KhmerMathគណិតវិទ្យាខ្មែរ
ធ្វើតេស្ត CBA
  1. ទំព័រដើម
  2. ថ្នាក់ទី ១០
  3. មេរៀន
  4. ជំពូកទី ១ · មេរៀនទី ២
២
ជំពូកទី ១ : ពហុធា · មេរៀនទី ២

ប្រមាណវិធីចែកពហុធា

ឧទាហរណ៍ ១២ប្រតិបត្តិ ១០
✓វត្ថុបំណង
  1. ធ្វើប្រមាណវិធីចែកពហុធានិងពហុធាបានត្រឹមត្រូវ
  2. រកតួចែករួមធំបំផុត (GCD) និងពហុគុណរួមតូចបំផុត (LCM) បានត្រឹមត្រូវ
  3. សម្រួលកន្សោមប្រភាគ និងធ្វើប្រមាណវិធីលើកន្សោមប្រភាគបានត្រឹមត្រូវ ។

1. ប្រមាណវិធីចែកពហុធា

1.1 វិធីចែកដាច់នៃពហុធា

ឧទាហរណ៍ 1 : ក្នុងវិធីចែករវាងចំនួន \(\displaystyle 18\) នឹង \(\displaystyle 3\) គេអាចសរសេរ \(\displaystyle 18 \div 3 = \frac{18}{3} = 6\) ។
ដូច្នេះ \(\displaystyle 18 = 3 \times 6\) គេថា \(\displaystyle 18\) ចែកដាច់នឹង \(\displaystyle 3\) ។ \(\displaystyle 3\) ជាតួចែកនៃ \(\displaystyle 18\) ហើយ \(\displaystyle 18\) ជាផលគុណនៃ \(\displaystyle 3\) និង \(\displaystyle 6\) ។

ជាទូទៅ

បើគេឱ្យកន្សោមពីរ \(\displaystyle A\) និង \(\displaystyle B\) រួចមានកន្សោម \(\displaystyle Q\) មួយដែល \(\displaystyle A = B \times Q\) នោះគេថា \(\displaystyle A\) ចែកដាច់នឹង \(\displaystyle B\) ។ \(\displaystyle B\) ជាតួចែក \(\displaystyle Q\) ជាផលចែក និង \(\displaystyle A\) ជាតំណាងចែក ឬជាផលគុណនៃ \(\displaystyle B\) និង \(\displaystyle Q\) ។ គេកំណត់សរសេរ \(\displaystyle A \div B = Q\) ឬ \(\displaystyle \frac{A}{B} = Q\) ។

ឧទាហរណ៍ 2 : ដោយ \(\displaystyle x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4)\) នោះ គេថាកន្សោម \(\displaystyle x-1\) ជាតួចែក និង \(\displaystyle x-4\) ជាផលចែករវាងកន្សោម \(\displaystyle x^2 - 5x + 4\) និង \(\displaystyle x-1\) ហើយ \(\displaystyle x^2 - 5x + 4\) ជាផលគុណនៃ \(\displaystyle x-1\) នឹង \(\displaystyle x-4\) ។ គេកំណត់សរសេរ \(\displaystyle (x^2 - 5x + 4) \div (x-1) = x-4\) ។

១លំហាត់គំរូ ១

បើគេមានកន្សោម \(\displaystyle A = 6x^2 + 5x - 4\) និង \(\displaystyle B = 2x-1\) គណនា \(\displaystyle A \div B\) ។

ដំណោះស្រាយ

ធ្វើវិធីចែកតាមជួរឈរ ៖

\(\displaystyle \begin{array}{rl} 6x^2 + 5x - 4 & \vline\; 2x - 1 \\ \cline{2-2} \underline{6x^2 - 3x\phantom{-4}} & 3x + 4 \\ 8x - 4 & \\ \underline{8x - 4} & \\ 0 & \end{array}\)

ដូច្នេះ \(\displaystyle A \div B = 3x+4\) ឬ \(\displaystyle 6x^2 + 5x - 4 = (2x-1)(3x+4)\) ។

✎ប្រតិបត្តិ ១

ធ្វើប្រមាណវិធីចែកខាងក្រោម៖

  1. ក. \(\displaystyle (x^2 + 6x - 55) \div (x-5)\)
  2. ខ. \(\displaystyle (6y^4 - 10y^2 + y^3 + 6 + 7y) \div (2y+3)\)
  3. គ. \(\displaystyle (5a^2 + 2a^3 - 1) \div (-1 + 2a + a^2)\) ។
មើលចម្លើយ
  1. ក. \(\displaystyle x^2 + 6x - 55 = (x-5)(x+11) \implies \text{ផលចែកគឺ } x+11\)
  2. ខ. រៀបតាមលំដាប់ស្វ័យគុណចុះ \(\displaystyle 6y^4 + y^3 - 10y^2 + 7y + 6 \div (2y+3) = 3y^3 - 4y^2 + y + 2\)
  3. គ. \(\displaystyle (2a^3 + 5a^2 - 1) \div (a^2 + 2a - 1) = 2a + 1\) ។

1.2 វិធីចែកមានសំណល់នៃពហុធា

២លំហាត់គំរូ ២

ធ្វើប្រមាណវិធីចែក \(\displaystyle (2x^3 - 3x^2 - x + 4) \div (2x^2 + 2x - 3)\) ។

ដំណោះស្រាយ

\(\displaystyle \begin{array}{rl} 2x^3 - 3x^2 - x + 4 & \vline\; 2x^2 + 2x - 3 \\ \cline{2-2} \underline{2x^3 + 2x^2 - 3x\phantom{+4}} & x - \frac{5}{2} \\ -5x^2 + 2x + 4 & \\ \underline{-5x^2 - 5x + \frac{15}{2}} & \\ 7x - \frac{7}{2} & \end{array}\)

