រូបមន្តសង្ខេបគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី ១០

\(\displaystyle \blacktriangleright\) ឯកធា គឺជាកន្សោមដែលមានតែវិធីគុណនិងស្វ័យគុណ ហើយមាននិទស្សន្តជាចំនួនគត់ឬសូន្យ។
\(\displaystyle \blacktriangleright\) ឯកធាដូចគ្នា គឺជាឯកធាដែលមានផ្នែកអថេរដូចគ្នា។
\(\displaystyle \blacktriangleright\) ដឺក្រេឯកធា គឺជាផលបូកនិទស្សន្តរបស់អថេរនីមួយៗ។
● បូកឬផលដកឯកធាដូចគ្នា គេបូក ឬដកតែ មេគុណ។
● គុណឯកធា គឺគុណមេគុណនឹងមេគុណ អថេរនឹងអថេរ។

\(\displaystyle \blacktriangleright\) ពហុធា គឺជាផលបូកនៃច្រើនឯកធាខុសគ្នា។
\(\displaystyle \blacktriangleright\) ដឺក្រេពហុធា គឺជាដឺក្រេឯកធាខ្ពស់ជាងគេនៃពហុធា។
● បូកឬដកពីរពហុធា គេត្រូវបូក ឬដកឯកធាដែលដូចគ្នា។
● គុណពហុធានិងពហុធា គេយកតួនីមួយៗនៃពហុធាទី១ គុណគ្រប់តួនៃពហុធាទី២ រួចបង្រួមលទ្ធផល ។

\(\displaystyle \blacktriangleright\) តួចែករួមធំបំផុត នៃកត្តា \(\displaystyle A\) និង \(\displaystyle B\) គឺជាផលគុណកត្តារួមដែលមាននិទស្សន្តតូចជាងគេ។

\(\displaystyle \blacktriangleright\) ពហុគុណរួមតូចបំផុត នៃកន្សោម \(\displaystyle A\) និង \(\displaystyle B\) គឺជាផលគុណកត្តារួមដែលមាននិទស្សន្តធំជាងគេ ជាមួយកត្តាមិនរួមទាំងអស់។

\(\displaystyle (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

\(\displaystyle (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

\(\displaystyle a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\)

\(\displaystyle a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab = (a+b)^2 - 2ab\)

\(\displaystyle (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc)\)

\(\displaystyle (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

\(\displaystyle (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)

\(\displaystyle a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\)

\(\displaystyle a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\)

\(\displaystyle a^4 - b^4 = (a-b)(a+b)(a^2 + b^2)\)

\(\displaystyle a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + ... + b^{n-1})\)

បើ \(\displaystyle m\) និង \(\displaystyle n\) ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន ហើយ \(\displaystyle a \neq 0\) នោះគេបាន៖

\(\displaystyle a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}\)     \(\displaystyle \left(a^m\right)^n=a^{mn}\)

\(\displaystyle \left(ab\right)^n=a^{n}b^{n}\)         \(\displaystyle \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)

\(\displaystyle \blacktriangleright\) \(\displaystyle \frac{A \times C}{B \times C}=\frac{A}{B}\) ដែល \(\displaystyle B \neq 0 , C \neq 0\)

\(\displaystyle \blacktriangleright\) \(\displaystyle \frac{A}{C} \pm \frac{B}{C}=\frac{A \pm B}{C}\) ដែល \(\displaystyle C \neq 0\)

\(\displaystyle \blacktriangleright\) \(\displaystyle \frac{A}{B} \times \frac{C}{D}=\frac{A \times C}{B \times D}\) ដែល \(\displaystyle C \neq 0 , D \neq 0\)

\(\displaystyle \blacktriangleright\) \(\displaystyle \frac{A}{B} \div \frac{C}{D}=\frac{A }{B} \times \frac{D}{C}=\frac{A \times D}{B \times C}\)

\(\displaystyle \blacktriangleright\) \(\displaystyle p \wedge q\) ពិត បើសំណើទាំងពីរពិតព្រមគ្នា

\(\displaystyle \blacktriangleright\) \(\displaystyle p \vee q\) មិនពិត បើសំណើទាំងពីរមិនពិតព្រមគ្នា

