KhmerMathគណិតវិទ្យាខ្មែរ
ធ្វើតេស្ត CBA
  1. ទំព័រដើម
  2. ថ្នាក់ទី ១០
  3. មេរៀន
  4. ជំពូកទី ១ · មេរៀនទី ១
១
ជំពូកទី ១ : ពហុធា · មេរៀនទី ១

ពហុធា

ឧទាហរណ៍ ៤៧ប្រតិបត្តិ ៣១

ត្រីកោណ Pascal និងពហុធា   គេសង់ត្រីកោណ Pascal ដើម្បីងាយស្រួលចងចាំមេគុណទ្វេធានៃ \(\displaystyle (a+b)^n\) ៖

ឧទាហរណ៍ ៖

\[(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\]
✓វត្ថុបំណង
  1. ប្រាប់បានពីសញ្ញាណឯកធា ពហុធា ឯកធាដូចគ្នា និងដឺក្រេរបស់វា
  2. ធ្វើប្រមាណវិធីបូក ដក គុណ ចែក លើឯកធានិងពហុធា
  3. ដាក់ពហុធាជាផលគុណកត្តានិងពន្លាតកន្សោម ។

1. សញ្ញាណនៃពហុធា

1.1 ឯកធា

ឧទាហរណ៍ : សួនច្បារមួយរាងជាការដែលមានប្រវែងជ្រុងស្មើ និង \(\displaystyle x\) ម៉ែត្រ ។ បើគេគុណ 4 នឹងប្រវែងជ្រុង \(\displaystyle x\) ម៉ែត្រនោះ គេបាន \(\displaystyle 4x\) ម៉ែត្រ ដែលជាបរិមាត្រនៃសួនច្បារនោះ ។

កន្សោម \(\displaystyle 4x\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle a\), \(\displaystyle 3b\), \(\displaystyle \sqrt{3}y\), \(\displaystyle \frac{4}{5}x^2\) ដែលប្រមាណវិធីលើអថេរមានតែវិធីគុណឬស្វ័យគុណដែលមាននិទស្សន្តជាចំនួនគត់វិជ្ជមានឬសូន្យ ហៅថា ឯកធា ។

សម្គាល់ : \(\displaystyle x^{-1}\), \(\displaystyle 3y^{-2}\), \(\displaystyle -\sqrt{2}ab^{-3}\) មិនមែនជាឯកធាទេ ពីព្រោះស្វ័យគុណមាននិទស្សន្តជាចំនួនអវិជ្ជមាន ។

និយមន័យ

ឯកធា គឺជាកន្សោមពីជគណិតដែលប្រមាណវិធីលើអថេរមានតែវិធីគុណ ឬស្វ័យគុណ ដែលមាននិទស្សន្តជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន ឬសូន្យ ។

•លំហាត់គំរូ

កំណត់អថេរនិងមេគុណនៃឯកធា \(\displaystyle \frac{2}{5}x^3\), \(\displaystyle 3ab^2\) និង \(\displaystyle -5\) ។

ដំណោះស្រាយ
  • តួ \(\displaystyle \frac{2}{5}x^3\) ជាឯកធាមានអថេរ \(\displaystyle x\) និងមេគុណ \(\displaystyle \frac{2}{5}\) ។
  • តួ \(\displaystyle 3ab^2\) ជាឯកធាមានអថេរ \(\displaystyle a, b\) និងមេគុណ 3 ។
  • \(\displaystyle -5\) ជាឯកធាមានមេគុណ \(\displaystyle -5\) (និទស្សន្តនៃអថេរ គឺសូន្យ) ព្រោះគេអាចសរសេរ \(\displaystyle -5 = -5x^0\) ដែល \(\displaystyle x \ne 0\) ។
✎ប្រតិបត្តិ ១

ក្នុងកន្សោមខាងក្រោម តើកន្សោមណាខ្លះដែលជាឯកធា?

\[m, \quad -15, \quad 2a+b, \quad \frac{4}{x}, \quad \sqrt{3}x^2y, \quad 5xy^{-2}, \quad -\frac{3}{7}xy^4z, \quad \sqrt{xy}\]
✎ប្រតិបត្តិ ២

ចូរបំពេញអថេរ និងមេគុណនៃឯកធាក្នុងតារាងខាងក្រោម៖

ឯកធាអថេរមេគុណ
\(\displaystyle 2y\)
\(\displaystyle \sqrt{2}xy^3\)
\(\displaystyle -\frac{4}{5}abc^2\)

1.2 ឯកធាដូចគ្នា

ឧទាហរណ៍ :

  • កន្សោម \(\displaystyle -2bx^2y\) ជាឯកធាមានផ្នែកអថេរ \(\displaystyle bx^2y\) (អថេរ \(\displaystyle b, x\) និង \(\displaystyle y\)) និងមេគុណ \(\displaystyle -2\) ។
  • កន្សោម \(\displaystyle \frac{3}{5}bx^2y\) ជាឯកធាមានផ្នែកអថេរ \(\displaystyle bx^2y\) (អថេរ \(\displaystyle b, x\) និង \(\displaystyle y\)) និងមេគុណ \(\displaystyle \frac{3}{5}\) ។

ឯកធាទាំងពីរខាងលើនេះ មានផ្នែកអថេរ \(\displaystyle bx^2y\) ដូចគ្នាហៅថា ឯកធាដូចគ្នា ។

និយមន័យ

ឯកធាដូចគ្នា គឺជាឯកធាដែលមានផ្នែកអថេរដូចគ្នា ។

•លំហាត់គំរូ

តើកន្សោមទាំងពីរខាងក្រោមជាឯកធាដូចគ្នាដែរឬទេ?

  1. គេឱ្យកន្សោម \(\displaystyle -2xyz^2\) និង \(\displaystyle \frac{1}{2}xyz^2\)
  2. គេឱ្យកន្សោម \(\displaystyle 3xyz\) និង \(\displaystyle -xyz^2\) ។
ដំណោះស្រាយ
  1. \(\displaystyle -2xyz^2\) និង \(\displaystyle \frac{1}{2}xyz^2\) ជាឯកធាដូចគ្នា ពីព្រោះឯកធាទាំងពីរមានផ្នែកអថេរ \(\displaystyle xyz^2\) ដូចគ្នា ។
  2. \(\displaystyle 3xyz\) និង \(\displaystyle -xyz^2\) ជាឯកធាមិនដូចគ្នាទេ ពីព្រោះឯកធាទាំងពីរមានផ្នែកអថេរមិនដូចគ្នា ។
✎ប្រតិបត្តិ

ចូរជ្រើសរើសឯកធាដែលដូចគ្នា ក្នុងឯកធាខាងក្រោម៖

\[2xy, \quad -3x^2y, \quad -\frac{1}{2}yx, \quad \sqrt{5}yx^2, \quad ay, \quad 4ax \cdot\]

1.3 ដឺក្រេនៃឯកធា

ឧទាហរណ៍ 1 :

  • ឯកធា \(\displaystyle -2x\) មានដឺក្រេ 1 ព្រោះនិទស្សន្តនៃអថេរ \(\displaystyle x\) ស្មើនឹង 1
  • ឯកធា \(\displaystyle 3xy\) មានដឺក្រេ 2 ព្រោះផលបូកនិទស្សន្តនៃអថេរ \(\displaystyle x\) និង \(\displaystyle y\) គឺ \(\displaystyle 1+1=2\)
  • ឯកធា \(\displaystyle ax^2y\) មានដឺក្រេ 4 ព្រោះផលបូកនិទស្សន្តនៃអថេរ \(\displaystyle a, x\) និង \(\displaystyle y\) គឺ \(\displaystyle 1+2+1=4\) ។

ចំពោះឯកធាដែលមានអក្សរច្រើន មានករណីខ្លះគេជ្រើសរើសអក្សរមួយចំនួនជាអថេរ ហើយផ្នែកដែលនៅសល់ជាមេគុណនៃឯកធានោះ ។

ឧទាហរណ៍ 2 : \(\displaystyle -10ax\) ជាឯកធាមានអថេរ \(\displaystyle x\) និងមេគុណ \(\displaystyle -10a\) និង \(\displaystyle \frac{1}{3}mbx^2yz\) ជាឯកធាមានអថេរ \(\displaystyle x, y, z\) និងមេគុណ \(\displaystyle \frac{1}{3}mb\) ។

