រូបមន្តសង្ខេបគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី ១១

• ក. \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} c = nc\)
• ខ. \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} c a_{k} = c \sum_{k=1}^{n} a_{k}\)
• គ. \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (a_{k} + b_{k}) = \sum_{k=1}^{n} a_{k} + \sum_{k=1}^{n} b_{k}\)
• ឃ. \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (a_{k} - b_{k}) = \sum_{k=1}^{n} a_{k} - \sum_{k=1}^{n} b_{k}\)
• ង. \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (a_{k} + b_{k})^{2} = \sum_{k=1}^{n} a_{k}^{2} + 2 \sum_{k=1}^{n} a_{k} b_{k} + \sum_{k=1}^{n} b_{k}^{2}\) ។

• ក. \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}\)
• ខ. \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
• គ. \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2\)
• ឃ. \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{n}{n+1}\)
• ង. \(\displaystyle \small\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}\)
  \(\displaystyle =\dfrac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}\)

ចំពោះ \(\displaystyle n \geq 2\) គេបាន \(\displaystyle S_n - S_{n-1} = a_n\) និង \(\displaystyle S_1 = a_1\) ។

ដោះស្រាយ \(\displaystyle a_{n+2} + p a_{n+1} + q a_n = 0\) បើទំនាក់ទំនងនៃស្វុីត \(\displaystyle (a_n)\) មានទម្រង់
\(\displaystyle a_{n+2} + p a_{n+1} + q a_n = 0\) គេពិចារណាពីចំនួន \(\displaystyle \alpha\) និង \(\displaystyle \beta\) ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ
\(\displaystyle \alpha + \beta = -p, \alpha\beta = q\) នោះគេបាន \(\displaystyle a_{n+2} - (\alpha + \beta)a_{n+1} + \alpha\beta a_n = 0\) ។ ទំនាក់ទំនងនេះអាចបម្លែងតាមរបៀបពីរយ៉ាងដូចខាងក្រោម ៖ \(\displaystyle a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \beta(a_{n+1} - \alpha a_n)\) \(\displaystyle a_{n+2} - \beta a_{n+1} = \alpha(a_{n+1} - \beta a_n)\) ទំនាក់ទំនងទាំង 2 ខាងលើនេះ គឺជាស្វុីតធរណីមាត្រអាចឱ្យគេរក \(\displaystyle a_n\) បាន ។ គេអាចរក \(\displaystyle \alpha\) និង \(\displaystyle \beta\) ដោយដោះស្រាយសមីការ \(\displaystyle x^2 + px + q = 0\) ព្រោះគេ ស្គាល់ផលបូកនិងផលគុណវា ។ សមីការ \(\displaystyle x^2 + px + q = 0\) ហៅថា "សមីការសម្គាល់នៃ \(\displaystyle a_{n+2} - (\alpha + \beta)a_{n+1} + \alpha\beta a_n = 0\)" ។

ក. \(\displaystyle \sqrt[n]{a^n}=|a|\) បើ \(\displaystyle n\) គូ
ខ. \(\displaystyle \sqrt[n]{a^n}=a\) បើ \(\displaystyle n\) សេស

ក. \(\displaystyle \sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\)
ខ. \(\displaystyle \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},~~b\ne 0\)
គ. \(\displaystyle \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}\)     ឃ. \(\displaystyle \sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}\)
ង. \(\displaystyle \displaystyle\sqrt[nk]{a^{mk}}=\sqrt[n]{a^m}\)

\(\displaystyle \bullet\)  \(\displaystyle a > 1\) , \(\displaystyle y = a^x\) កើនជានិច្ច

\(\displaystyle \bullet\)  \(\displaystyle 0 < a < 1\) , \(\displaystyle y = a^x\) ចុះជានិច្ច

✎  \(\displaystyle a^x = a^y \quad \iff \quad x = y\)

✎  \(\displaystyle a^{u(x)} = a^{v(x)} \iff u(x) = v(x)\)

✎  \(\displaystyle [f(x)]^{u(x)} = [f(x)]^{v(x)}\)
\(\displaystyle \quad \iff \begin{cases} f(x) > 0 \\ [f(x) - 1][u(x) - v(x)] = 0 \end{cases}\)

១. បើ \(\displaystyle a > 1\)

២. បើ \(\displaystyle 0 < a < 1\)

៣. ដូចគ្នាដែរចំពោះទំនាក់ទំនង \(\displaystyle f(x)\) និង \(\displaystyle u(x)\) ឬ \(\displaystyle v(x)\) យើងបានដូចខាងក្រោម៖

✎  \(\displaystyle [f(x)]^{u(x)} > [f(x)]^{v(x)}\)
\(\displaystyle \iff \begin{cases} f(x) > 0 \\ [f(x) - 1][u(x) - v(x)] > 0 \end{cases}\)

✎  \(\displaystyle [f(x)]^{u(x)} < [f(x)]^{v(x)}\)
\(\displaystyle \iff \begin{cases} f(x) > 0 \\ [f(x) - 1][u(x) - v(x)] < 0 \end{cases}\)

១. តាង \(\displaystyle P\) ជាប្រាក់ដើម \(\displaystyle i\) ជាអត្រាការប្រាក់ប្រចាំឆ្នាំ \(\displaystyle t\) ជាចំនួនឆ្នាំ គេបានប្រាក់សរុបគឺ \(\displaystyle A = P(1 + i)^t\) ( ប្រើបានចំពោះប្រាក់ទូទាត់ 1 ឆ្នាំម្តង ) ។
២. បើ \(\displaystyle n\) ជាចំនួនដងនៃការទូទាត់ការប្រាក់ក្នុងមួយឆ្នាំ គេបានរូបមន្ត \(\displaystyle A = P\left(1 + \frac{i}{n}\right)^{nt}\) ។

• ✎ ជំនួស \(\displaystyle f(x)\) ដោយ \(\displaystyle y\) ។
• ✎ ប្តូរ \(\displaystyle x\) ទៅជា \(\displaystyle y\) និង ប្តូរ \(\displaystyle y\) ទៅជា \(\displaystyle x\) គេបានសមីការថ្មី រួចទាញរកតម្លៃ \(\displaystyle y\) ។
• ✎ បើសមីការថ្មីនេះមិនមាន \(\displaystyle y\) ជាអនុគមន៍នៃ \(\displaystyle x\) ទេ នោះអនុគមន៍ \(\displaystyle f\) គ្មានអនុគមន៍ច្រាសទេ ។
• ✎ ជំនួស \(\displaystyle y\) ដោយ \(\displaystyle f^{-1}(x)\) ។

