកែងអ៊ីប៉ូតេនុសវែងជាងជ្រុងពីរទៀតជាប់នឹងមុំកែង។
អង្កត់កែងមានប្រវែងខ្លីជាងអង្កត់ទ្រេត។
4.3. ការប្រៀបធៀបអង្កត់ទ្រេតនិងអង្កត់ទ្រេត
ចំណុច \(\displaystyle B\) និង \(\displaystyle C\) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ \(\displaystyle \Delta\) និងអង្កត់ \(\displaystyle AH \perp \Delta\)។
- បើ \(\displaystyle HB = HC\) នោះបន្ទាត់ \(\displaystyle AH\) ជាមេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ \(\displaystyle BC\) នាំឱ្យ \(\displaystyle AB = AC\)។
- បើ \(\displaystyle AB = AC\) នោះ \(\displaystyle ABC\) ជាត្រីកោណសមបាត។ គេទាញបានបន្ទាត់ \(\displaystyle AH\) ជាមេដ្យាទ័រនៃបាត \(\displaystyle BC\) ដូច្នេះ \(\displaystyle HB = HC\)។
គេអាចសន្និដ្ឋានដូចខាងក្រោម ៖
- អង្កត់ទ្រេតពីរប៉ុនគ្នាមានគម្លាតស្មើគ្នា
- អង្កត់ទ្រេតពីរដែលមានគម្លាតស្មើគ្នាជាអង្កត់ទ្រេតប៉ុនគ្នា។
បើ \(\displaystyle B\) និង \(\displaystyle C\) ស្ថិតនៅតែម្ខាងនៃចំណុច \(\displaystyle H\) នៅលើបន្ទាត់ \(\displaystyle \Delta\) ដែល \(\displaystyle HB < HC\) (ដូចរូបទី 1)។ ប្រៀបធៀប \(\displaystyle AB\) និង \(\displaystyle AC\)។
ក្នុង \(\displaystyle \Delta AHB\) មាន \(\displaystyle \angle ABC\) ជាមុំក្រៅនៃ \(\displaystyle \angle ABH\) គេបាន \(\displaystyle \angle ABC = 90^\circ + \angle HAB\) ជាមុំទាល
ដូច្នេះក្នុង \(\displaystyle \Delta ABC\) បើ \(\displaystyle \angle ABC > \angle ACB\) នាំឱ្យ \(\displaystyle AC > AB\)។
បើ \(\displaystyle B\) និង \(\displaystyle C\) នៅសងខាង \(\displaystyle H\) (រូបទី 2)
ដៅចំណុច \(\displaystyle C'\) មួយនៅលើបន្ទាត់ \(\displaystyle \Delta\) ដែល \(\displaystyle HC' = HC\) គេបាន \(\displaystyle AC = AC' > AB\)
ដូច្នេះ \(\displaystyle AC > AB\)។
- រវាងអង្កត់ទ្រេតពីរ អង្កត់ទ្រេតមានគម្លាតធំជាអង្កត់ទ្រេតធំ។
- រវាងអង្កត់ទ្រេតពីរ អង្កត់ទ្រេតធំជាអង្កត់ទ្រេតដែលមានគម្លាតធំ។
គេឱ្យ \(\displaystyle ABC\) ជាត្រីកោណមួយដែល \(\displaystyle AB < AC\)។ នៅក្នុងត្រីកោណនេះ គេគូសកម្ពស់ \(\displaystyle AH\) និងមេដ្យាន \(\displaystyle AO\)។ ប្រៀបធៀប \(\displaystyle AH\), \(\displaystyle OA\) និង \(\displaystyle AC\)។
អង្កត់ \(\displaystyle AH\) ជាអង្កត់កែង ហើយ \(\displaystyle AO\) ជាអង្កត់ទ្រេត
គេបាន \(\displaystyle AO > AH \quad (1)\)
ដោយ \(\displaystyle AB < AC\) (សម្មតិកម្ម) ហើយចំណុច \(\displaystyle H\) ឋិតនៅចន្លោះ \(\displaystyle B\) និង \(\displaystyle O\) គេទាញបាន
