មេរៀនទី 1: កូអរដោនេនៃចំណុច

1. កូអរដោនេនៃចំណុចនៅលើបន្ទាត់

ក. ចម្ងាយរវាងពីរចំណុចលើបន្ទាត់ចំនួន ៖
ចំពោះពីរចំណុច \(\displaystyle A(a)\) និង \(\displaystyle B(b)\) លើបន្ទាត់ចំនួន ចម្ងាយរវាង \(\displaystyle A\) និង \(\displaystyle B\) កំណត់ដោយ ៖

ខ. ចំណុចចែកអង្កត់ខាងក្នុងនិងខាងក្រៅ ៖

• បើចំណុច \(\displaystyle P(x)\) នៅលើអង្កត់ \(\displaystyle AB\) ចែក \(\displaystyle AB\) ខាងក្នុងតាមផលធៀប \(\displaystyle m : n\) (\(\displaystyle m, n > 0\)) នោះ ៖

  \[x = \frac{mb + na}{m + n}\]

  ពិសេស បើ \(\displaystyle P\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(\displaystyle AB\) នោះ \(\displaystyle x = \dfrac{a + b}{2}\) ។

• បើចំណុច \(\displaystyle Q(x)\) នៅក្រៅអង្កត់ \(\displaystyle AB\) ចែក \(\displaystyle AB\) ខាងក្រៅតាមផលធៀប \(\displaystyle m : n\) (\(\displaystyle m \neq n\)) នោះ ៖

  \[x = \frac{mb - na}{m - n}\]

2. កូអរដោនេនៃចំណុចនៅក្នុងប្លង់

ក្នុងប្លង់កូអរដោនេដេកាត \(\displaystyle (xOy)\) គេមានរូបមន្តសំខាន់ៗ ៖

• ចម្ងាយរវាងពីរចំណុច \(\displaystyle A(x_1, y_1)\) និង \(\displaystyle B(x_2, y_2)\) ៖

  \[AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

• កូអរដោនេចំណុចកណ្តាល \(\displaystyle M\) នៃអង្កត់ \(\displaystyle AB\) ៖

  \[x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}\]

• កូអរដោនេចំណុចចែកអង្កត់ \(\displaystyle AB\) ខាងក្នុងតាមផលធៀប \(\displaystyle m : n\) ៖

  \[x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}, \quad y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n}\]

• កូអរដោនេទីប្រជុំទម្ងន់ \(\displaystyle G\) នៃត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) ៖

  \[x_G = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \quad y_G = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\]

• ផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) តាមកូអរដោនេកំពូល ៖

  \[S_{ABC} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|\]

លំហាត់និងដំណោះស្រាយ

1. គេឱ្យចំណុច \(\displaystyle A(-4)\) និង \(\displaystyle B(6)\) លើបន្ទាត់ចំនួនពិត ។

   1. ក. គណនាប្រវែងអង្កត់ \(\displaystyle AB\) និងកូអរដោនេចំណុចកណ្តាល \(\displaystyle M\) នៃ \(\displaystyle AB\) ។
   2. ខ. រកកូអរដោនេចំណុច \(\displaystyle P\) ចែកអង្កត់ \(\displaystyle AB\) ខាងក្នុងតាមផលធៀប \(\displaystyle 2 : 3\) ។

   ដំណោះស្រាយ ៖

   • ក. \(\displaystyle AB = |6 - (-4)| = |10| = 10\) ។ ចំណុចកណ្តាល \(\displaystyle x_M = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1\) ។
   • ខ. \(\displaystyle x_P = \frac{m b + n a}{m + n} = \frac{2(6) + 3(-4)}{2 + 3} = \frac{12 - 12}{5} = 0\) ។ ដូច្នេះ \(\displaystyle P(0)\) ជាគល់តម្រុយ ។

2. ក្នុងប្លង់កូអរដោនេ គេឱ្យពីរចំណុច \(\displaystyle A(1, -2)\) និង \(\displaystyle B(4, 2)\) ។ គណនាចម្ងាយ \(\displaystyle AB\) ។
   ដំណោះស្រាយ ៖

   \[AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ ឯកតាប្រវែង ។}\]

3. គេឱ្យត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) ដែលមានកំពូល \(\displaystyle A(2, 4)\), \(\displaystyle B(-2, 1)\) និង \(\displaystyle C(6, -2)\) ។

   1. ក. រកកូអរដោនេទីប្រជុំទម្ងន់ \(\displaystyle G\) នៃត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) ។
   2. ខ. គណនាផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) ។

   ដំណោះស្រាយ ៖

   • ក. \(\displaystyle x_G = \frac{2 + (-2) + 6}{3} = \frac{6}{3} = 2\), \(\displaystyle y_G = \frac{4 + 1 + (-2)}{3} = \frac{3}{3} = 1 \implies G(2, 1)\) ។
   • ខ. \(\displaystyle S = \frac{1}{2} |2(1 - (-2)) + (-2)(-2 - 4) + 6(4 - 1)| = \frac{1}{2} |2(3) + (-2)(-6) + 6(3)| = \frac{1}{2} |6 + 12 + 18| = \frac{36}{2} = 18\) ឯកតាផ្ទៃ ។

4. រកកូអរដោនេនៃចំណុច \(\displaystyle P\) ដែលចែកអង្កត់ \(\displaystyle AB\) ខាងក្នុងតាមផលធៀប \(\displaystyle 1 : 2\) ដោយស្គាល់ \(\displaystyle A(-1, 3)\) និង \(\displaystyle B(5, -3)\) ៖
   ដំណោះស្រាយ ៖

   \[x_P = \frac{1(5) + 2(-1)}{1 + 2} = \frac{3}{3} = 1, \quad y_P = \frac{1(-3) + 2(3)}{1 + 2} = \frac{3}{3} = 1 \implies P(1, 1) \text{ ។}\]

5. បង្ហាញថាត្រីកោណដែលមានកំពូល \(\displaystyle A(1, 1)\), \(\displaystyle B(4, 5)\) និង \(\displaystyle C(0, 8)\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(\displaystyle B\) ៖
   ដំណោះស្រាយ ៖

   • \(\displaystyle AB^2 = (4 - 1)^2 + (5 - 1)^2 = 3^2 + 4^2 = 25\)
   • \(\displaystyle BC^2 = (0 - 4)^2 + (8 - 5)^2 = (-4)^2 + 3^2 = 25\)
   • \(\displaystyle AC^2 = (0 - 1)^2 + (8 - 1)^2 = (-1)^2 + 7^2 = 1 + 49 = 50\)

   ដោយ \(\displaystyle AB^2 + BC^2 = 25 + 25 = 50 = AC^2\) តាមទ្រឹស្តីបទច្រាសពីតាក័រ ត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) ជាត្រីកោណកែងសមបាតត្រង់ \(\displaystyle B\) ។

ខ្លឹមសារ៖ សៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី១០ របស់ក្រសួងអប់រំ យុវជន និងកីឡា · វាយអត្ថបទ គូររូបភាពឡើងវិញ និងរៀបចំលើអនឡាញដោយលោកគ្រូ សាន សុខលី សម្រាប់ការសិក្សាដោយឥតគិតថ្លៃ និងមិនរកប្រាក់ចំណេញ។ មិនមែនជាការបោះពុម្ពផ្លូវការរបស់ក្រសួងទេ។