សមីការអសនិទាននិងសមីការដឺក្រេលំដាប់ខ្ពស់

1. សមីការអសនិទាន

ឧទាហរណ៍ ៖ សមីការ \(\displaystyle \sqrt{3x-2} = 6\) ជាសមីការអសនិទាន ។ ចំណែកឯសមីការ \(\displaystyle 3x + \sqrt{3} = 4\) មិនមែនជាសមីការអសនិទានទេ ព្រោះអញ្ញាត \(\displaystyle x\) មិនស្ថិតនៅក្រោមរ៉ាឌីកាល់ឡើយ ។

1.1 សមីការអសនិទានដែលមានរាង \(\displaystyle \sqrt{f(x)} = a\) (\(\displaystyle a \ge 0\))

1.2 សមីការអសនិទានដែលមានទម្រង់ \(\displaystyle \sqrt{f(x)} = g(x)\)

១លំហាត់គំរូ ១

ដោះស្រាយសមីការ \(\displaystyle \sqrt{7-x} = x-1\) ៖
ដំណោះស្រាយ ៖

• លក្ខខណ្ឌ ៖ \(\displaystyle x - 1 \ge 0 \iff x \ge 1\)

• លើកអង្គទាំងពីរជាការេ ៖

  \[\begin{aligned} (\sqrt{7-x})^2 &= (x-1)^2 \\ 7 - x &= x^2 - 2x + 1 \\ x^2 - x - 6 &= 0 \\ (x - 3)(x + 2) &= 0 \implies x = 3 \quad \text{ឬ} \quad x = -2 \end{aligned}\]
• ផ្ទៀងផ្ទាត់ ៖ ចំពោះ \(\displaystyle x = 3 \ge 1\) (យក); ចំពោះ \(\displaystyle x = -2 < 1\) (មិនយក)

ដូច្នេះ សមីការមានឫសតែមួយគត់គឺ \(\displaystyle x = 3\) ។

លំហាត់គំរូ 2 (ដោះស្រាយដោយប្រើអថេរជំនួយ) ដោះស្រាយសមីការ ៖

\[\frac{8}{\sqrt{10-2x}} - \sqrt{10-2x} = 7\]

ដំណោះស្រាយ ៖

• លក្ខខណ្ឌ ៖ \(\displaystyle 10 - 2x > 0 \iff x < 5\)

• តាង \(\displaystyle t = \sqrt{10-2x}\) (\(\displaystyle t > 0\)) នោះសមីការក្លាយជា ៖

  \[\frac{8}{t} - t = 7 \iff 8 - t^2 = 7t \iff t^2 + 7t - 8 = 0\]

• សមីការមានរាង \(\displaystyle a + b + c = 1 + 7 - 8 = 0\) នាំឱ្យ ៖

  \[t_1 = 1, \quad t_2 = \frac{c}{a} = -8 \quad (\text{មិនយក ព្រោះ } t > 0)\]
• ចំពោះ \(\displaystyle t = 1\) គេបាន \(\displaystyle \sqrt{10-2x} = 1 \iff 10 - 2x = 1 \implies 2x = 9 \implies x = \dfrac{9}{2} < 5\)

ដូច្នេះ សមីការមានឫស \(\displaystyle x = \dfrac{9}{2}\) ។

1.3 ការអនុវត្តសមីការអសនិទានក្នុងធរណីមាត្រ

ឧទាហរណ៍ ៖ រង្វង់ \(\displaystyle C\) មួយមាន \(\displaystyle AB\) ជាអង្កត់ផ្ចិត និងមានកាំស្មើ \(\displaystyle 1\text{ cm}\) (\(\displaystyle AB = 2\text{ cm}\)) ។ \(\displaystyle P\) ជាចំណុចមួយនៃអង្កត់ \(\displaystyle OA\) ។ ពីចំណុច \(\displaystyle P\) គេគូសបន្ទាត់កែងនឹង \(\displaystyle AB\) កាត់រង្វង់ \(\displaystyle C\) ត្រង់ \(\displaystyle M\) ។ បន្ទាត់មួយស្របនឹង \(\displaystyle AB\) គូសចេញពី \(\displaystyle M\) កាត់រង្វង់ \(\displaystyle C\) ត្រង់ \(\displaystyle N\) ។ ចូរកំណត់ទីតាំងនៃ \(\displaystyle P\) ដើម្បីឱ្យបរិមាត្រនៃចតុកោណព្នាយ \(\displaystyle AMNB\) ស្មើនឹង \(\displaystyle 5\text{ cm}\) ។

ដំណោះស្រាយ ៖

• តាង \(\displaystyle OP = x\) (\(\displaystyle 0 < x < 1\)) នាំឱ្យ \(\displaystyle AP = OA - OP = 1 - x\)
• ក្នុងត្រីកោណកែង \(\displaystyle OPM\) ៖ \(\displaystyle PM^2 = OM^2 - OP^2 = 1^2 - x^2 = 1 - x^2\)