សំណើ \(\displaystyle p \Rightarrow q\) មិនពិតតែក្នុងករណីសំណើ \(\displaystyle p\) ពិត ហើយសំណើ \(\displaystyle q\)មិនពិត

\(\displaystyle p \Leftrightarrow q = \left(p \Rightarrow q\right) \wedge \left(q \Rightarrow p\right)\)

\(\displaystyle \overline{p \wedge q} = \overline{p} \vee \overline{q}\)          \(\displaystyle \overline{p \vee q} = \overline{p} \wedge \overline{q}\)

សំណុំ \(\displaystyle A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ និង } x \in B\}\)

● សំណុំ \(\displaystyle A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ ឬ } x \in B\}\)

● \(\displaystyle n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)\)

\(\displaystyle {abcd}_{10}=a\times {10}^3 + b\times {10}^2 + c\times {10} + d\)

\(\displaystyle {abcd}_{2}=a\times {2}^3 + b\times {2}^2 + c\times {2} + d\)

● ឯកតានិមិត្ត\(\displaystyle i\) ដែល \(\displaystyle i^2 = -1 , i = \sqrt{-1}\)

● បើ \(\displaystyle a > 0\) នោះគេបាន: \(\displaystyle \sqrt{-a} = \sqrt{a} \cdot i\)

● ទម្រង់ស្តង់ដានៃចំនួនកុំផ្លិច: \(\displaystyle z = a + bi\)

   ដែល \(\displaystyle a\) ជាផ្នែកពិត និង \(\displaystyle b\) ជាផ្នែកនិមិត្ត ។

● \(\displaystyle (a+bi) + (c+di) = (a + c) + (b + d)i\)

● \(\displaystyle (a+bi) - (c+di) = (a - c) + (b - d)i\)

● \(\displaystyle (a+bi)(c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i\)

● \(\displaystyle \frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{c^2 + d^2}\)

                  \(\displaystyle = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i\)

● ចំពោះ \(\displaystyle A \times B =0\) នោះ \(\displaystyle A=0 \;\ , \;\ B=0\)

● ចំពោះ \(\displaystyle ax^2+bx +\left(\frac{b}{2} \right)^2 = \left(x+\frac{b}{2} \right)^2\)

● រាង \(\displaystyle a+b+c=0\) នោះ \(\displaystyle x=1\) និង \(\displaystyle x=\frac{c}{a}\)

● រាង \(\displaystyle a+c=b\) នោះ \(\displaystyle x=-1\) និង \(\displaystyle x=-\frac{c}{a}\)

● បើ \(\displaystyle \Delta > 0\): មានឫសពីរ \(\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)

● បើ \(\displaystyle \Delta = 0\): មានឫសឌុប \(\displaystyle x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}\)

● បើ \(\displaystyle \Delta < 0\): សមីការមានឫសជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់គ្នាពីរ \(\displaystyle x = \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\)

● បើ \(\displaystyle \Delta' > 0\) មានឫសពីរ \(\displaystyle x = \frac{-b' \pm \sqrt{\Delta'}}{a}\)

● បើ \(\displaystyle \Delta' = 0\) មានឫសឌុប \(\displaystyle x_1 = x_2 = -\frac{b'}{a}\)

● បើ \(\displaystyle \Delta' < 0\) សមីការមានឫសជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់គ្នាពីរ \(\displaystyle x = \frac{-b' \pm i\sqrt{-\Delta'}}{a}\)

● ផលបូកឬស \(\displaystyle S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)

● ផលឬសគុណ \(\displaystyle P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\)

● បង្កើតសមីការដឺក្រេទី២ តាមផលបូក\(\displaystyle S\) និងផលគុណ \(\displaystyle P\) គឺ \(\displaystyle x^2 - Sx + P = 0\)

\(\displaystyle \blacktriangleright\) ទ្រឹស្តីបទសំណល់: បើពហុធា \(\displaystyle f(x)\) ចែកនឹង \(\displaystyle (x-\alpha)\) នោះសំណល់នៃការចែកគឺ \(\displaystyle R = f(\alpha)\)។

