មេរៀនទី ៥ វិសមីការដឺក្រេទី១មានមួយអញ្ញាត — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ៩

✓គោលបំណងសិក្សា

ស្រាយបញ្ជាក់វិសមភាពងាយៗបានយ៉ាងត្រឹមត្រូវ។
ដោះស្រាយវិសមីការ និងប្រព័ន្ធវិសមីការដឺក្រេទី១មានមួយអញ្ញាត។
បកស្រាយ និងដោះស្រាយចំណោទដែលទាក់ទងនឹងវិសមីការ។

WWARM UP

រំលឹកចំណេះដឹង
សួស្ដីប្អូនៗ! នៅក្នុងមេរៀនមុន យើងបានរៀនពីរបៀបដោះស្រាយ សមីការ ដែលមានសញ្ញាស្មើ ($\displaystyle =$) ដូចជា $\displaystyle x + 4 = 7$ មានន័យថាអង្គទាំងពីរមានទម្ងន់ស្មើគ្នាបេះបិទ។
ចុះបើអង្គម្ខាងធ្ងន់ជាងអង្គម្ខាងទៀតវិញ តើយើងត្រូវធ្វើដូចម្តេច?

ឧទាហរណ៍៖ បើយើងមានទម្ងន់ $\displaystyle x+4$ ស្រាលជាង $\displaystyle 7$ នោះយើងសរសេរបានជា $\displaystyle x + 4 < 7$។

នេះហើយដែលយើងហៅថា វិសមីការ! តោះយើងទៅសិក្សាពីលក្ខណៈរបស់វាទាំងអស់គ្នា។

១. លក្ខណៈនៃវិសមភាព

iងាយយល់

ងាយយល់
វិសមភាព ប្រៀបបាននឹងជញ្ជីងដែលទោរទៅម្ខាង! សញ្ញាវិសមភាពមានដូចជា៖

$\displaystyle >$ (ធំជាង) និង $\displaystyle <$ (តូចជាង)
$\displaystyle \ge$ (ធំជាង ឬស្មើ) និង $\displaystyle \le$ (តូចជាង ឬស្មើ)

តើមានអ្វីកើតឡើងបើកូនជញ្ជីងមិនស្មើគ្នា ហើយយើងថែម ឬដកទម្ងន់ស្មើគ្នាពីអង្គទាំងសងខាង? ជញ្ជីងនៅតែទោរទៅខាងដដែល!

១ឧទាហរណ៍ទី ១

ឧទាហរណ៍ទី ១៖ តើមានអ្វីកើតឡើងបើគ្រូបូក ឬដកចំនួនតែមួយទៅលើអង្គទាំងសងខាងនៃវិសមភាព?

គិតមុនគូ
ឧបមាថា $\displaystyle 4 > 3$ ។ បើយើងបូក $\displaystyle 6$ ទៅអង្គទាំងសងខាង តើវានៅតែពិតឬទេ?

តោះ! អនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖

\[4 + 6 > 3 + 6 \quad \Rightarrow \quad 10 > 9 \quad \text{(ពិត)}\]

ចុះបើយើងដក $\displaystyle 2$ វិញ?

\[4 - 2 > 3 - 2 \quad \Rightarrow \quad 2 > 1 \quad \text{(ពិត)}\]

ដូចនេះ
វិសមភាពនៅតែរក្សាទិសដៅដដែល!

លក្ខណៈ

ជាទូទៅ៖ បើគេបូក ឬដកចំនួនតែមួយលើអង្គទាំងពីរនៃវិសមភាព គេបានវិសមភាពថ្មីដែលមានទិសដៅដូចវិសមភាពដើម។

\[\text{បើ } a > b \text{ នោះ } \begin{cases} a + c > b + c \\ a - c > b - c \end{cases}\]

២ឧទាហរណ៍ទី ២

ឧទាហរណ៍ទី ២៖ ចុះបើយើងគុណ ឬចែកវិញ តើវានៅតែរក្សាទិសដៅដូចការបូកដកដែរឬទេ? ឧបមាថា $\displaystyle 7 > 5$ និង $\displaystyle 8 > 6$ ។

គិតមុនគូ
តោះយើងសាកល្បងយកវិសមភាពមកគុណនិងចែក ជាមួយនឹងចំនួនវិជ្ជមានផង និងអវិជ្ជមានផង ដើម្បីរង់ចាំមើលថាតើមានរឿងអ្វីកើតឡើង!

តោះ! អនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖
ករណីគុណ/ចែក នឹងចំនួនវិជ្ជមាន៖

\[\begin{aligned} 7 \times 3 &> 5 \times 3 &\Rightarrow& 21 > 15 \quad &\text{(គុណនឹង } 3 > 0 \text{ វិសមភាពរក្សាទិសដៅដដែល)} \\ 8 \div 2 &> 6 \div 2 &\Rightarrow& 4 > 3 \quad &\text{(ចែកនឹង } 2 > 0 \text{ វិសមភាពរក្សាទិសដៅដដែល)} \end{aligned}\]

ករណីគុណ/ចែក នឹងចំនួនអវិជ្ជមាន៖

\[\begin{aligned} 7 \times (-3) &< 5 \times (-3) &\Rightarrow& -21 < -15 \quad &\text{(គុណនឹង } -3 < 0 \text{ វិសមភាពប្ដូរទិសដៅ!)} \\ 8 \div (-2) &< 6 \div (-2) &\Rightarrow& -4 < -3 \quad &\text{(ចែកនឹង } -2 < 0 \text{ វិសមភាពប្ដូរទិសដៅ!)} \end{aligned}\]

×កុំច្រឡំ

ចំណុចដែលសិស្សតែងតែច្រឡំញឹកញាប់ (ប្រយ័ត្នសញ្ញាដក!)
ប្អូនៗត្រូវចាំទុកក្នុងចិត្តជានិច្ចណា៎! ពេលដែលយើងគុណ ឬចែកអង្គទាំងសងខាងនៃវិសមីការនឹង ចំនួនអវិជ្ជមាន យើងត្រូវតែ ត្រឡប់សញ្ញាវិសមភាព ជានិច្ច!

ពី $\displaystyle >$ ត្រឡប់ទៅ $\displaystyle <$
ពី $\displaystyle <$ ត្រឡប់ទៅ $\displaystyle >$
ពី $\displaystyle \ge$ ត្រឡប់ទៅ $\displaystyle \le$
ពី $\displaystyle \le$ ត្រឡប់ទៅ $\displaystyle \ge$

បើមិនត្រឡប់ទេ វិសមភាពនឹងក្លាយជាមិនពិត! ឧទាហរណ៍ $\displaystyle 2 < 5$ បើគុណនឹង $\displaystyle -1$ គឺ $\displaystyle -2 > -5$។

លក្ខណៈ

ជាទូទៅ៖

បើគេគុណ ឬចែកអង្គទាំងពីរនៃវិសមភាពនឹង ចំនួនវិជ្ជមាន តែមួយ គេបានវិសមភាពថ្មីដែលមាន ទិសដៅដូច វិសមភាពដើម។
បើគេគុណ ឬចែកអង្គទាំងពីរនៃវិសមភាពនឹង ចំនួនអវិជ្ជមាន តែមួយ គេបានវិសមភាពថ្មីដែលមាន ទិសដៅផ្ទុយ ពីវិសមភាពដើម។

\[\text{បើ } c > 0, \quad a > b \Rightarrow \begin{cases} ac > bc \\ \frac{a}{c} > \frac{b}{c} \end{cases}\]

\[\text{បើ } c < 0, \quad a > b \Rightarrow \begin{cases} ac < bc \\ \frac{a}{c} < \frac{b}{c} \end{cases}\]