• ក្នុងត្រីកោណកែង \(\displaystyle APM\) ៖

  \[AM = \sqrt{AP^2 + PM^2} = \sqrt{(1-x)^2 + (1-x^2)} = \sqrt{1 - 2x + x^2 + 1 - x^2} = \sqrt{2(1-x)}\]
• ដោយ \(\displaystyle MN \parallel AB\) នាំឱ្យចតុកោណ \(\displaystyle AMNB\) ជាចតុកោណព្នាយសមបាត នាំឱ្យ \(\displaystyle BN = AM = \sqrt{2(1-x)}\)
• គូស \(\displaystyle NI \perp AB\) ត្រង់ \(\displaystyle I\) គេបាន \(\displaystyle \Delta AMP \cong \Delta BNI \implies IB = AP = 1-x\)
• នាំឱ្យ \(\displaystyle OI = OB - IB = 1 - (1-x) = x\) ដូច្នេះ \(\displaystyle MN = PI = OP + OI = 2x\)

• បរិមាត្រចតុកោណព្នាយ \(\displaystyle AMNB\) គឺ ៖

  \[P = AB + AM + MN + BN = 2 + 2\sqrt{2(1-x)} + 2x\]

• តាមបម្រាប់ \(\displaystyle P = 5\text{ cm}\) គេបាន ៖

  \[\begin{aligned} 2\sqrt{2(1-x)} + 2x + 2 &= 5 \\ 2\sqrt{2(1-x)} &= 3 - 2x \quad (\text{លក្ខខណ្ឌ } 3 - 2x \ge 0 \implies x \le \frac{3}{2}) \\ 4[2(1-x)] &= (3 - 2x)^2 \\ 8 - 8x &= 9 - 12x + 4x^2 \\ 4x^2 - 4x + 1 &= 0 \iff (2x - 1)^2 = 0 \implies x = \frac{1}{2} \end{aligned}\]

ដូច្នេះ \(\displaystyle x = \dfrac{1}{2}\text{ cm}\) មានន័យថា \(\displaystyle P\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃកាំ \(\displaystyle OA\) ។

2. សមីការដឺក្រេលំដាប់ខ្ពស់ងាយ

សមីការដែលតាងដោយ \(\displaystyle (\text{ពហុធាដឺក្រេទី } n) = 0\) ហៅថាសមីការដឺក្រេទី \(\displaystyle n\) ។

• \(\displaystyle x^3 + x^2 - 3x - 6 = 0\) ជាសមីការដឺក្រេទី 3
• \(\displaystyle 2x^4 - 3x^2 - x + 2 = 0\) ជាសមីការដឺក្រេទី 4

គេអាចដោះស្រាយសមីការលំដាប់ខ្ពស់ងាយៗតាមរយៈការដាក់ជាផលគុណកត្តា ឬប្រើអថេរជំនួយ ។

2.1 ដោះស្រាយដោយប្រើរូបមន្តស្វ័យគុណបី

2.2 សមីការទ្វេការេ (Biquadratic Equations) \(\displaystyle ax^4 + bx^2 + c = 0\)

3. ទ្រឹស្តីបទសំណល់ និងទ្រឹស្តីបទកត្តា

3.1 ទ្រឹស្តីបទសំណល់ (Remainder Theorem)

កាលណាគេចែកពហុធា \(\displaystyle f(x)\) នឹងទ្វេធាដឺក្រេទី 1 \(\displaystyle (x - \alpha)\) នោះគេបានផលចែក \(\displaystyle q(x)\) និងសំណល់ជាចំនួនថេរ \(\displaystyle R\) ៖

ជំនួស \(\displaystyle x = \alpha\) ចូល ៖ \(\displaystyle f(\alpha) = (\alpha - \alpha)q(\alpha) + R = 0 + R = R\) ។

3.2 ទ្រឹស្តីបទកត្តា (Factor Theorem)

4. ការដោះស្រាយសមីការដឺក្រេខ្ពស់ ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទកត្តា

5. ការអនុវត្តសមីការដឺក្រេលំដាប់ខ្ពស់

5.1 សមីការដែលមានឫសជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់

5.2 ចំណោទកាត់បត់ប្រអប់កាតុង (Max/Min Optimization Problem)

២លំហាត់គំរូ ២

គេធ្វើប្រអប់មួយពីក្រដាសកាតុងរឹងរាងចតុកោណកែងដែលមានបណ្តោយ \(\displaystyle 12\text{ cm}\) និងទទឹង \(\displaystyle 8\text{ cm}\) ។ គេកាត់ការេបួនដែលមានជ្រុង \(\displaystyle x\text{ cm}\) ចេញពីបួនកាច់ជ្រុងរួចបត់ធ្វើជាប្រអប់គ្មានគម្រប ។ រកតម្លៃ \(\displaystyle x\) បើមាឌនៃប្រអប់ស្មើនឹង \(\displaystyle 64\text{ cm}^3\) ។

