មេរៀនទី ១ មេរៀនទី 1: ផលធៀបត្រីកោណមាត្រ — ជំពូកទី ៥ : ផលធៀបត្រីកោណមាត្រ — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ១០

✓វត្ថុបំណង

កំណត់សញ្ញានិងតម្លៃផលធៀបត្រីកោណមាត្រក្នុងត្រីកោណកែង
ប្រើប្រាស់រូបមន្តទំនាក់ទំនងរវាងផលធៀបត្រីកោណមាត្រ
កំណត់តម្លៃផលធៀបត្រីកោណមាត្រលើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ
ដោះស្រាយលំហាត់និងអនុវត្តផលធៀបត្រីកោណមាត្រក្នុងជីវភាពរស់នៅជាក់ស្តែង ។

1. និយមន័យផលធៀបត្រីកោណមាត្រក្នុងត្រីកោណកែង

ក្នុងត្រីកោណកែង \(\displaystyle ABC\) កែងត្រង់ \(\displaystyle C\) ដែលមានមុំស្រួច \(\displaystyle A\) ៖

\(\displaystyle c = AB\) ហៅថា អ៊ីប៉ូតេនុស (Hypotenuse)
\(\displaystyle a = BC\) ហៅថា ជ្រុងឈម នៃមុំ \(\displaystyle A\) (Opposite side)
\(\displaystyle b = AC\) ហៅថា ជ្រុងជាប់ នៃមុំ \(\displaystyle A\) (Adjacent side)

ផលធៀបត្រីកោណមាត្រទាំងបួននៃមុំស្រួច \(\displaystyle A\) កំណត់ដោយ ៖

\[\begin{aligned} \sin A &= \frac{\text{ជ្រុងឈម}\rule[-0.5em]{0pt}{1.55em}}{\text{អ៊ីប៉ូតេនុស}\rule[-0.5em]{0pt}{1.55em}} = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{c} \\ \cos A &= \frac{\text{ជ្រុងជាប់}\rule[-0.5em]{0pt}{1.55em}}{\text{អ៊ីប៉ូតេនុស}\rule[-0.5em]{0pt}{1.55em}} = \frac{AC}{AB} = \frac{b}{c} \\ \tan A &= \frac{\text{ជ្រុងឈម}\rule[-0.5em]{0pt}{1.55em}}{\text{ជ្រុងជាប់}\rule[-0.5em]{0pt}{1.55em}} = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{b} \\ \cot A &= \frac{\text{ជ្រុងជាប់}\rule[-0.5em]{0pt}{1.55em}}{\text{ជ្រុងឈម}\rule[-0.5em]{0pt}{1.55em}} = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{a} \end{aligned}\]

ចំណាំ ៖

ចំពោះមុំស្រួច \(\displaystyle A\) ណាក៏ដោយ យើងតែងបាន \(\displaystyle 0 < \sin A < 1\) និង \(\displaystyle 0 < \cos A < 1\) ។
ផលធៀបត្រីកោណមាត្រអាស្រ័យតែលើទំហំមុំ \(\displaystyle A\) ប៉ុណ្ណោះ មិនអាស្រ័យលើទំហំត្រីកោណឡើយ ។

2. តម្លៃផលធៀបត្រីកោណមាត្រនៃមុំពិសេស

\(\displaystyle \alpha\)	\(\displaystyle 0^\circ\)	\(\displaystyle 30^\circ\)	\(\displaystyle 45^\circ\)	\(\displaystyle 60^\circ\)	\(\displaystyle 90^\circ\)
\(\displaystyle \sin \alpha\)	\(\displaystyle 0\)	\(\displaystyle \dfrac{1}{2}\)	\(\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\displaystyle 1\)
\(\displaystyle \cos \alpha\)	\(\displaystyle 1\)	\(\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\displaystyle \dfrac{1}{2}\)	\(\displaystyle 0\)
\(\displaystyle \tan \alpha\)	\(\displaystyle 0\)	\(\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)	\(\displaystyle 1\)	\(\displaystyle \sqrt{3}\)	មិនកំណត់
\(\displaystyle \cot \alpha\)	មិនកំណត់	\(\displaystyle \sqrt{3}\)	\(\displaystyle 1\)	\(\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)	\(\displaystyle 0\)

3. ទំនាក់ទំនងគ្រឹះរវាងផលធៀបត្រីកោណមាត្រ

ចំពោះគ្រប់មុំស្រួច \(\displaystyle \alpha\) យើងមានរូបមន្តគ្រឹះសំខាន់ៗដូចខាងក្រោម ៖

\(\displaystyle \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)
\(\displaystyle \tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \quad (\alpha \neq 90^\circ)\)
\(\displaystyle \cot \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \quad (\alpha \neq 0^\circ)\)
\(\displaystyle \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1\)
\(\displaystyle 1 + \tan^2 \alpha = \dfrac{1}{\cos^2 \alpha} \quad (\alpha \neq 90^\circ)\)
\(\displaystyle 1 + \cot^2 \alpha = \dfrac{1}{\sin^2 \alpha} \quad (\alpha \neq 0^\circ)\)

4. រង្វង់ត្រីកោណមាត្រ

រង្វង់ត្រីកោណមាត្រ ជារង្វង់ដែលមានផ្ចិតនៅគល់កូអរដោនេ \(\displaystyle O(0, 0)\) និងកាំ \(\displaystyle R = 1\) ព្រមទាំងមានទិសដៅវិជ្ជមានជាទិសច្រាសទ្រនិចនាឡិកា ។