\(\displaystyle \bullet\) ករណី \(\displaystyle a = 10\) គេបាន \(\displaystyle \log_{10} x\) ហៅថា លោការីតទសភាគ គេអាចសរសេរដោយងាយ \(\displaystyle \log x\) ។
\(\displaystyle \bullet\) ករណី \(\displaystyle a = e \ (e \approx 2.7182\dots)\) គេបាន \(\displaystyle \log_e x\) ហៅថា លោការីតធម្មជាតិ ឬ លោការីតនេពែ គេអាចសរសេរដោយងាយ \(\displaystyle \ln x\) ។

☞  បើ \(\displaystyle a > 1\) នោះក្រាប \(\displaystyle y = \log_a x\) កើនពីឆ្វេងទៅស្តាំ ។ គេថា \(\displaystyle y = \log_a x\) ជាអនុគមន៍កើន ។

• ✎ ករណី \(\displaystyle 0 < x < 1\) នោះតម្លៃ
  \(\displaystyle y = \log_a x < 0\) ។
• ករណី \(\displaystyle x > 1\) នោះតម្លៃ
  \(\displaystyle y = \log_a x > 0\)​ ។

☞  បើ \(\displaystyle 0<a<1\) នោះក្រាប \(\displaystyle y = \log_a x\) ចុះពីឆ្វេងទៅស្តាំ ។ គេថា \(\displaystyle y = \log_a x\) ជាអនុគមន៍ចុះ ។

• ✎ ករណី \(\displaystyle 0 < x < 1\) នោះតម្លៃ
  \(\displaystyle y = \log_a x > 0\) ។
• ✎ ករណី \(\displaystyle x > 1\) នោះតម្លៃ
  \(\displaystyle y = \log_a x < 0\)​ ។

• ☞   អនុគមន៍ \(\displaystyle y = \log_a x\) មានក្រាបកាត់តាមចំណុចដែលមានកូអរដោនេ \(\displaystyle (1,0)\) ជានិច្ច ។
• ☞  អនុគមន៍ \(\displaystyle y = \log_a x\) មានន័យចំពោះ \(\displaystyle x > 0\) ជានិច្ច ។
• ☞  អនុគមន៍ \(\displaystyle y = \log_a x\) និង \(\displaystyle y = a^x\) មានក្រាបឆ្លុះគ្នាធៀបនឹងបន្ទាត់ \(\displaystyle y = x\) ។

បើ \(\displaystyle a>0, a\neq 1\) នោះសមីការ \(\displaystyle \log_ax=\log_ay\) គេបាន \(\displaystyle x=y\) ។

☞  បើ \(\displaystyle \log_a x_1 < \log_a x_2\)  នោះ \(\displaystyle x_1 < x_2\)
☞  បើ \(\displaystyle \log_a x_1 > \log_a x_2\)  នោះ \(\displaystyle x_1 > x_2\)
☞  បើ \(\displaystyle \log_a x_1 \le \log_a x_2\)  នោះ \(\displaystyle x_1 \le x_2\)
☞  បើ \(\displaystyle \log_a x_1 \ge \log_a x_2\)  នោះ \(\displaystyle x_1 \ge x_2\)

☞  បើ \(\displaystyle \log_a x_1 < \log_a x_2\)  នោះ \(\displaystyle x_1 > x_2\)
☞  បើ \(\displaystyle \log_a x_1 > \log_a x_2\)  នោះ \(\displaystyle x_1 < x_2\)
☞  បើ \(\displaystyle \log_a x_1 \le \log_a x_2\)  នោះ \(\displaystyle x_1 \ge x_2\)
☞  បើ \(\displaystyle \log_a x_1 \ge \log_a x_2\)  នោះ \(\displaystyle x_1 \le x_2\)

☞  តាង \(\displaystyle P\) ជាប្រាក់ដើម   \(\displaystyle i\) ជាអត្រាការប្រាក់ប្រចាំឆ្នាំ   \(\displaystyle t\) ជាចំនួនឆ្នាំ គេបានប្រាក់សរុបគឺ \(\displaystyle A = P(1 + i)^t\)   (ប្រើបានចំពោះប្រាក់ទូទាត់១ឆ្នាំម្តង)
☞  បើ \(\displaystyle n\) ជាចំនួនដងនៃការទូទាត់ការប្រាក់ក្នុងមួយឆ្នាំគេបានរូបមន្ត \(\displaystyle A = P\left(1 + \frac{i}{n}\right)^{nt}\) ។

☞  \(\displaystyle \overrightarrow{OP_0}\) និង \(\displaystyle \overrightarrow{OP}\) ជាពីរវ៉ិចទ័រដែលកំណត់បានមុំ \(\displaystyle \alpha + k \times 360^\circ\) , \(\displaystyle k \in \mathbb{Z}\) ដែល \(\displaystyle k\) ជាចំនួនជុំ ។
☞  មុំ \(\displaystyle \alpha\) និង \(\displaystyle \alpha + 360^\circ\) មានរង្វាស់ខុសគ្នា តែមានវ៉ិចទ័រគល់ និង វ៉ិចទ័រចុងដូចគ្នា ។

☞ \(\displaystyle 360^\circ = 2\pi\) រ៉ាដ្យង់ និង \(\displaystyle 180^\circ = \pi\) រ៉ាដ្យង់ ។
☞ \(\displaystyle 1^\circ = \frac{\pi}{180}\) \(\displaystyle rd\) និង \(\displaystyle 1rd = \left(\frac{180^\circ}{\pi}\right)\) ។

\(\displaystyle \left(\overrightarrow{OP_0} \, , \, \overrightarrow{OP}\right) = \alpha + 2k\pi\) , \(\displaystyle k \in \mathbb{Z}\) ដែល \(\displaystyle k\) ជាចំនួនជុំ ។

☞ ដើម្បីបំប្លែងពីដឺក្រេទៅរ៉ាដ្យង់ គ្រាន់តែគុណនឹង \(\displaystyle \frac{\pi}{180}\) ។
☞ ដើម្បីបំប្លែងពីរ៉ាដ្យង់ទៅដឺក្រេ គ្រាន់តែគុណនឹង \(\displaystyle \frac{180}{\pi}\) ។

☞ \(\displaystyle \sin \theta = \frac{OQ}{OP} = \frac{y}{r}\)
☞ \(\displaystyle \cos \theta = \frac{OP'}{OP} = \frac{x}{r}\)
☞ \(\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{y}{x}\)
☞ \(\displaystyle \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{x}{y}\)

☞ អ័ក្ស \(\displaystyle \overrightarrow{yy'}\) ហៅថា អ័ក្សស៊ីនុស
☞ អ័ក្ស \(\displaystyle \overrightarrow{uu'}\) ហៅថា អ័ក្សតង់សង់
☞ អ័ក្ស \(\displaystyle \overrightarrow{xx'}\) ហៅថា អ័ក្សកូស៊ីនុស
☞ អ័ក្ស \(\displaystyle \overrightarrow{vv'}\) ហៅថា អ័ក្សកូតង់សង់