និយមន័យ

ដឺក្រេនៃឯកធា គឺជាផលបូកនិទស្សន្តរបស់អថេរនីមួយៗនៃឯកធា ។

•លំហាត់គំរូ

កំណត់អថេរ មេគុណ និងដឺក្រេនៃឯកធា \(\displaystyle -10ab^2c\) និង \(\displaystyle -\frac{1}{2}abx^2y^3z\) ។

ដំណោះស្រាយ

កំណត់អថេរ មេគុណ និងដឺក្រេនៃឯកធា

ឯកធាអថេរមេគុណដឺក្រេ
\(\displaystyle -10ab^2c\)\(\displaystyle a, b\) និង \(\displaystyle c\)\(\displaystyle -10\)\(\displaystyle 1+2+1=4\)
\(\displaystyle -\frac{1}{2}abx^2y^3z\)\(\displaystyle a, b, x, y\) និង \(\displaystyle z\)\(\displaystyle -\frac{1}{2}\)\(\displaystyle 1+1+2+3+1=8\)
✎ប្រតិបត្តិ

ចូរបំពេញមេគុណ និងដឺក្រេនៃឯកធាក្នុងតារាងខាងក្រោម៖

ឯកធាអថេរមេគុណដឺក្រេ
\(\displaystyle -\frac{1}{2}x\)\(\displaystyle x\)
\(\displaystyle -4ax^2y^3z\)\(\displaystyle x, y\) និង \(\displaystyle z\)
\(\displaystyle 10ax^2y^3z^2\)\(\displaystyle y, z\) និង \(\displaystyle x\)
\(\displaystyle \sqrt{2}bc^5d^2\)\(\displaystyle b, c\) និង \(\displaystyle d\)

1.4 វិធីបូកនិងដកឯកធា

ឧទាហរណ៍ 1 : ផ្ទៃក្រឡានៃចតុកោណកែងនីមួយៗក្នុងរូបទី 1 គឺ \(\displaystyle x\), \(\displaystyle 2x\) និង \(\displaystyle 3x\) រៀងគ្នា ។

រូបទី 2 គឺការផ្តុំនៃចតុកោណកែងនីមួយៗ ក្នុងរូបទី 1 ដែលមានផ្ទៃក្រឡា \(\displaystyle 6x\) ។ ដូច្នេះ ផលបូកផ្ទៃក្រឡានៃចតុកោណកែងក្នុងរូបទី 1 ស្មើផ្ទៃក្រឡាចតុកោណកែងក្នុងរូបទី 2 ។

ដូច្នេះ គេបាន \(\displaystyle x+2x+3x = (1+2+3)x = 6x\) (បូកមេគុណនិងមេគុណ ហើយគុណលទ្ធផលនឹងផ្នែកអថេរ) ។

ឧទាហរណ៍ 2 :

  • ក. \(\displaystyle 4x-2x = (4-2)x = 2x\)
  • ខ. \(\displaystyle x^2+3x^2 = (1+3)x^2 = 4x^2\) ។
ជាទូទៅ

ដើម្បីគណនាផលបូក ឬផលដកនៃឯកធាដូចគ្នាគេត្រូវធ្វើប្រមាណវិធីបូកឬដកតែផ្នែកមេគុណ រួចយកលទ្ធផលគុណនឹងផ្នែកអថេរ ។

•លំហាត់គំរូ

គណនា \(\displaystyle A = 10x^2y + 5x^2y - x^2y\)

ដំណោះស្រាយ

គណនា

\[A = 10x^2y + 5x^2y - x^2y = (10+5-1)x^2y = 14x^2y \text{ ។}\]
✎ប្រតិបត្តិ

គណនា

  • ក. \(\displaystyle 5x+7x+x\)
  • ខ. \(\displaystyle x^2-10x^2+11x^2\)
  • គ. \(\displaystyle 8x^2y^2z+13x^2y^2z-x^2y^2z\) ។
មើលចម្លើយ
  • ក. \(\displaystyle 13x\)
  • ខ. \(\displaystyle 2x^2\)
  • គ. \(\displaystyle 20x^2y^2z\) ។

1.5 វិធីគុណឯកធា

រំលឹក : បើ \(\displaystyle m\) និង \(\displaystyle n\) ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន ហើយ \(\displaystyle a \ne 0\) នោះ គេបានរូបមន្ត

  1. \(\displaystyle a^m a^n = a^{m+n}\)
  2. \(\displaystyle (a^m)^n = a^{mn}\)
  3. \(\displaystyle (ab)^n = a^n b^n\)
  4. \(\displaystyle \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) ។

ឧទាហរណ៍ : ស្រះទឹកមួយរាងជាចតុកោណកែងដែលមានវិមាត្រ \(\displaystyle 2x\) និង \(\displaystyle 3x\) ។ គេបានផ្ទៃក្រឡានៃស្រះទឹកនេះជាផលគុណរវាង \(\displaystyle 2x\) និង \(\displaystyle 3x\) គឺ \(\displaystyle (2x)(3x) = (2)(x)(3)(x)\) \(\displaystyle \leftarrow\) មេគុណនិងមេគុណ ហើយអថេរនិងអថេរ ។

\(\displaystyle (2)(3)(x)(x) = 6x^2\) \(\displaystyle \leftarrow\) ធ្វើប្រមាណវិធីគុណមេគុណនិងមេគុណ ហើយអថេរនិងអថេរ ។

ជាទូទៅ

ដើម្បីគណនាផលគុណនៃឯកធា គេផ្តុំមេគុណនិងមេគុណ ផ្នែកអថេរនិងផ្នែកអថេរ រួចធ្វើវិធីគុណនៃមេគុណ និងធ្វើវិធីគុណនៃផ្នែកអថេរ ។

•លំហាត់គំរូ

គណនា

  • ក. \(\displaystyle \left(\frac{1}{2}x\right)(-3x^2)\)
  • ខ. \(\displaystyle (\sqrt{5}x^2y^3)(4xy)\) ។
ដំណោះស្រាយ
  • ក. \(\displaystyle \left(\frac{1}{2}x\right)(-3x^2) = \left(\frac{1}{2}\right)(-3)(x)(x^2) = -\frac{3}{2}x^3\)
  • ខ. \(\displaystyle (\sqrt{5}x^2y^3)(4xy) = (\sqrt{5})(4)(x^2)(x)(y^3)(y) = 4\sqrt{5}x^3y^4\) ។
    ក្នុងការប្រតិបត្តិ គេអាចគណនាដោយខ្លី \(\displaystyle (\sqrt{5}x^2y^3)(4xy) = 4\sqrt{5}x^3y^4\) ។
✎ប្រតិបត្តិ

គណនា

  • ក. \(\displaystyle (10ab)(a^2b^2)\)
  • ខ. \(\displaystyle (\sqrt{2}xy^5)\left(-\frac{5}{7}x^2y^3\right)\)
  • គ. \(\displaystyle \left(-\frac{13}{5}abc^2\right)\left(-\frac{1}{3}a^2bc^5\right)\)
  • ឃ. \(\displaystyle \left(\frac{\sqrt{5}}{2}x^3y^5z^7\right)(-\sqrt{3}xyz)\) ។
មើលចម្លើយ
  • ក. \(\displaystyle 10a^3b^3\)
  • ខ. \(\displaystyle -\frac{5\sqrt{2}}{7}x^3y^8\)
  • គ. \(\displaystyle \frac{13}{15}a^3b^2c^7\)
  • ឃ. \(\displaystyle -\frac{\sqrt{15}}{2}x^4y^6z^8\) ។

1.6 វិធីចែកឯកធា

ឧទាហរណ៍ : គណនាបណ្តោយនៃស៊ុមរូបថតមួយមានរាងជាចតុកោណកែង គេដឹងថា ទទឹងស្មើនឹង \(\displaystyle 3x\) ម៉ែត្រ ហើយផ្ទៃក្រឡាស្មើនឹង \(\displaystyle 15x^2\) ម៉ែត្រការេ ។ ដើម្បីរកបណ្តោយ គេត្រូវធ្វើវិធីចែក

\[\frac{15x^2}{3x} = \frac{3 \times 5 \times x \times x}{3 \times x} = 5x \text{ បណ្តោយនៃចតុកោណកែងស្មើនឹង } 5x \text{ ម៉ែត្រ ។}\]
ជាទូទៅ

ដើម្បីចែកឯកធានឹងឯកធា គេត្រូវសរសេរភាគយកនិងភាគបែង ជាផលគុណកត្តា ហើយចែកមេគុណនឹងមេគុណ ផ្នែកអថេរនឹងអថេរ ។