៣ឧទាហរណ៍ទី ៣

លំហាត់គំរូទី 3 : គេឱ្យ $\displaystyle a$ និង $\displaystyle b$ ជាចំនួនខុសពីសូន្យ។ ចូរស្រាយបញ្ជាក់ថា៖

$\displaystyle a^2 + b^2 \ge 2ab$
បើ $\displaystyle a$ និង $\displaystyle b$ មានសញ្ញាដូចគ្នា នោះ $\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$

គិតមុនគូ
អាថ៌កំបាំងសម្រាប់ការស្រាយបញ្ជាក់វិសមភាព គឺយើងតែងតែផ្តើមចេញពីសមភាព ឬវិសមភាព! ឧទាហរណ៍៖ ការេនៃចំនួនមួយវិជ្ជមានជានិច្ច $\displaystyle (x^2 \ge 0)$។ ដូច្នេះ បើយើងយក $\displaystyle (a - b)^2 \ge 0$ មកពន្លាត នោះយើងប្រាកដជានឹងទាញបានលទ្ធផលដែលចង់បានមិនខាន។

តោះ! អនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖

យើងមាន $\displaystyle (a - b)^2 \ge 0$
ពន្លាតកន្សោមយើងបាន៖ $\displaystyle a^2 - 2ab + b^2 \ge 0$
បូកអង្គទាំងពីរនឹង $\displaystyle 2ab$ យើងបាន៖
\[a^2 + b^2 - 2ab + 2ab \ge 2ab\]
ដូចនេះ $\displaystyle \boxed{a^2 + b^2 \ge 2ab}$
ដោយប្រើលទ្ធផលខាងលើ $\displaystyle a^2 + b^2 \ge 2ab$។
បើ $\displaystyle a$ និង $\displaystyle b$ មានសញ្ញាដូចគ្នានោះ ផលគុណរបស់វា $\displaystyle ab > 0$។
ចែកអង្គទាំងពីរនៃវិសមភាពនឹង $\displaystyle ab > 0$ វិសមភាព មិនប្ដូរទិសដៅ ទេ៖
\[\frac{a^2 + b^2}{ab} \ge \frac{2ab}{ab} \quad \Rightarrow \quad \frac{a^2}{ab} + \frac{b^2}{ab} \ge 2 \quad \Rightarrow \quad \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\]
ដូចនេះ $\displaystyle \boxed{\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2}$

៤ឧទាហរណ៍ទី ៤

លំហាត់គំរូទី 4 : $\displaystyle a$ និង $\displaystyle b$ ជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន។ ចូរស្រាយបញ្ជាក់ថា $\displaystyle (a+b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \ge 4$ ។

គិតមុនគូ
នៅទីនេះ យើងអាចគុណពន្លាតកន្សោមនៅអង្គទី១សិន។ បន្ទាប់មក យើងអាចយកលទ្ធផលពីលំហាត់គំរូទី 3.ខ គឺ $\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$ មកជួយស្រាយបញ្ជាក់!

តោះ! អនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖
មុនដំបូង គ្រូសុំយកកន្សោមនេះមកគុណពន្លាតវង់ក្រចកសិន។ មើលណា៎ ពេលយើងគុណបំបែកចូលគ្នា៖

\[\begin{aligned} (a+b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) &= a \cdot \frac{1}{a} + a \cdot \frac{1}{b} + b \cdot \frac{1}{a} + b \cdot \frac{1}{b} \\ &= 1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 1 \\ &= 2 + \left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right) \end{aligned}\]

ឃើញទេប្អូនៗ? លទ្ធផលក្រោយពេលពន្លាតគឺមានផុសចេញនូវកន្សោម $\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$! តើប្អូនៗនៅចាំលទ្ធផលពីលំហាត់គំរូទី 3.ខ ទេ? យើងទើបតែបានស្រាយបញ្ជាក់រួចមកហើយថា ចំពោះគ្រប់ចំនួនវិជ្ជមាន ផលបូកនេះគឺជានិច្ចកាល $\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$ ។
ដូច្នេះ ដើម្បីទទួលបានទម្រង់ដើមមកវិញ គ្រូគ្រាន់តែយកវិសមភាពនេះ មកបូកថែមលេខ 2 ទៅលើអង្គទាំងសងខាង៖

\[\begin{aligned} 2 + \left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right) &\ge 2 + 2 \\ (a+b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) &\ge 4 \end{aligned}\]

ដូចនេះ $\displaystyle \boxed{(a+b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \ge 4}$

៥ឧទាហរណ៍ទី ៥

លំហាត់គំរូទី 5 (លំហាត់កម្រិតសិស្សពូកែ!) : ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $\displaystyle a, b,$ និង $\displaystyle c$
ចូរស្រាយបញ្ជាក់ថា $\displaystyle a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca$ ។

គិតមុនគូ
អាថ៌កំបាំងមួយទៀត! បើឃើញមាន $\displaystyle ab, bc, ca$ គឺវាតែងតែពាក់ព័ន្ធនឹងរូបមន្ត $\displaystyle (x-y)^2$ ។ បើយើងគុណអង្គទាំងសងខាងនៃវិសមភាពខាងលើនេះនឹងលេខ $\displaystyle 2$ នោះយើងប្រាកដជាអាចបំបែកវាជាផលបូកនៃការេបាន!

តោះ! អនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖
ក្បួនដ៏មានប្រសិទ្ធភាពបំផុត គឺយើងត្រូវផ្តើមចេញពីសច្ចភាព! គ្រូសុំលើកយកការេនៃផលដក ចំនួនបីគូ មកសរសេរ ព្រោះវាតែងតែវិជ្ជមានជានិច្ច $\displaystyle (x^2 \ge 0)$៖

\[\begin{aligned} (a - b)^2 &\ge 0 \quad \Rightarrow \quad a^2 - 2ab + b^2 \ge 0 \\ (b - c)^2 &\ge 0 \quad \Rightarrow \quad b^2 - 2bc + c^2 \ge 0 \\ (c - a)^2 &\ge 0 \quad \Rightarrow \quad c^2 - 2ca + a^2 \ge 0 \end{aligned}\]

បន្ទាប់មក គ្រូនឹងយកវិសមភាពទាំងបីនេះមកបូកបញ្ចូលគ្នា (អង្គឆ្វេងបូកអង្គឆ្វេង អង្គស្តាំបូកអង្គស្តាំ)៖

\[\begin{aligned} (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2) &\ge 0 \\ (a^2 + a^2) + (b^2 + b^2) + (c^2 + c^2) - 2ab - 2bc - 2ca &\ge 0 \\ 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca &\ge 0 \end{aligned}\]

ប្អូនៗសង្កេតឃើញទេថា តួគ្រប់យ៉ាងសុទ្ធតែមានលេខ 2 នៅពីមុខ? អញ្ចឹងគ្រូសម្រួលវាដោយចែកអង្គទាំងពីរនឹង 2 (ដោយសារ 2 ជាចំនួនវិជ្ជមាន វិសមភាពរក្សាទិសដៅដដែលណា៎!)៖

\[a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \ge 0\]

