សមីការនៃបន្ទាត់

ឧទាហរណ៍ទី 1៖ ចូរសង់ក្រាបនៃសមីការ \(\displaystyle y = 2x + 1\) ។

គិត៖ លោកគ្រូគិតថា ដើម្បីគូសបន្ទាត់នេះបាន យើងត្រូវដឹងសិនថាវាឆ្លងកាត់ចំណុចណាខ្លះ។ វិធីដែលងាយបំផុតគឺយើងត្រូវបង្កើតតារាងតម្លៃលេខ។

ជ្រើសវិធី៖ យើងនឹងឱ្យតម្លៃ \(\displaystyle x\) មួយចំនួនតូចៗ (ឧទាហរណ៍ពី \(\displaystyle -3\) ដល់ \(\displaystyle 3\)) រួចយកទៅជំនួសក្នុងសមីការដើម្បីរក \(\displaystyle y\) ។ បន្ទាប់មកយើងដៅចំណុចទាំងនោះរួចគូសបន្ទាត់ភ្ជាប់។

ធ្វើ៖ តោះសាកល្បង៖ បើ \(\displaystyle x = 0\) នោះ \(\displaystyle y = 2(0) + 1 = 1 \Rightarrow (0, 1)\) ។ បើ \(\displaystyle x = 1\) នោះ \(\displaystyle y = 2(1) + 1 = 3 \Rightarrow (1, 3)\) ។

\(\displaystyle x\)	-3	-2	-1	0	1	2	3
\(\displaystyle y\)	-5	-3	-1	1	3	5	7

ពេលនេះប្អូនៗសង្កេតមើល៖ រាល់ពេលដែល \(\displaystyle x\) កើនឡើង 1 ឯកតា (\(\displaystyle 1 - 0 = 1\)) តើ \(\displaystyle y\) កើនឡើងប៉ុន្មាន? គឺ \(\displaystyle 3 - 1 = 2\) ឯកតា!

ផលធៀបនេះលោកគ្រូហៅថា មេគុណប្រាប់ទិស៖
មេគុណប្រាប់ទិស \(\displaystyle = \frac{\text{បម្រែបម្រួលនៃ } y}{\text{បម្រែបម្រួលនៃ } x} = \frac{2}{1} = 2\) ។

ពិនិត្យ៖ មើលក្រាបរបស់យើង! វាមានរាងងើបឡើងលើពីឆ្វេងទៅស្ដាំ។ នេះដោយសារតែមេគុណប្រាប់ទិសយើងធំជាងសូន្យ (\(\displaystyle 2 > 0\)) នោះឯង។ ការគណនារបស់យើងពិតជាត្រឹមត្រូវមែន!

ឧទាហរណ៍ទី 2៖ ចូរសង់ក្រាបនៃសមីការ \(\displaystyle y = -3x + 1\) ។

គិត៖ សមីការនេះមានលេខ \(\displaystyle -3\) នៅមុខ \(\displaystyle x\)។ លោកគ្រូជឿថាពេល \(\displaystyle x\) កាន់តែធំ \(\displaystyle y\) នឹងកាន់តែតូច។ តើវាពិតមែនទេ?

ជ្រើសវិធី៖ ដូចមុនដែរ យើងសង់តារាងតម្លៃលេខដោយឱ្យ \(\displaystyle x\) ជាលេខងាយៗ \(\displaystyle \{-2, -1, 0, 1, 2\}\) រួចដៅចំណុចលើប្លង់កូអរដោនេ។

ធ្វើ៖

\(\displaystyle x\)	-2	-1	0	1	2
\(\displaystyle y\)	7	4	1	-2	-5

បម្រែបម្រួលនៃ \(\displaystyle x\) ស្មើនឹង 1 ។
បម្រែបម្រួលនៃ \(\displaystyle y\) ស្មើនឹង \(\displaystyle -3\) ។
មានន័យថាបើ \(\displaystyle x\) កើន 1 ឯកតា នោះ \(\displaystyle y\) នឹងថយចុះ 3 ឯកតា!

មេគុណប្រាប់ទិស \(\displaystyle = \frac{\text{បម្រែបម្រួល } y}{\text{បម្រែបម្រួល } x} = \frac{-3}{1} = -3\) ។

ពិនិត្យ៖ ក្រាបរអិលចុះក្រោមពីឆ្វេងទៅស្ដាំមែន! នេះបញ្ជាក់ថាមេគុណប្រាប់ទិសអវិជ្ជមាន (-3) ធ្វើឱ្យបន្ទាត់ចុះ។ យើងគូសបានត្រឹមត្រូវណាស់!