☞ \(\displaystyle \sin(\theta + 2k\pi) = \sin \theta\)
☞ \(\displaystyle \cos(\theta + 2k\pi) = \cos \theta\)
☞ \(\displaystyle \tan(\theta + 2k\pi) = \tan \theta\)
☞ \(\displaystyle \cot(\theta + 2k\pi) = \cot \theta\)    ដែល \(\displaystyle k \in \mathbb{Z}\)

☞   \(\displaystyle \sin(-\theta) = -\sin \theta\)
☞   \(\displaystyle \cos(-\theta) = \cos \theta\)
☞   \(\displaystyle \tan(-\theta) = -\tan(\theta)\)
☞   \(\displaystyle \cot(-\theta) = -\cot(\theta)\)

☞   \(\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos \theta\)

☞   \(\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta\)

☞   \(\displaystyle \tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot \theta\)

☞   \(\displaystyle \cot\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \tan \theta\)

☞   \(\displaystyle \sin(\pi - \theta) = \sin \theta\)
☞   \(\displaystyle \cos(\pi - \theta) = -\cos \theta\)
☞   \(\displaystyle \tan(\pi - \theta) = -\tan \theta\)
☞   \(\displaystyle \cot(\pi - \theta) = -\cot \theta\)

☞   \(\displaystyle \sin(\pi + \theta) = -\sin \theta\)
☞   \(\displaystyle \cos(\pi + \theta) = -\cos \theta\)
☞   \(\displaystyle \tan(\pi + \theta) = \tan \theta\)
☞   \(\displaystyle \cot(\pi + \theta) = \cot \theta\)

☞   \(\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = \cos \theta\)
☞   \(\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\sin \theta\)
☞   \(\displaystyle \tan\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\cot \theta\)
☞   \(\displaystyle \cot\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\tan \theta\)

☞  អនុគមន៍ \(\displaystyle f(x) = \sin x\) កំណត់ចំពោះគ្រប់ \(\displaystyle x \in \mathbb{R}\) គេបាន \(\displaystyle D = \mathbb{R}\) ។
☞  អនុគមន៍ \(\displaystyle f(x) = \cos x\) កំណត់ចំពោះគ្រប់ \(\displaystyle x \in \mathbb{R}\) គេបាន \(\displaystyle D = \mathbb{R}\) ។
☞  អនុគមន៍ \(\displaystyle f(x) = \tan x\) កំណត់បាន
លុះត្រាតែ \(\displaystyle \cos x \neq 0\) គេបាន
\(\displaystyle x \neq (2k + 1)\frac{\pi}{2}\) ដែល \(\displaystyle k \in \mathbb{Z}\) ។
ដូចនេះ \(\displaystyle D = \mathbb{R} \setminus \left\{(2k + 1)\frac{\pi}{2}\right\}\) ។
☞  អនុគមន៍ \(\displaystyle f(x) = \cot x\) កំណត់បានលុះត្រាតែ \(\displaystyle \sin x \neq 0\) គេបាន \(\displaystyle x \neq k\pi\) ដែល \(\displaystyle k \in \mathbb{Z}\) ។ ដូចនេះ \(\displaystyle D = \mathbb{R} \setminus \{k\pi\}\) ។

• ១. អនុគមន៍ \(\displaystyle f(x) = A \sin ax\) និង \(\displaystyle g(x) = A \cos ax\) មានខួប \(\displaystyle T = \frac{2\pi}{|a|}\) ដែល \(\displaystyle a \in \mathbb{R}\) ។
• ២. អនុគមន៍ \(\displaystyle f(x) = A \tan ax\) និង \(\displaystyle g(x) = A \cot ax\) មានខួប \(\displaystyle T = \frac{\pi}{|a|}\) ដែល \(\displaystyle a \in \mathbb{R}\) ។
• ៣. អនុគមន៍ \(\displaystyle f(x) = A \sin(ax - \theta) + B\) និង \(\displaystyle f(x) = A \cos(ax - \theta) + B\) មានខួប \(\displaystyle T = \frac{2\pi}{|a|}\) ដែល \(\displaystyle a \in \mathbb{R}\) ។
• ៤. អនុគមន៍ \(\displaystyle f(x) = A \tan(ax - \theta) + B\) និង \(\displaystyle f(x) = A \cot(ax - \theta) + B\) មានខួប \(\displaystyle T = \frac{\pi}{|a|}\) ដែល \(\displaystyle a \in \mathbb{R}\) ។

• \(\displaystyle \bullet\) ដែនកំណត់៖ \(\displaystyle y = \sin x\) ជាអនុគមន៍កំណត់គ្រប់ \(\displaystyle x \in \mathbb{R}\) មានន័យថា
  \(\displaystyle D = \mathbb{R}\)
• \(\displaystyle \bullet\) ខួប៖ \(\displaystyle y = \sin x\) ជាអនុគមន៍ខួប ដែលមានខួប \(\displaystyle p = 2\pi\) ព្រោះ
  \(\displaystyle \sin(x + 2\pi) = \sin x\)
• \(\displaystyle \bullet\) ភាពសេស៖ មាន \(\displaystyle \sin(-x) = -\sin x\) ។ ដូចនេះអនុគមន៍ \(\displaystyle y = \sin x\) ជាអនុគមន៍សេស ។ ក្រាបនៃអនុគមន៍ \(\displaystyle y = \sin x\) មានគល់តម្រុយជាផ្ចិតឆ្លុះ ។
• \(\displaystyle \bullet\) ទិសដៅអថេរភាព៖ គេសង្កេតឃើញថា កាលណា \(\displaystyle x\) កើនពី \(\displaystyle 0\) ទៅ \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\) នោះតម្លៃ \(\displaystyle \sin x\) កើនពី \(\displaystyle 0\) ទៅ \(\displaystyle 1\) ។ បើ \(\displaystyle x\) កើនពី \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\) ទៅ \(\displaystyle \pi\) តម្លៃ \(\displaystyle \sin x\) ចុះពី \(\displaystyle 1\) ទៅ \(\displaystyle 0\) ។