\(\displaystyle HO < HC\) នាំឱ្យ \(\displaystyle AO < AC \quad (2)\)
តាម \(\displaystyle (1)\) និង \(\displaystyle (2)\) គេបាន \(\displaystyle AH < AO < AC\)។
គេឱ្យអង្កត់ \(\displaystyle AD\), \(\displaystyle BE\) និង \(\displaystyle CF\) ជាកម្ពស់នៃ \(\displaystyle \Delta ABC\)។ បង្ហាញថា \(\displaystyle AB + BC + AC > AD + BE + CF\)។
លំហាត់
គេមាន \(\displaystyle \Delta ABC \cong \Delta DEF\) ដែល \(\displaystyle BC = (2x + 30)\text{ cm}\), \(\displaystyle EF = (5x - 90)\text{ cm}\) គណនា \(\displaystyle BC\)។
ក្នុងរូបខាងក្រោមនេះគេឱ្យ \(\displaystyle PQ = PR\) និង \(\displaystyle \angle PST = \angle PTS\)។ ប្រៀបធៀប \(\displaystyle \Delta PQS\) និង \(\displaystyle \Delta PRT\)។
គេឱ្យ \(\displaystyle MT = MB\) និង \(\displaystyle MA = MO\)។ បង្ហាញថា \(\displaystyle \Delta MTO \cong \Delta MBA\)។
គេឱ្យ \(\displaystyle AB = BC\) និង \(\displaystyle AD = CD\)។ ប្រៀបធៀប \(\displaystyle \Delta AED\) និង \(\displaystyle \Delta CED\)។
គេឱ្យ \(\displaystyle AB \parallel CD\) និង \(\displaystyle TR = TS\)។ បង្ហាញថា \(\displaystyle \Delta ABT \cong \Delta DCT\)។
គេឱ្យ \(\displaystyle \angle BAD = \angle CAD\) និង \(\displaystyle AD \perp BC\)។ បង្ហាញថា \(\displaystyle \Delta ABD \cong \Delta ACD\) និង \(\displaystyle AB = AC\)។
គេឱ្យ \(\displaystyle P\) ជាចំណុចមួយឋិតនៅលើកន្លះបន្ទាត់ពុះនៃ \(\displaystyle \angle A\) របស់ត្រីកោណសមបាត \(\displaystyle ABC\)។ ស្រាយបញ្ជាក់ថា \(\displaystyle PB = PC\)។
\(\displaystyle ABC\) ជាត្រីកោណសមបាតកំពូល \(\displaystyle A\)។ \(\displaystyle M\) និង \(\displaystyle N\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃជ្រុង \(\displaystyle AB\) និង \(\displaystyle AC\) រៀងគ្នា ហើយ \(\displaystyle P\) ជាចំណុចប្រសព្វនៃ \(\displaystyle BN\) និង \(\displaystyle CM\)។ បង្ហាញថា \(\displaystyle \Delta PBC\) ជាត្រីកោណសមបាត។
គេឱ្យ \(\displaystyle AB = CD\) និង \(\displaystyle AC = BD\) ដូចរូបខាងស្តាំ។ ប្រៀបធៀបត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) និង \(\displaystyle BDC\)។
\(\displaystyle ABC\) ជាត្រីកោណមួយ។ កម្ពស់គូសចេញពីកំពូល \(\displaystyle B\) និង \(\displaystyle C\) កាត់ជ្រុងឈម ត្រង់ \(\displaystyle D\) និង \(\displaystyle E\) រៀងគ្នា។ បង្ហាញថាបើ \(\displaystyle BD = CE\) នោះ \(\displaystyle \angle ABC = \angle ACB\)។