ឧទាហរណ៍ទី 3៖ រកមេគុណប្រាប់ទិសនៃបន្ទាត់កាត់តាមពីរចំណុច \(\displaystyle A(-2 \ , \ 1)\) និង \(\displaystyle B(3 \ , \ 4)\) ។

គិត៖ យើងស្គាល់កូអរដោនេចំណុចពីរ។ យើងមិនចាំបាច់គូសក្រាបដើម្បីរកមេគុណប្រាប់ទិសទេ យើងអាចគណនាតាមរូបមន្តបានយ៉ាងលឿន!

ជ្រើសវិធី៖ លោកគ្រូនឹងយកលទ្ធផលខាងលើមកប្រើ គឺរូបមន្ត \(\displaystyle a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) ។

ធ្វើ៖

តាង \(\displaystyle A\) ជាចំណុចទី១ នាំឱ្យ \(\displaystyle x_1 = -2, y_1 = 1\)
និង \(\displaystyle B\) ជាចំណុចទី២ នាំឱ្យ \(\displaystyle x_2 = 3, y_2 = 4\) ។

ជំនួសចូលរូបមន្ត៖
\(\displaystyle a = \frac{4 - 1}{3 - (-2)} = \frac{3}{3 + 2} = \frac{3}{5}\)

ដូចនេះ មេគុណប្រាប់ទិសនៃបន្ទាត់ \(\displaystyle AB\) គឺ \(\displaystyle \frac{3}{5}\) ។

ពិនិត្យ៖ លទ្ធផល \(\displaystyle \frac{3}{5}\) គឺវិជ្ជមាន។ មើលលើរូប ចំណុច \(\displaystyle B\) ខ្ពស់ជាងចំណុច \(\displaystyle A\) ដូច្នេះបន្ទាត់មានរាងឡើង ដែលស័ក្តិសមនឹងមេគុណវិជ្ជមានពិតមែន!

ឧទាហរណ៍ទី 1៖ សង់បន្ទាត់ដែលមានសមីការ \(\displaystyle y = 2x + 4\) ។

គិត៖ ជាជាងការសង់តារាងវែងអន្លាយ យើងគ្រាន់តែរកចំណុចដែលបន្ទាត់នេះកាត់អ័ក្សទាំងពីរទៅបានហើយ។

ជ្រើសវិធី៖ ទី១ លោកគ្រូឱ្យ \(\displaystyle x=0\) ដើម្បីរក \(\displaystyle y\) ។ ទី២ លោកគ្រូឱ្យ \(\displaystyle y=0\) ដើម្បីរក \(\displaystyle x\) ។

ធ្វើ៖

រកចំណុចកាត់អ័ក្សឈរ \(\displaystyle y'y\)៖
ឱ្យ \(\displaystyle x = 0\) លោកគ្រូបាន \(\displaystyle y = 2(0) + 4 = 4\)
យើងបានចំណុច \(\displaystyle (0 \ , \ 4)\) ។

រកចំណុចកាត់អ័ក្សដេក \(\displaystyle x'x\)៖
ឱ្យ \(\displaystyle y = 0\) លោកគ្រូបាន \(\displaystyle 0 = 2x + 4\)
\(\displaystyle 2x = -4 \Rightarrow x = -2\)
យើងបានចំណុច \(\displaystyle (-2 \ , \ 0)\) ។

យកចំណុចទាំងពីរនេះទៅដៅលើប្លង់ រួចគូសបន្ទាត់ភ្ជាប់វា!

ពិនិត្យ៖ បន្ទាត់រត់កាត់ \(\displaystyle (-2,0)\) និង \(\displaystyle (0,4)\) មែន ហើយមានមេគុណប្រាប់ទិសវិជ្ជមានស្របតាមសមីការ \(\displaystyle y = 2x + 4\)។ លឿននិងត្រឹមត្រូវល្អណាស់!