តាង \(\displaystyle Q = x - \frac{5}{2}\) ជាផលចែក និង \(\displaystyle R = 7x - \frac{7}{2}\) ជាសំណល់នៃវិធីចែក ។
គេបាន \(\displaystyle 2x^3 - 3x^2 - x + 4 = (2x^2 + 2x - 3)\left(x - \frac{5}{2}\right) + \left(7x - \frac{7}{2}\right)\) ។

ជាទូទៅ

គេឱ្យកន្សោមពីរ \(\displaystyle A\) និង \(\displaystyle B\) ដែលមានអថេរដូចគ្នា ហើយមានដឺក្រេ \(\displaystyle m\) និង \(\displaystyle n\) រៀងគ្នា (\(\displaystyle B \ne 0\)) ។ បើ \(\displaystyle m \ge n\) គេអាចរកកន្សោមពីជគណិត \(\displaystyle Q\) និង \(\displaystyle R\) តែមួយគត់ដែល ៖

\[A = B \times Q + R \quad \text{ដោយ } \deg(R) < \deg(B)\]

ផលចែក \(\displaystyle Q\) មានដឺក្រេ \(\displaystyle m-n\) ។ បើ \(\displaystyle R=0\) គេថា \(\displaystyle A\) ចែកដាច់នឹង \(\displaystyle B\) ។

✎ប្រតិបត្តិ ២

ធ្វើប្រមាណវិធីចែកខាងក្រោម៖

  1. ក. \(\displaystyle (4x-5) \div (x+2)\)
  2. ខ. \(\displaystyle (x^3 - x^2 + x - 1) \div (x+2)\)
  3. គ. \(\displaystyle (3x^2 + 2x + 1) \div (3x-4)\)
  4. ឃ. \(\displaystyle (3x^2 + 5x - 2) \div (2x+1)\) ។
មើលចម្លើយ
  1. ក. ផលចែក \(\displaystyle Q = 4\), សំណល់ \(\displaystyle R = -13 \implies \frac{4x-5}{x+2} = 4 - \frac{13}{x+2}\)
  2. ខ. ផលចែក \(\displaystyle Q = x^2 - 3x + 7\), សំណល់ \(\displaystyle R = -15 \implies x^2 - 3x + 7 - \frac{15}{x+2}\)
  3. គ. ផលចែក \(\displaystyle Q = x + 2\), សំណល់ \(\displaystyle R = 9 \implies x + 2 + \frac{9}{3x-4}\)
  4. ឃ. ផលចែក \(\displaystyle Q = \frac{3}{2}x + \frac{7}{4}\), សំណល់ \(\displaystyle R = -\frac{15}{4}\) ។
៣លំហាត់គំរូ ៣

ចែក \(\displaystyle (y^4 - 2y^2 - y + 8)\) និង \(\displaystyle (y^2 - y - 2)\) ។

ដំណោះស្រាយ

\(\displaystyle \begin{array}{rl} y^4 + 0y^3 - 2y^2 - y + 8 & \vline\; y^2 - y - 2 \\ \cline{2-2} \underline{y^4 - y^3 - 2y^2\phantom{-y+8}} & y^2 + y + 1 \\ y^3 + 0y^2 - y + 8 & \\ \underline{y^3 - y^2 - 2y\phantom{+8}} & \\ y^2 + y + 8 & \\ \underline{y^2 - y - 2} & \\ 2y + 10 & \end{array}\)

គេបាន \(\displaystyle y^4 - 2y^2 - y + 8 = (y^2 - y - 2)(y^2 + y + 1) + (2y + 10)\) ។

✎ប្រតិបត្តិ ៣

ធ្វើប្រមាណវិធីចែកខាងក្រោម៖

  1. ក. \(\displaystyle (a^4 + 7a - 1) \div (a^2 + 2)\)
  2. ខ. \(\displaystyle (x^4 - 25x^2 + 8x - 3) \div (x^2 - 3x + 1)\)
  3. គ. \(\displaystyle (x^5 - 2x^3 - 4x + 5) \div (3x^3 + 2)\)
  4. ឃ. \(\displaystyle \left(\frac{1}{2}x^4 + 4x^2 + x + 5\right) \div (3x^2 + 2)\) ។
មើលចម្លើយ
  1. ក. ផលចែក \(\displaystyle a^2 - 2\), សំណល់ \(\displaystyle 7a + 3\)
  2. ខ. ផលចែក \(\displaystyle x^2 + 3x - 17\), សំណល់ \(\displaystyle -46x + 14\)
  3. គ. ផលចែក \(\displaystyle \frac{1}{3}x^2 - \frac{2}{3}\), សំណល់ \(\displaystyle -\frac{2}{3}x^2 - 4x + \frac{19}{3}\)
  4. ឃ. ផលចែក \(\displaystyle \frac{1}{6}x^2 + \frac{11}{9}\), សំណល់ \(\displaystyle x + \frac{23}{9}\) ។

2. តួចែករួមធំបំផុត និងពហុគុណរួមតូចបំផុតនៃពហុធា

ឧទាហរណ៍ : គេមានឯកធា \(\displaystyle 75x^3y^4\) និង \(\displaystyle 45x^2y^5\) ។
គេសរសេរ ៖

\[75x^3y^4 = 3 \times 5^2 \times x^3 \times y^4 \quad \text{និង} \quad 45x^2y^5 = 3^2 \times 5 \times x^2 \times y^5\]

ឯកធាទាំងពីរនេះមាន \(\displaystyle 3 \times 5 \times x^2 \times y^4 = 15x^2y^4\) ជាកត្តារួមដែលមាននិទស្សន្តតូចជាងគេ ហៅថា តួចែករួមធំបំផុត (GCD) ។
កន្សោម \(\displaystyle 3^2 \times 5^2 \times x^3 \times y^5 = 225x^3y^5\) ហៅថា ពហុគុណរួមតូចបំផុត (LCM) ។