• \(\displaystyle \bullet\) ដែនកំណត់៖ \(\displaystyle y = \cos x\) ជាអនុគមន៍កំណត់គ្រប់ \(\displaystyle x \in \mathbb{R}\) មានន័យថា
  \(\displaystyle D = \mathbb{R}\)
• \(\displaystyle \bullet\) ខួប៖ \(\displaystyle y = \cos x\) ជាអនុគមន៍ខួប ដែលមានខួប \(\displaystyle p = 2\pi\) ព្រោះ
  \(\displaystyle \sin(x + 2\pi) = \sin x\)
• \(\displaystyle \bullet\) ភាពសេស៖ មាន \(\displaystyle \cos(-x) = \cos x\) ។ ដូចនេះអនុគមន៍ \(\displaystyle y = \cos x\) ជាអនុគមន៍សេស ។ ក្រាបនៃអនុគមន៍ \(\displaystyle y = \cos x\) មានគល់តម្រុយជាអ័ក្សឆ្លុះ ។
• \(\displaystyle \bullet\) ទិសដៅអថេរភាព៖ គេសង្កេតឃើញថា កាលណា \(\displaystyle x\) កើនពី \(\displaystyle 0\) ទៅ \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\) នោះតម្លៃ \(\displaystyle \cos x\) កើនពី \(\displaystyle 0\) ទៅ \(\displaystyle 1\) ។ បើ \(\displaystyle x\) កើនពី \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\) ទៅ \(\displaystyle \pi\) តម្លៃ \(\displaystyle \cos x\) ចុះពី \(\displaystyle 0\) ទៅ \(\displaystyle -1\) ។

• \(\displaystyle \bullet\) ដែនកំណត់៖ \(\displaystyle y = \tan x\) ជាអនុគមន៍កំណត់គ្រប់ \(\displaystyle x\neq \left(2k+1\right)\dfrac{\pi}{2}\) ដែល \(\displaystyle k \in \mathbb{Z}\) ។
  ដូចនេះ \(\displaystyle D = \mathbb{R} \setminus \left\{(2k + 1)\frac{\pi}{2}\right\}\) ។
• \(\displaystyle \bullet\) ខួប៖ \(\displaystyle y = \tan x\) ជាអនុគមន៍ខួប ដែលមានខួប \(\displaystyle p = \pi\)
• \(\displaystyle \bullet\) ភាពសេស៖ \(\displaystyle \tan(-x) = -\tan x\) ។
  ដូចនេះអនុគមន៍ \(\displaystyle y = \tan x\) ជា
  អនុគមន៍សេស ។
• \(\displaystyle \bullet\) ទិសដៅអថេរភាព៖

☞  \(\displaystyle \sin \alpha = 2 \sin \dfrac{\alpha}{2} \cos \dfrac{\alpha}{2}\)
☞  \(\displaystyle \sin^2 \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 - \cos \alpha}{2}\)
☞  \(\displaystyle \cos^2 \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 + \cos \alpha}{2}\)
☞  \(\displaystyle \tan^2 \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}\)

☞   \(\displaystyle \cos \alpha = \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}\)
☞   \(\displaystyle \sin \alpha = \dfrac{2t}{1 + t^2}\)
☞   \(\displaystyle \tan \alpha = \dfrac{2t}{1 - t^2}\)

☞  \(\displaystyle \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \dfrac{\alpha + \beta}{2} \cos \dfrac{\alpha - \beta}{2}\)
☞  \(\displaystyle \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \dfrac{\alpha + \beta}{2} \cos \dfrac{\alpha - \beta}{2}\)

☞  \(\displaystyle \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \dfrac{\alpha - \beta}{2} \sin \dfrac{\alpha + \beta}{2}\)
☞  \(\displaystyle \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \dfrac{\alpha - \beta}{2} \cos \dfrac{\alpha + \beta}{2}\)

☞  \(\displaystyle \cos \alpha \cos \beta = \dfrac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]\)
☞  \(\displaystyle \sin \alpha \cos \beta = \dfrac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]\)
☞  \(\displaystyle \sin \alpha \sin \beta = \dfrac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)]\)
☞  \(\displaystyle \sin \beta \cos \alpha = \dfrac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)]\)

• \(\displaystyle \bullet\) សមីការ \(\displaystyle \cos x = \cos \alpha\) មានចម្លើយពីរគឺ \(\displaystyle \begin{cases} x = \alpha + 2k\pi \\ x = -\alpha + 2k\pi \end{cases}, \quad k \in \mathbb{Z}\)
• \(\displaystyle \bullet\) សមីការ \(\displaystyle \cos u(x) = \cos v(x)\) មានចម្លើយពីរ
  គឺ \(\displaystyle \begin{cases} u(x) = v(x) + 2k\pi \\ u(x) = -v(x) + 2k\pi \end{cases}, k \in \mathbb{Z}\)

\(\displaystyle \bullet\) សមីការ \(\displaystyle \sin x = \sin \alpha\) មានចម្លើយពីរគឺ
\(\displaystyle \begin{cases} x = \alpha + 2k\pi \\ x = \pi - \alpha + 2k\pi \end{cases}, \quad k \in \mathbb{Z}\)
\(\displaystyle \bullet\) សមីការ \(\displaystyle \sin u(x) = \sin v(x)\) មានចម្លើយគឺ
\(\displaystyle \begin{cases} u(x) = v(x) + 2k\pi \\ u(x) = \pi - v(x) + 2k\pi \end{cases}, k \in \mathbb{Z}\)

• សមីការ \(\displaystyle \tan x = \tan \alpha\) មានចម្លើយគឺ \(\displaystyle x = \alpha + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)
• សមីការ \(\displaystyle \tan u(x) = \tan v(x)\) មានចម្លើយគឺ \(\displaystyle u(x) = v(x) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)

• សមីការ \(\displaystyle \cot x = \cot \alpha\) មានចម្លើយគឺ \(\displaystyle x = \alpha + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)
• សមីការ \(\displaystyle \cot u(x) = \cot v(x)\) មានចម្លើយគឺ \(\displaystyle u(x) = v(x) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)

ចំពោះ \(\displaystyle a \in [-1, 1]\) វិសមីការ \(\displaystyle \cos x \ge a\) មានសំណុំចម្លើយ

ចំពោះ \(\displaystyle a \in [-1, 1]\) វិសមីការ \(\displaystyle \cos x \le a\) មានសំណុំចម្លើយ

ចំពោះ \(\displaystyle a \in [-1, 1]\) វិសមីការ \(\displaystyle \sin x \ge a\) មានសំណុំចម្លើយ

ចំពោះ \(\displaystyle a \in [-1, 1]\) វិសមីការ \(\displaystyle \sin x \le a\) មានសំណុំចម្លើយ

វិសមីការ \(\displaystyle \tan x \ge a\) មានសំណុំចម្លើយ

វិសមីការ \(\displaystyle \tan x \le a\) មានសំណុំចម្លើយ

វិសមីការ \(\displaystyle \cot x \ge a\) មានសំណុំចម្លើយ

វិសមីការ \(\displaystyle \cot x \le a\) មានសំណុំចម្លើយ

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការមានរាង
\(\displaystyle a \cos x + b \sin x = c\) គេមានពីររបៀបក្នុងការដោះស្រាយគឺ ៖