ឧទាហរណ៍៖ សង់ពីរចំណុច \(\displaystyle A(2 \ , \ 2)\) និង \(\displaystyle B(4 \ , \ 3)\) រួចកំណត់រកសមីការនៃបន្ទាត់នោះ ។

គិត៖ លោកគ្រូត្រូវប្រើទ្រឹស្តីដែលថា ចំណុចនៅលើបន្ទាត់តែមួយមានមេគុណប្រាប់ទិសដូចគ្នា។

ជ្រើសវិធី៖ តាងចំណុច \(\displaystyle M(x,y)\) មួយនៅលើបន្ទាត់ \(\displaystyle AB\) ។ យើងរកមេគុណប្រាប់ទិស \(\displaystyle AB\) និងមេគុណប្រាប់ទិស \(\displaystyle AM\) (ឬ \(\displaystyle BM\)) រួចឱ្យវាស្មើគ្នា ។

ធ្វើ៖

មេគុណប្រាប់ទិសនៃ \(\displaystyle AB : \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{3 - 2}{4 - 2} = \frac{1}{2}\)

មេគុណប្រាប់ទិសនៃបន្ទាត់ដែលកាត់តាម \(\displaystyle M(x,y)\) និង \(\displaystyle B(4,3)\) គឺ : \(\displaystyle \frac{y - 3}{x - 4}\)

ដោយសារវាជាបន្ទាត់តែមួយ យើងផ្ទឹមវាបញ្ចូលគ្នា៖
\(\displaystyle \frac{y - 3}{x - 4} = \frac{1}{2}\)
គុណខ្វែង៖ \(\displaystyle 2(y - 3) = 1(x - 4)\)
\(\displaystyle 2y - 6 = x - 4\)
\(\displaystyle 2y = x + 2 \Rightarrow y = \frac{x}{2} + 1\)

ពិនិត្យ៖ លោកគ្រូសាកល្បងយកចំណុច \(\displaystyle A(2,2)\) ទៅជំនួសក្នុងសមីការថ្មី \(\displaystyle y = \frac{x}{2} + 1\) នោះបាន \(\displaystyle 2 = \frac{2}{2} + 1 = 1 + 1 = 2\) ពិតប្រាកដមែន ។ ការដោះស្រាយរបស់យើងពិតជាគ្មានកំហុសទេ!

លំហាត់គំរូទី 3៖ ចូររកសមីការបន្ទាត់ដែលកាត់តាម \(\displaystyle A(2 \ , \ 5)\) ហើយស្របនឹងបន្ទាត់ \(\displaystyle d : y = 3x + 4\) រួចសង់បន្ទាត់ទាំងពីរនេះ ។

គិត៖ យើងត្រូវរកសមីការបន្ទាត់ថ្មីដែលឆ្លងកាត់ \(\displaystyle A(2,5)\) ហើយស្របជាមួយ \(\displaystyle d\) ។ ដោយសារវាស្រប វាត្រូវតែខ្ចីមេគុណប្រាប់ទិសពីបន្ទាត់ \(\displaystyle d\) ។

ជ្រើសវិធី៖ មេគុណប្រាប់ទិសបន្ទាត់ \(\displaystyle d\) គឺ \(\displaystyle 3\) ។ ដូច្នេះបន្ទាត់ថ្មីរបស់យើងក៏មានមេគុណប្រាប់ទិស \(\displaystyle a = 3\) ដែរ។ យើងយក \(\displaystyle a=3\) និងចំណុច \(\displaystyle A(2,5)\) ទៅបង្កើតសមីការ។

ធ្វើ៖

តាង \(\displaystyle M(x,y)\) ជាចំណុចនៃបន្ទាត់ថ្មី។
មេគុណប្រាប់ទិស \(\displaystyle AM\) ត្រូវតែស្មើ \(\displaystyle 3\) ដែរ៖
\(\displaystyle \frac{y - 5}{x - 2} = 3\)
\(\displaystyle y - 5 = 3(x - 2)\)
\(\displaystyle y - 5 = 3x - 6\)
\(\displaystyle y = 3x - 1\)

ការសង់បន្ទាត់ទាំងពីរ៖
បន្ទាត់ \(\displaystyle d : y = 3x + 4\) កាត់តាម \(\displaystyle (0,4)\) និង \(\displaystyle (-1,1)\) ។
បន្ទាត់ថ្មី \(\displaystyle y = 3x - 1\) កាត់តាម \(\displaystyle (0,-1)\) និង \(\displaystyle A(2,5)\) ។

ពិនិត្យ៖ សមីការ \(\displaystyle y=3x-1\) ពិតជាមានមេគុណប្រាប់ទិស \(\displaystyle 3\) ដែលស្របនឹងបន្ទាត់ដើមមែន។ ការគូសវាស់នៅលើក្រាបក៏បង្ហាញថាបន្ទាត់ទាំងពីរស្របគ្នាស្រឡះ!