•លំហាត់គំរូ

គណនា

  • ក. \(\displaystyle \frac{10ab^2}{5ab}\)
  • ខ. \(\displaystyle -\frac{7x^2yz^2}{4xyz}\) ។
ដំណោះស្រាយ
  • ក. \(\displaystyle \frac{10ab^2}{5ab} = \frac{2 \times 5 \times a \times b \times b}{5 \times a \times b} = 2b\)
  • ខ. \(\displaystyle -\frac{7x^2yz^2}{4xyz} = -\frac{7 \times x \times x \times y \times z \times z}{4 \times x \times y \times z} = -\frac{7}{4}xz\) ។
    ក្នុងការប្រតិបត្តិគេអាចគណនាដោយខ្លី \(\displaystyle -\frac{7x^2yz^2}{4xyz} = -\frac{7}{4}xz\) ។
✎ប្រតិបត្តិ

គណនា

  • ក. \(\displaystyle \frac{a^2x^2}{10ax^2}\)
  • ខ. \(\displaystyle \frac{-\sqrt{5}x^7y^2z^3}{4x^2yz}\)
  • គ. \(\displaystyle \frac{32a^{10}b^5c^6}{6abc^3}\)
  • ឃ. \(\displaystyle \frac{-12m^7n^2}{15m^2n}\)
មើលចម្លើយ
  • ក. \(\displaystyle \frac{a}{10}\)
  • ខ. \(\displaystyle -\frac{\sqrt{5}}{4}x^5yz^2\)
  • គ. \(\displaystyle \frac{16}{3}a^9b^4c^3\)
  • ឃ. \(\displaystyle -\frac{4}{5}m^5n\) ។

2. ពហុធា

ឧទាហរណ៍ : សួនបន្លែមួយរាងជាចតុកោណកែង ដែលផ្តុំដោយការេមានជ្រុងប្រវែង \(\displaystyle x\) ម៉ែត្រ និងចតុកោណកែងដែលមានវិមាត្រ \(\displaystyle x\) ម៉ែត្រ និង 4 ម៉ែត្រ ។

សួនបន្លែនេះមានផ្ទៃក្រឡាសរុបជាផលបូកផ្ទៃក្រឡានៃការេ A និងផ្ទៃក្រឡានៃចតុកោណកែង B ដែលស្មើនឹង \(\displaystyle x^2+4x\) ម៉ែត្រការេ ។

កន្សោម \(\displaystyle x^2+4x\) ជាផលបូកនៃឯកធា \(\displaystyle x^2\) និង \(\displaystyle 4x\) ហៅថាពហុធាដែលមាន \(\displaystyle x^2\) និង \(\displaystyle 4x\) ជាតួ ។

កន្សោម \(\displaystyle \frac{1}{2}x^3-5x = \frac{1}{2}x^3+(-5x)\) ជាផលបូកនៃឯកធា \(\displaystyle \frac{1}{2}x^3\) និង \(\displaystyle -5x\) ហៅថាពហុធាដែលមាន \(\displaystyle \frac{1}{2}x^3\) និង \(\displaystyle -5x\) ជាតួ ។

សម្គាល់ : ពហុធាដែលមានមួយតួហៅថាឯកធា ពហុធាដែលមានពីរតួហៅថាទ្វេធា និងពហុធាដែលមានបីតួហៅថាត្រីធា ។

ជាទូទៅ

ពហុធា គឺជាផលបូកនៃច្រើនឯកធាខុសគ្នា ហើយឯកធានីមួយៗ នោះហៅថា តួនៃពហុធា ។

១លំហាត់គំរូ ១

តើពហុធា \(\displaystyle 4x-3\) និង \(\displaystyle -\frac{1}{2}x^3+3x-5\) មួយណាទ្វេធានិងមួយណាជាត្រីធា?

ដំណោះស្រាយ

\(\displaystyle 4x-3\) ជាទ្វេធា និង \(\displaystyle -\frac{1}{2}x^3+3x-5\) ជាត្រីធា ។

២លំហាត់គំរូ ២

កំណត់អថេរនិងតួនៃពហុធា \(\displaystyle x-2\), \(\displaystyle \frac{3}{4}x^2-2x+5\) និង \(\displaystyle -x^2y+3y+20\) ។

ដំណោះស្រាយ

កំណត់អថេរនិងតួនៃពហុធា

ពហុធាអថេរតួនៃពហុធា
\(\displaystyle x-2\)\(\displaystyle x\)\(\displaystyle x\) និង \(\displaystyle -2\)
\(\displaystyle \frac{3}{4}x^2-2x+5\)\(\displaystyle x\)\(\displaystyle \frac{3}{4}x^2\), \(\displaystyle -2x\) និង 5
\(\displaystyle -x^2y+3y+20\)\(\displaystyle x\) និង \(\displaystyle y\)\(\displaystyle -x^2y\), \(\displaystyle 3y\) និង 20
✎ប្រតិបត្តិ

  1. ក្នុងកន្សោមខាងក្រោមនេះ តើកន្សោមណាខ្លះជាពហុធា រួចបញ្ជាក់តួនៃពហុធានីមួយៗ?

    • ក. \(\displaystyle 3x^2-\frac{1}{2}\)
    • ខ. \(\displaystyle -\frac{1}{3x}+5x^2\)
    • គ. \(\displaystyle 3x+\sqrt{5}y-2xy^2\)
    • ឃ. \(\displaystyle 2x^{-2}+5x\)
    • ង. \(\displaystyle \frac{m^2+5}{m^2-4}\)
    • ច. \(\displaystyle 12x^2yz\)
    • ឆ. \(\displaystyle 8x^4-2x+\frac{1}{x}\)
    • ជ. \(\displaystyle 2x^{-2}yz^3\)

  2. ចូរសរសេរពហុធាដែលតំណាងឱ្យផ្ទៃក្រឡាសរុបនៃផ្ទៃទាំងអស់ក្នុងរូបខាងក្រោម៖

2.1 ដឺក្រេនៃពហុធា

ឧទាហរណ៍ :

  • \(\displaystyle 5x+3\) មានដឺក្រេខ្ពស់នៃ \(\displaystyle x\) ស្មើ 1
  • \(\displaystyle x^2-3x+2\) មានដឺក្រេខ្ពស់នៃ \(\displaystyle x\) ស្មើ 2
  • \(\displaystyle -2x^2-5xy^2+1\) មានដឺក្រេខ្ពស់ស្មើ 3 ចំពោះអថេរ \(\displaystyle x\) និង \(\displaystyle y\) ។
ជាទូទៅ

ដឺក្រេនៃពហុធា គឺជាដឺក្រេរបស់តួដែលមានដឺក្រេខ្ពស់ជាងគេ ។

•លំហាត់គំរូ

កំណត់ដឺក្រេនិងលំដាប់ស្វ័យគុណនៃពហុធា \(\displaystyle -3x+2\) និង \(\displaystyle 1-3x+2x^2\) ។

ដំណោះស្រាយ
  • ពហុធា \(\displaystyle -3x+2\) ជាពហុធាដឺក្រេទី 1 នៃ \(\displaystyle x\) រៀបតាមលំដាប់ស្វ័យគុណចុះ ។
  • ពហុធា \(\displaystyle 1-3x+2x^2\) ជាពហុធាដឺក្រេទី 2 នៃ \(\displaystyle x\) រៀបតាមលំដាប់ស្វ័យគុណកើន ។
✎ប្រតិបត្តិ

ចូរបំពេញតារាងខាងក្រោម៖

ពហុធាអថេរដឺក្រេរៀបតាមលំដាប់កើននៃដឺក្រេរៀបតាមលំដាប់ចុះនៃដឺក្រេ
\(\displaystyle x+2-4x^2\)\(\displaystyle x\)
\(\displaystyle t^3+3bt-2b^2t^2+b^3\)
\(\displaystyle \frac{1}{2}my^2-3+my+\frac{1}{3}y^4\)\(\displaystyle y\)

2.2 វិធីបូកនិងវិធីដកពហុធា

ឧទាហរណ៍ : គេឱ្យពហុធា \(\displaystyle A = 2x^2+4x-2\) និង \(\displaystyle B = 4x^2-3x-8\) ។ គណនា \(\displaystyle A + B\) ។

\[\begin{aligned} A+B &= (2x^2+4x-2)+(4x^2-3x-8) \\ A+B &= (2x^2+4x^2)+(4x-3x)+(-2-8) \quad \text{(បូកឯកធាដូចគ្នា)} \\ A+B &= 6x^2+x-10 \text{ ។} \end{aligned}\]
ជាទូទៅ