គេឱ្យ \(\displaystyle HO \perp OB\) និង \(\displaystyle DB \perp OB\) ហើយ \(\displaystyle OP = BE\) និង \(\displaystyle HO = DB\)។ បង្ហាញថា
- ក. \(\displaystyle \Delta HOE \cong \Delta DBP\)
- ខ. \(\displaystyle \Delta FPE\) ជាត្រីកោណសមបាត។
រូបខាងស្តាំនេះ គេឱ្យ \(\displaystyle AC = BD\) និង \(\displaystyle \angle C = \angle D = 90^\circ\)។ បង្ហាញថា \(\displaystyle BC = AD\) និង \(\displaystyle BC \parallel AD\)។
សរសេរមុំតាមលំដាប់ពីធំទៅតូច ចំពោះត្រីកោណនីមួយៗខាងក្រោម៖
សរសេរជ្រុងតាមលំដាប់ពីវែងទៅខ្លី ចំពោះត្រីកោណនីមួយៗខាងក្រោម៖
\(\displaystyle PQR\) ជាត្រីកោណមួយដែល \(\displaystyle QR > QP\) និង \(\displaystyle PR = PQ\)។ បង្ហាញថា \(\displaystyle \angle P > \angle Q\)។
\(\displaystyle ABC\) ជាត្រីកោណសមបាតកំពូល \(\displaystyle A\)។ គេបន្លាយជ្រុង \(\displaystyle BC\) ឱ្យបាន \(\displaystyle CD = AC\)។ បង្ហាញថា \(\displaystyle \angle ACD > \angle CAD\)។
\(\displaystyle ABC\) ជាត្រីកោណមួយនិង \(\displaystyle AM\) ជាមេដ្យានដែល \(\displaystyle \angle AMB < \angle AMC\)។ បង្ហាញថា \(\displaystyle \angle B > \angle C\)។
\(\displaystyle ABC\) ជាត្រីកោណសមបាតកំពូល \(\displaystyle A\)។ បន្ទាត់គូសចេញពីចំណុច \(\displaystyle A\) ស្របនឹងជ្រុង \(\displaystyle BC\) កាត់បន្ទាត់គូសចេញពី \(\displaystyle C\) ត្រង់ \(\displaystyle D\) ដូចរូបខាងស្តាំ។ បង្ហាញថា \(\displaystyle AD + AB > CD\)។
\(\displaystyle ABC\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(\displaystyle A\)។ កន្លះបន្ទាត់ពុះនៃ \(\displaystyle \angle B\) កាត់ជ្រុង \(\displaystyle AC\) ត្រង់ \(\displaystyle D\)។ \(\displaystyle H\) ជាចំណោលកែងនៃ \(\displaystyle D\) លើបន្ទាត់ \(\displaystyle BC\)។ បង្ហាញថា \(\displaystyle AD < CD\)។
\(\displaystyle ABC\) ជាត្រីកោណមួយមានកម្ពស់ \(\displaystyle AH\)។
- ក. ស្រាយបញ្ជាក់ថា \(\displaystyle AH < \dfrac{AB + AC}{2}\)
- ខ. ស្រាយបញ្ជាក់ថា ផលបូកកម្ពស់ទាំងបីនៃ \(\displaystyle \Delta ABC\) ខ្លីជាងប្រវែងបរិមាត្ររបស់វា។
- \(\displaystyle ABC\) ជាត្រីកោណមួយដែល \(\displaystyle AB = 3\) និង \(\displaystyle AC = 4\)។ ប្រើវិសមភាពត្រីកោណ បង្ហាញថា \(\displaystyle 1 < BC < 7\)។
\(\displaystyle ABC\) ជាត្រីកោណមួយនិង \(\displaystyle M\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃជ្រុង \(\displaystyle BC\)។ \(\displaystyle D\) ជាចំណុចឆ្លុះនៃ \(\displaystyle A\) ធៀបនឹងចំណុច \(\displaystyle M\)។
