KhmerMathគណិតវិទ្យាខ្មែរ
ធ្វើតេស្ត CBA
  1. ទំព័រដើម
  2. ថ្នាក់ទី ១១
  3. មេរៀន
  4. ជំពូកទី ១ · មេរៀនទី ១
១
ជំពូកទី ១ : ស្វ៊ីតនិងអនុមានរួមគណិតវិទ្យា · មេរៀនទី ១

ស្វ៊ីតចំនួនពិត

ឧទាហរណ៍ ១៥ប្រតិបត្តិ ៤

ការសិក្សាស្វ៊ីតចំនួនពិត   ការសិក្សាស្វ៊ីត គឺបណ្តាលឱ្យគណិតវិទ្យាកាន់តែមានការរីកចម្រើនឡើងពីមួយថ្ងៃទៅមួយថ្ងៃ តាមរយៈផលបូកតួនៃស្វ៊ីតអាចឱ្យគេសង់បាននូវតារាងនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ និងអនុគមន៍លោការីត មិនត្រឹមតែប៉ុណ្ណោះក៏អាចឱ្យគេគណនាបាននូវតម្លៃលេខ \(\displaystyle e\) និង \(\displaystyle \pi\) ទៀតផង ៖

\[e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{5!} + \dots \approx 2.71828\]
\[\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \dots \approx 0.7854\]
✓វត្ថុបំណង
  1. បង្ហាញសញ្ញាណស្វ៊ីតចំនួនពិត ស្វ៊ីតរាប់អស់ និងស្វ៊ីតអនន្តតួ
  2. សរសេរតួនៃស្វ៊ីតនិងកំណត់តួទី \(\displaystyle n\) នៃស្វ៊ីត
  3. បង្ហាញថាស្វ៊ីតមួយជាស្វ៊ីតកើនឬស្វ៊ីតចុះ
  4. បង្ហាញស្វ៊ីតម៉ូណូតូន ។

1. សញ្ញាណស្វ៊ីត

ឧទាហរណ៍ 1 :

  • គេមានចំនួនគត់ធម្មជាតិ \(\displaystyle 1, 2, 3, 4, 5, \dots\) ។
  • គេមានចំនួនគត់គូ \(\displaystyle 2, 4, 6, 8, 10, \dots\) ។
  • គេមានចំនួនគត់សេសតូចជាង \(\displaystyle 16\) គឺ \(\displaystyle 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15\) ។
  • គេមានចំនួនសនិទាន \(\displaystyle 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}\) ។

ចំនួនដែលរៀបតាមលំដាប់នេះហៅថា ស្វ៊ីតនៃចំនួនពិត ។ ស្វ៊ីតនៃចំនួនពិត \(\displaystyle 1, 2, 3, 4, 5, \dots\) ហៅថា ស្វ៊ីតអនន្តតួ ។ ស្វ៊ីតអនន្តតួ គឺជាស្វ៊ីតដែលមានចំនួនតួច្រើនរាប់មិនអស់ ។

ម្យ៉ាងទៀត ស្វ៊ីតនៃចំនួនពិត \(\displaystyle 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15\) និងស្វ៊ីតនៃចំនួនសនិទាន \(\displaystyle 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}\) ហៅថា ស្វ៊ីតរាប់អស់ ។ ស្វ៊ីតរាប់អស់គឺជាស្វ៊ីតដែលគេរាប់ចំនួនតួបាន ។ ក្នុងស្វ៊ីតរាប់អស់គេអាចស្គាល់ចំនួនតួនិងតួចុងក្រោយនៃស្វ៊ីត ។

ឧទាហរណ៍ 2 : គេមានអនុគមន៍ \(\displaystyle f : \mathbb{N} \to \mathbb{R}\), \(\displaystyle n \mapsto f(n) = 2n + 1\) គេសង្កេតឃើញថា ៖

  • បើ \(\displaystyle n = 1\) នោះ \(\displaystyle f(1) = 2 \times 1 + 1 = 3\)
  • បើ \(\displaystyle n = 2\) នោះ \(\displaystyle f(2) = 2 \times 2 + 1 = 5\)
  • បើ \(\displaystyle n = 3\) នោះ \(\displaystyle f(3) = 2 \times 3 + 1 = 7\)
  • បើ \(\displaystyle n = 4\) នោះ \(\displaystyle f(4) = 2 \times 4 + 1 = 9\)