ចុងក្រោយ យើងគ្រាន់តែបោះតួដែលមានសញ្ញាដកទាំងអស់ ឆ្លងទៅអង្គម្ខាងទៀត ជាការស្រេច!

\[a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca\]

ដូចនេះ $\displaystyle \boxed{a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca}$

១សាកល្បងខ្លួនឯងទី ១

សាកល្បងខ្លួនឯង
ចូរប្រើប្រាស់ចំណេះដឹងខាងលើ ដើម្បីស្រាយបញ្ជាក់វិសមភាពខាងក្រោម៖

$\displaystyle a$ និង $\displaystyle b$ ជាចំនួនមិនសូន្យហើយវិជ្ជមាន។ ចូរស្រាយបញ្ជាក់ថា បើ $\displaystyle a > b$ គេបាន $\displaystyle a^2 > b^2$ ។
បង្ហាញថាបើ $\displaystyle x > 0$ នោះ $\displaystyle x + \frac{1}{x} \ge 2$ ។
(គន្លឹះ៖ សាកល្បងប្រើលទ្ធផលពីលំហាត់គំរូទី 3.ខ ដោយតាង $\displaystyle a=x$ និង $\displaystyle b=1$)
បង្ហាញថាបើ $\displaystyle a$ និង $\displaystyle b$ ជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន នោះ $\displaystyle 2(a^2 + b^2) \ge (a+b)^2$ ។
(គន្លឹះ៖ ពន្លាតអង្គទី២ រួចប្រើលទ្ធផលពីលំហាត់គំរូទី 3.ក)

២. វិសមីការដឺក្រេទី១ មានមួយអញ្ញាត

ក. វិសមីការនិងចម្លើយ

សមីការ៖ រក $\displaystyle x$ ដែល $\displaystyle x + 4 = 7$ ជាសមីការដែលមានចម្លើយតែមួយគត់គឺ $\displaystyle x = 7 - 4 = 3$ ។
វិសមីការ៖ រក $\displaystyle x$ ដែល $\displaystyle x + 4 < 7$ ជាវិសមីការដឺក្រេទី១ មានមួយអញ្ញាត $\displaystyle x$ ។

ប្អូនៗឃើញទេ? សម្រាប់វិសមីការ ចម្លើយមិនមែនមានតែមួយលេខនោះទេ! តម្លៃ $\displaystyle x$ ណាដែលយកមកជំនួសហើយធ្វើឱ្យវិសមភាពនោះពិត សុទ្ធតែជាចម្លើយទាំងអស់។ សាកល្បងជំនួសលេខមើល៍៖

បើ $\displaystyle x = 4 \Rightarrow 4 + 4 < 7 \Rightarrow 8 < 7$ (មិនពិត) $\displaystyle \rightarrow$ អញ្ចឹង $\displaystyle x = 4$ មិនមែនជាចម្លើយទេ។
បើ $\displaystyle x = 3 \Rightarrow 3 + 4 < 7 \Rightarrow 7 < 7$ (មិនពិត) $\displaystyle \rightarrow$ $\displaystyle x = 3$ ក៏មិនមែនជាចម្លើយដែរ។
បើ $\displaystyle x = 2 \Rightarrow 2 + 4 < 7 \Rightarrow 6 < 7$ (ពិត) $\displaystyle \rightarrow$ អាហ្នឹងហើយ! $\displaystyle x = 2$ ជាចម្លើយ!
បើ $\displaystyle x = 1 \Rightarrow 1 + 4 < 7 \Rightarrow 5 < 7$ (ពិត) $\displaystyle \rightarrow$ $\displaystyle x = 1$ ក៏ជាចម្លើយដែរ។

ដូចនេះ មានតម្លៃ $\displaystyle x$ រាប់មិនអស់ (ឱ្យតែតូចជាង $\displaystyle 3$) ដែលអាចជាចម្លើយ! យើងអាចសរសេរចម្លើយជាវិសមភាពគឺ $\displaystyle x < 3$ ។ ដើម្បីឱ្យកាន់តែងាយស្រួលមើល គ្រូនឹងបង្ហាញពីរបៀបគូសចម្លើយនៅលើ បន្ទាត់ចំនួន ដូចខាងក្រោម៖

★គន្លឹះ

គន្លឹះពិសេសពីគ្រូ៖ របៀបគូសក្រាបឱ្យបានរហ័ស និងមិនច្រឡំ!

នៅពេលគូសបន្ទាត់ចម្លើយ សិស្សភាគច្រើនតែងតែច្រឡំទិសដៅ និងការងាកវង់ក្រចក។ សាកល្បងប្រើគន្លឹះនេះ៖

ក្បួនដៃឆ្វេងស្តាំ៖
លើកដៃស្តាំឡើង កែងដៃទៅស្តាំ វារៀងដូចសញ្ញា $\displaystyle >$ ។ អញ្ចឹងបើ $\displaystyle x > 3$ បន្ទាត់ដិតត្រូវរត់ទៅខាងស្តាំ!
លើកដៃឆ្វេងឡើង កែងដៃទៅឆ្វេង វារៀងដូចសញ្ញា $\displaystyle <$ ។ អញ្ចឹងបើ $\displaystyle x < 3$ បន្ទាត់ដិតត្រូវរត់ទៅខាងឆ្វេង!
ក្បួនវង់ក្រចក/ដង្កៀប៖ $\displaystyle (, ), [, ]$ ត្រូវតែហាមាត់ ទៅរកបន្ទាត់ដិតជានិច្ច! ប្រៀបដូចជាវាកំពុងស៊ីបន្ទាត់ដិតអញ្ចឹង ។
ប្រើវង់ក្រចក $\displaystyle ($ សម្រាប់ $\displaystyle <$ ឬ $\displaystyle >$ (មិនយកតម្លៃត្រង់នោះ) ហើយប្រើដង្កៀប $\displaystyle [$ សម្រាប់ $\displaystyle \le$ ឬ $\displaystyle \ge$ (យកតម្លៃត្រង់នោះ)។

ខ. របៀបដោះស្រាយវិសមីការ

ឥឡូវនេះ យើងមកមើលពីរបៀបដោះស្រាយវិសមីការវិញម្តង! វិធីសាស្ត្រគឺដូចគ្នាបេះបិទទៅនឹងការដោះស្រាយសមីការដែលប្អូនៗធ្លាប់រៀនអញ្ចឹងដែរ (បោះឆ្លងសញ្ញាដូរ...) គ្រាន់តែមានលក្ខខណ្ឌពិសេសមួយគត់ដែលគ្រូធ្លាប់បានរំលឹកពីខាងដើម គឺ៖ ប្រយ័ត្នសញ្ញាដកពេលគុណនិងចែកណា៎!

៦ឧទាហរណ៍ទី ៦

លំហាត់គំរូទី 1 : ដោះស្រាយវិសមីការ $\displaystyle -3x + 1 < 7$

គិតមុនគូ
យើងត្រូវបោះលេខ $\displaystyle 1$ ទៅអង្គម្ខាងទៀត រួចចែកនឹង $\displaystyle -3$។ ដោយសារ $\displaystyle -3$ ជាចំនួនអវិជ្ជមាន យើងត្រូវប្រយ័ត្នប្ដូរសញ្ញាវិសមភាព!