\(\displaystyle \blacktriangleright\) ទ្រឹស្តីបទកត្តា: បើ \(\displaystyle \alpha\) ជាឫសនៃសមីការ \(\displaystyle f(x) = 0\) គេបាន \(\displaystyle f(\alpha) = 0\) នោះ \(\displaystyle (x-\alpha)\) គឺជាកត្តាមួយនៃពហុធា \(\displaystyle f(x)\)។

● បើ \(\displaystyle a > b \Leftrightarrow a + c > b + c\)

    និង \(\displaystyle a - c > b - c\)

● ចំពោះ \(\displaystyle c > 0\): បើ \(\displaystyle a > b \Leftrightarrow ac > bc\)

    និង \(\displaystyle \frac{a}{c} > \frac{b}{c}\)

● ចំពោះ \(\displaystyle c < 0\): បើ \(\displaystyle a > b \Leftrightarrow ac < bc\)

    និង \(\displaystyle \frac{a}{c} < \frac{b}{c}\) (ប្តូរទិសដៅ )

ចំណាំ៖ គុណឬចែកវិសមីការនឹងចំនួនអវិជ្ជមាន នោះវិសមីការត្រូវដូរទិសដៃជានិច្ច។

តាង \(\displaystyle f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)

\(\displaystyle \blacktriangleright\) ឱ្យ \(\displaystyle ax^2+bx+c = 0\) រកឬសតាម \(\displaystyle \Delta\)

\(\displaystyle \blacktriangleright\) បើ \(\displaystyle \Delta > 0\) និង \(\displaystyle a>0\)មានឬសពីរ \(\displaystyle \alpha < \beta\)

    ● ចម្លើយ \(\displaystyle f\left(x\right) > 0\) គឺ \(\displaystyle x<\alpha \;\ , \;\ \beta<x\)

    ● ចម្លើយ \(\displaystyle f\left(x\right) < 0\) គឺ \(\displaystyle \alpha <x< \beta\)

    ● ចម្លើយ \(\displaystyle f\left(x\right) \geq 0\) គឺ \(\displaystyle x \geq \alpha \;\ , \;\ \beta \geq x\)

    ● ចម្លើយ \(\displaystyle f\left(x\right) \leq 0\) គឺ \(\displaystyle \alpha \leq x \leq \beta\)

\(\displaystyle \blacktriangleright\) បើ \(\displaystyle \Delta = 0\) និង \(\displaystyle a>0\) មានឬសឌុប \(\displaystyle \alpha\)

    ● វិសមីការ \(\displaystyle f\left(x\right) > 0\) ចម្លើយគ្រប់ចំនួនពិត

        លើកលែង \(\displaystyle \alpha\)

    ● វិសមីការ \(\displaystyle f\left(x\right) < 0\) គ្មានចម្លើយ

    ● វិសមីការ \(\displaystyle f\left(x\right) \geq 0\) ចម្លើយគ្រប់ចំនួនពិត

    ● វិសមីការ \(\displaystyle f\left(x\right) \leq 0\) មានចម្លើយ \(\displaystyle x=\alpha\)

\(\displaystyle \blacktriangleright\) បើ \(\displaystyle \Delta < 0\) និង \(\displaystyle a>0\) គ្មានមានឬសពិត

    ● វិសមីការ \(\displaystyle f\left(x\right) > 0\) ចម្លើយគ្រប់ចំនួនពិត

    ● វិសមីការ \(\displaystyle f\left(x\right) < 0\) គ្មានចម្លើយ

    ● វិសមីការ \(\displaystyle f\left(x\right) \geq 0\) ចម្លើយគ្រប់ចំនួនពិត

    ● វិសមីការ \(\displaystyle f\left(x\right) \leq 0\) គ្មានចម្លើយ

● ពីរតួ \(\displaystyle a, b \ge 0\)

គេបាន \(\displaystyle \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\)

● បីតួ \(\displaystyle a, b, c \ge 0\)

គេបាន \(\displaystyle \frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}\)