គេបានចំនួនរៀបតាមលំដាប់ \(\displaystyle 3, 5, 7, 9, \dots\) បង្កើតបានជាស្វ៊ីតនៃចំនួនពិត ។ ចំនួននីមួយៗនៃស្វ៊ីតហៅថា តួ ។ ចំនួន \(\displaystyle 3\) ហៅថាតួទី \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 5\) តួទី \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 7\) តួទី \(\displaystyle 3\) \(\displaystyle \dots\) រៀងគ្នា ។

និយមន័យ

ស្វ៊ីតចំនួនពិត គឺជាអនុគមន៍លេខដែលកំណត់ពី \(\displaystyle \mathbb{N}\) ទៅ \(\displaystyle \mathbb{R}\) ។
ជាទូទៅគេប្រើអក្សរ \(\displaystyle a_1, a_2, a_3, \dots, a_n\) សម្រាប់តាងឱ្យតួនៃស្វ៊ីតដែល \(\displaystyle a_1\) ជាតួទី \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle a_2\) ជាតួទី \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle \dots, a_n\) ជាតួទី \(\displaystyle n\) ។
គេតាងស្វ៊ីតនោះដោយនិមិត្តសញ្ញា \(\displaystyle (a_n)\) ដែល \(\displaystyle n \in \mathbb{N}\) (\(\displaystyle \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}\)) ។

១លំហាត់គំរូ ១

បំពេញតួនៃស្វ៊ីតខាងក្រោមនេះឱ្យបានបីតួទៀត ៖

  1. ក. \(\displaystyle 1, 5, 9, \dots\)
  2. ខ. \(\displaystyle 1, 8, 27, \dots\) ។
ដំណោះស្រាយ
  1. ក. គេសង្កេតឃើញថាតួនីមួយៗកើនឡើង \(\displaystyle 4\) នាំឱ្យ \(\displaystyle 1, 5, 9, 13, 17, 21\) ។
  2. ខ. តួនីមួយៗជាគូបនៃចំនួនគត់ធម្មជាតិ \(\displaystyle 1^3, 2^3, 3^3, \dots\) នាំឱ្យបីតួទៀតគឺ \(\displaystyle 4^3 = 64, 5^3 = 125, 6^3 = 216\) គឺ \(\displaystyle 1, 8, 27, 64, 125, 216\) ។
២លំហាត់គំរូ ២

សរសេរគ្រប់តួនៃស្វ៊ីតរាប់អស់ \(\displaystyle a_n = \frac{(-1)^{n+1}}{n+1}\) ដែល \(\displaystyle 1 \le n \le 5\) ។

ដំណោះស្រាយ

ជំនួសចំនួនគត់ធម្មជាតិពី \(\displaystyle 1\) ដល់ \(\displaystyle 5\) ក្នុង \(\displaystyle a_n\) គេបាន ៖

\[a_1 = \frac{(-1)^2}{2} = \frac{1}{2}, \quad a_2 = \frac{(-1)^3}{3} = -\frac{1}{3}, \quad a_3 = \frac{(-1)^4}{4} = \frac{1}{4}, \quad a_4 = \frac{(-1)^5}{5} = -\frac{1}{5}, \quad a_5 = \frac{(-1)^6}{6} = \frac{1}{6}\]

ដូច្នេះប្រាំតួនៃស្វ៊ីតគឺ \(\displaystyle \frac{1}{2}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{5}, \frac{1}{6}\) ។

✎ប្រតិបត្តិ
  1. ក. គេឱ្យស្វ៊ីត \(\displaystyle 3, 8, 15, \dots\) ។ បន្តសរសេរស្វ៊ីតនេះឱ្យបានបីតួទៀត ។
  2. ខ. សរសេរតួនៃស្វ៊ីត \(\displaystyle (a_n)\) កំណត់ដោយ \(\displaystyle a_n = \frac{1}{n+2}\) ដែល \(\displaystyle 1 \le n \le 4\) ។
  3. គ. សរសេរតួនៃស្វ៊ីតតាមលំដាប់តគ្នា \(\displaystyle \frac{5}{2}, \frac{9}{4}, \frac{17}{8}, \dots, 2 + \frac{1}{2^n}\) ដែល \(\displaystyle n \in \mathbb{N}\) ។
មើលចម្លើយ
  1. ក. តួនីមួយៗគឺ \(\displaystyle n(n+2)\) ឬ \(\displaystyle n^2+2n\) ៖ \(\displaystyle 24, 35, 48\) ។
  2. ខ. \(\displaystyle a_1 = \frac{1}{3}, a_2 = \frac{1}{4}, a_3 = \frac{1}{5}, a_4 = \frac{1}{6}\) ។
  3. គ. \(\displaystyle a_1 = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}, a_2 = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}, a_3 = \frac{17}{8}, a_4 = \frac{33}{16}, \dots\) ។