តោះ! អនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖

\[\begin{aligned} -3x + 1 &< 7 \\ -3x &< 7 - 1 \quad \text{(បោះ } 1 \text{ ទៅអង្គទីពីរ)} \\ -3x &< 6 \\ x &> \frac{6}{-3} \quad \text{(ចែកនឹង } -3 < 0 \text{ ត្រូវប្ដូរសញ្ញា $<$ ទៅ $>$)} \\ x &> -2 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ចម្លើយនៃវិសមីការគឺ $\displaystyle \boxed{x > -2}$

នេះជារបៀបគូសចម្លើយជាក្រាបលើបន្ទាត់ចំនួន៖

៧ឧទាហរណ៍ទី ៧

លំហាត់គំរូទី 2 : ដោះស្រាយវិសមីការ $\displaystyle 2x - 4 \le x + 4$

តោះ! អនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖

\[\begin{aligned} 2x - 4 &\le x + 4 \\ 2x - x &\le 4 + 4 \quad \text{(បោះតួមានអញ្ញាតមកអង្គទី១ និងចំនួនថេរទៅអង្គទី២)} \\ x &\le 8 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ចម្លើយនៃវិសមីការគឺ $\displaystyle \boxed{x \le 8}$

នេះជារបៀបគូសចម្លើយជាក្រាបលើបន្ទាត់ចំនួន៖

(ប្រើដង្កៀប $\displaystyle ]$ ព្រោះមានសញ្ញា $\displaystyle \le$)

៨ឧទាហរណ៍ទី ៨

លំហាត់គំរូទី 3 (ករណីពិសេស!) : ចូរដោះស្រាយវិសមីការ៖
ក. $\displaystyle 3x + 2x + 5 < 8x + 4 - 3x$ ខ. $\displaystyle 4x + 2 \le 6x + 2 - 2x$

តោះ! អនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖
ក. $\displaystyle 3x + 2x + 5 < 8x + 4 - 3x$

\[\begin{aligned} 5x + 5 &< 5x + 4 \\ 5x - 5x &< 4 - 5 \\ 0x &< -1 \end{aligned}\]

វិភាគ៖ តើមានតម្លៃ $\displaystyle x$ ណាមួយដែលគុណនឹង $\displaystyle 0$ ហើយអាចតូចជាង $\displaystyle -1$ ទេ? គ្មានទេ!
ដូចនេះ វិសមីការគ្មានចម្លើយទេ (មិនបាច់បកស្រាយជាក្រាប)។

ខ. $\displaystyle 4x + 2 \le 6x + 2 - 2x$

\[\begin{aligned} 4x + 2 &\le 4x + 2 \\ 4x - 4x &\le 2 - 2 \\ 0x &\le 0 \end{aligned}\]

វិភាគ៖ ទោះបីជា $\displaystyle x$ យកតម្លៃណាក៏ដោយ ក៏លទ្ធផលវានៅតែស្មើនឹង $\displaystyle 0 \le 0$ ដែលជាការណ៍ពិតជានិច្ច។
ដូចនេះ វិសមីការមានចម្លើយចំពោះគ្រប់តម្លៃនៃ $\displaystyle x$ ក្នុង $\displaystyle \mathbb{R}$។

ចម្លើយជាក្រាបគឺបន្ទាត់ចំនួនទាំងមូល៖

២សាកល្បងខ្លួនឯងទី ២

សាកល្បងខ្លួនឯង
ចូរដោះស្រាយវិសមីការខាងក្រោម និងសង់ក្រាបនៃចម្លើយ៖

$\displaystyle \frac{x}{4} + 2 > 7$
$\displaystyle 2(x + 3) > 5x + 5$
$\displaystyle 0.37x + 0.17 > 3.5$

៣. ប្រព័ន្ធវិសមីការដឺក្រេទី១ មានមួយអញ្ញាត

ចុះបើគ្រូដាក់វិសមីការពីរឱ្យប្អូនៗដោះស្រាយក្នុងពេលតែមួយវិញ តើយើងត្រូវធ្វើដូចម្តេច? ការដាក់វិសមីការពីរឬច្រើនផ្គុំចូលគ្នា គេហៅថា «ប្រព័ន្ធវិសមីការ»។

ការដោះស្រាយវាគឺសាមញ្ញណាស់! ប្អូនៗគ្រាន់តែដោះស្រាយវិសមីការនីមួយៗដាច់ដោយឡែកពីគ្នា រួចយកចម្លើយទាំងពីរមកគូសត្រួតស៊ីគ្នានៅលើក្រាបតែមួយ។ តំបន់ណាដែលវាជាន់គ្នា (ប្រសព្វគ្នា) នោះហើយជាចម្លើយរួមរបស់វា! តោះមើលការអនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖

៩ឧទាហរណ៍ទី ៩

លំហាត់គំរូទី 1 : រកមួយចំនួនបើថែមនឹង 5 ត្រូវធំជាង 10 ហើយពីរដងនៃចំនួននោះតូចជាង 30 ។

គិតមុនគូ
ជាដំបូង យើងត្រូវបកប្រែប្រធានបទដែលគេសរសេរជាអក្សរ ទៅជាភាសាគណិតវិទ្យា (វិសមីការ) ពីរសិន។ បន្ទាប់មកយើងគ្រាន់តែដោះស្រាយវា រួចយកចម្លើយទាំងពីរមកត្រួតស៊ីគ្នានៅលើក្រាបតែមួយ ជាការស្រេច!

តោះ! អនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖

ថែម 5 លើចំនួននោះត្រូវធំជាង 10 បកស្រាយដោយវិសមីការ (1): $\displaystyle x + 5 > 10$
ពីរដងនៃមួយចំនួននោះតូចជាង 30 បកស្រាយដោយវិសមីការ (2): $\displaystyle 2x < 30$

យើងបានប្រព័ន្ធវិសមីការ $\displaystyle \begin{cases} x + 5 > 10 & (1) \\ 2x < 30 & (2) \end{cases}$

ចំពោះវិសមីការ (1): $\displaystyle x + 5 > 10 \Rightarrow x > 5$

ចំពោះវិសមីការ (2): $\displaystyle 2x < 30 \Rightarrow x < 15$

ចម្លើយរួម (ប្រសព្វនៃចម្លើយទាំងពីរ)៖
គន្លឹះទាញរកតំបន់ប្រសព្វ៖ ពេលគូសបន្ទាត់រួច ដើម្បីកុំឱ្យវង្វេង ប្អូនៗគ្រាន់តែទម្លាក់ខ្សែបន្ទាត់ឈរពីចំណុចព្រំដែន ($\displaystyle 5$ និង $\displaystyle 15$) ចុះមកក្រោម។ តំបន់ណាដែលមាន បន្ទាត់ដិតទាំងពីរជាន់គ្នា ទីនោះហើយជាចម្លើយរួម!