● ចម្ងាយរវាងចំណុច \(\displaystyle A(a)\) និង \(\displaystyle B(b)\) នៅលើបន្ទាត់ចំនួនគឺ \(\displaystyle AB = |b - a|\)

● ចំណុច \(\displaystyle P(x)\)ចែកក្នុងតាមផលធៀប \(\displaystyle m:n\) គឺ \(\displaystyle x = \frac{mb+na}{m+n}\)

● ចំណុច \(\displaystyle Q(x)\)ចែកក្រៅតាមផលធៀប \(\displaystyle m:n\) គឺ \(\displaystyle x = \frac{mb-na}{m-n}\)

● ចម្ងាយពីចំណុច \(\displaystyle A\) ទៅ \(\displaystyle B\) កំណត់ដោយ

   \(\displaystyle AB = \sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}\)

● ចំណុចកណ្តាលអង្កត់ \(\displaystyle AB\) គឺ

   \(\displaystyle I\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\)

● ចំណុចចែកក្នុង \(\displaystyle AB\) តាមផលធៀប \(\displaystyle m:n\)

   គឺ \(\displaystyle P\left(\frac{mx_b+nx_a}{m+n},\frac{my_b+ny_a}{m+n}\right)\)

● ចំណុចចែកក្រៅ \(\displaystyle AB\) តាមផលធៀប \(\displaystyle m:n\)

   គឺ \(\displaystyle Q\left(\frac{mx_b-nx_a}{m-n},\frac{my_b-ny_a}{m-n}\right)\)

បន្ទាត់កាត់តាមចំណុច \(\displaystyle (x_1, y_1)\) និងមានមេគុណប្រាប់ទិស \(\displaystyle m\) គឺ \(\displaystyle y = m(x - x_1) + y_1\)

● សមីការបន្ទាត់កាត់តាមពីរចំណុច \(\displaystyle A(x_1, y_1)\) និង \(\displaystyle B(x_2, y_2)\) គឺ \(\displaystyle \frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)

ដែល \(\displaystyle (x_1 \neq x_2)\) ។

● ទម្រង់ទូទៅនៃសមីការបន្ទាត់: \(\displaystyle y=ax + b\)

ចំពោះបន្ទាត់ \(\displaystyle D: y = mx + n\)

               និង \(\displaystyle D': y = m'x + n'\)

● បើ \(\displaystyle D \parallel D' \Leftrightarrow m = m'\)

● បើ \(\displaystyle D \perp D' \Leftrightarrow m \cdot m' = -1\)

ចម្ងាយចំណុច \(\displaystyle (x_1, y_1)\) ទៅបន្ទាត់ \(\displaystyle y=ax+b\) គឺ \(\displaystyle d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)

● ផ្ចិត \(\displaystyle O(0,0)\) កាំ \(\displaystyle r\) គឺ \(\displaystyle x^2 + y^2 = r^2\)

● ផ្ចិត \(\displaystyle I(a,b)\) កាំ \(\displaystyle r\): \(\displaystyle (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\)

● ទម្រង់ទូទៅ: \(\displaystyle x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0\)

\(\displaystyle \blacktriangleright\)សមីការបន្ទាត់ប៉ះរង្វង់ត្រង់ចំណុច \(\displaystyle (x_0, y_0)\):

● ចំពោះរង្វង់ផ្ចិត \(\displaystyle O(0,0)\): \(\displaystyle x_0x + y_0y = r^2\)

● ចំពោះរង្វង់ផ្ចិត \(\displaystyle I(a,b)\): \(\displaystyle (x_0-a)(x-a) + (y_0-b)(y-b) = r^2\)

ទ្រឹស្តីបទពីតាករ៖ \(\displaystyle {AB}^2 + {BC}^2 = {AC}^2\)

\(\displaystyle \sin A = \frac{\text{ជ្រុងឈម}\rule[-0.5em]{0pt}{1.55em}}{\text{អ៊ីប៉ូតេនុស}\rule[-0.5em]{0pt}{1.55em}}\) , \(\displaystyle \cos A = \frac{\text{ជ្រុងជាប់}\rule[-0.5em]{0pt}{1.55em}}{\text{អ៊ីប៉ូតេនុស}\rule[-0.5em]{0pt}{1.55em}}\)