•  វីធីទី១ ៖ បំប្លែងសមីការ \(\displaystyle a \cos x + b \sin x = c\) ជារាង \(\displaystyle \cos(x - \theta) = \frac{c}{r}\) ដែល
  \(\displaystyle r = \sqrt{a^2 + b^2} \ , \ (r > 0)\) និង \(\displaystyle \cos \theta = \frac{a}{r} \ , \ \sin \theta = \frac{b}{r}\)
•  វីធីទី២ ៖ ដោះស្រាយដោយតាង \(\displaystyle t = \tan \frac{x}{2}\) រួចជំនួសតម្លៃ \(\displaystyle \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}\) និង \(\displaystyle \sin x = \frac{2t}{1 + t^2}\) នោះគេបានសមីការដឺក្រេទី២ ដែលមានអញ្ញាត \(\displaystyle t\) រួចដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី២ នេះ ហើយ យកតម្លៃ \(\displaystyle t\) ដែលរកបានផ្ទៀងផ្ទាត់នឹង \(\displaystyle \tan \frac{x}{2}\) ដើម្បីទាញរក \(\displaystyle x\) ជាឫសនៃសមីការ ។

ប្រយ័ត្ន ៖ ដោះស្រាយតាមរបៀបទី២នេះ អាចបាត់ឫស \(\displaystyle x = \pi + 2k\pi\) ដូចនេះ ដំបូងត្រូវពិនិត្យថា \(\displaystyle x = \pi + 2k\pi\) ជាឫសនៃសមីការដឺក្រេទី \(\displaystyle 2\) នៃសមីការ \(\displaystyle a \cos x + b \sin x = c\) ឬទេ ?

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការបែបនេះគេត្រូវ ៖

• បំប្លែងសមីការ ឱ្យទៅជាសមីការដឺក្រេទី\(\displaystyle 2\) ដូចខាងលើសិន
• តាងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃ \(\displaystyle x\) ដោយ អញ្ញាត \(\displaystyle t\)
• ដាក់លក្ខខណ្ឌឱ្យអនុគមន៍ត្រីកោណ
  មាត្រដើម្បីឱ្យវាមានន័យ
• ដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី \(\displaystyle 2\) ដែលមានអញ្ញាត \(\displaystyle t\)
• យកតម្លៃ \(\displaystyle t\) ផ្ទឹមនឹងអនុគមន៍ត្រីកោណ
  មាត្រដែលបានតាង ដើម្បីទាញរកចម្លើយនៃអញ្ញាត \(\displaystyle x\) ។

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការបែបនេះ គេត្រូវចែកអង្គទាំងពីរនៃសមីការនឹង \(\displaystyle \cos^2 x \neq 0 \ ,\)
\(\displaystyle \ x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\) ។ គេបានសមីការ \(\displaystyle a \tan^2 x + b \tan x + c = 0\) រួចដោះស្រាយតាមរបៀបខាងលើ ។

ដើម្បីដោះស្រាយវិសមីការដែលមានរាង
\(\displaystyle \sin x \geq a \ , \ \cos x < a \ , \ \tan x < a \ , \ \cot x < a \ , \ \cdots\) គេត្រូវ ៖

• រក \(\displaystyle \alpha\) ដែល \(\displaystyle \sin \alpha = a \ , \ \cos \alpha = a \ , \ \tan \alpha = a \ , \ \cot \alpha = a \ , \ \cdots\)
• ដៅចុងធ្នូតាមតម្លៃ \(\displaystyle \alpha\) រួចបកស្រាយដោយប្រើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ ។
• បំប្លែងវិសមីការឱ្យមានទម្រង់ងាយ \(\displaystyle \sin x \geq \sin \alpha \ , \ \cos x < \cos \alpha \ , \ \cot x < \cot \alpha \ , \ \cdots\) មុននឹងដោះស្រាយរកសំណុំចម្លើយ ។

• ១. \(\displaystyle \lim_{x \to a} k = k\)
• ២. \(\displaystyle \lim_{x \to a} kf(x) = k \lim_{x \to a} f(x) = k \times L\)
• ៣. \(\displaystyle \lim_{x \to a} [f(x) + g(x)]\)
  \(\displaystyle = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) = L + M\)
• ៤. \(\displaystyle \lim_{x \to a} [f(x) - g(x)]\)
  \(\displaystyle = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x) = L - M\)
• ៥. \(\displaystyle \lim_{x \to a} [f(x) \times g(x)]\)
  \(\displaystyle = \lim_{x \to a} f(x) \times \lim_{x \to a} g(x) = L \times M\)
• ៦. \(\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)}{\displaystyle\lim_{x \to a} g(x)}\)
  \(\displaystyle = \frac{L}{M} \quad \text{បើ} \quad \lim_{x \to a} g(x) = M \neq 0\)
• ៧. \(\displaystyle \lim_{x \to a} \big[ f(x) \big]^n = L^n\)

បើ \(\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}\) ហើយតម្លៃនៃ \(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = f(a) = 0\) និង \(\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = g(a) = 0\) នោះលីមីត \(\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}\) មានរាងមិនកំណត់ \(\displaystyle \frac{0}{0}\) នោះគេត្រូវគណនាដូចជំហានខាងក្រោម ៖

• ជំហានទី ១ បំបែកតួទាំងពីរនៃប្រភាគជាផលគុណកត្តាដែលមាន \(\displaystyle (x - a)\) ជាកត្តារួម
• ជំហានទី ២ សម្រួលកត្តារួមចោល
• ជំហានទី ៣ រកលីមីតនៃប្រភាគថ្មី ។
• បើកន្សោមនៃលីមីតដែលត្រូវគណនា ជារ៉ាឌីកាល់គេត្រូវគុណចែកកន្សោមនោះជាមួយកន្សោមឆ្លាស់របស់វា ។

☞  បើលីមីតនៃពហុធា មានរាងមិនកំណត់ \(\displaystyle +\infty - \infty\) ឬ \(\displaystyle -\infty + \infty\) នៅត្រង់អនន្ត នោះគេត្រូវ ៖

• ដាក់តួដែលទិន្នន័យដឺក្រេធំជាងគេជាកត្តារួម ។
• គណនាលីមីតនៃកន្សោមថ្មី ។

☞  លីមីតនៃពហុធា នៅត្រង់អនន្ត គឺគណនាលីមីតដែលទិន្នន័យដឺក្រេធំជាងគេ

☞  បើលីមីតនៃប្រភាគសនិទានមានរាងមិនកំណត់ \(\displaystyle \frac{\infty}{\infty}\) នៅត្រង់អនន្ត នោះគេត្រូវ ៖

• ដាក់តួដែលមានដឺក្រេធំជាងគេនៅ ភាគយក នៅភាគបែងជាកត្តារួម ហើយសម្រួលកត្តារួមចោល
• គណនាលីមីតនៃកន្សោមថ្មី ។

