KhmerMathគណិតវិទ្យាខ្មែរ
ធ្វើតេស្ត CBA
  1. ទំព័រដើម
  2. ថ្នាក់ទី ១០
  3. មេរៀន
  4. ជំពូកទី ៣ · មេរៀនទី ១
១
ជំពូកទី ៣ : សមីការនិងវិសមីការ · មេរៀនទី ១

សមីការដឺក្រេទី 2 មានមួយអញ្ញាត

ឧទាហរណ៍ ៥
✓វត្ថុបំណង
  1. បង្ហាញសញ្ញាណឯកតានិមិត្ត និងសរសេរឫសការេនៃចំនួនអវិជ្ជមាន \(\displaystyle -a\) ជាទម្រង់ \(\displaystyle \sqrt{a}i\) ដែល \(\displaystyle a > 0\)
  2. កំណត់និយមន័យចំនួនកុំផ្លិច ចំនួននិមិត្ត ចំនួនកុំផ្លិចស្មើគ្នា និងសមីការដឺក្រេទី 2 មានមួយអញ្ញាត
  3. បូក ដក គុណ ចែក ចំនួនកុំផ្លិច និងដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី 2
  4. រកផលបូក និងផលគុណឫសនៃសមីការដឺក្រេទី 2 តាមលេខមេគុណនៃសមីការ និង
  5. សរសេរសមីការដឺក្រេទី 2 ដោយស្គាល់ឫស ។

1. ចំនួនកុំផ្លិច

1.1 ឯកតានិមិត្ត និងឫសការេនៃចំនួនអវិជ្ជមាន

សមីការ \(\displaystyle x^2 = 2\) នាំឱ្យ \(\displaystyle x = \pm\sqrt{2}\) ជាចំនួនពិត ។ ប៉ុន្តែសមីការ \(\displaystyle x^2 = -2\) គ្មានចម្លើយក្នុងសំណុំចំនួនពិតទេ ព្រោះការេនៃមួយចំនួនពិតមិនអាចអវិជ្ជមានឡើយ ។ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការបែបនេះ គណិតវិទូបានបង្កើតចំនួនថ្មីមួយតាងដោយ \(\displaystyle i\) ហៅថា ឯកតានិមិត្ត (Imaginary unit) ៖

\[i = \sqrt{-1} \quad \text{និង} \quad i^2 = -1\]
ជាទូទៅ

ចំពោះចំនួនពិតវិជ្ជមាន \(\displaystyle a > 0\) ៖

  • ឫសការេនៃ \(\displaystyle -a\) គឺ \(\displaystyle \sqrt{a}i\) និង \(\displaystyle -\sqrt{a}i\)
  • គេកំណត់យក \(\displaystyle \sqrt{-a} = \sqrt{a}i\) ជាឫសការេគោលនៃ \(\displaystyle -a\)
  • ចំពោះ \(\displaystyle a = 0\), \(\displaystyle \sqrt{0} = 0\) ។
១លំហាត់គំរូ ១

គណនា ៖

  1. ក. \(\displaystyle \sqrt{-3} = \sqrt{3}i\)
  2. ខ. \(\displaystyle \sqrt{-9} = \sqrt{9}i = 3i\)
  3. គ. \(\displaystyle \sqrt{-\dfrac{1}{16}} = \sqrt{\dfrac{1}{16}}i = \dfrac{1}{4}i\) ។
២លំហាត់គំរូ ២

គណនា ៖

  1. ក. \(\displaystyle \sqrt{-9} + \sqrt{-49} = 3i + 7i = 10i\)
  2. ខ. \(\displaystyle \sqrt{-10} \times \sqrt{-90} = (\sqrt{10}i)(\sqrt{90}i) = \sqrt{900}i^2 = 30(-1) = -30\)
  3. គ. \(\displaystyle \dfrac{\sqrt{-64}}{\sqrt{-4}} = \dfrac{8i}{2i} = 4\)
  4. ឃ. \(\displaystyle \sqrt{-5}(\sqrt{-45} - \sqrt{-4}) = \sqrt{5}i(3\sqrt{5}i - 2i) = 3(5)i^2 - 2\sqrt{5}i^2 = -15 + 2\sqrt{5}\) ។