ដើម្បីបូកឬដកពីរពហុធា គេត្រូវបូកឬដកឯកធាដូចគ្នា ។

១លំហាត់គំរូ ១

គេឱ្យពហុធា \(\displaystyle M = -3x^2+x-5\) និង \(\displaystyle N = 7x^2-3x+1\) ។ គណនា \(\displaystyle M - N\) ។

ដំណោះស្រាយ

គណនា

\[\begin{aligned} M-N &= (-3x^2+x-5)-(7x^2-3x+1) \\ M-N &= (-3x^2-7x^2)+(x+3x)+(-5-1) \\ M-N &= -10x^2+4x-6 \text{ ។} \end{aligned}\]
✎ប្រតិបត្តិ ១

គណនា \(\displaystyle M+N\) និង \(\displaystyle M-N\)

  • ក. \(\displaystyle M = x^2-3x+5\) និង \(\displaystyle N = 2x^2+x-2\)
  • ខ. \(\displaystyle M = 2x^2+y+10\) និង \(\displaystyle N = x^2-10y+20\)
  • គ. \(\displaystyle M = \frac{1}{2}x^2-6x+7\) និង \(\displaystyle N = \frac{3}{2}x^2+5x-4\) ។
មើលចម្លើយ
  • ក. \(\displaystyle M+N = 3x^2-2x+3\),   \(\displaystyle M-N = -x^2-4x+7\)
  • ខ. \(\displaystyle M+N = 3x^2-9y+30\),   \(\displaystyle M-N = x^2+11y-10\)
  • គ. \(\displaystyle M+N = 2x^2-x+3\),   \(\displaystyle M-N = -x^2-11x+11\) ។
!សម្គាល់

វិធីបូកឬដកខាងលើនេះ គេអាចដោះស្រាយតាមរបៀបដូចខាងក្រោម៖

២លំហាត់គំរូ ២

គេឱ្យពហុធា \(\displaystyle A = x^4-3x^3+5x^2-3\) និងកន្សោម \(\displaystyle B = 2x^4-3x^2+4x+1\) ។ គណនា \(\displaystyle A+B\) និង \(\displaystyle A-B\) ។

ដំណោះស្រាយ
គណនា \(\displaystyle A+B\)
\(\displaystyle \begin{array}{rrrrrr} & x^4 & -3x^3 & +5x^2 & & -3 \\ + & 2x^4 & & -3x^2 & +4x & +1 \\ & 3x^4 & -3x^3 & +2x^2 & +4x & -2 \end{array}\)
គណនា \(\displaystyle A-B\)
\(\displaystyle \begin{array}{rrrrrr} & x^4 & -3x^3 & +5x^2 & & -3 \\ - & 2x^4 & & -3x^2 & +4x & +1 \\ & -x^4 & -3x^3 & +8x^2 & -4x & -4 \end{array}\)
✎ប្រតិបត្តិ ២

តាមរបៀបដូចខាងលើ គណនា \(\displaystyle A+B\) និង \(\displaystyle A-B\) ។

  • ក. \(\displaystyle A = x^3+2\) និង \(\displaystyle B = x^2+3x\)
  • ខ. \(\displaystyle A = x^4-3x^2+1\) និង \(\displaystyle B = x^5+2x^3+3x+2\)
  • គ. \(\displaystyle A = x^3+3x^2y+10xy-4\) និង \(\displaystyle B = x^3-3xy\) ។
មើលចម្លើយ
  • ក. \(\displaystyle A+B = x^3+x^2+3x+2\),   \(\displaystyle A-B = x^3-x^2-3x+2\)
  • ខ. \(\displaystyle A+B = x^5+x^4+2x^3-3x^2+3x+3\),   \(\displaystyle A-B = -x^5+x^4-2x^3-3x^2-3x-1\)
  • គ. \(\displaystyle A+B = 2x^3+3x^2y+7xy-4\),   \(\displaystyle A-B = 3x^2y+13xy-4\) ។
✎ប្រតិបត្តិ ៣

ត្រីកោណមួយមានប្រវែងជ្រុងគឺ \(\displaystyle 2x+y\), \(\displaystyle 3x+7y\) និង \(\displaystyle 4x-y\) ។ គណនាបរិមាត្រនៃត្រីកោណនេះ ។

មើលចម្លើយ

\(\displaystyle 9x+7y\) ។

2.3 វិធីគុណលើពហុធា

ឧទាហរណ៍ 1 : ផ្ទាំងគំនូរមួយរាងចតុកោណកែងដែលមានវិមាត្រ \(\displaystyle 2x+3\) និង \(\displaystyle x\) គិតជាម៉ែត្រ ដូចរូបខាងស្តាំ ។

តាង \(\displaystyle \mathcal{A}\) ជាផ្ទៃក្រឡានៃផ្ទាំងគំនូរ នោះគេបាន \(\displaystyle \mathcal{A} = x(2x+3)\) ។

ម្យ៉ាងទៀតផ្ទាំងគំនូនេះផ្តុំដោយចតុកោណកែងពីរដែលមានផ្ទៃក្រឡាគឺ \(\displaystyle \mathcal{A}_1\) និង \(\displaystyle \mathcal{A}_2\) រៀងគ្នា ។

គេបាន \(\displaystyle \mathcal{A} = \mathcal{A}_1 + \mathcal{A}_2 = x(2x+3) = 2x^2+3x\) (គុណគ្រប់តួនៃពហុធាទី 1 និងគ្រប់តួនៃពហុធាទី 2 ហើយបានលទ្ធផលបង្រួមជាស្រេច) ។

ដូច្នេះ គេបាន \(\displaystyle \mathcal{A} = x(2x+3) = 2x^2+3x\) ។

ឧទាហរណ៍ 2 : ទីធ្លានៃសាលារៀនមួយមានរាងជាចតុកោណកែងដែលមានវិមាត្រ \(\displaystyle 2x+1\) និង \(\displaystyle x+2\) គិតជាម៉ែត្រ ។

គេបានផ្ទៃក្រឡានៃចតុកោណកែងគឺ \(\displaystyle (2x+1)(x+2) = 2x^2+4x+x+2\) គុណគ្រប់តួនៃពហុធាទី 1 និងគ្រប់តួនៃពហុធាទី 2
\(\displaystyle = 2x^2+5x+2\) បង្រួមលទ្ធផល ។

ជាទូទៅ

ដើម្បីគុណពហុធានិងពហុធា គេយកតួនីមួយៗនៃពហុធាទី 1 គុណគ្រប់តួនៃពហុធាទី 2 រួចបង្រួមលទ្ធផល ។

១លំហាត់គំរូ ១

គណនាផលគុណនៃពហុធា \(\displaystyle 4x^2\) និង \(\displaystyle 2x^3+xy-3y^2\)

ដំណោះស្រាយ
\[\begin{aligned} 4x^2(2x^3+xy-3y^2) &= 4x^2(2x^3)+4x^2(xy)-4x^2(3y^2) \\ &= 8x^{2+3}+4x^{2+1}y-12x^2y^2 \\ &= 8x^5+4x^3y-12x^2y^2 \text{ ។} \end{aligned}\]
✎ប្រតិបត្តិ ១

គណនា

  • ក. \(\displaystyle (2ab)(-3a^2b^2)^3\)
  • ខ. \(\displaystyle (-x+4)\left(\frac{1}{2}x+3\right)\)
  • គ. \(\displaystyle (x^3+xy-4y^2)(x+y)\) ។
មើលចម្លើយ
  • ក. \(\displaystyle -54a^7b^7\)
  • ខ. \(\displaystyle -\frac{1}{2}x^2-x+12\)
  • គ. \(\displaystyle x^4+x^3y+x^2y-3xy^2-4y^3\) ។
!សម្គាល់

គេអាចគណនាផលគុណនៃពហុធានិងពហុធាតាមរបៀបដូចខាងក្រោមបានដែរ ។

២លំហាត់គំរូ ២

គណនាផលគុណនៃពហុធា \(\displaystyle 1+x^3-6x\) និង \(\displaystyle 2x-3\)