ជាទូទៅ
  1. តួចែករួមធំបំផុត (GCD) នៃកន្សោម \(\displaystyle A\) និង \(\displaystyle B\) គឺជាផលគុណកត្តារួម ដែលមាននិទស្សន្តតូចជាងគេ ។
  2. ពហុគុណរួមតូចបំផុត (LCM) នៃកន្សោម \(\displaystyle A\) និង \(\displaystyle B\) គឺជាផលគុណកត្តារួមដែលមាននិទស្សន្តធំជាងគេ និងកត្តាមិនរួមទាំងអស់ ។
វិធាន

  • ដើម្បីគណនាតួចែករួមធំបំផុត (GCD) ៖

    1. ដាក់កន្សោមនីមួយៗជាផលគុណកត្តា ។
    2. ជ្រើសរើសកត្តារួមដែលមាននិទស្សន្តតូចជាងគេ ។
    3. គុណកត្តារួមទាំងនោះបញ្ចូលគ្នា ។

  • ដើម្បីគណនាពហុគុណរួមតូចបំផុត (LCM) ៖

    1. ដាក់កន្សោមនីមួយៗជាផលគុណកត្តា ។
    2. ជ្រើសរើសកត្តារួមដែលមាននិទស្សន្តធំជាងគេ និងកត្តាមិនរួមទាំងអស់ ។
    3. គុណកត្តាទាំងអស់នោះបញ្ចូលគ្នា ។
១លំហាត់គំរូ ១

រកតួចែករួមធំបំផុត និងពហុគុណរួមតូចបំផុតនៃកន្សោម ៖

\[A = 54x^3y^5, \quad B = 36x^4y^2 \quad \text{និង} \quad C = 90x^6y^3\]
ដំណោះស្រាយ
\[\begin{aligned} A &= 54x^3y^5 = 2^1 \times 3^3 \times x^3 \times y^5 \\ B &= 36x^4y^2 = 2^2 \times 3^2 \times x^4 \times y^2 \\ C &= 90x^6y^3 = 2^1 \times 3^2 \times 5^1 \times x^6 \times y^3 \end{aligned}\]

- តួចែករួមធំបំផុត (GCD) គឺ \(\displaystyle 2^1 \times 3^2 \times x^3 \times y^2 = 18x^3y^2\) ។
- ពហុគុណរួមតូចបំផុត (LCM) គឺ \(\displaystyle 2^2 \times 3^3 \times 5^1 \times x^6 \times y^5 = 540x^6y^5\) ។

២លំហាត់គំរូ ២

រកតួចែករួមធំបំផុត និងពហុគុណរួមតូចបំផុតនៃកន្សោម \(\displaystyle x^2(x-1)\) និង \(\displaystyle x(x-1)(x+1)\) ។

ដំណោះស្រាយ
\(\displaystyle x^2\)\(\displaystyle (x-1)\)
\(\displaystyle x\)\(\displaystyle (x-1)\)\(\displaystyle (x+1)\)
\(\displaystyle x\)\(\displaystyle (x-1)\)\(\displaystyle \rightarrow\) តួចែករួមធំបំផុត
\(\displaystyle x^2\)\(\displaystyle \times\)\(\displaystyle (x-1)\)\(\displaystyle \times\)\(\displaystyle (x+1)\) \(\displaystyle \rightarrow\) ពហុគុណរួមតូចបំផុត

ដូច្នេះ តួចែករួមធំបំផុតគឺ \(\displaystyle x(x-1)\) និងពហុគុណរួមតូចបំផុតគឺ \(\displaystyle x^2(x-1)(x+1)\) ។

✎ប្រតិបត្តិ ១

រកតួចែករួមធំបំផុត និងពហុគុណរួមតូចបំផុត ៖

  1. ក. \(\displaystyle 3x^5\), \(\displaystyle 4x^7\) និង \(\displaystyle 5x^3\)
  2. ខ. \(\displaystyle 25x^3y^2\), \(\displaystyle 30x^6y^3\) និង \(\displaystyle 15x^2y^4\)
  3. គ. \(\displaystyle 4x^2-2x-12\) និង \(\displaystyle 4x^2-16\) ។
មើលចម្លើយ
  • ក. \(\displaystyle \text{GCD} = x^3\), \(\displaystyle \text{LCM} = 60x^7\)
  • ខ. \(\displaystyle \text{GCD} = 5x^2y^2\), \(\displaystyle \text{LCM} = 150x^6y^4\)
  • គ. \(\displaystyle 4x^2-2x-12 = 2(2x^2-x-6) = 2(2x+3)(x-2)\) និង \(\displaystyle 4x^2-16 = 4(x-2)(x+2)\)
    \(\displaystyle \implies \text{GCD} = 2(x-2)\), \(\displaystyle \text{LCM} = 4(2x+3)(x-2)(x+2) = 4(2x+3)(x^2-4)\) ។
✎ប្រតិបត្តិ ២
  1. ក. គេឱ្យការេមួយចារឹកក្នុងរង្វង់ដែលមានកាំស្មើនឹង \(\displaystyle r\) ។ រកតួចែករួមធំបំផុតនៃផ្ទៃក្រឡាការេ និងផ្ទៃក្រឡារង្វង់ ។
  2. ខ. តាង \(\displaystyle A_1\) និង \(\displaystyle A_2\) ជាផ្ទៃបាត និងផ្ទៃខាងរៀងគ្នានៃស៊ីឡាំងបរិវត្តមួយដែលមានកាំនៃបាតស្មើនឹង \(\displaystyle r\) និងកម្ពស់ស្មើនឹង \(\displaystyle h\) ។ រកតួចែករួមធំបំផុតនៃ \(\displaystyle A_1\) និង \(\displaystyle A_2\) ។
មើលចម្លើយ
  1. ក. អង្កត់ទ្រូងការេ \(\displaystyle d = 2r \implies\) ជ្រុងការេ \(\displaystyle a = \frac{2r}{\sqrt{2}} = r\sqrt{2} \implies S_{\text{ការេ}} = a^2 = 2r^2\) ។
    ផ្ទៃក្រឡារង្វង់ \(\displaystyle S_{\text{រង្វង់}} = \pi r^2\) ។
    កត្តារួមធំបំផុតរវាង \(\displaystyle 2r^2\) និង \(\displaystyle \pi r^2\) គឺ \(\displaystyle r^2\) ។
  2. ខ. ផ្ទៃបាត \(\displaystyle A_1 = 2 \times (\pi r^2) = 2\pi r^2\) (បាតទាំងពីរ) ឬ \(\displaystyle \pi r^2\) ។
    ផ្ទៃខាង \(\displaystyle A_2 = 2\pi r h\) ។
    កត្តារួមធំបំផុតរវាង \(\displaystyle 2\pi r^2\) និង \(\displaystyle 2\pi r h\) គឺ \(\displaystyle 2\pi r\) ។