☞  លីមីតនៃប្រភាគសនិទាននៅត្រង់អនន្ត គឺទាក់ទងនឹងផលធៀបរវាងលីមីតនៃតួដែលមានដឺក្រេធំជាងគេនៅភាគយកនិងលីមីតនៃតួដែលមានដឺក្រេធំជាងគេនៅភាគបែង ។

១. តម្លៃអតិបរមាធៀប មានត្រង់ \(\displaystyle x_0\) លុះត្រាតែ \(\displaystyle f'(x)\) ប្តូរសញ្ញាពី (+) ទៅ (\(\displaystyle -\))៖

• \(\displaystyle f'(x) > 0\) បើ \(\displaystyle x < x_0\) (អនុគមន៍កើន)
• \(\displaystyle f'(x) = 0\) បើ \(\displaystyle x = x_0\)
• \(\displaystyle f'(x) < 0\) បើ \(\displaystyle x > x_0\) (អនុគមន៍ចុះ)

២. តម្លៃអប្បបរមាធៀបមានត្រង់ \(\displaystyle x_0\) លុះត្រាតែ \(\displaystyle f'(x)\) ប្តូរសញ្ញាពី (\(\displaystyle -\)) ទៅ (+)៖

• \(\displaystyle f'(x) < 0\) បើ \(\displaystyle x < x_0\) (អនុគមន៍ចុះ)
• \(\displaystyle f'(x) = 0\) បើ \(\displaystyle x = x_0\)
• \(\displaystyle f'(x) > 0\) បើ \(\displaystyle x > x_0\) (អនុគមន៍កើន)

ជំហានក្នុងការអនុវត្ត៖

1. រកដេរីវេទី១: គណនា \(\displaystyle f'(x)\)។
2. រកចំណុចសំខាន់:
   ដោះស្រាយ \(\displaystyle f'(x) = 0\) ដើម្បីរក \(\displaystyle x_0\)។
3. បង្កើតតារាងបំរែបំរួល: សិក្សាសញ្ញានៃ \(\displaystyle f'(x)\) នៅចន្លោះមុន និងក្រោយ \(\displaystyle x_0\)។
4. សន្និដ្ឋាន:

• ប្តូរពី (+) ទៅ (\(\displaystyle -\)) \(\displaystyle \rightarrow\) អតិបរមាធៀប។
• ប្តូរពី (\(\displaystyle -\)) ទៅ (+) \(\displaystyle \rightarrow\) អប្បបរមាធៀប។

អនុគមន៍ \(\displaystyle f\) មានដេរីវេទី ២ ត្រង់ \(\displaystyle x_0\) ដែល \(\displaystyle f'(x_0) = 0\)៖

• អតិបរមាធៀប: បើ \(\displaystyle f''(x_0) < 0\)
• អប្បបរមាធៀប: បើ \(\displaystyle f''(x_0) > 0\)

ចំណាំ: បើ \(\displaystyle f''(x_0) = 0\) មិនអាចសន្និដ្ឋានបានទេ (ត្រូវត្រឡប់ទៅប្រើតារាងសញ្ញាដេរីវេទី ១)។

ចំណុច \(\displaystyle (x_0, f(x_0))\) ជាចំណុចរបត់ បើ \(\displaystyle f''(x_0) = 0\) ហើយសញ្ញានៃ \(\displaystyle f''(x)\) ប្តូរនៅត្រង់ \(\displaystyle x_0\)៖

• កោងឡើងលើ: បើ \(\displaystyle f''(x) > 0\)
• កោងចុះក្រោម: បើ \(\displaystyle f''(x) < 0\)

សន្និដ្ឋាន: បើ \(\displaystyle f''(x)\) ប្តូរសញ្ញាពី \(\displaystyle +\) ទៅ \(\displaystyle -\) ឬពី \(\displaystyle -\) ទៅ \(\displaystyle +\) នោះ \(\displaystyle x_0\) គឺជាចំណុចរបត់។
ជំហានក្នុងការរក៖

1. រកដេរីវេទី ២: គណនា \(\displaystyle f''(x)\)។
2. រកចំណុចសំខាន់: ដោះស្រាយ \(\displaystyle f''(x) = 0\) ឬរកចំណុចដែល \(\displaystyle f''(x)\) មិនកំណត់។
3. សិក្សាសញ្ញានៃ \(\displaystyle f''(x)\): បង្កើតតារាងសញ្ញា ដើម្បីពិនិត្យការផ្លាស់ប្តូរពី (+) ទៅ (-) ឬ (-) ទៅ (+)។

1. ដែនកំណត់ \(\displaystyle D_f=\mathbb{R}\) ឬ \(\displaystyle -\infty,+\infty\)
2. ដេរីវេ \(\displaystyle f'(x)=3ax^2+2bx+c\)

3. អតិបរមាធៀប និងអប្បបរមាធៀប
   \(\displaystyle f'(x)=0 \Leftrightarrow 3ax^2+2bx+c=0\) យើងបាន៖

   • បើសមីការ \(\displaystyle f'(x) = 0\) មានឫសពិតចំនួន ២ ផ្សេងគ្នា៖
   • អនុគមន៍មានតម្លៃអតិបរមាធៀប ១ និង អប្បបរមាធៀប ១។

4. លីមីត

   • \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = \begin{cases} -\infty & ; a > 0 \\ +\infty & ; a < 0 \end{cases}\)
   • \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = \begin{cases} +\infty & ; a > 0 \\ -\infty & ; a < 0 \end{cases}\)

5. តារាងអរថេរភាព

   • \(\displaystyle \triangle>0\) មានឫសពីរផ្សេងគ្នា \(\displaystyle x_1, x_2\)
     
     
   • \(\displaystyle \triangle=0\) មានឫសឌុប \(\displaystyle x_1=x_2=x_0\)
     
     
   • \(\displaystyle \triangle<0\) គ្មានឫសជាចំនួនពិត
     
     

6. ចំណុចរបត់ និងផ្ចិតឆ្លុះ
   ដោយ \(\displaystyle f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\) នោះ \(\displaystyle f''(x) = 6ax + 2b\) បើ \(\displaystyle f''(x) = 0\)
   \(\displaystyle \iff 6ax + 2b = 0\)
   \(\displaystyle \Longrightarrow x = -\frac{b}{3a}\)

   យើងបាន \(\displaystyle I\left(-\frac{b}{3a}, f\left(-\frac{b}{3a}\right)\right)\) ។

1. ឆ. សំណង់ក្រាប
   ☞  \(\displaystyle f'(x)=0\) មានឫសពីរផ្សេងគ្នា
   
   
   ☞  \(\displaystyle f'(x)=0\) មានឫសឌុប
   
   