ដំណោះស្រាយ

ជាដំបូង គេត្រូវរៀបពហុធាតាមលំដាប់ដឺក្រេចុះ ឬកើន

\(\displaystyle \begin{array}{rrrrrrl} & & x^3 & & -6x & +1 & \\ \times & & & & 2x & -3 & \\ \hline & 2x^4 & & -12x^2 & +2x & & \quad (x^3-6x+1)(2x) \\ + & & -3x^3 & & +18x & -3 & \quad (x^3-6x+1)(-3) \\ \hline & 2x^4 & -3x^3 & -12x^2 & +20x & -3 & \end{array}\)

✎ប្រតិបត្តិ ២

គណនាប្រមាណវិធីគុណខាងក្រោម៖

  • ក. \(\displaystyle (2x^2-4x+1)(3x-4)\)
  • ខ. \(\displaystyle (a^2-3a+5)(a^2+4a-3)\)
  • គ. \(\displaystyle (-3x+x^2-1)(2+x-5x^2)\)
  • ឃ. \(\displaystyle (4x+3)(2x-x^3-1)\) ។
មើលចម្លើយ
  • ក. \(\displaystyle 6x^3-20x^2+19x-4\)
  • ខ. \(\displaystyle a^4+a^3-10a^2+29a-15\)
  • គ. \(\displaystyle -5x^4+16x^3+4x^2-7x-2\)
  • ឃ. \(\displaystyle -4x^4-3x^3+8x^2+2x-3\)

3. រូបមន្តពន្លាត

3.1 ពន្លាតការេនៃទ្វេធា

ពន្លាត \(\displaystyle (a+b)^2\)

បើ \(\displaystyle a\) និង \(\displaystyle b\) វិជ្ជមាន ។ តាមរូប \(\displaystyle (a+b)^2\) គឺជាផ្ទៃក្រឡាការដែលមានរង្វាស់ជ្រុង \(\displaystyle (a+b)\) ហើយផ្ទៃក្រឡានេះស្មើផលបូកផ្ទៃក្រឡាផ្នែកតូចៗខាងក្នុង ។

\[\begin{aligned} (a+b)^2 &= a^2+ab+ba+b^2 \\ &= a^2+2ab+b^2 \end{aligned}\]

ជាទូទៅ \(\displaystyle (a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2+ab+ba+b^2 = a^2+2ab+b^2\)

ដូច្នេះ

\[(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\]
១លំហាត់គំរូ ១

ពន្លាត \(\displaystyle (x+1)^2\)

ដំណោះស្រាយ

\(\displaystyle (x+1)^2 = x^2+2 \times x \times 1+1^2 = x^2+2x+1\)

២លំហាត់គំរូ ២

ពន្លាត \(\displaystyle \left(2x+\frac{3}{2}y\right)^2\)

ដំណោះស្រាយ

\(\displaystyle \left(2x+\frac{3}{2}y\right)^2 = (2x)^2+2(2x)\left(\frac{3}{2}y\right)+\left(\frac{3}{2}y\right)^2 = 4x^2+6xy+\frac{9}{4}y^2\) ។

✎ប្រតិបត្តិ ១

ពន្លាតកន្សោមខាងក្រោម៖

  • ក. \(\displaystyle (x+5)^2\)
  • ខ. \(\displaystyle \left(\frac{1}{2}x+3\right)^2\)
  • គ. \(\displaystyle \left(\frac{4}{5}x+\frac{y}{2}\right)^2\) ។

ពន្លាត \(\displaystyle (a-b)^2\)

បើ \(\displaystyle a\) និង \(\displaystyle b\) វិជ្ជមាន ហើយ \(\displaystyle a>b\) ។ តាមរូប \(\displaystyle (a-b)^2\) គឺជាផ្ទៃក្រឡាការដែលមានរង្វាស់ជ្រុង \(\displaystyle a-b\) ។

គេបាន

\[\begin{aligned} (a-b)^2 &= a^2-b(a-b)-ab = a^2-ab+b^2-ab \\ &= a^2-2ab+b^2 \\ &= (a-b)(a-b) \end{aligned}\]

ដូច្នេះ

\[(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\]
៣លំហាត់គំរូ ៣

ពន្លាត \(\displaystyle (x-1)^2\) ។

ដំណោះស្រាយ

\(\displaystyle (x-1)^2 = x^2-2 \cdot x \cdot 1+1^2 = x^2-2x+1\) ។

៤លំហាត់គំរូ ៤

ពន្លាត \(\displaystyle \left(\frac{1}{2}x-y\right)^2\) ។

ដំណោះស្រាយ

\(\displaystyle \left(\frac{1}{2}x-y\right)^2 = \left(\frac{1}{2}x\right)^2-2\left(\frac{1}{2}x\right)y+y^2 = \frac{1}{4}x^2-xy+y^2\) ។

✎ប្រតិបត្តិ ២

ពន្លាតកន្សោមខាងក្រោម៖

  • ក. \(\displaystyle (x-5)^2\)
  • ខ. \(\displaystyle \left(\frac{3}{2}x-2y\right)^2\)
  • គ. \(\displaystyle \left(\frac{4}{5}x-\frac{y}{2}\right)^2\) ។

ពន្លាត \(\displaystyle (a+b)(a-b)\)

បើ \(\displaystyle a\) និង \(\displaystyle b\) វិជ្ជមាន ហើយ \(\displaystyle a>b\) ។ តាមរូបគេបានផ្ទៃក្រឡាចតុកោណកែងផ្នែកពណ៌ខៀវគឺ \(\displaystyle (a+b)(a-b)\) ។ ម្យ៉ាងទៀតផ្ទៃក្រឡាដដែលនេះស្មើនឹង \(\displaystyle a(a+b)-ab-b^2 = a^2+ab-ab-b^2\) (\(\displaystyle a(a+b)\) ជាផ្ទៃក្រឡាចតុកោណកែងទាំងមូល \(\displaystyle = a^2-b^2\)) ។

តាមពន្លាត \(\displaystyle (a+b)(a-b) = a^2-ab+ba-b^2 = a^2-b^2\)

ដូច្នេះ

\[(a+b)(a-b) = a^2-b^2\]
៥លំហាត់គំរូ ៥

ពន្លាត \(\displaystyle (x+3)(x-3)\) ។

ដំណោះស្រាយ

\(\displaystyle (x+3)(x-3) = x^2-3^2 = x^2-9\) ។

៦លំហាត់គំរូ ៦

ពន្លាត \(\displaystyle \left(\frac{1}{2}x+3y\right)\left(\frac{1}{2}x-3y\right)\) ។

ដំណោះស្រាយ

\(\displaystyle \left(\frac{1}{2}x+3y\right)\left(\frac{1}{2}x-3y\right) = \left(\frac{1}{2}x\right)^2-(3y)^2 = \frac{1}{4}x^2-9y^2\) ។

✎ប្រតិបត្តិ ៣

ពន្លាតកន្សោមខាងក្រោម៖

  • ក. \(\displaystyle (x-5)(x+5)\)
  • ខ. \(\displaystyle \left(10x+\frac{1}{2}y\right)\left(10x-\frac{1}{2}y\right)\)
  • គ. \(\displaystyle \left(\frac{4}{5}x-\frac{y}{2}\right)\left(\frac{4}{5}x+\frac{y}{2}\right)\)

• ពន្លាត \(\displaystyle (a+b+c)^2\)

\[\begin{aligned} (a+b+c)^2 &= ((a+b)+c)^2 \\ (a+b+c)^2 &= (a+b)^2+2c(a+b)+c^2 \\ (a+b+c)^2 &= a^2+2ab+b^2+2ac+2bc+c^2 \\ (a+b+c)^2 &= a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac \end{aligned}\]

ដូច្នេះ

\[(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\]
៧លំហាត់គំរូ ៧

ពន្លាតកន្សោម \(\displaystyle (x+y+2)^2\)

ដំណោះស្រាយ

\(\displaystyle (x+y+2)^2 = x^2+y^2+2xy+4x+4y+4\) ។

✎ប្រតិបត្តិ ៤

ពន្លាតកន្សោមខាងក្រោម៖

  • ក. \(\displaystyle (3+a+2b)^2\)
  • ខ. \(\displaystyle (x^2+y+z^2)^2\)
  • គ. \(\displaystyle \left(\frac{1}{2}x^2+3y+\frac{3}{4}z\right)^2\) ។