- ក. ប្រៀបធៀប \(\displaystyle \Delta ABM\) និង \(\displaystyle \Delta DCM\)
- ខ. ស្រាយបញ្ជាក់ថា \(\displaystyle \dfrac{AB - AC}{2} < AM < \dfrac{AC + AB}{2}\)។
- ក. ប្រើបន្ទាត់និងដែកឈានសង់រូបខាងក្រោម
- ខ. តើចំណុច \(\displaystyle D\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle E\) រត់ត្រង់ជួរគ្នាឬទេ? (បញ្ជាក់ ៖ គណនា \(\displaystyle \angle DCE\))
- ក្នុងត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) កន្លះបន្ទាត់ពុះនៃ \(\displaystyle \angle B\) និង \(\displaystyle \angle C\) ប្រសព្វគ្នាត្រង់ \(\displaystyle I\)។ តាម \(\displaystyle I\) គេគូសបន្ទាត់មួយស្របនឹងបន្ទាត់ \(\displaystyle BC\) ហើយកាត់បន្ទាត់ \(\displaystyle AB\) ត្រង់ \(\displaystyle D\) និង \(\displaystyle AC\) ត្រង់ \(\displaystyle E\)។ ស្រាយបញ្ជាក់ថា \(\displaystyle DE = BD + CE\)។
- ក្នុងត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) កន្លះបន្ទាត់ពុះនៃ \(\displaystyle \angle A\) ប្រសព្វ \(\displaystyle BC\) ត្រង់ចំណុច \(\displaystyle D\)។ បន្ទាត់មួយដែលគូសចេញពី \(\displaystyle C\) ហើយស្របនឹងបន្ទាត់ \(\displaystyle AD\) កាត់បន្ទាត់ \(\displaystyle BA\) ត្រង់ \(\displaystyle E\)។ បង្ហាញថា \(\displaystyle AE = AC\)។
ក្នុងរូបខាងក្រោមបន្ទាត់ \(\displaystyle d\) និង \(\displaystyle d'\) ជាបន្ទាត់ស្របគ្នា។
- ក. គណនារង្វាស់នៃ \(\displaystyle \angle ABM\) និង \(\displaystyle \angle MBC\)
- ខ. បង្ហាញថា \(\displaystyle M\) ឋិតនៅស្មើចម្ងាយពីបន្ទាត់ \(\displaystyle d\), \(\displaystyle d'\) និង \(\displaystyle AB\)។
គេដឹងថា \(\displaystyle \angle BAC = 90^\circ\), \(\displaystyle \angle ABC = 60^\circ\) និង \(\displaystyle \angle BCE = 90^\circ\)។ ម្យ៉ាងទៀត \(\displaystyle \angle BDA = \angle DAB\) និង \(\displaystyle \angle CAE = \angle CEA\)។
- ក. គណនា \(\displaystyle \angle BCA\), \(\displaystyle \angle ACE\), \(\displaystyle \angle CAE\), \(\displaystyle \angle DBA\) និង \(\displaystyle \angle BAD\)
- ខ. ស្រាយបញ្ជាក់ថាចំណុច \(\displaystyle D\), \(\displaystyle A\), \(\displaystyle E\) រត់ត្រង់ជួរគ្នា។
\(\displaystyle ABC\) ជាត្រីកោណមួយ។ កន្លះបន្ទាត់ពុះនៃ \(\displaystyle \angle B\) និង \(\displaystyle \angle C\) កាត់បន្ទាត់ដែលគូសចេញពី \(\displaystyle A\) ស្របនឹងបន្ទាត់ \(\displaystyle BC\) ត្រង់ \(\displaystyle D\) និង \(\displaystyle E\) រៀងគ្នា។ ស្រាយបញ្ជាក់ថា