2. តួទី n នៃស្វ៊ីត

ឧទាហរណ៍ 1 : គេឱ្យស្វ៊ីតចំនួនគត់ \(\displaystyle 1, 2, 3, 4, 5, \dots\) ដែលតួចុងក្រោយរបស់វាតាងដោយ \(\displaystyle n\) ។ ក្នុងករណីនេះគេថា \(\displaystyle a_1 = 1\) ជាតួទី \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle a_2 = 2\) ជាតួទី \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle a_3 = 3\) ជាតួទី \(\displaystyle 3, \dots, a_n = n\) ជាតួទី \(\displaystyle n\) ។

ឧទាហរណ៍ 2 : ចំពោះស្វ៊ីតនៃចំនួន \(\displaystyle 2, 4, 6, 8, 10, \dots\) ។ គេឃើញថា ៖

\[a_1 = 2 = 2 \times 1, \quad a_2 = 4 = 2 \times 2, \quad a_3 = 6 = 2 \times 3, \quad a_4 = 8 = 2 \times 4, \dots, a_n = 2 \times n\]

ដូច្នេះ គេបានតួទី \(\displaystyle n\) នៃស្វ៊ីតគឺ \(\displaystyle a_n = 2n\) ។

តាមឧទាហរណ៍ខាងលើ បើគេស្គាល់តួដំបូង និងតួបន្តបន្ទាប់នៃស្វ៊ីត ដើម្បីសរសេររូបមន្តតួទី \(\displaystyle n\) នៃស្វ៊ីតគេពិនិត្យមើលតួនីមួយៗនៃស្វ៊ីត រួចរកមើលលំនាំគំរូរបស់វា ។ តួនីមួយៗជាអនុគមន៍នៃចំនួនតួ ។ តួទី \(\displaystyle 1\) ត្រូវនឹង \(\displaystyle n = 1\), តួទី \(\displaystyle 2\) ត្រូវនឹង \(\displaystyle n = 2, \dots,\) តួទី \(\displaystyle n\) ត្រូវនឹង \(\displaystyle n = n\) ។

១លំហាត់គំរូ ១

កំណត់តួទី \(\displaystyle n\) នៃស្វ៊ីត \(\displaystyle 3, 5, 7, 9, 11, \dots\) ចំពោះគ្រប់ \(\displaystyle n \in \mathbb{N}\) ។

ដំណោះស្រាយ

គេសង្កេតឃើញថា ៖

\[\begin{aligned} a_1 &= 3 = 2 \times 1 + 1 \\ a_2 &= 5 = 2 \times 2 + 1 \\ a_3 &= 7 = 2 \times 3 + 1 \\ a_4 &= 9 = 2 \times 4 + 1 \\ a_5 &= 11 = 2 \times 5 + 1 \\ \dots &= \dots \\ a_n &= 2n + 1 \end{aligned}\]

ដូច្នេះគេបានតួទី \(\displaystyle n\) នៃស្វ៊ីតគឺ \(\displaystyle a_n = 2n + 1\) ។

២លំហាត់គំរូ ២

បាល់មួយត្រូវបានទម្លាក់ពីកម្ពស់ \(\displaystyle 6\text{ m}\) ។ ដោយដឹងថា បាល់នោះធ្លាក់ដល់ដីតែងតែលោតឡើងលើវិញបាន \(\displaystyle \frac{2}{3}\) នៃកម្ពស់ដែលបាល់នោះធ្លាក់ចុះ ។ ចូរកំណត់កម្ពស់នៃបាល់ជាបន្តបន្ទាប់ដោយសរសេរជាស្វ៊ីតមួយ រួចកំណត់តួទី \(\displaystyle n\) នៃស្វ៊ីតនេះ ។