ដំណោះស្រាយ ៖

• វិមាត្របាតនៃប្រអប់ ៖ ទទឹង \(\displaystyle (8 - 2x)\text{ cm}\), បណ្តោយ \(\displaystyle (12 - 2x)\text{ cm}\) និងកម្ពស់ \(\displaystyle x\text{ cm}\)
• លក្ខខណ្ឌវិមាត្រវិជ្ជមាន ៖ \(\displaystyle x > 0\), \(\displaystyle 8 - 2x > 0 \implies 0 < x < 4\)

• មាតនៃប្រអប់ ៖

  \[\begin{aligned} V(x) &= x(8 - 2x)(12 - 2x) = 64 \\ x(4)(4 - x)(6 - x) &= 64 \\ x(x^2 - 10x + 24) &= 16 \\ x^3 - 10x^2 + 24x - 16 &= 0 \end{aligned}\]
• សាកល្បង \(\displaystyle x = 2\) ៖ \(\displaystyle 2^3 - 10(2^2) + 24(2) - 16 = 8 - 40 + 48 - 16 = 0\)
• ដាក់ជាកត្តា ៖ \(\displaystyle (x - 2)(x^2 - 8x + 8) = 0\)
• \(\displaystyle x = 2\) ឬ \(\displaystyle x^2 - 8x + 8 = 0 \implies \Delta' = 16 - 8 = 8 \implies x = 4 \pm 2\sqrt{2}\)

• ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌ \(\displaystyle 0 < x < 4\) ៖

  • \(\displaystyle x = 2\text{ cm}\) (យក)
  • \(\displaystyle x = 4 - 2\sqrt{2} \approx 4 - 2.83 = 1.17\text{ cm}\) (យក)
  • \(\displaystyle x = 4 + 2\sqrt{2} \approx 6.83 > 4\) (មិនយក)

ដូច្នេះ តម្លៃ \(\displaystyle x\) អាចជា \(\displaystyle 2\text{ cm}\) ឬ \(\displaystyle (4 - 2\sqrt{2})\text{ cm}\) ។

លំហាត់

1. ដោះស្រាយសមីការអសនិទាន ៖

   1. ក. \(\displaystyle \sqrt{2x-3} - \sqrt{x+3} = 0 \implies \sqrt{2x-3} = \sqrt{x+3} \implies 2x - 3 = x + 3 \implies x = 6\)
   2. ខ. \(\displaystyle \sqrt{4x-2} - \sqrt{x+1} = 0 \implies 4x - 2 = x + 1 \implies 3x = 3 \implies x = 1\)
   3. គ. \(\displaystyle \sqrt{x+2} + \sqrt{x-1} = 0 \implies\) គ្មានឫស (ផលបូកពីររ៉ាឌីកាល់មិនអវិជ្ជមានស្មើ 0 លុះត្រាតែ \(\displaystyle x=-2\) និង \(\displaystyle x=1\) ព្រមគ្នា ដែលមិនអាចទៅរួច)
   4. ឃ. \(\displaystyle \sqrt{x} + \sqrt{x-3} = \sqrt{3(x-1)} \implies x = 4\)
   5. ង. \(\displaystyle \sqrt{x+2} - \sqrt{2x-3} = \sqrt{4x-7} \implies x = 2\)
   6. ច. \(\displaystyle \sqrt{2x-3} + \sqrt{4x+1} = 4 \implies x = 2\)