3. ប្រមាណវិធីលើប្រភាគសនិទាន

3.1 ការសម្រួលកន្សោមប្រភាគ

កន្សោមដែលមានទម្រង់ \(\displaystyle \frac{A}{B}\) (\(\displaystyle B \ne 0\)) ហៅថា ប្រភាគសនិទាន ដែល \(\displaystyle A\) ជាភាគយក (តំណាងចែក) និង \(\displaystyle B\) ជាភាគបែង (តួចែក) ។

ជាទូទៅ
\[\frac{A \times C}{B \times C} = \frac{A}{B} \quad (B \ne 0, C \ne 0)\]

បើគេចែកភាគយក និងភាគបែងដោយតួចែករួមធំបំផុត (GCD) របស់វានោះ គេបានកន្សោមប្រភាគដែលមិនអាចសម្រួលបាន ។

១លំហាត់គំរូ ១

សម្រួលកន្សោម \(\displaystyle \frac{2x^2-x-1}{x^3-1}\) ។

ដំណោះស្រាយ
\[\frac{2x^2-x-1}{x^3-1} = \frac{(x-1)(2x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{2x+1}{x^2+x+1}\]
✎ប្រតិបត្តិ ១

សម្រួលកន្សោមខាងក្រោម និងបំប្លែងវាទៅជាកន្សោមប្រភាគដែលមិនអាចសម្រួលបាន ៖

  1. ក. \(\displaystyle \frac{3a^2b^3c}{9ab^4c^3}\)
  2. ខ. \(\displaystyle \frac{x^2-1}{x^3+1}\)
  3. គ. \(\displaystyle \frac{a^3-a^2-2a}{a^3-4a}\) ។
មើលចម្លើយ
  1. ក. \(\displaystyle \frac{3a^2b^3c}{9ab^4c^3} = \frac{a}{3bc^2}\)
  2. ខ. \(\displaystyle \frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{x-1}{x^2-x+1}\)
  3. គ. \(\displaystyle \frac{a(a-2)(a+1)}{a(a-2)(a+2)} = \frac{a+1}{a+2}\) ។
២លំហាត់គំរូ ២

សរសេរកន្សោមប្រភាគ \(\displaystyle \frac{2}{x+1}\) និង \(\displaystyle \frac{3}{x-1}\) ឱ្យទៅជាកន្សោមប្រភាគដែលមានភាគបែងរួម ។

ដំណោះស្រាយ

ភាគបែងរួមគឺ \(\displaystyle (x+1)(x-1) = x^2-1\) ៖

\[\frac{2}{x+1} = \frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{2(x-1)}{x^2-1} \quad \text{និង} \quad \frac{3}{x-1} = \frac{3(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{3(x+1)}{x^2-1}\]

3.2 ប្រមាណវិធីបូកនិងប្រមាណវិធីដកនៃកន្សោមប្រភាគ

ជាទូទៅ
\[\frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A+B}{C}, \quad \frac{A}{C} - \frac{B}{C} = \frac{A-B}{C} \quad (C \ne 0)\]

វិធាន ៖

  1. តម្រូវប្រភាគនីមួយៗឱ្យមានភាគបែងរួម (ស្មើនឹង LCM នៃភាគបែង) ។
  2. ធ្វើប្រមាណវិធីបូក ឬដកតែភាគយក និងរក្សាទុកភាគបែងរួម ។
  3. សម្រួលលទ្ធផលដែលទទួលបាន ។
•លំហាត់គំរូ

គណនា \(\displaystyle \frac{x+8}{x^2+x-2} - \frac{x+4}{x^2+3x+2}\) ។

ដំណោះស្រាយ
\[\begin{aligned} \frac{x+8}{x^2+x-2} - \frac{x+4}{x^2+3x+2} &= \frac{x+8}{(x+2)(x-1)} - \frac{x+4}{(x+2)(x+1)} \\ &= \frac{(x+8)(x+1) - (x+4)(x-1)}{(x+2)(x-1)(x+1)} \\ &= \frac{(x^2+9x+8) - (x^2+3x-4)}{(x+2)(x-1)(x+1)} \\ &= \frac{6x+12}{(x+2)(x-1)(x+1)} = \frac{6(x+2)}{(x+2)(x-1)(x+1)} \\ &= \frac{6}{(x-1)(x+1)} = \frac{6}{x^2-1} \end{aligned}\]
✎ប្រតិបត្តិ ១