ដំណោះស្រាយ

លើកដំបូងបាល់ធ្លាក់ពីកម្ពស់ \(\displaystyle 6\text{ m}\) រួចលោតឡើងលើវិញបាន \(\displaystyle \frac{2}{3} \times 6\text{ m} = 4\text{ m}\) ។ លើកទី \(\displaystyle 2\) បាល់ធ្លាក់ពីកម្ពស់ \(\displaystyle 4\text{ m}\) ហើយលោតឡើងវិញបាន \(\displaystyle 4 \times \frac{2}{3} = 6 \times \left(\frac{2}{3}\right)^2\text{ m}\) ។
ដូច្នេះ កម្ពស់បាល់ដែលលោតឡើងវិញជាបន្តបន្ទាប់បង្កើតបានជាស្វ៊ីត ៖

\[a_1 = 6 \times \left(\frac{2}{3}\right), \quad a_2 = 6 \times \left(\frac{2}{3}\right)^2, \quad a_3 = 6 \times \left(\frac{2}{3}\right)^3, \dots, a_n = 6 \times \left(\frac{2}{3}\right)^n\]
✎ប្រតិបត្តិ

កំណត់តួទី \(\displaystyle n\) ចំពោះគ្រប់ \(\displaystyle n \in \mathbb{N}\) នៃស្វ៊ីតខាងក្រោម ៖

  1. ក. \(\displaystyle 1, 2, 7, 14, 23, \dots\)
  2. ខ. \(\displaystyle \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \dots\)
មើលចម្លើយ
  1. ក. \(\displaystyle a_n = n^2 - 2\) (ចំពោះ \(\displaystyle n \ge 2\)) ឬចំពោះស្វ៊ីត \(\displaystyle 1, 4-2, 9-2, 16-2, \dots\) នាំឱ្យ \(\displaystyle a_n = n^2 - 2\) (បើ \(\displaystyle a_1 = -1\)) ។
  2. ខ. ភាគយកកើនពី \(\displaystyle 2\) គឺ \(\displaystyle n+1\) ហើយភាគបែងគឺ \(\displaystyle n+2\) នាំឱ្យ \(\displaystyle a_n = \frac{n+1}{n+2}\) ។

3. អថេរភាពនៃស្វ៊ីត

3.1 ស្វ៊ីតកើន ស្វ៊ីតចុះ

ឧទាហរណ៍ 1 : គេឱ្យស្វ៊ីត \(\displaystyle (a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) ដែល \(\displaystyle a_n = n\) ។
គេបានតួនៃស្វ៊ីតគឺ \(\displaystyle 1, 2, 3, 4, \dots, n\) ។ តាមលំដាប់តួនៃស្វ៊ីត គេសង្កេតឃើញថា \(\displaystyle 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < \dots\) ឬ \(\displaystyle a_1 < a_2 < a_3 < \dots < a_n < a_{n+1} < \dots\) នោះគេបានស្វ៊ីត \(\displaystyle (a_n)\) ហៅថា ស្វ៊ីតកើនដាច់ខាត ។

ឧទាហរណ៍ 2 : គេឱ្យស្វ៊ីត \(\displaystyle (a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) ដែលមានតួ \(\displaystyle 1, 1, 2, 3, 4, 5, \dots\) ឬ \(\displaystyle a_1 \le a_2 \le a_3 \le \dots \le a_n \le a_{n+1} \le \dots\) នោះគេបានស្វ៊ីត \(\displaystyle (a_n)\) ហៅថា ស្វ៊ីតកើន ។

ឧទាហរណ៍ 3 : គេឱ្យស្វ៊ីត \(\displaystyle (a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) ដែល \(\displaystyle a_n = \frac{1}{n}\) ។
គេបានតួនៃស្វ៊ីតគឺ \(\displaystyle 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \dots\) ។ តាមលំដាប់តួនៃស្វ៊ីត គេសង្កេតឃើញថា \(\displaystyle 1 > \frac{1}{2} > \frac{1}{3} > \frac{1}{4} > \dots\) ឬ \(\displaystyle a_1 > a_2 > a_3 > \dots > a_n > a_{n+1} > \dots\) នោះគេបានស្វ៊ីត \(\displaystyle (a_n)\) ហៅថា ស្វ៊ីតចុះ ។