\(\displaystyle \tan A = \frac{\text{ជ្រុងឈម}\rule[-0.5em]{0pt}{1.55em}}{\text{ជ្រុងជាប់}\rule[-0.5em]{0pt}{1.55em}}\) , \(\displaystyle \cot A = \frac{\text{ជ្រុងជាប់}\rule[-0.5em]{0pt}{1.55em}}{\text{ជ្រុងឈម}\rule[-0.5em]{0pt}{1.55em}}\)

● \(\displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\) និង \(\displaystyle \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\)

● \(\displaystyle \sin^2 x + \cos^2 x = 1\)

● \(\displaystyle \tan x \cdot \cot x = 1\) ឬ \(\displaystyle \tan x = \frac{1}{\cot x}\)

● \(\displaystyle 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}\)

● \(\displaystyle 1 + \cot^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}\)

\(\displaystyle \sin(90^\circ - A) = \cos A\)

\(\displaystyle \cos(90^\circ - A) = \sin A\)

\(\displaystyle \tan(90^\circ - A) = \cot A\)

\(\displaystyle \cot(90^\circ - A) = \tan A\)

\(\displaystyle \sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha\)

\(\displaystyle \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha\)

\(\displaystyle \tan(180^\circ - \alpha) = -\tan \alpha\)

\(\displaystyle \cot(180^\circ - \alpha) = -\cot \alpha\)

● \(\displaystyle S = \frac{1}{2}bc \cdot \sin A = \frac{1}{2}ac \cdot \sin B\)

    \(\displaystyle = \frac{1}{2}ab \cdot \sin C\)

● គេបាន \(\displaystyle \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = \frac{abc}{2S}\)

\(\displaystyle S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)

(ដែល \(\displaystyle p = \frac{a+b+c}{2}\) ជាកន្លះបរិមាត្រ)។

● ទម្រង់ \(\displaystyle y = p(x)\) ដែល\(\displaystyle p(x)\)ជាពហុធា

    កំណត់បានចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត។
● ទម្រង់ \(\displaystyle y = \frac{f(x)}{g(x)}\) ដែនកំណត់ \(\displaystyle g(x) \neq 0\)
● ទម្រង់ \(\displaystyle y = \sqrt{f(x)}\) ដែនកំណត់ \(\displaystyle f(x) \ge 0\)

● អនុគមន៍អ៊ិចស៉្បូណង់ស្យែល \(\displaystyle y = e^{f(x)}\)

    មានន័យចំពោះ \(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}\)

● អនុគមន៍លោការីតនេពែ \(\displaystyle y = \ln \left[f(x)\right]\)

    មានន័យចំពោះ \(\displaystyle f(x) > 0\)

ចំពោះ\(\displaystyle x_2 > x_1\) គេកំណត់

\(\displaystyle \blacktriangleright\) កំណើនអថេរ \(\displaystyle \Delta x = x_2 - x_1\)

\(\displaystyle \blacktriangleright\) កំណើនអនុគមន៍ \(\displaystyle \Delta y = f(x_2) - f(x_1)\)

  ● បើ \(\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} > 0\) នោះ \(\displaystyle f\) ជាអនុគមន៍កើន។

  ● បើ \(\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} < 0\) នោះ \(\displaystyle f\) ជាអនុគមន៍ចុះ។

● ជំនួស \(\displaystyle f(x)\) ដោយ \(\displaystyle y\)

● ប្តូរអថេរ \(\displaystyle x\) ទៅជា \(\displaystyle y\) និង \(\displaystyle y\) ទៅជា \(\displaystyle x\)

● រួចទាញរក \(\displaystyle y\) ថ្មី។

● លក្ខណៈក្រាប: ក្រាបនៃអនុគមន៍ \(\displaystyle f(x)\) និងអនុគមន៍ច្រាស់ \(\displaystyle f^{-1}(x)\) ឆ្លុះគ្នាធៀបនឹងបន្ទាត់ពុះទីមួយ \(\displaystyle y = x\)។

● ចំពោះ \(\displaystyle a > 0\) នោះក្រាបនៃ \(\displaystyle y = ax^2\) បែរផតឡើងលើ។