☞  \(\displaystyle f'(x)=0\) មានគ្មានឫស

1. ដែនកំណត់ \(\displaystyle D_f=\mathbb{R}\) ឬ \(\displaystyle -\infty,+\infty\)

2. ទិសដៅអថេរភាព
   ដេរីវេនៃ \(\displaystyle f(x)\) កំណត់ដោយ៖

   \[f'(x) = 4ax^3 + 2bx = 2x(2ax^2 + b)\]
   • បើ \(\displaystyle \frac{b}{a} \ge 0 \implies f'(x)=0\) មានឫសតែមួយគឺ \(\displaystyle x=0\)។
   • បើ \(\displaystyle \frac{b}{a} < 0 \implies f'(x)=0\)
     មានឫសបីផ្សេងគ្នាគឺ \(\displaystyle x=0,\)
     \(\displaystyle x=\pm\sqrt{-\frac{b}{2a}}\)។
3. លីមីត
   \(\displaystyle \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \begin{cases} +\infty & \text{បើ } a > 0 \\ -\infty & \text{បើ } a < 0 \end{cases}\)

4. ចំណុចរបត់
   ដេរីវេទី២នៃដេរីវេទី១គឺ៖

   \[f''(x) = (4ax^3 + 2bx)' = 12x+2b\]
   • បើ \(\displaystyle \frac{b}{a} \ge 0 \implies f''(x)=0\)
     គ្មានឫសឬមានឫសឌុប នោះក្រាបគ្មានចំណុចរបត់ ។
   • បើ \(\displaystyle \frac{b}{a} < 0 \implies f''(x)=0\)
     មានឫសពីរផ្សេងគ្នាហើយក្រាបមានចំណុចរបត់ពីរ ។
5. តារាងអថេរភាព
   ☞  \(\displaystyle f'(x)=0\) មានឫស \(\displaystyle x=0\) តែមួយគត់
   
   
   ☞  \(\displaystyle f'(x)=0\) មានឫសបីផ្សេងគ្នាជាចំនួនពិត
   
   
6. សំណង់ក្រាបនៃអនុគមន៍
   ក្រាបនៃអនុគមន៍ប៊ីការេ មានអ័ក្សអរដោនេជាអ័ក្សឆ្លុះ ។
   ☞  \(\displaystyle f'(x)=0\) មានឫស \(\displaystyle x=0\) តែមួយគត់\(\displaystyle \left(\dfrac{b}{a}\ge 0\right)\)
   
   
   ☞  \(\displaystyle f'(x)=0\) មានឫសបីផ្សេងគ្នាជាចំនួនពិត\(\displaystyle \left(\dfrac{b}{a}<0\right)\)
   
   

1. ដែនកំណត់ \(\displaystyle D_f=\mathbb{R}- \{-\dfrac{d}{c}\}\)

2. លីមីត និងអាសុីមតូត

   • អាសុីមតូតឈរ៖ បន្ទាត់ \(\displaystyle (L) : x = x_0\) ជាអាស៊្រីមតូតឈរនៃក្រាប \(\displaystyle (C) : y = f(x)\) កាលណា៖ \(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = \pm\infty\)
   • អាសុីមតូរដេក៖ បន្ទាត់ \(\displaystyle (L) : y = y_0\) ជាអាស៊្រីមតូតដេកនៃក្រាប \(\displaystyle (C)\) កាលណា៖ \(\displaystyle \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = y_0\)

3. ទិសដៅអថេរភាព
   ☞  ដេរីវេ \(\displaystyle f'(x)=\left( \frac{ax+b}{cx+d} \right)'\)
   \(\displaystyle = \frac{a(cx+d) - c(ax+b)}{(cx+d)^2}\)
   \(\displaystyle = \frac{ad - bc}{(cx+d)^2}\) សញ្ញានៃ \(\displaystyle f'(x)\) អាស្រ័យលើកន្សោម \(\displaystyle ad - bc\) ។

   • ករណី \(\displaystyle ad - bc > 0\)៖ \(\displaystyle f'(x) > 0\) សម្រាប់គ្រប់ \(\displaystyle x\) ក្នុងដែនកំណត់ \(\displaystyle D\)។ ដូចនេះ អនុគមន៍ជាអនុគមន៍កើនលើ \(\displaystyle D\) ហើយពុំមានចំណុចបរមាទេ។
   • ករណី \(\displaystyle ad - bc < 0\)៖ \(\displaystyle f'(x) < 0\) សម្រាប់គ្រប់ \(\displaystyle x\) ក្នុងដែនកំណត់ \(\displaystyle D\)។ ដូចនេះ អនុគមន៍ជាអនុគមន៍ចុះលើ \(\displaystyle D\) ហើយពុំមានចំណុចបរមាទេ។
4. តារាងអថេរភាព
   
   
5. សំណង់ក្រាប
   
   
   

1. ដែនកំណត់ \(\displaystyle D_f=\mathbb{R}- \{-\dfrac{q}{p}\}\)

2. ទិសដៅអថេរភាព

   • ដេរីវេ \(\displaystyle y'\):
     \(\displaystyle y' = \dfrac{apx^2 + 2aqx + bq - cp}{(px + q)^2}\)
   • បើ \(\displaystyle y' = 0\) មានឫសពីរដាច់គ្នា នោះអនុគមន៍មានចំណុចអតិបរិមា និងអប្បបរមា
   • បើ \(\displaystyle y' = 0\) មានឫសដុះ នោះអនុគមន៍គ្មានតម្លៃបរមាទេ
   • បើ \(\displaystyle y' = 0\) គ្មានឫស នោះអនុគមន៍គ្មានតម្លៃបរមាឡើយ។

3. លីមីត និងអាសុីមតូត
   ☞  លីមីតចុងដែនកំណត់

   \[\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} (ax + b) = \pm \infty\]

   ☞  លីមីតត្រង់អាសុីមតូតឈរ

   \[\lim_{x \to -\frac{q}{p}^-} f(x) = \mp \infty\]
   \[\lim_{x \to -\frac{q}{p}^+} f(x) = \pm \infty\]

   ☞  អាសុីមតូតឈរ និងទ្រេត

   • បន្ទាត់ \(\displaystyle x = -\dfrac{q}{p}\) ជាអាសុីមតូតឈរ
   • អនុគមន៍ \(\displaystyle y = ax + b + \dfrac{k}{px + q}\) មានបន្ទាត់ \(\displaystyle y = ax + b\) ជាអាសុីមតូតទ្រេត។
4. តារាងអថេរភាព
   ☞  \(\displaystyle f'(x)=0\) មានឫសពីរផ្សេងគ្នា
   
   
   ☞  \(\displaystyle f'(x)=0\) គ្មានឫស
   

1. ង.​ សំណង់ក្រាប
   ☞  \(\displaystyle f'(x)=0\) មានឫសពីរផ្សេងគ្នា
   
   