ផ្អែកលើក្រាប តំបន់ដែលបន្ទាត់ទាំងពីរត្រួតស៊ីគ្នា គឺនៅចន្លោះលេខ 5 និង 15។ យើងអាចសរសេរផ្តុំគ្នាបានថា $\displaystyle 5 < x < 15$។

ដូចនេះ ចម្លើយគឺ $\displaystyle \boxed{5 < x < 15}$

១០ឧទាហរណ៍ទី ១០

លំហាត់គំរូទី 2 : ចូរដោះស្រាយប្រព័ន្ធវិសមីការ $\displaystyle \begin{cases} 2x + 5 \ge 5x - 4 & (1) \\ x - 7 \ge 2x - 3 & (2) \end{cases}$ ។

តោះ! អនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖
ដោះស្រាយវិសមីការទី (1):

\[\begin{aligned} 2x + 5 &\ge 5x - 4 \\ 2x - 5x &\ge -4 - 5 \\ -3x &\ge -9 \\ x &\le 3 \end{aligned}\]

ដោះស្រាយវិសមីការទី (2):

\[\begin{aligned} x - 7 &\ge 2x - 3 \\ x - 2x &\ge -3 + 7 \\ -x &\ge 4 \\ x &\le -4 \end{aligned}\]

ឥឡូវយើងយកចម្លើយទាំងពីរមកគូសត្រួតស៊ីគ្នាលើបន្ទាត់ចំនួនតែមួយ ដើម្បីរាវរកចម្លើយរួម៖

ដូចដែលប្អូនៗឃើញផ្ទាល់នឹងភ្នែក! តំបន់ដែលបន្ទាត់ពណ៌ខៀវ និងពណ៌ក្រហមរត់ត្រួតលើគ្នា គឺចាប់ផ្តើមពីចំណុច $\displaystyle -4$ ចុះទៅក្រោមរហូត។ ដូច្នេះចម្លើយរួមរបស់យើង គឺត្រូវតែតូចជាង ឬស្មើ $\displaystyle -4$ !

ដូចនេះ ចម្លើយនៃប្រព័ន្ធវិសមីការគឺ $\displaystyle \boxed{x \le -4}$

១១ឧទាហរណ៍ទី ១១

លំហាត់គំរូទី 3 (ចំណុចដែលសិស្សឧស្សាហ៍ច្រឡំ!) :
ចូរដោះស្រាយប្រព័ន្ធវិសមីការ $\displaystyle \begin{cases} 3x + 2 > x + 2 & (1) \\ 5x - 3 < 2x & (2) \end{cases}$ ។

តោះ! អនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖
ជាដំបូង គ្រូសុំដោះស្រាយវាម្តងមួយៗសិនណា៎។
ចំពោះវិសមីការ (1):

\[\begin{aligned} 3x + 2 &> x + 2 \\ 3x - x &> 2 - 2 \\ 2x &> 0 \\ x &> 0 \end{aligned}\]

ចំពោះវិសមីការ (2):

\[\begin{aligned} 5x - 3 &< 2x \\ 5x - 2x &< 3 \\ 3x &< 3 \\ x &< 1 \end{aligned}\]

ដំណាក់កាលយកចម្លើយមកប្រសព្វគ្នា៖
កន្លែងនេះហើយដែលសិស្សភាគច្រើនឧស្សាហ៍វង្វេង! គ្រូសុំណែនាំឱ្យប្អូនៗគូសបន្ទាត់ចម្លើយទាំងពីរនេះជាន់គ្នា ហើយប្រើយុទ្ធសាស្រ្ត «ទម្លាក់ខ្សែបន្ទាត់ឈរ» ដើម្បីរាវរកតំបន់ប្រសព្វ៖

តើប្អូនៗឃើញតំបន់ដែលបន្ទាត់ពណ៌ខៀវ និងពណ៌ក្រហមរត់ត្រួតពីលើគ្នាទេ? វាគឺស្ថិតនៅត្រង់ប្រឡោះកណ្តាល គឺចន្លោះពីលេខ $\displaystyle 0$ ទៅដល់លេខ $\displaystyle 1$ ហ្នឹងឯង!
បើយើងសរសេរជាភាសាគណិតវិទ្យា គឺ $\displaystyle 0 < x < 1$ ។

ដូចនេះ ចម្លើយនៃប្រព័ន្ធវិសមីការគឺ $\displaystyle \boxed{0 < x < 1}$

១២ឧទាហរណ៍ទី ១២

លំហាត់គំរូទី 4 (ក្បួនអានបន្ទាត់ដូចអានសៀវភៅ!) :
ចូរដោះស្រាយប្រព័ន្ធវិសមីការ $\displaystyle \begin{cases} x - 3 > -1 & (1) \\ 2x + 1 > 11 & (2) \end{cases}$ ។

តោះ! អនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖
ដោះស្រាយវិសមីការ (1):

\[\begin{aligned} x - 3 &> -1 \\ x &> -1 + 3 \\ x &> 2 \end{aligned}\]

ដោះស្រាយវិសមីការ (2):

\[\begin{aligned} 2x + 1 &> 11 \\ 2x &> 10 \\ x &> 5 \end{aligned}\]

ក្បួនអានបន្ទាត់ដូចអានអក្សរ៖
គ្រូមានគន្លឹះមួយទៀត! បន្ទាប់ពីគូសបន្ទាត់រួច ដើម្បីរកចម្លើយ សូមប្អូនៗ សម្លឹងមើលក្រាបពីឆ្វេងទៅស្តាំ (ដូចពេលអានអត្ថបទ) រួចស្វែងរកតំបន់ណាដែលបន្ទាត់ទាំងពីរចាប់ផ្តើមមានវត្តមានព្រមគ្នា។

តោះ! អានពីឆ្វេងមកស្តាំ៖

ពីលេខ $\displaystyle 0$ ដល់ $\displaystyle 2$ គ្មានបន្ទាត់សោះ។
ចូលដល់លេខ $\displaystyle 2$ យើងឃើញមានតែបន្ទាត់ពណ៌ខៀវមួយគត់ (នៅមិនទាន់យកទេ!)។
លុះអានមកដល់លេខ $\displaystyle 5$ ទើបយើងឃើញបន្ទាត់ទាំងពីរ (ខៀវ និង ក្រហម) រត់ត្រួតលើគ្នា ចាប់ពីទីនោះទៅមុខរហូត!

អញ្ចឹងចម្លើយរួមរបស់យើង គឺចាប់ផ្តើមពីលេខ 5 ទៅស្តាំ!

ដូចនេះ ចម្លើយនៃប្រព័ន្ធវិសមីការគឺ $\displaystyle \boxed{x > 5}$

៣សាកល្បងខ្លួនឯងទី ៣

សាកល្បងខ្លួនឯង
ចូរដោះស្រាយប្រព័ន្ធវិសមីការខាងក្រោម៖

$\displaystyle \begin{cases} 2x - 7 \le 6x + 5 \\ 4x - 11 \le 4 + x \end{cases}$
$\displaystyle \begin{cases} \frac{3x}{4} - \frac{2}{3} \le \frac{4x - 3}{12} \\ 2x - 1 > \frac{3x - 4}{2} \end{cases}$

៤. ចំណោទវិសមីការ

មកដល់ចំណុចចុងក្រោយហើយ! ការដោះស្រាយចំណោទវិសមីការ គឺមិនមានអ្វីស្មុគស្មាញខុសពីចំណោទសមីការទេណា៎។ ប្អូនៗគ្រាន់តែអនុវត្តតាម ៤ ជំហានងាយៗដូចខាងក្រោម៖

Tជាទូទៅ

វិធាន ឬជំហានក្នុងការដោះស្រាយចំណោទ៖

ជំហានទី ១. ជ្រើសរើសអញ្ញាត និងដាក់លក្ខខណ្ឌឱ្យវា
ជំហានទី ២. បកប្រែបម្រាប់ប្រធាន ទៅជាវិសមីការ ឬប្រព័ន្ធវិសមីការ
ជំហានទី ៣. ដោះស្រាយវិសមីការនោះ
ជំហានទី ៤. ផ្ទៀងផ្ទាត់ចម្លើយ និងឆ្លើយតបទៅនឹងសំនួរ

