មេរៀនទី 4: វិសមីការនិងប្រព័ន្ធវិសមីការ

1. វិសមភាពនិងលក្ខណៈ

សំណេរដែលប្រៀបធៀបពីរចំនួនដោយប្រើសញ្ញា \(\displaystyle >\), \(\displaystyle <\), \(\displaystyle \ge\), \(\displaystyle \le\) ហៅថា វិសមភាព ។

លក្ខណៈគ្រឹះនៃវិសមភាព : ចំពោះចំនួនពិត \(\displaystyle a, b, c\) ៖

• វិធីបូកនិងដក : បើ \(\displaystyle a > b\) នោះ \(\displaystyle a + c > b + c\) និង \(\displaystyle a - c > b - c\) (រក្សាទិសដៅដដែល)
• វិធីគុណនិងចែកនឹងចំនួនវិជ្ជមាន (\(\displaystyle c > 0\)) : បើ \(\displaystyle a > b\) នោះ \(\displaystyle ac > bc\) និង \(\displaystyle \frac{a}{c} > \frac{b}{c}\)
• វិធីគុណនិងចែកនឹងចំនួនអវិជ្ជមាន (\(\displaystyle c < 0\)) : បើ \(\displaystyle a > b\) នោះ \(\displaystyle ac < bc\) និង \(\displaystyle \frac{a}{c} < \frac{b}{c}\) (ត្រូវប្តូរទិសដៅវិសមភាព) ។

2. វិសមីការដឺក្រេទី 1 មានមួយអញ្ញាត

វិសមីការដឺក្រេទី 1 មានមួយអញ្ញាត មានទម្រង់ទូទៅ \(\displaystyle ax + b > 0\), \(\displaystyle ax + b < 0\), \(\displaystyle ax + b \ge 0\) ឬ \(\displaystyle ax + b \le 0\) (\(\displaystyle a \neq 0\)) ។

ឧទាហរណ៍ : ដោះស្រាយវិសមីការ \(\displaystyle 5(x - 3) - 7x \ge 4(x - 3) + 9\) ៖

សំណុំចម្លើយគឺ \(\displaystyle S = (-\infty, -2]\) ។

3. ប្រព័ន្ធវិសមីការដឺក្រេទី 1 មានមួយអញ្ញាត

ចម្លើយនៃប្រព័ន្ធវិសមីការ គឺជាប្រសព្វ (\(\displaystyle A \cap B\)) នៃសំណុំចម្លើយរបស់វិសមីការនីមួយៗក្នុងប្រព័ន្ធ ។

ឧទាហរណ៍ : ដោះស្រាយប្រព័ន្ធវិសមីការ ៖

សំណុំចម្លើយរួមគឺ \(\displaystyle x \in (1, 4]\) ឬ \(\displaystyle \{x \in \mathbb{R} \mid 1 < x \le 4\}\) ។

4. វិសមីការដឺក្រេទី 2 មានមួយអញ្ញាត

វិសមីការដឺក្រេទី 2 មានទម្រង់ទូទៅ \(\displaystyle ax^2 + bx + c > 0\) (ឬ \(\displaystyle < 0, \ge 0, \le 0\)) ដែល \(\displaystyle a \neq 0\) ។
ក្បួនសញ្ញានៃត្រីធាដឺក្រេទី 2 (\(\displaystyle f(x) = ax^2 + bx + c\)) :

• បើ \(\displaystyle \Delta < 0\) ៖ \(\displaystyle f(x)\) មានសញ្ញាដូច \(\displaystyle a\) ជានិច្ចចំពោះគ្រប់ \(\displaystyle x \in \mathbb{R}\)
• បើ \(\displaystyle \Delta = 0\) ៖ \(\displaystyle f(x)\) មានសញ្ញាដូច \(\displaystyle a\) ចំពោះគ្រប់ \(\displaystyle x \neq -\frac{b}{2a}\)

• បើ \(\displaystyle \Delta > 0\) ៖ \(\displaystyle f(x) = 0\) មានឫសពីរផ្សេងគ្នា \(\displaystyle x_1 < x_2\) ៖

  • ក្នុងចន្លោះឫស (\(\displaystyle x_1 < x < x_2\)) ៖ សញ្ញាផ្ទុយពី \(\displaystyle a\)
  • ក្រៅចន្លោះឫស (\(\displaystyle x < x_1\) ឬ \(\displaystyle x > x_2\)) ៖ សញ្ញាដូច \(\displaystyle a\) ។

ឧទាហរណ៍ : ដោះស្រាយវិសមីការ \(\displaystyle x^2 - 5x + 6 \le 0\) ៖
សមីការ \(\displaystyle x^2 - 5x + 6 = 0\) មានឫស \(\displaystyle x_1 = 2, x_2 = 3\) ។ ដោយមេគុណ \(\displaystyle a = 1 > 0\) កន្សោមអវិជ្ជមានឬសូន្យក្នុងចន្លោះឫស ៖

5. វិសមីការមានតម្លៃដាច់ខាត

ចំពោះ \(\displaystyle a > 0\) ៖

• \(\displaystyle |u| \le a \iff -a \le u \le a\)
• \(\displaystyle |u| \ge a \iff u \le -a \quad \text{ឬ} \quad u \ge a\)
• \(\displaystyle |u| < |v| \iff u^2 < v^2 \iff (u - v)(u + v) < 0\) ។

ឧទាហរណ៍ : ដោះស្រាយវិសមីការ \(\displaystyle |2x - 3| < 5\) ៖

6. មធ្យមនព្វន្តនិងមធ្យមធរណីមាត្រ (AM-GM)