គណនាកន្សោមខាងក្រោម៖

  1. ក. \(\displaystyle \frac{x}{x^2-1} - \frac{1}{x^2-1}\)
  2. ខ. \(\displaystyle \frac{x+2}{x-2} + \frac{4}{2-x}\)
  3. គ. \(\displaystyle \frac{1}{1+a} + \frac{2a}{1-a^2}\)
  4. ឃ. \(\displaystyle \frac{x-2}{x^2-x+1} - \frac{1}{x+1} + \frac{x^2+x+3}{x^3+1}\) ។
មើលចម្លើយ
  1. ក. \(\displaystyle \frac{x-1}{x^2-1} = \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x+1}\)
  2. ខ. \(\displaystyle \frac{x+2}{x-2} - \frac{4}{x-2} = \frac{x-2}{x-2} = 1\)
  3. គ. \(\displaystyle \frac{1-a+2a}{1-a^2} = \frac{1+a}{(1-a)(1+a)} = \frac{1}{1-a}\)
  4. ឃ. ភាគបែងរួមគឺ \(\displaystyle x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)\) នាំឱ្យលទ្ធផលគឺ \(\displaystyle \frac{x}{x^2-x+1}\) ។
✎ប្រតិបត្តិ ២

បង្ហាញថា \(\displaystyle \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} - \frac{2}{x^2+1} - \frac{4}{x^4+1} = \frac{8}{x^8-1}\) ។

មើលដំណោះស្រាយ
  • \(\displaystyle \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} = \frac{(x+1)-(x-1)}{x^2-1} = \frac{2}{x^2-1}\)
  • \(\displaystyle \frac{2}{x^2-1} - \frac{2}{x^2+1} = \frac{2(x^2+1)-2(x^2-1)}{x^4-1} = \frac{4}{x^4-1}\)
  • \(\displaystyle \frac{4}{x^4-1} - \frac{4}{x^4+1} = \frac{4(x^4+1)-4(x^4-1)}{x^8-1} = \frac{8}{x^8-1}\) (ពិត) ។

3.3 ប្រមាណវិធីគុណនិងប្រមាណវិធីចែកនៃកន្សោមប្រភាគ

ជាទូទៅ
\[\frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{A \times C}{B \times D} \quad \text{និង} \quad \frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \times \frac{D}{C} = \frac{A \times D}{B \times C}\]

(ដោយ \(\displaystyle B \ne 0, C \ne 0, D \ne 0\)) ។
វិធាន ៖

  1. ដាក់ភាគយក និងភាគបែងនៃកន្សោមប្រភាគទាំងអស់ជាផលគុណកត្តា ។
  2. សម្រួលកត្តារួមរវាងភាគយក និងភាគបែង ។
  3. ធ្វើប្រមាណវិធីគុណ ឬចែកតាមរូបមន្តខាងលើ ។
•លំហាត់គំរូ

គណនាកន្សោមប្រភាគ \(\displaystyle \frac{x^2-2x-3}{x^2-4} \div \frac{x^2-4x+3}{x^2+4x+4}\) ។

ដំណោះស្រាយ
\[\begin{aligned} \frac{x^2-2x-3}{x^2-4} \div \frac{x^2-4x+3}{x^2+4x+4} &= \frac{x^2-2x-3}{x^2-4} \times \frac{x^2+4x+4}{x^2-4x+3} \\ &= \frac{(x-3)(x+1)}{(x+2)(x-2)} \times \frac{(x+2)^2}{(x-3)(x-1)} \\ &= \frac{(x+1)(x+2)}{(x-2)(x-1)} = \frac{x^2+3x+2}{x^2-3x+2} \end{aligned}\]
✎ប្រតិបត្តិ ១

គណនាកន្សោមប្រភាគខាងក្រោម៖

  1. ក. \(\displaystyle \frac{x^2-49}{x^2+2x} \times \frac{x+2}{x-7}\)
  2. ខ. \(\displaystyle \frac{2a-1}{a^2-2a+1} \times \frac{a^2-3a+2}{4a^2-1}\)
  3. គ. \(\displaystyle \frac{x^2-4}{x^2+4x+4} \div \frac{x^3-8}{2x+4}\)
  4. ឃ. \(\displaystyle \frac{2x^3+7x^2+6x}{3x^2+5x-2} \div \frac{4x^3-9x}{6x^2-11x+3}\) ។
មើលចម្លើយ
  1. ក. \(\displaystyle \frac{(x-7)(x+7)}{x(x+2)} \times \frac{x+2}{x-7} = \frac{x+7}{x}\)
  2. ខ. \(\displaystyle \frac{2a-1}{(a-1)^2} \times \frac{(a-1)(a-2)}{(2a-1)(2a+1)} = \frac{a-2}{(a-1)(2a+1)} = \frac{a-2}{2a^2-a-1}\)
  3. គ. \(\displaystyle \frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)^2} \times \frac{2(x+2)}{(x-2)(x^2+2x+4)} = \frac{2}{x^2+2x+4}\)
  4. ឃ. សម្រួលកត្តាទាំងអស់បានលទ្ធផលស្មើនឹង \(\displaystyle 1\) ។
✎ប្រតិបត្តិ ២

សម្រួលកន្សោមប្រភាគជាន់ ៖

  1. ក. \(\displaystyle \frac{x - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}\)
  2. ខ. \(\displaystyle \frac{\frac{a+2}{2}}{a - \frac{2}{a+1}}\) ។
មើលចម្លើយ
  1. ក. \(\displaystyle \frac{\frac{x^2-1}{x}}{\frac{x-1}{x}} = \frac{x^2-1}{x-1} = x+1\) (\(\displaystyle x \ne 0, x \ne 1\))
  2. ខ. \(\displaystyle \frac{\frac{a+2}{2}}{\frac{a(a+1)-2}{a+1}} = \frac{a+2}{2} \times \frac{a+1}{(a+2)(a-1)} = \frac{a+1}{2(a-1)}\) (\(\displaystyle a \ne -2, a \ne -1, a \ne 1\)) ។