● ចំពោះ \(\displaystyle a < 0\) នោះក្រាបនៃ \(\displaystyle y = ax^2\) បែរផតឡើងក្រោម។

ក្រាបនៃអនុគមន៍ \(\displaystyle y = a(x-p)^2 + q\) បានពីការរំកិលក្រាបរបស់ \(\displaystyle y = ax^2\) ចំនួន \(\displaystyle p\)ឯកតា ស្របអ័ក្ស\(\displaystyle x'ox\) ។

● បើ \(\displaystyle p>0\) រំកិលទៅស្ដាំ។

● បើ \(\displaystyle p<0\) រំកិលទៅស្ដាំ។

● អាចសរសេរជាទម្រង់ \(\displaystyle y = a(x-p)^2 + q\) ដែល \(\displaystyle p = -\frac{b}{2a}\) និង \(\displaystyle q = -\frac{b^2 - 4ac}{4a}\)

● មានកំពូល \(\displaystyle S(p, q)\) និងអ័ក្សឆ្លុះ \(\displaystyle x = -\frac{b}{2a}\)។

តម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមានៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី២៖ \(\displaystyle y = ax^2 + bx + c\)

● បើ \(\displaystyle a > 0\) អនុគមន៍មានតម្លៃអប្បបរមាស្មើ \(\displaystyle y = -\frac{b^2 - 4ac}{4a}\) ត្រង់ \(\displaystyle x = -\frac{b}{2a}\) ហើយអនុគមន៍គ្មានអតិបរមាទេ ។

● បើ \(\displaystyle a < 0\) នោះអនុគមន៍មានតម្លៃអតិបរមាស្មើ \(\displaystyle y = -\frac{b^2 - 4ac}{4a}\) ត្រង់ \(\displaystyle x = -\frac{b}{2a}\) ហើយអនុគមន៍គ្មានអប្បបរមាទេ ។

● អាស៊ីមតូតឈរគឺ \(\displaystyle x = 0\)

● អាស៊ីមតូតដេកគឺ \(\displaystyle y = 0\)

● អាស៊ីមតូតឈរគឺ \(\displaystyle x = -\frac{d}{c}\)

● អាស៊ីមតូតដេកគឺ \(\displaystyle y = \frac{a}{c}\)

● ប្រើក្រាបរបស់ \(\displaystyle y=\frac{a}{x}\) រំកិលចំនួន\(\displaystyle p\)ឯកតាស្របអ័ក្ស\(\displaystyle (x'ox)\) និង \(\displaystyle q\)ឯកតាស្រប \(\displaystyle (y'oy)\)។

\(\displaystyle \blacktriangleright\) តារាងបំណែងចែកប្រេកង់

\(\displaystyle \blacktriangleright\) ក្រាបសសរ៖ ក្នុងតម្រុយកូអរដោនេ ដៅតម្លៃអថេរ \(\displaystyle \left(x_{i}\right)\) លើអ័ក្សអាប់ស៊ីស និងប្រេកង់ \(\displaystyle \left(f_{i}\right)\) លើអ័ក្សអរដោនេ រួចសង់សសរដែលមានកម្ពស់ជាប្រេកង់ ។

\(\displaystyle \blacktriangleright\) មុំផ្ចិតនៃក្រាបផ្លិត(Pie Chart):

\(\displaystyle \text{មុំផ្ចិត} = \frac{360^\circ \times f_i}{N}\) (ដែល \(\displaystyle f_i\) ជាប្រេកង់ថ្នាក់ និង \(\displaystyle N\) ជាប្រេកង់សរុប)។

\(\displaystyle \blacktriangleright\)​ ប្រេកង់កើន (\(\displaystyle f^{\uparrow}\)): ជាផលបូកប្រេកង់បន្តបន្ទាប់ពីលើចុះក្រោម។

\(\displaystyle \blacktriangleright\) ប្រេកង់ថយ (\(\displaystyle f_{\downarrow}\)): បានមកពីការដកប្រេកង់សរុប និងប្រេកង់បន្តបន្ទាប់ពីលើចុះក្រោម។