សម្គាល់ ៖ រូបមន្ត \(\displaystyle \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\) មិនពិតទេចំពោះ \(\displaystyle a < 0\) និង \(\displaystyle b < 0\) !
ឧទាហរណ៍ ៖ \(\displaystyle \sqrt{-10} \times \sqrt{-90} = -30 \neq \sqrt{(-10)(-90)} = \sqrt{900} = 30\) ។

1.2 និយមន័យចំនួនកុំផ្លិច និងសមភាពនៃចំនួនកុំផ្លិច

និយមន័យ
  • ចំនួនកុំផ្លិចគឺជាចំនួនដែលមានទម្រង់ស្តង់ដា \(\displaystyle a + bi\) ដែល \(\displaystyle a, b \in \mathbb{R}\)
  • \(\displaystyle a\) ហៅថា ផ្នែកពិត (Real part), \(\displaystyle b\) ហៅថា ផ្នែកនិមិត្ត (Imaginary part)
  • បើ \(\displaystyle b = 0 \implies a + 0i = a\) ជាចំនួនពិត
  • បើ \(\displaystyle a = 0\) និង \(\displaystyle b \neq 0 \implies bi\) ហៅថាចំនួននិមិត្តសុទ្ធ
  • សំណុំចំនួនកុំផ្លិចតាងដោយអក្សរ \(\displaystyle \mathbb{C}\) ។

សមភាពចំនួនកុំផ្លិចពីរ ៖

\[a + bi = c + di \iff \begin{cases} a = c \\ b = d \end{cases}\]

ករណីពិសេស ៖ \(\displaystyle a + bi = 0 \iff a = 0 \text{ និង } b = 0\) ។

•លំហាត់គំរូ

រកតម្លៃចំនួនពិត \(\displaystyle x\) និង \(\displaystyle y\) បើ \(\displaystyle (3x + 1) + (y - 1)i = 7 - 3i\) ៖

\[\begin{cases} 3x + 1 = 7 \\ y - 1 = -3 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x = 6 \implies x = 2 \\ y = -2 \end{cases}\]

1.3 ប្រមាណវិធីលើចំនួនកុំផ្លិច និងចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់

ប្រមាណវិធីបូក ដក និងគុណ ៖

  • វិធីបូក ៖ \(\displaystyle (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i\)
  • វិធីដក ៖ \(\displaystyle (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i\)
  • វិធីគុណ ៖ \(\displaystyle (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i\) (ដោយប្រើ \(\displaystyle i^2 = -1\))

ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់ (Complex Conjugate) ៖

  • ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ \(\displaystyle z = a + bi\) គឺ \(\displaystyle \bar{z} = a - bi\)
  • ផលបូក ៖ \(\displaystyle z + \bar{z} = (a + bi) + (a - bi) = 2a \in \mathbb{R}\) (ជាចំនួនពិត)
  • ផលគុណ ៖ \(\displaystyle z \cdot \bar{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 - b^2 i^2 = a^2 + b^2 \ge 0\) (ជាចំនួនពិតមិនអវិជ្ជមាន) ។

1.4 វិធីចែកចំនួនកុំផ្លិច

ដើម្បីចែកចំនួនកុំផ្លិចពីរ គេត្រូវគុណទាំងភាគយកនិងភាគបែងជាមួយចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែង ៖

\[\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i\]
•លំហាត់គំរូ

គណនា \(\displaystyle \dfrac{2 + 3i}{4 - 2i}\) ៖

\[\frac{2 + 3i}{4 - 2i} = \frac{(2 + 3i)(4 + 2i)}{(4 - 2i)(4 + 2i)} = \frac{8 + 4i + 12i + 6i^2}{4^2 + 2^2} = \frac{2 + 16i}{20} = \frac{1}{10} + \frac{4}{5}i\]

2. សមីការដឺក្រេទី 2 មានមួយអញ្ញាត

និយមន័យ

សមីការដឺក្រេទី 2 មានមួយអញ្ញាត \(\displaystyle x\) មានរាងទូទៅ ៖

\[ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)\]

ដែល \(\displaystyle a, b, c\) ជាចំនួនពិត ហើយ \(\displaystyle a\) ជាមេគុណនៃ \(\displaystyle x^2\), \(\displaystyle b\) ជាមេគុណនៃ \(\displaystyle x\), និង \(\displaystyle c\) ជាតួថេរ ។