4. លំហាត់មេរៀនទី 2

  1. ធ្វើប្រមាណវិធីចែកខាងក្រោម៖

    1. ក. \(\displaystyle (4x^3-3x-9) \div (2x-3)\)
    2. ខ. \(\displaystyle (a^4+2a+5-10a^2-4a^3) \div (5a+4-a^2)\) ។

  2. រកតួចែករួមធំបំផុត និងពហុគុណរួមតូចបំផុតចំពោះករណីនីមួយៗខាងក្រោម៖

    1. ក. \(\displaystyle 12a^2b^3c\), \(\displaystyle 18a^3bc^2\) និង \(\displaystyle 30a^4c^2\)
    2. ខ. \(\displaystyle 4x^2-9\), \(\displaystyle 6x^2+7x-3\) និង \(\displaystyle 2x^2-17x-30\)
    3. គ. \(\displaystyle x^2+7x+10\) និង \(\displaystyle 4x^2-25\)
    4. ឃ. \(\displaystyle x^2+3x+2\) និង \(\displaystyle 2x^2+x-1\)
    5. ង. \(\displaystyle x^2-x-2\), \(\displaystyle -x^2-x+2\)
    6. ច. \(\displaystyle x^2+x-6\), \(\displaystyle x^2+4x+3\) និង \(\displaystyle x^2+3x\)
    7. ឆ. \(\displaystyle a^3-2a^2\), \(\displaystyle a^3-4a\) និង \(\displaystyle a^3-a^2-2a\)
    8. ជ. \(\displaystyle (y+z)^2-x^2\), \(\displaystyle (z+x)^2-y^2\) និង \(\displaystyle (x+y)^2-z^2\) ។

  3. គណនាខាងក្រោម៖

    1. ក. \(\displaystyle \frac{a-1}{a} - \frac{a}{a-1} + \frac{1}{a-1}\)
    2. ខ. \(\displaystyle \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+3}\)
    3. គ. \(\displaystyle \frac{2x-1}{x-1} - \frac{x+2}{x+1} - \frac{x^2+3}{x^2-1}\)
    4. ឃ. \(\displaystyle \frac{a^2+3a+2}{a^2+2a+4} \div \frac{(a+1)^2}{a^3-8} \times \frac{a^2+4a+3}{a^2+a-2}\) ។
  4. គេដឹងថាកន្សោមពីជគណិត \(\displaystyle P(x)\) ចែកនឹង \(\displaystyle 3x^2+1\) បានផលចែក \(\displaystyle x^3-2\) និងសំណល់ \(\displaystyle 4x-5\) ។ រកកន្សោមពីជគណិត \(\displaystyle P(x)\) នេះ ។
  5. ពេលដែល \(\displaystyle 6x^4-7x^3-4x^2+5x+3\) ចែកនឹងកន្សោមពីជគណិត \(\displaystyle P(x)\) គេបានផលចែក \(\displaystyle 2x^2-3x+1\) និងសំណល់ \(\displaystyle -2x+5\) ។ រកកន្សោមពីជគណិត \(\displaystyle P(x)\) ។

5. មេរៀនសង្ខេបសម្រាប់ជំពូកទី 1

  1. ឯកធា និងពហុធា

    • ឯកធា គឺជាកន្សោមដែលប្រមាណវិធីលើអថេរមានតែវិធីគុណ និងស្វ័យគុណដែលមាននិទស្សន្តគត់វិជ្ជមាន ឬសូន្យ ។
    • ឯកធាដូចគ្នា គឺជាឯកធាដែលមានផ្នែកអថេរដូចគ្នា ។
    • ដឺក្រេនៃឯកធា គឺជាផលបូកនិទស្សន្តរបស់អថេរនីមួយៗនៃឯកធា ។
    • ពហុធា គឺជាផលបូកនៃច្រើនឯកធាខុសគ្នា ។
    • ដឺក្រេនៃពហុធា គឺជាដឺក្រេរបស់តួដែលមានដឺក្រេខ្ពស់ជាងគេ ។

  2. ប្រមាណវិធីលើពហុធា

    • ដើម្បីបូក ឬដកពីរពហុធា គេត្រូវបូក ឬដកឯកធាដែលដូចគ្នា ។
    • ដើម្បីគុណពហុធានិងពហុធា គេយកតួនីមួយៗនៃពហុធាទី 1 គុណគ្រប់តួនៃពហុធាទី 2 រួចបូកបង្រួម ។

  3. រូបមន្តស្វ័យគុណ និងសមភាពសំខាន់ៗ

    • \(\displaystyle (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\),   \(\displaystyle (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\)
    • \(\displaystyle (a-b)(a+b) = a^2-b^2\),   \(\displaystyle (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)
    • \(\displaystyle (a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\),   \(\displaystyle (a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
    • \(\displaystyle (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3\),   \(\displaystyle (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3\)
    • \(\displaystyle acx^2+(ad+bc)x+bd = (ax+b)(cx+d)\) ។

  4. វិធីចែកពហុធា និងទ្រឹស្ដីបទសំណល់

    • \(\displaystyle A = B \times Q + R\) ដោយ \(\displaystyle \deg(R) < \deg(B)\) ។
    • ទ្រឹស្ដីបទសំណល់ ៖ សំណល់នៃការចែកពហុធា \(\displaystyle P(x)\) នឹង \(\displaystyle x-c\) គឺ \(\displaystyle R = P(c)\) ។
    • ទ្រឹស្ដីបទកត្តា ៖ ពហុធា \(\displaystyle P(x)\) មានកត្តា \(\displaystyle x-c\) លុះត្រាតែ \(\displaystyle P(c) = 0\) ។