2. ដោះស្រាយសមីការដឺក្រេខ្ពស់ ៖

   1. ក. \(\displaystyle x^3 - 3x^2 + 4x - 4 = 0 \iff (x-2)(x^2-x+2) = 0 \implies x = 2, \; \dfrac{1 \pm \sqrt{7}i}{2}\)
   2. ខ. \(\displaystyle 12x^3 - 8x^2 - 3x + 2 = 0 \iff 4x^2(3x-2) - (3x-2) = 0 \implies x = \dfrac{2}{3}, \; \pm\dfrac{1}{2}\)
   3. គ. \(\displaystyle x^4 - 2x^2 - 15 = 0 \iff (x^2-5)(x^2+3) = 0 \implies x = \pm\sqrt{5}, \; \pm\sqrt{3}i\)
   4. ឃ. \(\displaystyle x^4 + 8x^3 + 9x^2 - 8x - 10 = 0 \implies x = 1, \; -1, \; -4 \pm \sqrt{6}\)
   5. ង. \(\displaystyle x^4 - 16x^2 + 16 = 0 \implies x = \pm\sqrt{8 \pm 4\sqrt{3}} = \pm(\sqrt{6} \pm \sqrt{2})\)
   6. ច. \(\displaystyle x(x+1)(x+2)(x+3) = 24 \iff (x^2+3x)(x^2+3x+2) = 24 \implies x = 1, \; -4, \; \dfrac{-3 \pm \sqrt{23}i}{2}\)
3. កំណត់តម្លៃ \(\displaystyle k\) ដើម្បីឱ្យពហុធា \(\displaystyle p(x) = x^3 - 4x^2 - 7x + k\) ចែកដាច់នឹង \(\displaystyle x - 1\) រួចដោះស្រាយសមីការ \(\displaystyle p(x) = 0\) ៖
   ដំណោះស្រាយ ៖ \(\displaystyle p(1) = 0 \iff 1 - 4 - 7 + k = 0 \implies k = 10\) ។
   សមីការក្លាយជា \(\displaystyle (x-1)(x^2-3x-10) = 0 \iff (x-1)(x-5)(x+2) = 0 \implies x = 1, \; 5, \; -2\) ។
4. ពហុធា \(\displaystyle p(x)\) ចែកនឹង \(\displaystyle x-1\) មានសំណល់ \(\displaystyle 4\) ហើយចែកនឹង \(\displaystyle x-3\) មានសំណល់ \(\displaystyle 10\) ។ រកសំណល់នៅពេលដែល \(\displaystyle p(x)\) ចែកនឹង \(\displaystyle (x-1)(x-3)\) ៖
   ដំណោះស្រាយ ៖ \(\displaystyle R(x) = ax + b\) ។ \(\displaystyle p(1) = a + b = 4\), \(\displaystyle p(3) = 3a + b = 10 \implies 2a = 6 \implies a = 3, \; b = 1\) ។
   ដូច្នេះ សំណល់គឺ \(\displaystyle R(x) = 3x + 1\) ។
5. គេមានសមីការ \(\displaystyle x^3 + ax^2 - 2x + b = 0\) ដោយស្គាល់ឫសមួយគឺ \(\displaystyle 1 + \sqrt{3}i\) ។ កំណត់ \(\displaystyle a\) និង \(\displaystyle b\) រួចដោះស្រាយសមីការ ៖
   ដំណោះស្រាយ ៖ ឫសឆ្លាស់គឺ \(\displaystyle 1 - \sqrt{3}i\) នាំឱ្យ \(\displaystyle (x - 1 - \sqrt{3}i)(x - 1 + \sqrt{3}i) = x^2 - 2x + 4\) ។
   យក \(\displaystyle x^3 + ax^2 - 2x + b\) ចែកនឹង \(\displaystyle x^2 - 2x + 4\) ទទួលបានផលចែក \(\displaystyle (x + a + 2)\) និងសំណល់ \(\displaystyle (2a + 2)x + (b - 4a - 8) = 0\) ។
   \(\displaystyle \implies 2a + 2 = 0 \implies a = -1\) និង \(\displaystyle b = 4(-1) + 8 = 4\) ។
   សមីការក្លាយជា \(\displaystyle (x^2 - 2x + 4)(x + 1) = 0 \implies x = -1, \; 1 \pm \sqrt{3}i\) ។
6. គេឱ្យ \(\displaystyle x^2 + x - 6\) ជាកត្តានៃពហុធា \(\displaystyle f(x) = 2x^4 + x^3 - ax^2 + bx + a + b - 1\) ។ រកតម្លៃ \(\displaystyle a\) និង \(\displaystyle b\) ៖
   ដំណោះស្រាយ ៖ \(\displaystyle x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)\) នាំឱ្យ \(\displaystyle f(2) = 0\) និង \(\displaystyle f(-3) = 0\) ៖
   \(\displaystyle f(2) = 2(16) + 8 - 4a + 2b + a + b - 1 = 39 - 3a + 3b = 0 \iff a - b = 13\)
   \(\displaystyle f(-3) = 2(81) - 27 - 9a - 3b + a + b - 1 = 134 - 8a - 2b = 0 \iff 4a + b = 67\)
   បូកសមីការទាំងពីរ ៖ \(\displaystyle 5a = 80 \implies a = 16 \implies b = 16 - 13 = 3\) ។
   ដូច្នេះ \(\displaystyle a = 16\) និង \(\displaystyle b = 3\) ។

ខ្លឹមសារ៖ សៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី១០ របស់ក្រសួងអប់រំ យុវជន និងកីឡា · វាយអត្ថបទ គូររូបភាពឡើងវិញ និងរៀបចំលើអនឡាញដោយលោកគ្រូ សាន សុខលី សម្រាប់ការសិក្សាដោយឥតគិតថ្លៃ និងមិនរកប្រាក់ចំណេញ។ មិនមែនជាការបោះពុម្ពផ្លូវការរបស់ក្រសួងទេ។