១៣ឧទាហរណ៍ទី ១៣

លំហាត់គំរូទី 1 : ចតុកោណកែងមួយមានទទឹង $\displaystyle x$ និងបណ្ដោយ $\displaystyle x+2$ (គិតជាម៉ែត្រ)។

ចូរកំណត់តម្លៃ $\displaystyle x$ ដើម្បីឱ្យបរិមាត្រនៃចតុកោណកែង ធំជាង $\displaystyle 32m$ ។
ចូរកំណត់តម្លៃ $\displaystyle x$ ដើម្បីឱ្យបរិមាត្រនៃចតុកោណកែង តូចជាង $\displaystyle 32m$ ។

តោះ! អនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖
ក. បរិមាត្រនៃចតុកោណកែងគឺ $\displaystyle P = 2(\text{ទទឹង} + \text{បណ្ដោយ}) = 2[x + (x + 2)] = 2(2x + 2) = 4x + 4$
ដោយសារ $\displaystyle x$ ជាប្រវែង វាតែងតែធំជាងសូន្យជានិច្ច ហេតុនេះលក្ខខណ្ឌគឺ $\displaystyle x > 0$ ។
បរិមាត្រត្រូវធំជាង $\displaystyle 32m$ នាំឱ្យយើងបានវិសមីការ៖

\[\begin{aligned} 4x + 4 &> 32 \\ 4x &> 28 \\ x &> 7 \end{aligned}\]

ដោយសារ $\displaystyle x > 7$ ស្របគ្នានឹងលក្ខខណ្ឌ $\displaystyle x > 0$ ដូចនេះ តម្លៃដែលត្រូវជ្រើសរើសគឺ $\displaystyle \boxed{x > 7}$ ។

ខ. បរិមាត្រត្រូវតូចជាង $\displaystyle 32m$ នាំឱ្យយើងបានវិសមីការ៖

\[\begin{aligned} 4x + 4 &< 32 \\ 4x &< 28 \\ x &< 7 \end{aligned}\]

ដោយសារយើងមានលក្ខខណ្ឌ $\displaystyle x > 0$ ផងដែរ យើងត្រូវប្រសព្វចម្លើយ៖ $\displaystyle \begin{cases} x < 7 \\ x > 0 \end{cases}$
ដូចនេះ តម្លៃដែលត្រូវជ្រើសរើសគឺ $\displaystyle \boxed{0 < x < 7}$ ។

១៤ឧទាហរណ៍ទី ១៤

លំហាត់គំរូទី 2 : ពូសុខមានអាយុច្រើនជាងក្មួយ 32 ឆ្នាំ ហើយមានអាយុតិចជាងឪពុក 33 ឆ្នាំ។ បើគេដឹងថាផលបូកនៃអាយុអ្នកទាំងបីតិចជាង 103 ឆ្នាំ តើពូសុខអាចមានអាយុប៉ុន្មានឆ្នាំ? (គិតជាចំនួនគត់)

គិតមុនគូ
យើងតាង $\displaystyle x$ ជាអាយុពូសុខ រួចសរសេរអាយុក្មួយ និងឪពុកទាក់ទងនឹង $\displaystyle x$។ បន្ទាប់មកបូកអាយុអ្នកទាំងបី ឱ្យតូចជាង 103។ កុំភ្លេចលក្ខខណ្ឌអាយុត្រូវតែធំជាង 0!

តោះ! អនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖
តាង $\displaystyle x$ ជាអាយុរបស់ពូសុខ។ ដោយពូសុខមានអាយុច្រើនជាងក្មួយ 32 ឆ្នាំ នោះអាយុក្មួយគឺ $\displaystyle x - 32$ ។ ដើម្បីឱ្យអាយុក្មួយវិជ្ជមាន យើងត្រូវមានលក្ខខណ្ឌ $\displaystyle x - 32 > 0 \Rightarrow x > 32$ ។
ចំណែកឪពុកមានអាយុច្រើនជាងពូសុខ 33 ឆ្នាំ នោះអាយុឪពុកគឺ $\displaystyle x + 33$ ។

ផលបូកអាយុអ្នកទាំងបីតូចជាង 103 ឆ្នាំ៖

\[\begin{aligned} x + (x - 32) + (x + 33) &< 103 \\ 3x + 1 &< 103 \\ 3x &< 102 \\ x &< 34 \end{aligned}\]

យើងផ្ទៀងផ្ទាត់ជាមួយលក្ខខណ្ឌ $\displaystyle x > 32$ យើងបានប្រព័ន្ធវិសមីការដែលចម្លើយគឺ $\displaystyle 32 < x < 34$ ។
ដោយសារអាយុរបស់មនុស្សត្រូវតែគិតជាចំនួនគត់ តើនៅចន្លោះពី 32 ទៅ 34 មានលេខគត់អ្វីខ្លះ? ប្រាកដណាស់ គឺមានតែលេខ 33 មួយគត់!

ដូចនេះ ពូសុខមានអាយុ 33 ឆ្នាំ

១៥ឧទាហរណ៍ទី ១៥

លំហាត់គំរូទី 3 : តារាប្រឡងគណិតវិទ្យា ៣ ខែដំបូងទទួលបានពិន្ទុ 75, 82 និង 90 ។ តើខែទី ៤ នេះតារាត្រូវប្រឡងឱ្យបានពិន្ទុយ៉ាងតិចប៉ុន្មាន ទើបមធ្យមភាគពិន្ទុទាំង ៤ ខែរបស់គាត់ បានយ៉ាងតិច 85 ពិន្ទុ?

គិតមុនគូ
រឿងនេះច្បាស់ជាធ្លាប់កើតឡើងចំពោះប្អូនៗមែនទេ? ដើម្បីរកមធ្យមភាគ យើងត្រូវបូកពិន្ទុទាំង ៤ ខែចូលគ្នា រួចចែកនឹង ៤។ ពាក្យថា «យ៉ាងតិច 85» មានន័យថា $\displaystyle \ge 85$។

តោះ! អនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖
តាង $\displaystyle x$ ជាពិន្ទុដែលតារាត្រូវរកបាននៅខែទី ៤ ($\displaystyle 0 \le x \le 100$)។

មធ្យមភាគពិន្ទុទាំង ៤ ខែ គឺត្រូវធំជាង ឬស្មើ 85៖

\[\begin{aligned} \frac{75 + 82 + 90 + x}{4} &\ge 85 \\ \frac{247 + x}{4} &\ge 85 \end{aligned}\]

គ្រូសុំគុណអង្គទាំងពីរនឹង 4 (ដោយសារ 4 ជាលេខវិជ្ជមាន សញ្ញាមិនប្តូរទិសដៅទេ)៖

\[\begin{aligned} 247 + x &\ge 85 \times 4 \\ 247 + x &\ge 340 \\ x &\ge 340 - 247 \\ x &\ge 93 \end{aligned}\]

យើងឃើញថា $\displaystyle x \ge 93$ ហើយដោយសារពិន្ទុពេញត្រឹម 100 អញ្ចឹងយើងបានប្រព័ន្ធចម្លើយ $\displaystyle 93 \le x \le 100$។

ដូចនេះ តារាត្រូវប្រឡងខែទី ៤ នេះឱ្យបានពិន្ទុ ចាប់ពី 93 ដល់ 100 ពិន្ទុ ទើបទទួលបានមធ្យមភាគ 85។ ប្អូនៗជួយលើកទឹកចិត្តតារាផង!

