មេរៀនទី 3: សមីការរង្វង់

1. សមីការស្តង់ដានៃរង្វង់

រង្វង់ដែលមានផ្ចិត \(\displaystyle I(a, b)\) និងកាំ \(\displaystyle r > 0\) គឺជាសំណុំចំណុច \(\displaystyle P(x, y)\) ដែលមានចម្ងាយ \(\displaystyle IP = r\) ៖

ពិសេស បើផ្ចិតនៅត្រង់គល់តម្រុយ \(\displaystyle O(0, 0)\) នោះសមីការរង្វង់គឺ ៖

2. សមីការទូទៅនៃរង្វង់

សមីការទូទៅនៃរង្វង់មានរាង ៖

ដើម្បីរកផ្ចិត និងកាំ គេបំប្លែងសមីការជាការេពេញលេញ ៖

នាំឱ្យ ៖

• ផ្ចិតនៃរង្វង់គឺ \(\displaystyle I\left(-\dfrac{A}{2}, -\dfrac{B}{2}\right)\)
• កាំនៃរង្វង់គឺ \(\displaystyle r = \dfrac{\sqrt{A^2 + B^2 - 4C}}{2}\) ។

3. សមីការរង្វង់មានអង្កត់ផ្ចិត \(\displaystyle AB\)

រង្វង់ដែលមានអង្កត់ផ្ចិតជាអង្កត់ភ្ជាប់ពី \(\displaystyle A(x_1, y_1)\) ទៅ \(\displaystyle B(x_2, y_2)\) មានសមីការ ៖

ព្រោះចំពោះគ្រប់ចំណុច \(\displaystyle P(x, y)\) នៅលើរង្វង់ មុំ \(\displaystyle \angle APB = 90^\circ \implies \vec{PA} \cdot \vec{PB} = 0\) ។

4. សមីការបន្ទាត់ប៉ះរង្វង់

សមីការបន្ទាត់ប៉ះនឹងរង្វង់ \(\displaystyle (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\) ត្រង់ចំណុច \(\displaystyle T(x_0, y_0)\) លើរង្វង់គឺ ៖

ពិសេស ចំពោះរង្វង់ \(\displaystyle x^2 + y^2 = r^2\) បន្ទាត់ប៉ះត្រង់ \(\displaystyle (x_0, y_0)\) គឺ \(\displaystyle x_0 x + y_0 y = r^2\) ។

5. សំណុំចំណុចរង្វង់អាប៉ូឡូនុស

សំណុំចំណុច \(\displaystyle P(x, y)\) ដែលមានផលធៀបចម្ងាយពីចំណុចនឹងពីរ \(\displaystyle A\) និង \(\displaystyle B\) ថេរ \(\displaystyle \frac{AP}{BP} = k\) (\(\displaystyle k \neq 1\)) គឺជា រង្វង់អាប៉ូឡូនុស ។

លំហាត់និងដំណោះស្រាយ

1. រកសមីការស្តង់ដានៃរង្វង់ដែលមានផ្ចិត \(\displaystyle I(-2, 3)\) និងកាំ \(\displaystyle r = 5\) ៖
   ដំណោះស្រាយ ៖

   \[(x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = 5^2 \iff (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25 \text{ ។}\]

2. រកផ្ចិត និងកាំនៃរង្វង់ \(\displaystyle x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0\) ៖
   ដំណោះស្រាយ ៖

   \[(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4 \iff (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 = 5^2\]

   ដូច្នេះ ផ្ចិតរង្វង់គឺ \(\displaystyle I(3, -2)\) និងកាំ \(\displaystyle r = 5\) ។

3. រកសមីការរង្វង់ដែលមានអង្កត់ផ្ចិត \(\displaystyle AB\) ដោយស្គាល់ \(\displaystyle A(-1, 2)\) និង \(\displaystyle B(5, -6)\) ៖
   ដំណោះស្រាយ ៖ ផ្ចិតរង្វង់ \(\displaystyle I\) ជាចំណុចកណ្តាល \(\displaystyle AB\) ៖ \(\displaystyle x_I = \frac{-1 + 5}{2} = 2, \; y_I = \frac{2 + (-6)}{2} = -2 \implies I(2, -2)\) ។
   កាំ \(\displaystyle r = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{(5 - (-1))^2 + (-6 - 2)^2}}{2} = \frac{\sqrt{36 + 64}}{2} = \frac{10}{2} = 5\) ។
   សមីការរង្វង់ ៖ \(\displaystyle (x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 25\) ។
4. រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះនឹងរង្វង់ \(\displaystyle x^2 + y^2 = 25\) ត្រង់ចំណុច \(\displaystyle T(3, 4)\) ៖
   ដំណោះស្រាយ ៖ រូបមន្តបន្ទាត់ប៉ះរង្វង់ផ្ចិត \(\displaystyle O(0, 0)\) ៖ \(\displaystyle x_0 x + y_0 y = r^2\) ។
   ជំនួស \(\displaystyle x_0 = 3, y_0 = 4, r^2 = 25\) គេបាន ៖ \(\displaystyle 3x + 4y = 25\) ឬ \(\displaystyle 3x + 4y - 25 = 0\) ។

5. រកសមីការរង្វង់កាត់តាមបីចំណុច \(\displaystyle O(0, 0)\), \(\displaystyle A(4, 0)\) និង \(\displaystyle B(0, 6)\) ៖
   ដំណោះស្រាយ ៖ សមីការទូទៅ \(\displaystyle x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0\) ៖

   • កាត់តាម \(\displaystyle O(0, 0) \implies C = 0\)
   • កាត់តាម \(\displaystyle A(4, 0) \implies 16 + 4A = 0 \implies A = -4\)
   • កាត់តាម \(\displaystyle B(0, 6) \implies 36 + 6B = 0 \implies B = -6\)

   សមីការរង្វង់គឺ ៖ \(\displaystyle x^2 + y^2 - 4x - 6y = 0\) ឬ \(\displaystyle (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 13\) ។

ខ្លឹមសារ៖ សៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី១០ របស់ក្រសួងអប់រំ យុវជន និងកីឡា · វាយអត្ថបទ គូររូបភាពឡើងវិញ និងរៀបចំលើអនឡាញដោយលោកគ្រូ សាន សុខលី សម្រាប់ការសិក្សាដោយឥតគិតថ្លៃ និងមិនរកប្រាក់ចំណេញ។ មិនមែនជាការបោះពុម្ពផ្លូវការរបស់ក្រសួងទេ។