2.1 វិធីដោះស្រាយតាមការដាក់ជាផលគុណកត្តា

បើ \(\displaystyle A \times B = 0 \iff A = 0 \text{ ឬ } B = 0\) ។
ឧទាហរណ៍ ៖ ដោះស្រាយ \(\displaystyle x^2 - 2x - 8 = 0\)

\[(x - 4)(x + 2) = 0 \implies x - 4 = 0 \text{ ឬ } x + 2 = 0 \implies x = 4, \; x = -2\]

2.2 វិធីដោះស្រាយតាមលក្ខណៈឫសការេ

បើ \(\displaystyle x^2 = k\) ៖

  • បើ \(\displaystyle k > 0 \implies x = \pm\sqrt{k}\)
  • បើ \(\displaystyle k = 0 \implies x = 0\)
  • បើ \(\displaystyle k < 0 \implies x = \pm\sqrt{-k}i = \pm\sqrt{|k|}i\) ។

2.3 វិធីដោះស្រាយដោយបំពេញជាការេទ្វេធា

ដើម្បីបំពេញ \(\displaystyle x^2 + bx\) ឱ្យក្លាយជាការេទ្វេធា គេបូកនឹង \(\displaystyle \left(\dfrac{b}{2}\right)^2\) ៖

\[x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2\]

3. រូបមន្តឫស និងឌីសគ្រីមីណង់

រូបមន្តទូទៅតាមឌីសគ្រីមីណង់ \(\displaystyle \Delta = b^2 - 4ac\) ៖

  1. បើ \(\displaystyle \Delta > 0\) ៖ សមីការមានឫសពីរជាចំនួនពិតផ្សេងគ្នា ៖

    \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\]

  2. បើ \(\displaystyle \Delta = 0\) ៖ សមីការមានឫសឌុបជាចំនួនពិត ៖

    \[x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}\]

  3. បើ \(\displaystyle \Delta < 0\) ៖ សមីការមានឫសពីរជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់គ្នា ៖

    \[x_1 = \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a}\]

ឌីសគ្រីមីណង់សម្រួល \(\displaystyle \Delta' = b'^2 - ac\) (នៅពេល \(\displaystyle b = 2b'\) ជាចំនួនគូ) ៖

  • \(\displaystyle \Delta' > 0 \implies x = \dfrac{-b' \pm \sqrt{\Delta'}}{a}\)
  • \(\displaystyle \Delta' = 0 \implies x_1 = x_2 = -\dfrac{b'}{a}\)
  • \(\displaystyle \Delta' < 0 \implies x = \dfrac{-b' \pm i\sqrt{-\Delta'}}{a}\)

4. ទំនាក់ទំនងរវាងឫសនិងមេគុណ (ទ្រឹស្តីបទវៀត)

ទ្រឹស្តីបទវៀត (Vieta's Formulas) ៖
បើ \(\displaystyle \alpha\) និង \(\displaystyle \beta\) ជាឫសពីរនៃសមីការ \(\displaystyle ax^2 + bx + c = 0\) (\(\displaystyle a \neq 0\)) នោះ ៖

\[S = \alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \quad P = \alpha\beta = \frac{c}{a}\]

4.1 ករណីពិសេសសម្រាប់រកឫសរហ័ស

  • បើ \(\displaystyle a + b + c = 0 \implies x_1 = 1, \quad x_2 = \dfrac{c}{a}\)
  • បើ \(\displaystyle a - b + c = 0 \implies x_1 = -1, \quad x_2 = -\dfrac{c}{a}\)

4.2 ការបង្កើតសមីការដឺក្រេទី 2 ដោយស្គាល់ផលបូក \(\displaystyle S\) និងផលគុណ \(\displaystyle P\)

ពីរបរិមាណ \(\displaystyle u\) និង \(\displaystyle v\) ដែលមានផលបូក \(\displaystyle S = u + v\) និងផលគុណ \(\displaystyle P = uv\) គឺជាឫសនៃសមីការ ៖

\[X^2 - SX + P = 0 \quad (\text{លក្ខខណ្ឌមានចម្លើយពិត ៖ } S^2 - 4P \ge 0)\]