- ក. \(\displaystyle \Delta AEC\) និង \(\displaystyle \Delta ABD\) ជាត្រីកោណសមបាត
- ខ. \(\displaystyle DE = AB + AC\)។
ក្នុង \(\displaystyle RTV\) និង \(\displaystyle STU\) ជាបន្ទាត់ពីរដែល \(\displaystyle RT = VT\), \(\displaystyle ST = UT\), \(\displaystyle RS = 4\text{ cm}\), \(\displaystyle \angle SRT = 80^\circ\)
- ក. ស្រាយបំភ្លឺថា \(\displaystyle \Delta RST \cong \Delta VUT\)
- ខ. រកប្រវែង \(\displaystyle UV\)
- គ. រករង្វាស់មុំ \(\displaystyle \angle UVT\)
- ឃ. ម្យ៉ាងទៀត \(\displaystyle RS = UV\) យើងអាចសន្និដ្ឋានដូចម្ដេចចំពោះបន្ទាត់ \(\displaystyle RS\) និង \(\displaystyle UV\)។
គេឱ្យ \(\displaystyle \Delta ABC\) និង \(\displaystyle \Delta CDE\)។ រកតម្លៃ \(\displaystyle x\) ដើម្បីឱ្យប្រវែង \(\displaystyle AB\) និង \(\displaystyle CD\) មានប្រវែងស្មើគ្នា។
គេឱ្យ \(\displaystyle GH = JI\), \(\displaystyle GI = JH\)
- ក. បង្ហាញថាត្រីកោណ \(\displaystyle \Delta GHI \cong \Delta HJI\)
- ខ. បើ \(\displaystyle \angle HJI = 60^\circ\), \(\displaystyle \angle GIH = 40^\circ\) រក \(\displaystyle \angle GHI\)។
គេឱ្យ \(\displaystyle P\) និង \(\displaystyle Q\) ជាពីរចំណុចនៅលើ \(\displaystyle [OA)\) និង \(\displaystyle [OB)\) នៃ \(\displaystyle \angle AOB\) រៀងគ្នាដែល \(\displaystyle OP = OQ\) ប្រើកែងសង់បន្ទាត់កែងនឹង \(\displaystyle [OA)\) និង \(\displaystyle [OB)\) ត្រង់ \(\displaystyle P\) និង \(\displaystyle Q\) រៀងគ្នា។ បន្ទាត់កែងទាំងពីរនេះជួបគ្នាត្រង់ \(\displaystyle C\)។ ពន្យល់ថាហេតុអ្វីបានជា \(\displaystyle OC\) ជាកន្លះបន្ទាត់ពុះ \(\displaystyle \angle AOB\)។
គេឱ្យ \(\displaystyle PQ \parallel RS\), \(\displaystyle PQ = RS\), \(\displaystyle PR = 5\text{ cm}\) និង \(\displaystyle \angle QSR = 50^\circ\)
- ក. បង្ហាញថា \(\displaystyle \Delta PQR \cong \Delta RSQ\)
- ខ. រកប្រវែង \(\displaystyle QS\) និង \(\displaystyle \angle QPR\)។
\(\displaystyle ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាម (ប្រើបីរបៀបខុសៗគ្នា) ដើម្បីស្រាយបំភ្លឺថា \(\displaystyle \Delta ABC\) និង \(\displaystyle \Delta CDA\) ប៉ុនគ្នា។
ខ្លឹមសារ៖ សៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី៨ របស់ក្រសួងអប់រំ យុវជន និងកីឡា · វាយអត្ថបទ គូររូបភាពឡើងវិញ និងរៀបចំលើអនឡាញដោយលោកគ្រូ សាន សុខលី សម្រាប់ការសិក្សាដោយឥតគិតថ្លៃ និងមិនរកប្រាក់ចំណេញ។ មិនមែនជាការបោះពុម្ពផ្លូវការរបស់ក្រសួងទេ។