ចំពោះពីរចំនួនពិតវិជ្ជមាន \(\displaystyle a \ge 0, b \ge 0\) ៖

សម្រាយបញ្ជាក់ : តាម \(\displaystyle (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0 \iff a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0 \iff a + b \ge 2\sqrt{ab} \iff \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\) ។

លំហាត់និងដំណោះស្រាយ

1. ដោះស្រាយវិសមីការដឺក្រេទី 1 ខាងក្រោម ៖

   1. ក. \(\displaystyle 3(x - 2) + 4 < 5x - 8\)
   2. ខ. \(\displaystyle \frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 2}{4} \ge 1\)

   ដំណោះស្រាយ :

   • ក. \(\displaystyle 3x - 6 + 4 < 5x - 8 \iff 3x - 2 < 5x - 8 \iff -2x < -6 \iff x > 3\) ។ សំណុំចម្លើយ \(\displaystyle S = (3, +\infty)\) ។
   • ខ. គុណអង្គទាំងពីរនឹង \(\displaystyle 12\) ៖ \(\displaystyle 4(2x - 1) - 3(x + 2) \ge 12 \iff 8x - 4 - 3x - 6 \ge 12 \iff 5x - 10 \ge 12 \iff 5x \ge 22 \iff x \ge \frac{22}{5}\) ។ សំណុំចម្លើយ \(\displaystyle S = \left[\frac{22}{5}, +\infty\right)\) ។

2. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធវិសមីការ ៖

   \[\begin{cases} 4x - 5 < 2x + 7 \\ 3(x + 1) \ge x - 1 \end{cases}\]

   ដំណោះស្រាយ :

   • វិសមីការទីមួយ ៖ \(\displaystyle 4x - 2x < 7 + 5 \implies 2x < 12 \implies x < 6\)
   • វិសមីការទីពីរ ៖ \(\displaystyle 3x + 3 \ge x - 1 \implies 2x \ge -4 \implies x \ge -2\)

   ប្រសព្វនៃចម្លើយទាំងពីរគឺ \(\displaystyle -2 \le x < 6\) ឬ \(\displaystyle S = [-2, 6)\) ។

3. ដោះស្រាយវិសមីការដឺក្រេទី 2 ខាងក្រោម ៖

   1. ក. \(\displaystyle x^2 - 4x - 5 > 0\)
   2. ខ. \(\displaystyle -2x^2 + 5x - 2 \ge 0\)

   ដំណោះស្រាយ :

   • ក. ឫសនៃ \(\displaystyle x^2 - 4x - 5 = 0\) គឺ \(\displaystyle x_1 = -1, x_2 = 5\) ។ ដោយ \(\displaystyle a = 1 > 0\) កន្សោមវិជ្ជមាននៅក្រៅចន្លោះឫស ៖ \(\displaystyle S = (-\infty, -1) \cup (5, +\infty)\) ។
   • ខ. គុណនឹង \(\displaystyle -1\) ៖ \(\displaystyle 2x^2 - 5x + 2 \le 0\) ។ ឫសនៃសមីការគឺ \(\displaystyle x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = 2\) ។ ដូច្នេះ \(\displaystyle S = \left[\frac{1}{2}, 2\right]\) ។

4. ដោះស្រាយវិសមីការមានតម្លៃដាច់ខាត ៖

   1. ក. \(\displaystyle |3x - 2| \le 7\)
   2. ខ. \(\displaystyle |2x + 1| > 5\)

   ដំណោះស្រាយ :

   • ក. \(\displaystyle -7 \le 3x - 2 \le 7 \iff -5 \le 3x \le 9 \iff -\frac{5}{3} \le x \le 3 \implies S = \left[-\frac{5}{3}, 3\right]\) ។
   • ខ. \(\displaystyle 2x + 1 < -5\) ឬ \(\displaystyle 2x + 1 > 5 \iff 2x < -6\) ឬ \(\displaystyle 2x > 4 \iff x < -3\) ឬ \(\displaystyle x > 2 \implies S = (-\infty, -3) \cup (2, +\infty)\) ។

5. បង្ហាញថាចំពោះគ្រប់ \(\displaystyle x > 0\) គេតែងតែបាន \(\displaystyle x + \frac{1}{x} \ge 2\) ៖
   ដំណោះស្រាយ : អនុវត្តវិសមភាព AM-GM ចំពោះពីរចំនួនវិជ្ជមាន \(\displaystyle x\) និង \(\displaystyle \frac{1}{x}\) ៖

   \[\frac{x + \frac{1}{x}}{2} \ge \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = \sqrt{1} = 1 \implies x + \frac{1}{x} \ge 2 \text{ ។}\]

   សមភាពកើតមានលុះត្រាតែ \(\displaystyle x = \frac{1}{x} \iff x^2 = 1 \iff x = 1\) (ព្រោះ \(\displaystyle x > 0\)) ។

ខ្លឹមសារ៖ សៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី១០ របស់ក្រសួងអប់រំ យុវជន និងកីឡា · វាយអត្ថបទ គូររូបភាពឡើងវិញ និងរៀបចំលើអនឡាញដោយលោកគ្រូ សាន សុខលី សម្រាប់ការសិក្សាដោយឥតគិតថ្លៃ និងមិនរកប្រាក់ចំណេញ។ មិនមែនជាការបោះពុម្ពផ្លូវការរបស់ក្រសួងទេ។