☞  \(\displaystyle f'(x)=0\) គ្មានឫស

☞  ព្រឹត្តិការណ៍ផលគុណនៃ \(\displaystyle A\) និង \(\displaystyle B\) ជាប្រសព្វនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(\displaystyle A\) និងព្រឹត្តិការណ៍ \(\displaystyle B\) ។ គេកំណត់សរសេរ \(\displaystyle A\) និង \(\displaystyle B\) មានន័យថា \(\displaystyle A \cap B\) ។
☞  ព្រឹត្តិការណ៍ផលបូកនៃ \(\displaystyle A\) និង \(\displaystyle B\) ជាប្រជុំនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(\displaystyle A\) និងព្រឹត្តិការណ៍ \(\displaystyle B\) ។ គេកំណត់សរសេរ \(\displaystyle A\) ឬ \(\displaystyle B\) មានន័យថា \(\displaystyle A \cup B\) ។
☞  ព្រឹត្តិការណ៍ \(\displaystyle B\) និងព្រឹត្តិការណ៍ \(\displaystyle D\) ជាព្រឹត្តិការណ៍មិនចុះសម្រុងគ្នា កាលណាព្រឹត្តិការណ៍ផលគុណនៃ \(\displaystyle B\) និង \(\displaystyle D\) ជាព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចមាន : \(\displaystyle B \cap D = \varnothing\) (មិនមានធាតុរួម) ។ គេបាន \(\displaystyle n(B \cap D) = 0\) ។

1. ក. បើ \(\displaystyle P(x, y, z)\) និង \(\displaystyle Q(x', y', z')\) ជាពីរចំណុចនៃលំហប្រដាប់ដោយតម្រុយ \(\displaystyle (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\) គេបាន ៖

• \(\displaystyle P(x, y, z) = Q(x', y', z')\) សមមូល \(\displaystyle x = x'\) និង \(\displaystyle y = y'\) និង \(\displaystyle z = z'\) ។
• \(\displaystyle P(x, y, z) \neq Q(x', y', z')\) សមមូល \(\displaystyle x \neq x'\) ឬ \(\displaystyle y \neq y'\) ឬ \(\displaystyle z \neq z'\) ។
• \(\displaystyle \vec{PQ} = (x' - x, y' - y, z' - z)\)
• ចំណុចកណ្តាលនៃ \(\displaystyle PP'\) គឺ
  \(\displaystyle \left( \frac{x + x'}{2}, \frac{y + y'}{2}, \frac{z + z'}{2} \right)\)

1. ខ. បើ \(\displaystyle \vec{u} = (x, y, z),\) \(\displaystyle \vec{v} = (x', y', z')\)
   ជាពីរវ៉ិចទ័រក្នុងលំហប្រដាប់ដោយគោល \(\displaystyle (\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\) គេបាន ៖

• \(\displaystyle \vec{u} = \vec{v}\) សមមូល \(\displaystyle x = x'\) និង \(\displaystyle y = y'\) និង \(\displaystyle z = z'\)
• \(\displaystyle \vec{u} \neq \vec{v}\) សមមូល \(\displaystyle x \neq x'\) ឬ \(\displaystyle y \neq y'\) ឬ \(\displaystyle z \neq z'\)
• វ៉ិចទ័រ \(\displaystyle \vec{u} + \vec{v} = (x + x', y + y', z + z')\)
• វ៉ិចទ័រ \(\displaystyle \vec{u} - \vec{v} = (x - x', y - y', z - z')\)
• គ្រប់ \(\displaystyle k \in \mathbb{R},\) \(\displaystyle k\vec{u} = (kx, ky, kz)\)
• គ្រប់ \(\displaystyle (k, k') \in \mathbb{R}^2\) វ៉ិចទ័រ \(\displaystyle k\vec{u} + k'\vec{v} = (kx + k'x', ky + k'y', kz + k'z')\)

បើបន្ទាត់ \(\displaystyle L\) ស្របនឹងវ៉ិចទ័រ \(\displaystyle \vec{u}=(a,b,c)\) នោះ

បើ \(\displaystyle abc\neq0\) នោះសមីការឆ្លុះកំណត់ដោយ៖

បើ \(\displaystyle P\) ជាចំណុចមួយលើ \(\displaystyle L\) និង \(\displaystyle \vec{u}\) ជាវ៉ិចទ័រប្រាប់ទិសនៃ \(\displaystyle L\) នោះ

បើប្លង់ \(\displaystyle (\alpha)\) កាត់តាម \(\displaystyle P(x_0,y_0,z_0)\) នោះ

សមីការទូទៅ៖ \(\displaystyle ax+by+cz+d=0\)។

បើប្លង់ពីរមានវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ \(\displaystyle \vec{n}_1\) និង \(\displaystyle \vec{n}_2\) នោះ

បន្ទាត់ \(\displaystyle L_1\) កាត់តាម \(\displaystyle M_1\) មានទិស \(\displaystyle \vec{u}_1\) និង \(\displaystyle L_2\) កាត់តាម \(\displaystyle M_2\) មានទិស \(\displaystyle \vec{u}_2\)។

• បើបន្ទាត់ស្របគ្នា៖

  \[d(L_1,L_2)=\frac{|\overrightarrow{M_1M_2}\times\vec{u}_1|}{|\vec{u}_1|}\]

• បើបន្ទាត់មិនស្របគ្នា៖

  \[d(L_1,L_2)= \frac{|\overrightarrow{M_1M_2}\cdot(\vec{u}_1\times\vec{u}_2)|}{|\vec{u}_1\times\vec{u}_2|}\]

• កុំផ្លិចឆ្លាស់នៃបូកដកកុំផ្លិចពីរ
  គេបាន\(\displaystyle ~\overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm \overline{z_2}~\)។
• កុំផ្លិចឆ្លាស់នៃផលគុណកុំផ្លិចពីរ
  គេបាន\(\displaystyle ~\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}~\)។
• កុំផ្លិចឆ្លាស់នៃផលចែកកុំផ្លិចពីរ
  គេបាន\(\displaystyle ~\overline {\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)}=\dfrac{\overline {z_1}}{\overline{z_2}}~\)។

ដើម្បីរកអាគុយម៉ង់នៃ \(\displaystyle z\) យើងត្រូវដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ \(\displaystyle \Biggl\{\begin{aligned} \cos \varphi&=\dfrac{a}{r}\\ \sin \varphi&=\dfrac{b}{r} \end{aligned}\)       ដែល
 \(\displaystyle r=\sqrt{a^2+b^2}\) និង \(\displaystyle \varphi\) ជាអាគុយម៉ង់នៃ\(\displaystyle ~z~\)។