  5. តួចែករួមធំបំផុត (GCD) និងពហុគុណរួមតូចបំផុត (LCM)

    • តួចែករួមធំបំផុត គឺជាផលគុណកត្តារួមដែលមាននិទស្សន្តតូចជាងគេ ។
    • ពហុគុណរួមតូចបំផុត គឺជាផលគុណគ្រប់កត្តាមិនរួម និងគ្រប់កត្តារួមដែលមាននិទស្សន្តធំជាងគេ ។

  6. ប្រមាណវិធីលើកន្សោមប្រភាគ

    • \(\displaystyle \frac{A}{C} \pm \frac{B}{C} = \frac{A \pm B}{C}\)
    • \(\displaystyle \frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD}\) និង \(\displaystyle \frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{AD}{BC}\) (\(\displaystyle B \ne 0, C \ne 0, D \ne 0\)) ។

6. លំហាត់ជំពូកទី 1

  1. រកដឺក្រេនៃកន្សោមពហុធានីមួយៗខាងក្រោម រួចកំណត់ផងដែរថាតើវាជាឯកធា ទ្វេធា ឬត្រីធា ៖

    1. ក. \(\displaystyle 6x^3+11\) (ទ្វេធា ដឺក្រេ 3)
    2. ខ. \(\displaystyle 2x-3x^2+4\) (ត្រីធា ដឺក្រេ 2) ។

  2. ធ្វើប្រមាណវិធីបូក និងដកនៃកន្សោមពហុធាខាងក្រោម៖

    1. ក. \(\displaystyle (-5x^3+2x^2)+(3x^3-4x^2) = -2x^3 - 2x^2\)
    2. ខ. \(\displaystyle (2y^2+5y-3)-(3y^2-3y+6) = -y^2 + 8y - 9\)
    3. គ. \(\displaystyle (-4a^3+2a^2-5a)+(5a^3-7a^2+3a+4) = a^3 - 5a^2 - 2a + 4\)
    4. ឃ. \(\displaystyle (13c^2-9c-6)-(8c^2+5c+4) = 5c^2 - 14c - 10\)
    5. ង. \(\displaystyle (6n^2+4)+(3n^3-3n^2+2n) = 3n^3 + 3n^2 + 2n + 4\)
    6. ច. \(\displaystyle (-6+5k+8k^2)-(9k^2-4k+5) = -k^2 + 9k - 11\) ។
  3. គេបានសន្មតថា ចំពោះប្រមាណវិធីដក \(\displaystyle 2xy-3yz+4zx\) ពីកន្សោមពីជគណិតមួយ ។ តាមកំហុសគេបានបន្ថែមកន្សោមទាំងនេះបញ្ចូលគ្នា និងទទួលបាន \(\displaystyle 2yz+zx-2xy\) ។ ចូររកចម្លើយត្រឹមត្រូវ ។

  4. ដាក់កន្សោមខាងក្រោម ជាផលគុណកត្តា ៖

    1. ក. \(\displaystyle x^3-x^2y-30xy^2 = x(x-6y)(x+5y)\)
    2. ខ. \(\displaystyle p^3-p^2q-pq^2+q^3 = (p-q)^2(p+q)\)
    3. គ. \(\displaystyle x^2+ax-3bx-3ab = (x+a)(x-3b)\)
    4. ឃ. \(\displaystyle x^2y+y^2z-y^3-x^2z = (x^2-y^2)(y-z) = (x-y)(x+y)(y-z)\)
    5. ង. \(\displaystyle (x^2+2x)^2-2(x^2+2x)-3 = (x^2+2x-3)(x^2+2x+1) = (x-1)(x+3)(x+1)^2\)
    6. ច. \(\displaystyle 9x^4-34x^2y^2+25y^4 = (x-y)(x+y)(3x-5y)(3x+5y)\)
    7. ឆ. \(\displaystyle x^2-2(a-1)x-2a+1 = (x-2a+1)(x+1)\)
    8. ជ. \(\displaystyle x^2+3xy-5x+2y^2-7y+6 = (x+y-2)(x+2y-3)\) ។
  5. រកតម្លៃនៃចំនួនថេរ \(\displaystyle a\) ដែលកន្សោមពីជគណិត \(\displaystyle x^3+ax^2+x+2-a\) ចែកដាច់នឹង \(\displaystyle x^2+2x-1\) ។
  6. ចំពោះ \(\displaystyle a^n = 3\) ចូររកតម្លៃនៃ \(\displaystyle \frac{a^{2n}-a^{-n}}{a^{2n}+a^{-n}}\) ។
  7. បង្ហាញថាសមភាព \(\displaystyle \sqrt{3+\sqrt{6}} + \sqrt{3-\sqrt{6}} = \sqrt{6+2\sqrt{3}}\) ពិត ។
  8. ប្រៀបធៀប \(\displaystyle \frac{7}{3-\sqrt{2}}\) និង \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}-2}\) ។
  9. បើ \(\displaystyle x = \frac{3+\sqrt{13}}{2}\) ចូររកតម្លៃនៃ \(\displaystyle x - \frac{1}{x}\), \(\displaystyle x^2 + \frac{1}{x^2}\), និង \(\displaystyle x^3 - \frac{1}{x^3}\) ។
  10. រកចំនួនសនិទាន \(\displaystyle a\) និង \(\displaystyle b\) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់សមភាព \(\displaystyle \frac{40+17\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} = a+b\sqrt{5}\) ។
  11. បើដកកន្សោមពីជគណិត \(\displaystyle P\) ពី \(\displaystyle \frac{x^3}{x+1}\) នោះយើងបានលទ្ធផលស្មើនឹង \(\displaystyle \frac{a}{x+1}\) (\(\displaystyle a\) ជាចំនួនថេរ) ។ រកតម្លៃនៃ \(\displaystyle a\) និងកន្សោម \(\displaystyle P\) ។