3.2 ពន្លាតគូបនៃទ្វេធា

ពន្លាត \(\displaystyle (a+b)^3\)

\[\begin{aligned} (a+b)^3 &= (a+b)(a+b)^2 = (a+b)(a^2+2ab+b^2) \\ &= a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3 \\ &= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \end{aligned}\]

ដូច្នេះ

\[(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\]
១លំហាត់គំរូ ១

ពន្លាត \(\displaystyle (x+1)^3\) ។

ដំណោះស្រាយ

\(\displaystyle (x+1)^3 = x^3+3x^2+3x+1\) ។

✎ប្រតិបត្តិ ១

ពន្លាតកន្សោមខាងក្រោម៖

  • ក. \(\displaystyle (x+5)^3\)
  • ខ. \(\displaystyle (x+3y)^3\)
  • គ. \(\displaystyle (2x+5y)^3\)
  • ឃ. \(\displaystyle \left(\frac{1}{2}x^2+y\right)^3\) ។

ពន្លាត \(\displaystyle (a-b)^3\)

\[\begin{aligned} (a-b)^3 &= (a-b)(a-b)^2 = (a-b)(a^2-2ab+b^2) \\ &= a^3-2a^2b+ab^2-a^2b+2ab^2-b^3 \\ &= a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \end{aligned}\]

ដូច្នេះ

\[(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\]
២លំហាត់គំរូ ២

ចូរពន្លាត \(\displaystyle (x-1)^3\) ។

ដំណោះស្រាយ

\(\displaystyle (x-1)^3 = x^3-3x^2+3x-1\) ។

✎ប្រតិបត្តិ ២

ពន្លាតកន្សោមខាងក្រោម៖

  • ក. \(\displaystyle (x-5)^3\)
  • ខ. \(\displaystyle (2x-3y)^3\)
  • គ. \(\displaystyle \left(\frac{1}{2}x^2-y\right)^3\)
  • ឃ. \(\displaystyle (ab-3cd)^3\) ។

ពន្លាត \(\displaystyle (a-b)(a^2+ab+b^2)\)

\[(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3\]

ដូច្នេះ

\[(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3\]
៣លំហាត់គំរូ ៣

ពន្លាត \(\displaystyle (x-1)(x^2+x+1)\) ។

ដំណោះស្រាយ

\(\displaystyle (x-1)(x^2+x+1) = x^3-1\) ។

✎ប្រតិបត្តិ ៣

ពន្លាតកន្សោមខាងក្រោម៖

  • ក. \(\displaystyle (x-3)(x^2+3x+9)\)
  • ខ. \(\displaystyle (2x-1)(4x^2+2x+1)\)
  • គ. \(\displaystyle (\sqrt{2}x-3y)(2x^2+3\sqrt{2}xy+9y^2)\) ។
មើលចម្លើយ
  • ក. \(\displaystyle x^3-27\)
  • ខ. \(\displaystyle 8x^3-1\)
  • គ. \(\displaystyle 2\sqrt{2}x^3-27y^3\) ។

ពន្លាត \(\displaystyle (a+b)(a^2-ab+b^2)\)

\[(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3 = a^3+b^3\]

ដូច្នេះ

\[(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3\]
៤លំហាត់គំរូ ៤

ពន្លាត \(\displaystyle (x+1)(x^2-x+1)\) ។

ដំណោះស្រាយ

\(\displaystyle (x+1)(x^2-x+1) = x^3+1\) ។

✎ប្រតិបត្តិ ៤

ពន្លាតកន្សោមខាងក្រោម៖

  • ក. \(\displaystyle (x+2)(x^2-2x+4)\)
  • ខ. \(\displaystyle (3x+5)(9x^2-15x+25)\)
  • គ. \(\displaystyle \left(\frac{1}{4}x+4y\right)\left(\frac{1}{16}x^2-xy+16y^2\right)\) ។
មើលចម្លើយ
  • ក. \(\displaystyle x^3+8\)
  • ខ. \(\displaystyle 27x^3+125\)
  • គ. \(\displaystyle \frac{x^3}{64}+64y^3\) ។

4. ការដាក់កន្សោមជាផលគុណកត្តា

4.1 ការដាក់កន្សោមជាកត្តារួម

ឧទាហរណ៍ 1 : គេឱ្យកន្សោម \(\displaystyle ab+ac-ad\) ។ គេសង្កេតឃើញថា គ្រប់តួនៃកន្សោមនេះមាន \(\displaystyle a\) ដូចគ្នា ។ ដូច្នេះ កន្សោម \(\displaystyle ab+ac-ad\) អាចសរសេរជា \(\displaystyle ab+ac-ad = a(b+c-d)\) គេថាគេបានដាក់ \(\displaystyle a\) ជាកត្តារួម រួចកន្សោម \(\displaystyle a(b+c-d)\) ហៅថា ផលគុណកត្តា ។

ឧទាហរណ៍ 2 : តួនីមួយៗនៃកន្សោម \(\displaystyle x(2y-3)-2(2y-3)\) មាន \(\displaystyle (2y-3)\) ដូចគ្នា ។ គេអាចដាក់ \(\displaystyle (2y-3)\) ជាកត្តារួម \(\displaystyle x(2y-3)-2(2y-3) = (2y-3)(x-2)\) ។

•លំហាត់គំរូ

ដាក់កន្សោម \(\displaystyle (3x+1)(x-2)+(2-x)y\) ជាផលគុណកត្តា

ដំណោះស្រាយ
\[\begin{aligned} (3x+1)(x-2)+(2-x)y &= (3x+1)(x-2)-(x-2)y \\ &= (x-2)(3x+1-y) \\ &= (x-2)(3x-y+1) \text{ ។} \end{aligned}\]
✎ប្រតិបត្តិ

  1. ដាក់កន្សោមខាងក្រោមជាផលគុណកត្តា

    • ក. \(\displaystyle 6kp^2-21p^2\)
    • ខ. \(\displaystyle 2p^2q-4pqr\)
    • គ. \(\displaystyle 24x^3y+30x^2y^3\)
    • ឃ. \(\displaystyle a^2bc-ab^2c+abc^2\)

  2. ដាក់កន្សោមខាងក្រោមជាផលគុណកត្តា

    • ក. \(\displaystyle 5x(x-3)-4(3-x)\)
    • ខ. \(\displaystyle 6x-3xy-2+y\)
    • គ. \(\displaystyle 5x+10xy+4+8y\) ។
មើលចម្លើយ
    • ក. \(\displaystyle 3p^2(2k-7)\)
    • ខ. \(\displaystyle 2pq(p-2r)\)
    • គ. \(\displaystyle 6x^2y(4x+5y^2)\)
    • ឃ. \(\displaystyle abc(a-b+c)\) ។
    • ក. \(\displaystyle (x-3)(5x+4)\)
    • ខ. \(\displaystyle (2-y)(3x-1)\)
    • គ. \(\displaystyle (5x+4)(2y+1)\) ។

4.2 ការដាក់កន្សោមដឺក្រេទី 2 ជាផលគុណកត្តា

តាមរូបមន្តពន្លាត និងលក្ខណៈឆ្លុះនៃសមភាព \(\displaystyle A=B \Leftrightarrow B=A\) ។ គេបាន

\[\begin{aligned} a^2+2ab+b^2 &= (a+b)^2 \\ a^2-2ab+b^2 &= (a-b)^2 \\ a^2-b^2 &= (a+b)(a-b) \text{ ។} \end{aligned}\]
១លំហាត់គំរូ ១

ដាក់ជាផលគុណកត្តាចំពោះកន្សោមខាងក្រោម៖

  • ក. \(\displaystyle x^2+6x+9\)
  • ខ. \(\displaystyle m^2-20m+100\)
  • គ. \(\displaystyle 4p^2q^2-9t^2\) ។
ដំណោះស្រាយ

ដាក់ជាផលគុណកត្តា

  • ក. \(\displaystyle x^2+6x+9\) ប្រើរូបមន្ត \(\displaystyle a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2\)
    \(\displaystyle x^2+6x+9 = x^2+2 \times 3 \times x + 3^2 = (x+3)^2\)
  • ខ. \(\displaystyle m^2-20m+100\) ប្រើរូបមន្ត \(\displaystyle a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2\)
    \(\displaystyle m^2-20m+100 = m^2-2 \times 10 \times m + 10^2 = (m-10)^2\)
  • គ. \(\displaystyle 4p^2q^2-9t^2\) ប្រើរូបមន្ត \(\displaystyle a^2-b^2 = (a+b)(a-b)\)
    \(\displaystyle 4p^2q^2-9t^2 = (2pq)^2-(3t)^2 = (2pq+3t)(2pq-3t)\) ។
✎ប្រតិបត្តិ ១