4.3 ការដាក់ត្រីធាដឺក្រេទី 2 ជាផលគុណកត្តា

បើត្រីធា \(\displaystyle ax^2 + bx + c\) មានឫសពីរ \(\displaystyle \alpha\) និង \(\displaystyle \beta\) នោះ ៖

\[ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)\]

លំហាត់ និងដំណោះស្រាយ

  1. គណនាកន្សោមខាងក្រោម ៖

    1. ក. \(\displaystyle 3 - i - 4 - \sqrt{-9} = (3 - 4) - i - 3i = -1 - 4i\)
    2. ខ. \(\displaystyle \dfrac{-4 - \sqrt{-12}}{2} = \dfrac{-4 - 2\sqrt{3}i}{2} = -2 - \sqrt{3}i\)
    3. គ. \(\displaystyle \sqrt{-24}\left(\sqrt{-\dfrac{4}{9}} + \sqrt{-\dfrac{1}{4}}\right) = 2\sqrt{6}i\left(\dfrac{2}{3}i + \dfrac{1}{2}i\right) = 2\sqrt{6}i\left(\dfrac{7}{6}i\right) = \dfrac{7\sqrt{6}}{3}i^2 = -\dfrac{7\sqrt{6}}{3}\)

  2. កំណត់តម្លៃ \(\displaystyle a\) និង \(\displaystyle b\) នៃសមភាពខាងក្រោម ៖

    1. ក. \(\displaystyle -8 + 6i = a + bi \implies a = -8, \; b = 6\)
    2. ខ. \(\displaystyle a + bi + (\sqrt{4} - \sqrt{-16}) = -1 - 6i \implies (a+2) + (b-4)i = -1 - 6i \implies a = -3, \; b = -2\)
    3. គ. \(\displaystyle (2a + 1) + (2b + 3)i = 5 + 12i \implies 2a + 1 = 5 \implies a = 2, \quad 2b + 3 = 12 \implies b = \dfrac{9}{2}\)
    4. ឃ. \(\displaystyle \dfrac{a + bi}{3 + 2i} = \dfrac{8}{13} + \dfrac{12}{13}i \implies a + bi = \left(\dfrac{8 + 12i}{13}\right)(3 + 2i) = \dfrac{24 + 16i + 36i - 24}{13} = 4i \implies a = 0, \; b = 4\)

  3. គណនា ៖

    1. ក. \(\displaystyle 15i - (3 - 25i) + \sqrt{-81} = 15i - 3 + 25i + 9i = -3 + 49i\)
    2. ខ. \(\displaystyle (-1 + i) - \sqrt{2} - \sqrt{-2} = (-1 - \sqrt{2}) + (1 - \sqrt{2})i\)
    3. គ. \(\displaystyle (3 - 4i)^2 = 3^2 - 2(3)(4i) + (4i)^2 = 9 - 24i - 16 = -7 - 24i\)
    4. ឃ. \(\displaystyle (2 + i)^3 = 2^3 + 3(2^2)(i) + 3(2)(i^2) + i^3 = 8 + 12i - 6 - i = 2 + 11i\)
    5. ង. \(\displaystyle \dfrac{2 + 3i}{2 - 3i} + \dfrac{i}{1 - i} = \dfrac{(2+3i)^2}{13} + \dfrac{i(1+i)}{2} = \dfrac{-5 + 12i}{13} + \dfrac{-1 + i}{2} = \frac{-23 + 37i}{26}\)
    6. ច. \(\displaystyle 2i\left(\dfrac{i+1}{2i-1} - \dfrac{3i}{i+2}\right) = 2i\left(\dfrac{1-3i}{5} - \dfrac{-3+6i}{5}\right) = 2i\left(\dfrac{4-9i}{5}\right) = \dfrac{18 + 8i}{5} = \dfrac{18}{5} + \dfrac{8}{5}i\)