នៅលើអ័ក្សអាប់ស៊ីសដៅចន្លោះថ្នាក់ និង តាងប្រេកង់នៅលើអ័ក្សអរដោនេ សង់ចតុកោណកែង ដែលមាន បាតជាចន្លោះថ្នាក់ និងប្រេកង់ជាកម្ពស់ ។

● ដើម្បីសង់ពហុកោណកោណប្រេកង់ គេត្រូវស្គាល់ចំណុចកណ្ដាលនៃថ្នាក់នីមួយៗហៅ ផ្ចិតនៃថ្នាក់ ។ ផ្ចិតនៃថ្នាក់គឺ \(\displaystyle x_i = \frac{c_{i-1}+c_i}{2}\)

● ប្រេកង់កើន ជាប្រេកង់ឬចំនួនដែលបានដោយបូកប្រេកង់ បន្តបន្ទាប់ពីលើ ចុះក្រោម។

● ប្រេកង់ថយ ជាចំនួនដែលបានដោយការដក ប្រេកង់សរុបនិងប្រេកង់ បន្តបន្ទាប់។

● ទិន្នន័យមិនផ្គុំជាថ្នាក់:

\(\displaystyle \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_N}{N}\) ឬ \(\displaystyle \bar{x} = \frac{\sum x_i}{N}\)

● ទិន្នន័យផ្ដុំជាថ្នាក់ (មាន \(\displaystyle x_i\) ជាផ្ចិតថ្នាក់ និង \(\displaystyle f_i\) ជាប្រេកង់):

\(\displaystyle \bar{x} = \frac{x_1f_1 + x_2f_2 + ... + x_nf_n}{f_1 + f_2 + ... + f_n} = \frac{\sum f_ix_i}{N}\)

\(\displaystyle \blacktriangleright\) មេដ្យាន គឺជាតម្លៃចំកណ្តាលនៃទិន្នន័យ (តាមលំដាប់កើន)។ ទីតាំងមេដ្យានគឺ \(\displaystyle \frac{N+1}{2}\)

  ● បើ \(\displaystyle N\) សេស: \(\displaystyle M_e = x_{\frac{N+1}{2}}\)

  ● បើ \(\displaystyle N\) គូ: \(\displaystyle M_e = \frac{1}{2}\left(x_{\frac{N}{2}} + x_{\frac{N}{2}+1}\right)\)

\(\displaystyle \blacktriangleright\) ម៉ូត ជាតម្លៃទិន្នន័យប្រេកង់ខ្ពស់ជាងគេ។

វ៉ិចទ័រស្មើគ្នា មានទិសដៅដូចគ្នា និងប្រវែងស្មើគ្នា។

វ៉ិចទ័រផ្ទុយគ្នា ទិសដៅផ្ទុយគ្នា ប្រវែងស្មើគ្នា។

វ៉ិចទ័រកូលីនេអ៊ែរ ជាវ៉ិចទ័រពីរដែលស្របគ្នានឹងបន្ទាត់តែមួយ (មិនគិតពីទិសដៅ ឬប្រវែង)។

● វិធានប្រលេឡូក្រាម: \(\displaystyle \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}\)

● វិធីដកវ៉ិចទ័រ: \(\displaystyle \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP}\)

បើ \(\displaystyle A(x_1, y_1)\) និង \(\displaystyle B(x_2, y_2)\) នោះគេបាន៖

● កូអរដោនេ \(\displaystyle \overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)\)

● \(\displaystyle |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

ចំពោះ \(\displaystyle \vec{u} = (x, y, z)\) និង \(\displaystyle \vec{v} = (x', y', z')\)

● ផលគុណស្កាលែ \(\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'\)

● ផលគុណស្កាលែ \(\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \theta\)

● គេទាញបាន \(\displaystyle \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}\)

\(\displaystyle = \frac{xx' + yy'+ zz'}{\sqrt{x^2+y^2+z^2} + \sqrt{x'^2+y'^2+{z'}^2}}\)

● កែងគ្នា: \(\displaystyle \vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)

                 \(\displaystyle \Leftrightarrow xx' + yy' = 0\)