ដាក់កន្សោមខាងក្រោមជាផលគុណកត្តា

  • ក. \(\displaystyle x^2+10x+25\)
  • ខ. \(\displaystyle a^2b^2+4abc+4c^2\)
  • គ. \(\displaystyle y^2-16y+64\)
  • ឃ. \(\displaystyle 4m^2-20mn+25n^2\)
  • ង. \(\displaystyle 81x^2-64y^2\)
  • ច. \(\displaystyle 144a^2b^2-169c^2\) ។
មើលចម្លើយ
  • ក. \(\displaystyle (x+5)^2\)
  • ខ. \(\displaystyle (ab+2c)^2\)
  • គ. \(\displaystyle (y-8)^2\)
  • ឃ. \(\displaystyle (2m-5n)^2\)
  • ង. \(\displaystyle (9x-8y)(9x+8y)\)
  • ច. \(\displaystyle (12ab-13c)(12ab+13c)\) ។
២លំហាត់គំរូ ២

ដាក់ជាផលគុណកត្តានៃកន្សោមដែលមានរាង \(\displaystyle x^2+(a+b)x+ab\)

ដំណោះស្រាយ
\[\begin{aligned} x^2+(a+b)x+ab &= x^2+ax+bx+ab \\ &= (x^2+ax)+(bx+ab) \\ &= x(x+a)+b(x+a) \\ &= (x+a)(x+b) \text{ ។} \end{aligned}\]

ដូច្នេះ

\[x^2+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)\]
✎ប្រតិបត្តិ ២

ដាក់កន្សោមខាងក្រោមជាផលគុណកត្តា

  • ក. \(\displaystyle x^2+8x+12\)
  • ខ. \(\displaystyle y^2-10y+24\)
  • គ. \(\displaystyle m^2-12m+32\) ។
មើលចម្លើយ
  • ក. \(\displaystyle (x+2)(x+6)\)
  • ខ. \(\displaystyle (y-4)(y-6)\)
  • គ. \(\displaystyle (m-4)(m-8)\) ។
✎ប្រតិបត្តិ ៣

បំពេញចំនួនគត់វិជ្ជមានក្នុងចន្លោះ ដើម្បីឱ្យកន្សោមនីមួយៗមានទម្រង់ជាការេនៃទ្វេធាដឺក្រេទី 1

  • ក. \(\displaystyle x^2+4x+\dots\)
  • ខ. \(\displaystyle x^2-6x+\dots\)
  • គ. \(\displaystyle a^2+\dots a+1\)
  • ឃ. \(\displaystyle 4a^2-\dots a+9\)

4.3 ការដាក់កន្សោម \(\displaystyle acx^2+(ad+bc)x+bd\) ជាផលគុណកត្តា

គេអាចសរសេរ

\[\begin{aligned} acx^2+(ad+bc)x+bd &= acx^2+adx+bcx+bd \\ &= (acx^2+adx)+(bcx+bd) \\ &= ax(cx+d)+b(cx+d) \\ &= (cx+d)(ax+b) \end{aligned}\]

ដូច្នេះ គេបានរូបមន្ត

\[acx^2+(ad+bc)x+bd = (ax+b)(cx+d)\]
•លំហាត់គំរូ

ដាក់ជាកត្តានូវកន្សោមខាងក្រោម ដោយប្រើរូបមន្ត (5)

  • ក. \(\displaystyle 6x^2-13x-15\)
  • ខ. \(\displaystyle 12x^2-25xy+12y^2\) ។
ដំណោះស្រាយ
  • ក.

    តាង \(\displaystyle a, b, c\) និង \(\displaystyle d\) ជាបួនចំនួនផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការខាងក្រោម៖

    \[\begin{cases} ac = 6 \\ bd = -15 \end{cases} \quad (1)\]

    រកតម្លៃដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ផងដែរចំពោះសមីការ \(\displaystyle ad+bc = -13\) (2)
    ការគណនាដែលបង្ហាញខាងស្តាំគេថា សមីការ (1) និង (2) គឺផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយ \(\displaystyle a=6, c=1, b=5, d=-3\) ។

    \(\displaystyle ac\)\(\displaystyle bd\)\(\displaystyle ad+bc\)
    \(\displaystyle a\)…\(\displaystyle b\)\(\displaystyle \rightarrow\)\(\displaystyle bc\)
    \(\displaystyle c\)…\(\displaystyle d\)\(\displaystyle \rightarrow\)\(\displaystyle ad\)
    \(\displaystyle ad+bc\)
    6\(\displaystyle -15\)\(\displaystyle -13\)
    6…5\(\displaystyle \rightarrow\)5
    1…\(\displaystyle -3\)\(\displaystyle \rightarrow\)\(\displaystyle -18\)
    \(\displaystyle -13\)

    ដូច្នេះ \(\displaystyle 6x^2-13x-15 = (6x+5)(x-3)\) ។

  • ខ.

    គេឱ្យ \(\displaystyle 12x^2-25xy+12y^2\) គឺជាកន្សោមដឺក្រេទី 2 នៃ \(\displaystyle x\) ហើយការគណនាដូចបង្ហាញខាងស្តាំ ។

    12\(\displaystyle 12y^2\)\(\displaystyle -25y\)
    3…\(\displaystyle -4y\)\(\displaystyle \rightarrow\)\(\displaystyle -16y\)
    4…\(\displaystyle -3y\)\(\displaystyle \rightarrow\)\(\displaystyle -9y\)
    \(\displaystyle -25y\)

    ដូច្នេះ \(\displaystyle 12x^2-25xy+12y^2 = (3x-4y)(4x-3y)\) ។

✎ប្រតិបត្តិ

ដាក់ជាផលគុណកត្តានូវកន្សោមខាងក្រោម៖

  • ក. \(\displaystyle 2x^2+3x+1\)
  • ខ. \(\displaystyle 2x^2-13x+6\)
  • គ. \(\displaystyle -3a^2+5a+2\)
  • ឃ. \(\displaystyle 6p^2-4pq-16q^2\)
  • ង. \(\displaystyle 8x^2-26xy+15y^2\)
  • ច. \(\displaystyle -35x^2-16xy+12y^2\) ។
មើលចម្លើយ
  • ក. \(\displaystyle (2x+1)(x+1)\)
  • ខ. \(\displaystyle (2x-1)(x-6)\)
  • គ. \(\displaystyle (3a+1)(2-a)\)
  • ឃ. \(\displaystyle (3p+4q)(2p-4q)\)
  • ង. \(\displaystyle (2x-5y)(4x-3y)\)
  • ច. \(\displaystyle (7x+6y)(2y-5x)\) ។

4.4 ការដាក់កន្សោមដឺក្រេទី 3 ជាផលគុណកត្តា

រូបមន្តផលបូកនិងផលដកនៃគូប ។ តាមរូបមន្តពន្លាតនិងលក្ខណៈឆ្លុះនៃសមភាព \(\displaystyle A=B \Rightarrow B=A\) ។ គេបាន

\[\begin{aligned} a^3+b^3 &= (a+b)(a^2-ab+b^2) \\ a^3-b^3 &= (a-b)(a^2+ab+b^2) \text{ ។} \end{aligned}\]
•លំហាត់គំរូ

ដាក់កន្សោមខាងក្រោមជាផលគុណកត្តា

  • ក. \(\displaystyle x^3+27\)
  • ខ. \(\displaystyle 8a^3-1\)
ដំណោះស្រាយ
  • ក. \(\displaystyle x^3+27 = x^3+3^3 = (x+3)(x^2-3x+9)\)
  • ខ. \(\displaystyle 8a^3-1 = (2a)^3-1^3 = (2a-1)(4a^2+2a+1)\) ។
✎ប្រតិបត្តិ

ដាក់កន្សោមខាងក្រោមជាផលគុណកត្តា

  • ក. \(\displaystyle a^3+27\)
  • ខ. \(\displaystyle 64x^3+125\)
  • គ. \(\displaystyle 8p^3-125q^3\)
  • ឃ. \(\displaystyle 1000n^3-\frac{1}{8}p^3\) ។
មើលចម្លើយ
  • ក. \(\displaystyle (a+3)(a^2-3a+9)\)
  • ខ. \(\displaystyle (4x+5)(16x^2-20x+25)\)
  • គ. \(\displaystyle (2p-5q)(4p^2+10pq+25q^2)\)
  • ឃ. \(\displaystyle \left(10n-\frac{1}{2}p\right)\left(100n^2+5np+\frac{1}{4}p^2\right)\) ។

