មេរៀនទី ២ មេរៀនទី 2: ការអនុវត្តផលធៀបត្រីកោណ — ជំពូកទី ៥ : ផលធៀបត្រីកោណមាត្រ — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១០

✓វត្ថុបំណង

យល់និងអនុវត្តទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសក្នុងត្រីកោណសាមញ្ញ
យល់និងអនុវត្តទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសក្នុងត្រីកោណសាមញ្ញ
គណនាផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណតាមរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ និងរូបមន្តហេរ៉ុង (Heron's formula)
អនុវត្តដោះស្រាយចំណោទជាក់ស្តែងវាស់កម្ពស់ ចម្ងាយ និងទំហំដីធ្លី ។

1. ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស (Law of Sines)

ក្នុងគ្រប់ត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) ដែលមានរង្វាស់ជ្រុង \(\displaystyle a, b, c\) ឈមនឹងមុំ \(\displaystyle A, B, C\) រៀងគ្នា និង \(\displaystyle R\) ជាកាំនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ យើងបាន ៖

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\]

ករណីប្រើប្រាស់ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស ៖

ស្គាល់រង្វាស់មុំពីរ និងជ្រុងមួយ (AAS ឬ ASA)
ស្គាល់រង្វាស់ជ្រុងពីរ និងមុំឈមជ្រុងមួយ (SSA)

2. ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស (Law of Cosines)

ក្នុងគ្រប់ត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) ការេនៃជ្រុងមួយស្មើនឹងផលបូកការេនៃជ្រុងពីរទៀត ដកនឹងពីរដងផលគុណជ្រុងទាំងពីរនោះជាមួយកូស៊ីនុសនៃមុំកៀបរវាងជ្រុងទាំងពីរ ៖

\[\begin{aligned} a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc \cos A \implies \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \\ b^2 &= a^2 + c^2 - 2ac \cos B \implies \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \\ c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab \cos C \implies \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \end{aligned}\]

ករណីប្រើប្រាស់ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស ៖

ស្គាល់រង្វាស់ជ្រុងពីរ និងមុំកៀបមួយ (SAS)
ស្គាល់រង្វាស់ជ្រុងទាំងបី (SSS)

3. រូបមន្តផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ

ក. តាមផលគុណពីរជ្រុងនិងស៊ីនុសមុំកៀប ៖

\[S = \frac{1}{2}ab \sin C = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2}ac \sin B\]

ខ. តាមកាំរង្វង់ចារឹកក្រៅ \(\displaystyle R\) និងចារឹកក្នុង \(\displaystyle r\) ៖

\[S = \frac{abc}{4R} \quad \text{និង} \quad S = pr\]

ដែល \(\displaystyle p = \dfrac{a + b + c}{2}\) ជាកន្លះបរិមាត្រនៃត្រីកោណ ។

គ. រូបមន្តហេរ៉ុង (Heron's Formula) ៖
ចំពោះត្រីកោណដែលស្គាល់ជ្រុងទាំងបី \(\displaystyle a, b, c\) ៖

\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\]

4. ការអនុវត្តជាក់ស្តែងក្នុងការវាស់វែង

គេប្រើប្រាស់ផលធៀបត្រីកោណមាត្រ រួមជាមួយឧបករណ៍វាស់មុំងើយ (Angle of elevation) ឬមុំទម្លាក់ (Angle of depression) ដើម្បីគណនាកម្ពស់អគារ ភ្នំ ឬចម្ងាយឆ្លងកាត់ទន្លេដែលមិនអាចដើរវាស់ផ្ទាល់បាន ៖

\[h = d \tan \theta + h_0\]

ដែល \(\displaystyle d\) ជាចម្ងាយដេក, \(\displaystyle \theta\) ជាមុំងើយ និង \(\displaystyle h_0\) ជាកម្ពស់ឧបករណ៍វាស់ ។

លំហាត់គំរូ

លំហាត់គំរូទី 1 ៖ ត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) មួយមានជ្រុង \(\displaystyle b = 8\text{ cm}\), មុំ \(\displaystyle A = 45^\circ\) និងមុំ \(\displaystyle B = 60^\circ\) ។ គណនាប្រវែងជ្រុង \(\displaystyle a\) និងកាំរង្វង់ចារឹកក្រៅ \(\displaystyle R\) ។
ដំណោះស្រាយ ៖
តាមទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស ៖

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R \implies a = \frac{b \sin A}{\sin B} = \frac{8 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{6}}{3}\text{ cm}\]

កាំរង្វង់ចារឹកក្រៅ ៖

\[2R = \frac{b}{\sin B} = \frac{8}{\sqrt{3}/2} = \frac{16}{\sqrt{3}} \implies R = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}\text{ cm}\]

លំហាត់គំរូទី 2 ៖ ត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) មានជ្រុង \(\displaystyle b = 5\text{ cm}\), \(\displaystyle c = 8\text{ cm}\) និងមុំកៀប \(\displaystyle A = 60^\circ\) ។ គណនាប្រវែងជ្រុង \(\displaystyle a\) និងផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) ។
ដំណោះស្រាយ ៖
តាមទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស ៖

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A = 5^2 + 8^2 - 2(5)(8)\cos 60^\circ = 25 + 64 - 80\left(\frac{1}{2}\right) = 89 - 40 = 49\]

នាំឱ្យ \(\displaystyle a = \sqrt{49} = 7\text{ cm}\) ។
ផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ ៖

\[S = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2} \times 5 \times 8 \times \sin 60^\circ = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\text{ cm}^2\]

ប្រតិបត្តិ

ត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) មាន \(\displaystyle a = 6\text{ cm}, b = 7\text{ cm}, c = 5\text{ cm}\) ។ គណនា \(\displaystyle \cos B\) និងផ្ទៃក្រឡា \(\displaystyle S\) ដោយប្រើរូបមន្តហេរ៉ុង ។
វិស្វករម្នាក់ឈរនៅចម្ងាយ \(\displaystyle 30\text{ m}\) ពីគល់អគារមួយ ហើយសម្លឹងមើលទៅកំពូលអគារឃើញមុំងើយ \(\displaystyle 30^\circ\) ។ កម្ពស់ភ្នែកពីដីគឺ \(\displaystyle 1.5\text{ m}\) ។ គណនាកម្ពស់អគារនោះ (យក \(\displaystyle \sqrt{3} \approx 1.732\)) ។

មេរៀនកំពុងស្ថិតក្នុងការកែលម្អ — ឃើញកំហុស ឬចម្លើយមិនត្រឹមត្រូវ?សេចក្ដីពន្យល់ និងដំណោះស្រាយលំហាត់កំពុងត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់ជាបន្តបន្ទាប់។ ប្រសិនបើលោកអ្នក ឬប្អូនៗឃើញចំណុចខ្វះខាត ឬកំហុសឆ្គង សូមមេត្តាជួយប្រាប់តាម Telegram៖ ប្រាប់លេខឧទាហរណ៍ ឬលំហាត់ និងរូបថតអេក្រង់។ អរគុណច្រើន!

ផ្ដល់ដំណឹងតាម Telegram

ខ្លឹមសារ៖ សៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី១០ របស់ក្រសួងអប់រំ យុវជន និងកីឡា · វាយអត្ថបទ គូររូបភាពឡើងវិញ និងរៀបចំលើអនឡាញដោយលោកគ្រូ សាន សុខលី សម្រាប់ការសិក្សាដោយឥតគិតថ្លៃ និងមិនរកប្រាក់ចំណេញ។ មិនមែនជាការបោះពុម្ពផ្លូវការរបស់ក្រសួងទេ។