អ័ក្សដេក \(\displaystyle (Ox)\) ជា អ័ក្សកូស៊ីនុស (\(\displaystyle \cos \alpha\))
អ័ក្សឈរ \(\displaystyle (Oy)\) ជា អ័ក្សស៊ីនុស (\(\displaystyle \sin \alpha\))
គ្រប់ចំណុច \(\displaystyle M\) លើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រដែលផ្គុំបានមុំ \(\displaystyle \alpha\) ជាមួយកាំវិជ្ជមាន \(\displaystyle OA\) មានកូអរដោនេ \(\displaystyle M(\cos \alpha, \sin \alpha)\) ។

▶ មើលរបៀបគូសរូបនេះ

អ័ក្សតង់សង់ ៖ បន្ទាត់ឈរដែលប៉ះរង្វង់ត្រីកោណមាត្រត្រង់ចំណុច \(\displaystyle A(1, 0)\) ហៅថា អ័ក្សតង់សង់ ។ កាំ \(\displaystyle OM\) បន្លាយកាត់អ័ក្សតង់សង់ត្រង់ចំណុច \(\displaystyle T\) ដែលមានអ័រដោនេស្មើ \(\displaystyle \tan \alpha\) ។

▶ មើលរូបមានចលនា៖ ធ្នូពីរស្មើគ្នានិងមុំផ្ចិត

5. មុំបំពេញនិងមុំបន្ថែម

ក. មុំបំពេញគ្នា (\(\displaystyle \alpha\) និង \(\displaystyle 90^\circ - \alpha\)) ៖

\[\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha, \quad \cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha, \quad \tan(90^\circ - \alpha) = \cot \alpha\]

ខ. មុំបន្ថែមគ្នា (\(\displaystyle \alpha\) និង \(\displaystyle 180^\circ - \alpha\)) ៖

\[\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha, \quad \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha, \quad \tan(180^\circ - \alpha) = -\tan \alpha\]

▶ មើលរបៀបគូសរូបនេះ

លំហាត់គំរូ

លំហាត់គំរូទី 1 ៖ គេឱ្យត្រីកោណកែង \(\displaystyle ABC\) កែងត្រង់ \(\displaystyle C\) ដោយ \(\displaystyle a = BC = 3\text{ cm}\) និង \(\displaystyle b = AC = 4\text{ cm}\) ។ គណនា \(\displaystyle \sin A, \cos A, \tan A\) និង \(\displaystyle \cot A\) ។
ដំណោះស្រាយ ៖
តាមទ្រឹស្តីបទពីតាគ័រ ៖

\[c = AB = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\text{ cm}\]

ទាញបាន ៖

\[\sin A = \frac{a}{c} = \frac{3}{5}, \quad \cos A = \frac{b}{c} = \frac{4}{5}, \quad \tan A = \frac{a}{b} = \frac{3}{4}, \quad \cot A = \frac{b}{a} = \frac{4}{3}\]

លំហាត់គំរូទី 2 ៖ បើ \(\displaystyle \cos \alpha = \dfrac{3}{5}\) ដែល \(\displaystyle \alpha\) ជាមុំស្រួច ចូរគណនា \(\displaystyle \sin \alpha\) និង \(\displaystyle \tan \alpha\) ។
ដំណោះស្រាយ ៖
តាមរូបមន្ត \(\displaystyle \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) យើងបាន ៖

\[\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\]

ដោយ \(\displaystyle \alpha\) ជាមុំស្រួច នាំឱ្យ \(\displaystyle \sin \alpha > 0\) ដូចនេះ ៖

\[\sin \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}\]

ហើយ \(\displaystyle \tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{4/5}{3/5} = \dfrac{4}{3}\) ។

ប្រតិបត្តិ

គណនាតម្លៃនៃកន្សោម \(\displaystyle A = \sin^2 30^\circ + \cos^2 60^\circ - \tan 45^\circ\) ។
បើ \(\displaystyle \tan \alpha = 2\) ដែល \(\displaystyle \alpha\) ជាមុំស្រួច ចូរគណនា \(\displaystyle \cos \alpha\) និង \(\displaystyle \sin \alpha\) ។
សម្រួលកន្សោម \(\displaystyle B = (1 + \tan^2 \alpha)(1 - \sin^2 \alpha)\) ។

មេរៀនកំពុងស្ថិតក្នុងការកែលម្អ — ឃើញកំហុស ឬចម្លើយមិនត្រឹមត្រូវ?សេចក្ដីពន្យល់ និងដំណោះស្រាយលំហាត់កំពុងត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់ជាបន្តបន្ទាប់។ ប្រសិនបើលោកអ្នក ឬប្អូនៗឃើញចំណុចខ្វះខាត ឬកំហុសឆ្គង សូមមេត្តាជួយប្រាប់តាម Telegram៖ ប្រាប់លេខឧទាហរណ៍ ឬលំហាត់ និងរូបថតអេក្រង់។ អរគុណច្រើន!

ផ្ដល់ដំណឹងតាម Telegram

ខ្លឹមសារ៖ សៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី១០ របស់ក្រសួងអប់រំ យុវជន និងកីឡា · វាយអត្ថបទ គូររូបភាពឡើងវិញ និងរៀបចំលើអនឡាញដោយលោកគ្រូ សាន សុខលី សម្រាប់ការសិក្សាដោយឥតគិតថ្លៃ និងមិនរកប្រាក់ចំណេញ។ មិនមែនជាការបោះពុម្ពផ្លូវការរបស់ក្រសួងទេ។