១៦ឧទាហរណ៍ទី ១៦

លំហាត់គំរូទី 4 : សុវណ្ណមានលុយត្រឹមតែ 20 000 រៀលប៉ុណ្ណោះនៅក្នុងហោប៉ៅ។ គាត់ចង់ជិះកង់បីពីសាលាទៅផ្ទះ។ កង់បីយកថ្លៃចាប់ផ្តើមជិះដំបូង 5 000 រៀល ហើយគិតបន្ថែម 1 500 រៀល ក្នុងមួយគីឡូម៉ែត្របន្តបន្ទាប់។ តើសុវណ្ណអាចជិះកង់បីនេះ បានចម្ងាយឆ្ងាយបំផុតប៉ុន្មានគីឡូម៉ែត្រ ទើបមិនខ្វះលុយគេ?

គិតមុនគូ
«មិនខ្វះលុយគេ» មានន័យថាថ្លៃជិះសរុប ត្រូវតែតូចជាង ឬស្មើ ($\displaystyle \le$) លុយដែលមានក្នុងហោប៉ៅ។

តោះ! អនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖
តាង $\displaystyle x$ ជាចម្ងាយផ្លូវគិតជាគីឡូម៉ែត្រ ($\displaystyle x \ge 0$)។
ថ្លៃជិះកង់បីសរុប គឺស្មើនឹង ថ្លៃចាប់ផ្តើម បូកនឹងថ្លៃតាមគីឡូម៉ែត្រ៖ $\displaystyle 5000 + 1500x$ ។
សុវណ្ណមានលុយតែ 20 000 រៀលទេ អញ្ចឹង៖

\[\begin{aligned} 5000 + 1500x &\le 20000 \\ 1500x &\le 20000 - 5000 \\ 1500x &\le 15000 \\ x &\le \frac{15000}{1500} \\ x &\le 10 \end{aligned}\]

ដោយសារ $\displaystyle x$ ជាចម្ងាយផ្លូវ វាត្រូវតែធំជាងឬស្មើ 0 ។ ហេតុនេះ $\displaystyle 0 \le x \le 10$។

ដូចនេះ សុវណ្ណអាចជិះកង់បីនេះបានចម្ងាយ យ៉ាងឆ្ងាយបំផុត 10 គីឡូម៉ែត្រ ប៉ុណ្ណោះ។ បើផ្ទះគាត់ឆ្ងាយជាង 10 គីឡូម៉ែត្រ គាត់ប្រហែលជាត្រូវដើរខ្លះហើយ!

៤សាកល្បងខ្លួនឯងទី ៤

សាកល្បងខ្លួនឯង
ក. គេឱ្យចតុកោណកែងមួយមានវិមាត្រ $\displaystyle 5m$ និង $\displaystyle x$ គិតជា $\displaystyle m$ ។ តើ $\displaystyle x$ ត្រូវយកតម្លៃណាខ្លះ ដើម្បីឱ្យចតុកោណកែងនេះមានបរិមាត្រធំជាង $\displaystyle 18m$ និងមានផ្ទៃក្រឡាតូចជាង $\displaystyle 50m^2$ ។
ខ. ផលបូកនៃបីចំនួនគត់តគ្នាគូធំជាង $\displaystyle 1918$ តែតូចជាង $\displaystyle 1924$ (កែសម្រួលពីប្រធានដើម) ។ ចូររកបីចំនួនគត់ទាំងបីនោះ ។

▷លំហាត់

កម្រិតទី១៖ ចាប់ផ្តើម

កម្រិតទី២៖ អនុវត្ត

កម្រិតទី៣៖ គិតបន្ថែម

លំហាត់វាយតម្លៃសមត្ថភាព PISA

PISA ៥.១

កញ្ចប់អ៊ិនធឺណិតទូរសព្ទ (Phone Data Plans)

សុខាចង់ភ្ជាប់កញ្ចប់អ៊ិនធឺណិតសម្រាប់ប្រើប្រាស់ក្នុងរយៈពេលមួយសប្ដាហ៍។ ក្រុមហ៊ុនទូរសព្ទមានជម្រើសពីរ៖

ជម្រើស ក៖ បង់ប្រាក់ថេរ $\displaystyle 2~000\text{ ៛}$ អាចប្រើប្រាស់អ៊ិនធឺណិតដោយគ្មានដែនកំណត់។
ជម្រើស ខ៖ បង់ប្រាក់គោល $\displaystyle 500\text{ ៛}$ បូកបន្ថែម $\displaystyle 150\text{ ៛}$ ក្នុងមួយជីហ្គាបៃ (GB) សម្រាប់ការប្រើប្រាស់។

សំណួរទី១៖ បើសុខាប្រើប្រាស់អ៊ិនធឺណិតអស់ $\displaystyle 5\text{ GB}$ ក្នុងមួយសប្ដាហ៍ តើជម្រើស ខ នឹងត្រូវចំណាយអស់ប្រាក់ប៉ុន្មាន?
ចម្លើយ៖

សំណួរទី២៖ បើតាង $\displaystyle x$ ជាចំនួន GB ដែលប្រើប្រាស់ តើវិសមីការមួយណាខាងក្រោម ដែលបង្ហាញថា ជម្រើស ក ចំណាយតិចជាង ជម្រើស ខ?

ក. $\displaystyle 2~000 < 500 + 150x$
ខ. $\displaystyle 2~000 > 500 + 150x$
គ. $\displaystyle 2~000 \le 500 + 150x$
ឃ. $\displaystyle 2~000 \ge 500 + 150x$

សំណួរទី៣៖ តើសុខាត្រូវប្រើប្រាស់អ៊ិនធឺណិតយ៉ាងតិចប៉ុន្មាន GB ទើបការជ្រើសរើសយក ជម្រើស ក ចំណេញជាង ជម្រើស ខ? (បង្ហាញការគណនារបស់អ្នក)។
ចម្លើយ៖

ធ្វើលើកុំព្យូទ័រ តាមរបៀបតេស្ត PISA▶ សាកធ្វើលំហាត់នេះ តេស្តពេញ (៥ ភារកិច្ច)

PISA ៥.២

ជម្រើសមធ្យោបាយធ្វើដំណើរ (PassApp vs Taxi)

មករាចង់ធ្វើដំណើរទៅកាន់ទីប្រជុំជនមួយ។ គាត់មានជម្រើសមធ្យោបាយធ្វើដំណើរពីរយ៉ាង៖

កង់បី (PassApp)៖ ថ្លៃចាប់ផ្ដើម $\displaystyle 3~000\text{ ៛}$ បូកបន្ថែម $\displaystyle 1~200\text{ ៛}$ ក្នុងមួយគីឡូម៉ែត្រ។
តាក់ស៊ី (Taxi)៖ ថ្លៃចាប់ផ្ដើម $\displaystyle 4~000\text{ ៛}$ បូកបន្ថែម $\displaystyle 1~000\text{ ៛}$ ក្នុងមួយគីឡូម៉ែត្រ។

សំណួរទី១៖ បើមករាធ្វើដំណើរចម្ងាយ $\displaystyle 4\text{ km}$ តើមធ្យោបាយមួយណាអស់ប្រាក់តិចជាង?
ចម្លើយ៖