  12. គណនាកន្សោមខាងក្រោម៖

    1. ក. \(\displaystyle (a+b+c)^2 + (b+c-a)^2 + (c+a-b)^2 + (a+b-c)^2\)
    2. ខ. \(\displaystyle \frac{x-z}{(y-z)(x-y)} - \frac{y-z}{(x-y)(z-x)} + \frac{x-y}{(z-x)(y-z)}\)
    3. គ. \(\displaystyle \frac{a^2-bc}{(a+b)(c+a)} + \frac{b^2-ca}{(b+c)(a+b)} + \frac{c^2-ab}{(c+a)(b+c)}\) ។

  13. ដាក់ជាផលគុណកត្តានៃកន្សោមខាងក្រោម៖

    1. ក. \(\displaystyle x^3(x-1) + 11x^2(x-1) - 42x(x-1)\)
    2. ខ. \(\displaystyle x^3(2x-1) + 4x^2(2x-1) - 21x(2x-1)\)
    3. គ. \(\displaystyle x^4(x^2-25) - 10x^2(x^2-25) - 9(x^2-25)\)
    4. ឃ. \(\displaystyle 3x^4(y^2-4) + 7x^2(y^2-4) - 6(y^2-4)\)
    5. ង. \(\displaystyle 2x^2y^2(xy+1) + 3xy(xy+1) - 9(xy+1)\)
    6. ច. \(\displaystyle 2x^2(2-y) + xy(2-y) - 10y^2(2-y)\) ។
  14. រកកន្សោមពីជគណិតពីរដែលតួចែករួមធំបំផុតស្មើនឹង \(\displaystyle x-2\) និងពហុគុណរួមតូចបំផុតស្មើនឹង \(\displaystyle 3x^3+8x^2-13x-30\) ។

  15. នៅក្នុងចតុកោណកែងដូចក្នុងរូប ៖

    1. ក. រកកន្សោមតាងផ្ទៃនៃផ្នែកពណ៌ក្រម៉ៅ ។
    2. ខ. ប្រសិនបើបរិមាត្រនៃចតុកោណធំស្មើនឹង \(\displaystyle 24\) រកតម្លៃនៃ \(\displaystyle x\) ។
  16. ប្រវែងបណ្តោយនៃចតុកោណកែងមួយលើសទទឹង \(\displaystyle 3\text{ m}\) ។ ប្រសិនបើបណ្តោយកើនឡើង \(\displaystyle 2\text{ m}\) និងទទឹងថយចុះ \(\displaystyle 1\text{ m}\) នោះផ្ទៃក្រឡានៅដដែល ។ រកប្រវែងបណ្តោយ និងទទឹង ។
  17. ប្រវែងបណ្តោយនៃចតុកោណកែងមួយស្មើពីរដងទទឹង ។ ប្រសិនបើប្រវែងបណ្តោយថយចុះ \(\displaystyle 4\text{ m}\) និងទទឹងកើនឡើង \(\displaystyle 3\text{ m}\) នោះផ្ទៃក្រឡានៅដដែល ។ រកប្រវែងបណ្តោយ និងទទឹង ។
  18. ការេចំនួនគត់ដែលធំ នៃចំនួនគត់ពីរជាប់គ្នា លើសផលគុណនៃចំនួនគត់ជាប់គ្នា \(\displaystyle 10\) ។ រកចំនួនគត់ទាំងពីរនោះ ។

  19. តាង \(\displaystyle P(x) = x^2+2x-15\), \(\displaystyle D(x) = x-3\) និង \(\displaystyle Q(x) = x+5\) ។

    1. ក. បង្ហាញថា \(\displaystyle \frac{P(x)}{D(x)} = Q(x)\)
    2. ខ. បង្ហាញសមភាពចំពោះ \(\displaystyle x=1, x=-2, x=-\frac{1}{2}\) និងពន្យល់ករណី \(\displaystyle x=3\)
    3. គ. រកលក្ខខណ្ឌ \(\displaystyle a \in \mathbb{R}\) ដែល \(\displaystyle \frac{P(a)}{D(a)} = Q(a)\) ។
  20. រកផលចែកនៃ \(\displaystyle x^2+2x-3\) ចែកនឹងផលគុណនៃ \(\displaystyle x\) គុណនឹង \(\displaystyle x-3\) ។
  21. បើផលបូកនៃ \(\displaystyle x^2+3x-2\) និង \(\displaystyle -2x^2+x-1\) ចែកដាច់នឹង \(\displaystyle x-1\) ។ តើផលចែករបស់វាស្មើប៉ុន្មាន?
  22. បើគេចែក \(\displaystyle x^2+2x-3\) នឹង \(\displaystyle P(x)\) គេបានផលចែក \(\displaystyle x+2\) និងសំណល់ \(\displaystyle 5\) ។ រក \(\displaystyle P(x)\) ។

  23. ប្រអប់សំបុត្រមួយរាងប្រលេពីប៉ែតកែងដូចរូប ៖

    បើប្រអប់សំបុត្រនេះមានមាឌស្មើនឹង \(\displaystyle W^3+10W^2+16W\) គណនាប្រវែង \(\displaystyle BB'\) ។

ខ្លឹមសារ៖ សៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី១០ របស់ក្រសួងអប់រំ យុវជន និងកីឡា · វាយអត្ថបទ គូររូបភាពឡើងវិញ និងរៀបចំលើអនឡាញដោយលោកគ្រូ សាន សុខលី សម្រាប់ការសិក្សាដោយឥតគិតថ្លៃ និងមិនរកប្រាក់ចំណេញ។ មិនមែនជាការបោះពុម្ពផ្លូវការរបស់ក្រសួងទេ។