  4. ដោះស្រាយសមីការ ៖

    1. ក. \(\displaystyle (x - 1)^2 - 8(x - 1) = 0 \implies (x - 1)(x - 1 - 8) = 0 \implies x = 1, \; x = 9\)
    2. ខ. \(\displaystyle \left(y + \dfrac{5}{8}\right)^2 + \dfrac{49}{16} = 0 \implies \left(y + \dfrac{5}{8}\right)^2 = -\dfrac{49}{16} \implies y = -\dfrac{5}{8} \pm \dfrac{7}{4}i = \dfrac{-5 \pm 14i}{8}\)
    3. គ. \(\displaystyle 5\sqrt{5}x^2 - 10x + \sqrt{5} = 0 \implies \Delta' = (-5)^2 - (5\sqrt{5})(\sqrt{5}) = 25 - 25 = 0 \implies x = \dfrac{5}{5\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\) (ឫសឌុប)
    4. ឃ. \(\displaystyle \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{2}{3}x + \dfrac{5}{6} = 0 \iff 3x^2 - 4x + 5 = 0 \implies \Delta' = 4 - 15 = -11 \implies x = \dfrac{2 \pm i\sqrt{11}}{3}\)
    5. ង. \(\displaystyle 3iy^2 - y + 2i = 0 \implies \Delta = (-1)^2 - 4(3i)(2i) = 1 - 24i^2 = 25 \implies y = \dfrac{1 \pm 5}{6i} \implies y_1 = -i, \; y_2 = \dfrac{2}{3}i\)
    6. ច. \(\displaystyle (x - 1)^2 + 4(x - 1)(x - 3) - 2(2x - 3) = 0 \implies 5x^2 - 22x + 19 = 0 \implies x = \dfrac{11 \pm \sqrt{26}}{5}\)

  5. គេមានសមីការ \(\displaystyle x^2 - x + 8 = 0\) មានឫស \(\displaystyle \alpha\) និង \(\displaystyle \beta\) ៖ គេបាន \(\displaystyle \alpha + \beta = 1\) និង \(\displaystyle \alpha\beta = 8\) ។

    1. ក.

      ដោយ \(\displaystyle \alpha^2 - \alpha + 8 = 0 \implies \alpha^2 + 1 = \alpha - 7\) និង \(\displaystyle \beta^2 + 1 = \beta - 7\) ៖

      \[\frac{\beta}{\alpha - 7} + \frac{\alpha}{\beta - 7} = \frac{\beta(\beta - 7) + \alpha(\alpha - 7)}{(\alpha - 7)(\beta - 7)} = \frac{(\alpha^2 + \beta^2) - 7(\alpha + \beta)}{\alpha\beta - 7(\alpha + \beta) + 49} = \frac{(-15) - 7(1)}{8 - 7(1) + 49} = -\frac{22}{50} = -\frac{11}{25}\]
    2. ខ. \(\displaystyle \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 1 - 16 = -15\)
      \(\displaystyle \alpha^4 + \beta^4 = (\alpha^2 + \beta^2)^2 - 2(\alpha\beta)^2 = (-15)^2 - 2(64) = 225 - 128 = 97\)

  6. គណនាកន្សោមឫស ៖

    1. ក. តាង \(\displaystyle P(x) = (x - 8)(x - 9) + (x - 10)(x - 12) = 2(x - \alpha)(x - \beta)\) ។
      ជំនួស \(\displaystyle x = 11\) ៖ \(\displaystyle P(11) = (11-8)(11-9) + (11-10)(11-12) = (3)(2) + (1)(-1) = 6 - 1 = 5\) ។
      ដូច្នេះ \(\displaystyle 2(11 - \alpha)(11 - \beta) = 5\) ។
    2. ខ. តាង \(\displaystyle Q(x) = x(x+1) + (x+1)(x+2) + (x+2)(x+3) + (x+3)(x+1) = 4(x - \alpha)(x - \beta)\) ។
      ជំនួស \(\displaystyle x = -2\) ៖ \(\displaystyle Q(-2) = (-2)(-1) + 0 + 0 + (1)(-1) = 2 - 1 = 1\) ។
      ម្យ៉ាងទៀត \(\displaystyle Q(-2) = 4(-2 - \alpha)(-2 - \beta) = 4(\alpha + 2)(\beta + 2) \implies (\alpha + 2)(\beta + 2) = \dfrac{1}{4}\) ។
  7. ដោះស្រាយចំណោទដីចម្ការ ៖ តាង \(\displaystyle x\) ជាទទឹងផ្លូវ (\(\displaystyle 0 < x < 6\)) ។ ផ្ទៃក្រឡាចម្ការទាំងមូល \(\displaystyle S = 16 \times 12 = 192\text{ m}^2\) ។
    ផ្ទៃក្រឡាដីដែលនៅសល់ខាងក្នុង ៖ \(\displaystyle (16 - 2x)(12 - 2x) = \dfrac{192}{2} = 96\) ។
    \(\displaystyle \iff 4(8 - x)(6 - x) = 96 \iff (8 - x)(6 - x) = 24 \iff x^2 - 14x + 48 = 24 \iff x^2 - 14x + 24 = 0\)
    \(\displaystyle \iff (x - 2)(x - 12) = 0\) ។ ដោយ \(\displaystyle 0 < x < 6\) នាំឱ្យ \(\displaystyle x = 2\text{ m}\) ។
    ដូច្នេះ ទទឹងផ្លូវគឺ \(\displaystyle 2\text{ m}\) ។