សំណួរទី២៖ សូមគូសសញ្ញា $\displaystyle \checkmark$ ក្នុងតារាងខាងក្រោមថាតើការអះអាងនីមួយៗ "ពិត" ឬ "មិនពិត"។

ការអះអាង	ពិត	មិនពិត
១. សម្រាប់ការធ្វើដំណើរផ្លូវជិត កង់បីតែងតែថោកជាងតាក់ស៊ី។
២. បើធ្វើដំណើរលើសពី $\displaystyle 5\text{ km}$ តាក់ស៊ីចាប់ផ្ដើមចំណេញជាង។
៣. ថ្លៃធ្វើដំណើរនៃមធ្យោបាយទាំងពីរ មិនអាចស្មើគ្នាបានទេ។

សំណួរទី៣៖ តាមរយៈការដោះស្រាយវិសមីការ តើមករាត្រូវធ្វើដំណើរចាប់ពីចម្ងាយប៉ុន្មានគីឡូម៉ែត្រឡើងទៅ ទើបការជិះ តាក់ស៊ី អស់ប្រាក់តិចជាងការជិះ កង់បី?
ចម្លើយ៖

ធ្វើលើកុំព្យូទ័រ តាមរបៀបតេស្ត PISA▶ សាកធ្វើលំហាត់នេះ តេស្តពេញ (៥ ភារកិច្ច)

PISA ៥.៣

ថវិការៀបចំជប់លៀង (Budget for a Party)

ចរិយាមានថវិកាសរុបចំនួន $\displaystyle 100~000\text{ ៛}$ សម្រាប់រៀបចំពិធីជប់លៀងខួបកំណើត។ ថ្លៃជួលកន្លែងគឺ $\displaystyle 30~000\text{ ៛}$ ហើយថ្លៃម្ហូបអាហារសម្រាប់មិត្តភក្តិម្នាក់ៗគឺ $\displaystyle 8~000\text{ ៛}$ ។

សំណួរទី១៖ បើតាង $\displaystyle x$ ជាចំនួនមិត្តភក្តិដែលចរិយាអាចអញ្ជើញបាន តើវិសមីការមួយណាដែលបង្ហាញពីទំហំថវិការបស់នាង?

ក. $\displaystyle 30~000 + 8~000x < 100~000$
ខ. $\displaystyle 30~000 + 8~000x \le 100~000$
គ. $\displaystyle 30~000 + 8~000x > 100~000$
ឃ. $\displaystyle 30~000 + 8~000x \ge 100~000$

សំណួរទី២៖ តើចរិយាអាចអញ្ជើញមិត្តភក្តិបានយ៉ាងច្រើនបំផុតចំនួនប៉ុន្មាននាក់ ដោយមិនឱ្យលើសពីថវិកាដែលមានស្រាប់?
ចម្លើយ៖

សំណួរទី៣៖ ប្រសិនបើចរិយាចង់អញ្ជើញមិត្តភក្តិឱ្យបាន ១០ នាក់ តើនាងត្រូវការថវិកាបន្ថែមយ៉ាងតិចប៉ុន្មានទៀត? ពន្យល់។
ចម្លើយ៖

ធ្វើលើកុំព្យូទ័រ តាមរបៀបតេស្ត PISA▶ សាកធ្វើលំហាត់នេះ តេស្តពេញ (៥ ភារកិច្ច)

PISA ៥.៤

គោលដៅពិន្ទុប្រឡង (Target Grades)

នៅក្នុងការប្រឡងប្រចាំខែមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យាចំនួន ៣ ខែកន្លងមក សុខាទទួលបានពិន្ទុ ៨២, ៨៨ និង ៧៥។ ដើម្បីទទួលបានលិខិតសរសើរនៅចុងឆមាស មធ្យមភាគពិន្ទុនៃការប្រឡងទាំង ៤ ខែ របស់គេត្រូវតែមានយ៉ាងតិច ៨៥ ពិន្ទុ។ (ពិន្ទុពេញសម្រាប់ការប្រឡងនីមួយៗគឺ ១០០ ពិន្ទុ)។

សំណួរទី១៖ តើផលបូកពិន្ទុទាំង ៣ ខែដំបូងរបស់សុខាស្មើនឹងប៉ុន្មាន?
ចម្លើយ៖

ការអះអាង	ពិត	មិនពិត
១. សុខាត្រូវទទួលបានពិន្ទុយ៉ាងតិច ៩៥ នៅខែទី ៤ ទើបគេទទួលបានលិខិតសរសើរ។
២. ប្រសិនបើសាលាតម្រូវឱ្យមធ្យមភាគយ៉ាងតិច ៩០ ទើបបានលិខិតសរសើរ នោះសុខានៅតែមានសង្ឃឹមទទួលបានវា។

សំណួរទី៣៖ ហេតុអ្វីបានជាវាសេចក្ដីអះអាងទី ២ ខាងលើមិនអាចទៅរួចទេ? សូមពន្យល់តាមរយៈការប្រើប្រាស់វិសមីការ។
ចម្លើយ៖

ធ្វើលើកុំព្យូទ័រ តាមរបៀបតេស្ត PISA▶ សាកធ្វើលំហាត់នេះ តេស្តពេញ (៥ ភារកិច្ច)

PISA ៥.៥

ការដឹកជញ្ជូនអង្ករ (Transporting Rice Sacks)

រថយន្តដឹកទំនិញធុនតូចមួយ មានចំណុះផ្ទុកទម្ងន់អតិបរមាដែលអាចបើកបរប្រកបដោយសុវត្ថិភាពត្រឹមតែ ១ ៥០០ គីឡូក្រាមប៉ុណ្ណោះ។ អ្នកបើកបរមានទម្ងន់ ៧០ គីឡូក្រាម។ គាត់ត្រូវដឹកការុងអង្ករ ដែលក្នុងមួយការុងមានទម្ងន់ ៥០ គីឡូក្រាម។

សំណួរទី១៖ ប្រសិនបើគាត់ដាក់អង្ករចំនួន ២០ ការុង តើទម្ងន់សរុបនៅលើរថយន្ត (រួមទាំងគាត់ផង) ស្មើនឹងប៉ុន្មានគីឡូក្រាម?
ចម្លើយ៖

សំណួរទី២៖ បើតាង $\displaystyle x$ ជាចំនួនការុងអង្ករ តើវិសមីការមួយណាខាងក្រោមតំណាងឱ្យបញ្ហានេះបានត្រឹមត្រូវ?

ក. $\displaystyle 70 + 50x \le 1~500$
ខ. $\displaystyle 70 + 50x < 1~500$
គ. $\displaystyle 70x + 50 \le 1~500$
ឃ. $\displaystyle 70x + 50x \le 1~500$

សំណួរទី៣៖ តើអ្នកបើកបរអាចដឹកអង្ករបានយ៉ាងច្រើនបំផុតចំនួនប៉ុន្មានការុង ក្នុងមួយជើងដោយសុវត្ថិភាព? សូមបង្ហាញការទាញរកចម្លើយដោយប្រើវិសមីការ។
ចម្លើយ៖

ធ្វើលើកុំព្យូទ័រ តាមរបៀបតេស្ត PISA▶ សាកធ្វើលំហាត់នេះ តេស្តពេញ (៥ ភារកិច្ច)