4.5 របៀបផ្សេងៗទៀតក្នុងការដាក់កន្សោមជាផលគុណកត្តា

ឧទាហរណ៍ : ដាក់កន្សោម \(\displaystyle 2x^2-5xy-3y^2+3x+5y-2\) ជាផលគុណកត្តា ។

ដោយរៀបតាមដឺក្រេលំដាប់ចុះនៃ \(\displaystyle x\) គេបាន

\[2x^2-(5y-3)x-(3y^2-5y+2) = 2x^2-(5y-3)x-(y-1)(3y-2) \text{ ។}\]
2\(\displaystyle -(y-1)(3y-2)\)\(\displaystyle -(5y-3)\)
2…\(\displaystyle y-1\)\(\displaystyle \rightarrow\)\(\displaystyle y-1\)
1…\(\displaystyle -(3y-2)\)\(\displaystyle \rightarrow\)\(\displaystyle -6y+4\)
\(\displaystyle -(5y-3)\)

តាមលទ្ធផលខាងលើនេះ គេបាន

\[\begin{aligned} 2x^2-(5y-3)x-(3y^2-5y+2) &= \{2x+(y-1)\}\{x-(3y-2)\} \\ &= (2x+y-1)(x-3y+2) \text{ ។} \end{aligned}\]
✎ប្រតិបត្តិ ១

ចូរដាក់កន្សោមខាងក្រោមជាផលគុណកត្តា

  • ក. \(\displaystyle x^2+3xy+2y^2+x-y-6\)
  • ខ. \(\displaystyle 2x^2-3xy-2y^2+x+3y-1\) ។
មើលចម្លើយ
  • ក. \(\displaystyle (x+y-2)(x+2y+3)\)
  • ខ. \(\displaystyle (x-2y+1)(2x+y-1)\) ។
•លំហាត់គំរូ

ដាក់កន្សោមខាងក្រោមជាផលគុណកត្តា

  • ក. \(\displaystyle x^4-13x^2+36\)
  • ខ. \(\displaystyle (x^2+x+2)(x^2+x-3)-6\) ។
ដំណោះស្រាយ
  • ក.

    \(\displaystyle x^4-13x^2+36\) តាង \(\displaystyle x^2=X\) គេបាន

    \[\begin{aligned} x^4-13x^2+36 &= X^2-13X+36 = (X-9)(X-4) = (x^2-9)(x^2-4) \\ &= (x+3)(x-3)(x+2)(x-2) \text{ ។} \end{aligned}\]
  • ខ.

    \(\displaystyle (x^2+x+2)(x^2+x-3)-6\) តាង \(\displaystyle x^2+x=X\) គេបាន

    \[\begin{aligned} (x^2+x+2)(x^2+x-3)-6 &= (X+2)(X-3)-6 = X^2-X-12 = (X+3)(X-4) \\ &= (x^2+x+3)(x^2+x-4) \text{ ។} \end{aligned}\]
✎ប្រតិបត្តិ ២

ដាក់កន្សោមខាងក្រោមជាផលគុណកត្តា

  • ក. \(\displaystyle (x-y)^2-4(x-y)+4\)
  • ខ. \(\displaystyle (a+1)^3+(a-1)^3\)
  • គ. \(\displaystyle x^4+x^2y^2-2y^4\) ។
មើលចម្លើយ
  • ក. \(\displaystyle (x-y-2)^2\)
  • ខ. \(\displaystyle 2a(a^2+3)\)
  • គ. \(\displaystyle (x-y)(x+y)(x^2+2y^2)\) ។
✎ប្រតិបត្តិ ៣

ដាក់កន្សោមខាងក្រោមជាផលគុណកត្តា

  • ក. \(\displaystyle x^2+3y+xy+3x\)
  • ខ. \(\displaystyle ab-bc-ac+c^2\)
  • គ. \(\displaystyle ax-kx-ah+kh\)
  • ឃ. \(\displaystyle 20ac-4ad-15kc+3kd\)
  • ង. \(\displaystyle 6a^2+3ab-8ka-4kb\) ។

លំហាត់

  1. តាង \(\displaystyle A = x^2+xy-3y^2\), \(\displaystyle B = 2x^2-xy+4y^2\) និង \(\displaystyle C = -3x^2+5y^2\) ។ សម្រួលកន្សោម៖

    • ក. \(\displaystyle A-B+C\)
    • ខ. \(\displaystyle A-2B+3C\)
    • គ. \(\displaystyle 3(-A+B)+2C\) ។

  2. សរសេរពហុធាដែលតំណាងឱ្យផ្ទៃក្រឡាដូចក្នុងរូបខាងក្រោម៖

    • ក. \(\displaystyle OM = OC = 2\text{ cm}\), \(\displaystyle AM = MB = x\text{ cm}\)
    • ខ.
    • គ.
    • ឃ.

  3. ពន្លាតកន្សោមខាងក្រោម៖

    • ក. \(\displaystyle (2a-3b)(4a+5b)\)
    • ខ. \(\displaystyle (3x-1)(x^2+7x-5)\)
    • គ. \(\displaystyle (x+1)(x-1)(x^2+1)\)
    • ឃ. \(\displaystyle (2a-b+3c)^2\)
    • ង. \(\displaystyle \left(x-\frac{1}{3}\right)^3\)
    • ច. \(\displaystyle (a-2)(a^2+2a+4)\) ។

  4. ពន្លាតកន្សោមខាងក្រោម៖

    • ក. \(\displaystyle (a+b-3)(a+b+1)\)
    • ខ. \(\displaystyle (x+y-z)(x-y+z)\)
    • គ. \(\displaystyle (x+y)^2(x-y)^2\)
    • ឃ. \(\displaystyle (x+2)(x-6)(x-8)(x+4)\) ។

  5. គណនាផ្ទៃក្រឡាសរុបនិងមាឌនៃរូបខាងក្រោម៖

    • ក.
    • ខ.
    • គ.
    • ឃ.

  6. ដាក់កន្សោមខាងក្រោមជាផលគុណកត្តា៖

    • ក. \(\displaystyle 3a^2b-18ab^2\)
    • ខ. \(\displaystyle x^2-11x+24\)
    • គ. \(\displaystyle x(x-4)-5\)
    • ឃ. \(\displaystyle 6x^2+13x-8\)
    • ង. \(\displaystyle (a-3)^2-(a-3)\)
    • ច. \(\displaystyle x^2-x-y^2-y\)

  7. កំណត់កន្សោមខាងក្រោមជាកត្តា៖

    • ក. \(\displaystyle (x-y)(x-y+5)+6\)
    • ខ. \(\displaystyle a^2-2ab+b^2-9\)
    • គ. \(\displaystyle x^2-(4a-3b)x-12ab\)
    • ឃ. \(\displaystyle 4(x-3y)^2-9(x-3y)+5\)
    • ង. \(\displaystyle (2x-3)^3-(2y-x)^3\)
    • ច. \(\displaystyle x^2+xy-6y^2+5x+35y-36\) ។

  8. សរសេរប្រភាគខាងក្រោមជាប្រភាគតែមួយ រួចសម្រួល៖

    • ក. \(\displaystyle \frac{1}{1-x}+\frac{2}{1+x}+\frac{2x}{x^2-1}\)
    • ខ. \(\displaystyle \frac{3}{x+2}-\frac{x-5}{x^2-4}+\frac{1}{x-2}\)
    • គ. \(\displaystyle \frac{1}{2x-3}-\frac{2}{x+2}-\frac{2x-x^2}{2x^2+x-6}\)
    • ឃ. \(\displaystyle \frac{5}{x-2}-\frac{3x+x^3}{x^3-x-2}+\frac{x}{x+1}\) ។

ខ្លឹមសារ៖ សៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី១០ របស់ក្រសួងអប់រំ យុវជន និងកីឡា · វាយអត្ថបទ គូររូបភាពឡើងវិញ និងរៀបចំលើអនឡាញដោយលោកគ្រូ សាន សុខលី សម្រាប់ការសិក្សាដោយឥតគិតថ្លៃ និងមិនរកប្រាក់ចំណេញ។ មិនមែនជាការបោះពុម្ពផ្លូវការរបស់ក្រសួងទេ។