  8. ចលនាបាល់បោះពីលើអគារ \(\displaystyle h(t) = -5t^2 + 30t + 35\) ៖

    1. ក. កម្ពស់អគារត្រូវនឹងខណៈ \(\displaystyle t = 0\) ៖ \(\displaystyle h(0) = 35\text{ m}\) ។
    2. ខ. បាល់នៅស្មើកម្ពស់អគារ ៖ \(\displaystyle -5t^2 + 30t + 35 = 35 \iff -5t(t - 6) = 0 \implies t = 6\text{ s}\) ។ ដូច្នេះបាល់ចំណាយពេល \(\displaystyle 6\text{ s}\) ឡើងហួសអគាររួចធ្លាក់មកដល់កម្ពស់ដំបូលអគារវិញ ។
    3. គ. បាល់ធ្លាក់ដល់ដី (\(\displaystyle h = 0\)) ៖ \(\displaystyle -5t^2 + 30t + 35 = 0 \iff t^2 - 6t - 7 = 0 \iff (t - 7)(t + 1) = 0\) ។ ដោយ \(\displaystyle t \ge 0\) នាំឱ្យ \(\displaystyle t = 7\text{ s}\) ។

  9. សមីការនិងលក្ខខណ្ឌមេគុណ ៖

    1. ក.

      \(\displaystyle ax + b = cx + d \iff (a - c)x = d - b\) ៖

      • សមីការគ្មានឫស លុះត្រាតែ \(\displaystyle a - c = 0\) និង \(\displaystyle d - b \neq 0\) (ពោលគឺ \(\displaystyle a = c\) និង \(\displaystyle b \neq d\)) ។
      • សមីការជាឯកលក្ខណៈ (ពិតគ្រប់ \(\displaystyle x\)) លុះត្រាតែ \(\displaystyle a = c\) និង \(\displaystyle b = d\) ។
    2. ខ.

      \(\displaystyle 3(x + 1) = 4 + ax \iff (3 - a)x = 1\) ។

      • បើ \(\displaystyle a = 3 \implies 0x = 1\) គ្មានឫស ។
      • បើ \(\displaystyle a \neq 3 \implies x = \dfrac{1}{3 - a}\) ។
      • ដើម្បីឱ្យឫស \(\displaystyle x > -1 \iff \dfrac{1}{3 - a} > -1 \iff \dfrac{1}{3 - a} + 1 > 0 \iff \dfrac{4 - a}{3 - a} > 0\) ។
      • សញ្ញាផលចែកវិជ្ជមាននៅពេល \(\displaystyle a < 3\) ឬ \(\displaystyle a > 4\) ។

      ដូច្នេះ តម្លៃ \(\displaystyle a\) ដែលត្រូវរកគឺ \(\displaystyle a \in (-\infty, 3) \cup (4, +\infty)\) ។

ខ្លឹមសារ៖ សៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី១០ របស់ក្រសួងអប់រំ យុវជន និងកីឡា · វាយអត្ថបទ គូររូបភាពឡើងវិញ និងរៀបចំលើអនឡាញដោយលោកគ្រូ សាន សុខលី សម្រាប់ការសិក្សាដោយឥតគិតថ្លៃ និងមិនរកប្រាក់ចំណេញ។ មិនមែនជាការបោះពុម្ពផ្លូវការរបស់ក្រសួងទេ។