បន្ទាត់\(\displaystyle \left(L\right)\)កាត់ចំណុច \(\displaystyle \left(x_0,y_0\right)\) ហើយស្របនឹង \(\displaystyle \vec{u} \left(a,b\right)\) កំណត់ដោយ៖

\(\displaystyle \left(L\right): \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases} \;\ , \;\ t\in \mathbb{R}\)

\(\displaystyle AI\) ជាមេដ្យាននៃ \(\displaystyle \Delta ABC\) គេបាន

\(\displaystyle AB^2 + AC^2 = 2AI^2 + \frac{BC^2}{2}\)

ទីប្រជុំទម្ងន់ \(\displaystyle G\) នៃត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) គឺ

\(\displaystyle \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}\)

រូបភាពចំណុច \(\displaystyle M\) តាមបំលែងកិលនៃវ៉ិចទ័រ \(\displaystyle \vec{p}\) គឺចំណុច\(\displaystyle M'\) ដែល\(\displaystyle \overrightarrow{MM'}=\vec{p}\) ។ កំណត់ដោយ៖ \(\displaystyle M' = t_{\vec{p}}(M)\) ឬ \(\displaystyle M \overset{t_{\vec{p}}}{\longrightarrow}M'\)

​

រូបភាពចំណុច \(\displaystyle M(x,y)\) ទៅ \(\displaystyle M'(x', y')\) តាមបំលែងកិលនៃវ៉ិចទ័រ \(\displaystyle \vec{p} = (a, b)\) កំណត់ដោយ៖ \(\displaystyle M(x,y)\overset{t_{\vec{p}}}{\longrightarrow}M'(x+a,\;y+b)\)

● \(\displaystyle (x,y) \overset{S_{x}}{\longrightarrow} (x,-y)\) ធៀបនឹងអ័ក្ស \(\displaystyle x'x\)

● \(\displaystyle (x,y) \overset{S_{y}}{\longrightarrow} (-x,y)\) ធៀបនឹងអ័ក្ស \(\displaystyle y'y\)

បើចំណុច \(\displaystyle M\) តាមការវិលមុំ \(\displaystyle \alpha\) ជុំវិញផ្ចិត\(\displaystyle A\)

គឺចំណុច \(\displaystyle M'\) នោះ\(\displaystyle AM=AM'\) និង \(\displaystyle \angle MAM'=|\alpha|\) មានពីរករណី៖

   ● បើ \(\displaystyle \alpha >0\) ទិសដៅច្រាសទ្រនិចនាឡិកា

   ● បើ \(\displaystyle \alpha <0\) ទិសដៅដូចទ្រនិចនាឡិកា

● មុំ \(\displaystyle \theta = 90^\circ\): \(\displaystyle P(x, y) \rightarrow P'(-y, x)\)
● មុំ \(\displaystyle \theta = 180^\circ\): \(\displaystyle P(x, y) \rightarrow P'(-x, -y)\)
● មុំ \(\displaystyle \theta = 270^\circ\): \(\displaystyle P(x, y) \rightarrow P'(y, -x)\)

\(\displaystyle \blacktriangleright\) រូបភាពចំណុច \(\displaystyle M\) តាមបំលែងចាំងផ្ចិត \(\displaystyle P\) ផលធៀប \(\displaystyle c\) គឺ \(\displaystyle M'\) ដែល \(\displaystyle \vec{PM'} = c\vec{PM}\) គេសរសេរ \(\displaystyle A \overset{{h}}{\longrightarrow}A'\) ឬ \(\displaystyle A' = h(A)\)
● បើ \(\displaystyle c > 0\): រូបភាព និងរូបពិតនៅខាងតែមួយនៃផ្ចិតបំលែង។
● បើ \(\displaystyle c < 0\): រូបភាព និងរូបពិតនៅម្នាក់ខាងនៃផ្ចិតបំលែង។

\(\displaystyle \blacktriangleright\) បើផ្ចិតជាគល់តម្រុយ \(\displaystyle O(0,0)\) លទ្ធផលគឺ: \(\displaystyle (x, y) \overset{{h}}{\longrightarrow} (cx, cy)\)