និយមន័យ
  • ស្វ៊ីត \(\displaystyle (a_n)\) ជាស្វ៊ីតកើន លុះត្រាតែចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ \(\displaystyle n \in \mathbb{N}, a_{n+1} \ge a_n\) (ឬ \(\displaystyle a_{n+1} - a_n \ge 0\)) ។
  • ស្វ៊ីត \(\displaystyle (a_n)\) ជាស្វ៊ីតចុះ លុះត្រាតែចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ \(\displaystyle n \in \mathbb{N}, a_{n+1} \le a_n\) (ឬ \(\displaystyle a_{n+1} - a_n \le 0\)) ។
•លំហាត់គំរូ
  1. ក. បង្ហាញថាស្វ៊ីត \(\displaystyle (a_n)\) ដែល \(\displaystyle a_n = 3n + 1\) ជាស្វ៊ីតកើន ។
  2. ខ. បង្ហាញថាស្វ៊ីត \(\displaystyle (b_n)\) ដែល \(\displaystyle b_n = 12 - 2n\) ជាស្វ៊ីតចុះ ។
ដំណោះស្រាយ
  1. ក.

    គេមាន \(\displaystyle a_n = 3n + 1\), \(\displaystyle a_{n+1} = 3(n + 1) + 1 = 3n + 4\) នាំឱ្យ ៖

    \[a_{n+1} - a_n = (3n + 4) - (3n + 1) = 3 > 0 \implies a_{n+1} > a_n\]

    ដូច្នេះ ស្វ៊ីត \(\displaystyle (a_n)\) ដែល \(\displaystyle a_n = 3n + 1\) ជាស្វ៊ីតកើន ។

  2. ខ.

    គេមាន \(\displaystyle b_n = 12 - 2n\), \(\displaystyle b_{n+1} = 12 - 2(n + 1) = 10 - 2n\) នាំឱ្យ ៖

    \[b_{n+1} - b_n = (10 - 2n) - (12 - 2n) = -2 < 0 \implies b_{n+1} < b_n\]

    ដូច្នេះ ស្វ៊ីត \(\displaystyle (b_n)\) ដែល \(\displaystyle b_n = 12 - 2n\) ជាស្វ៊ីតចុះ ។

✎ប្រតិបត្តិ

តើស្វ៊ីតខាងក្រោមមួយណាជាស្វ៊ីតកើន មួយណាជាស្វ៊ីតចុះ ៖

  1. ក. ស្វ៊ីត \(\displaystyle (a_n)_{n\ge 5}\) ដែល \(\displaystyle a_n = \frac{3n}{2}\)
  2. ខ. ស្វ៊ីត \(\displaystyle (a_n)_{n\ge 3}\) ដែល \(\displaystyle a_n = \frac{2}{n}\)
មើលចម្លើយ
  1. ក. \(\displaystyle a_{n+1} - a_n = \frac{3(n+1)}{2} - \frac{3n}{2} = \frac{3}{2} > 0\) នាំឱ្យស្វ៊ីត \(\displaystyle (a_n)\) ជាស្វ៊ីតកើន ។
  2. ខ. \(\displaystyle a_{n+1} - a_n = \frac{2}{n+1} - \frac{2}{n} = \frac{-2}{n(n+1)} < 0\) នាំឱ្យស្វ៊ីត \(\displaystyle (a_n)\) ជាស្វ៊ីតចុះ ។

3.2 ស្វ៊ីតម៉ូណូតូន

ឧទាហរណ៍ 1 : គេឱ្យស្វ៊ីត \(\displaystyle (a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) ដែល \(\displaystyle a_n = \frac{n}{n+1}\) ។
គេបានតួនៃស្វ៊ីតគឺ \(\displaystyle \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \dots\) ។ ដោយ \(\displaystyle \frac{1}{2} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4} < \dots\) នាំឱ្យស្វ៊ីត \(\displaystyle (a_n)\) ជាស្វ៊ីតកើន នោះគេថាស្វ៊ីតនេះជា ស្វ៊ីតម៉ូណូតូន ។

ឧទាហរណ៍ 2 : គេឱ្យស្វ៊ីត \(\displaystyle (a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) ដែល \(\displaystyle a_n = 1 + \frac{1}{n}\) ។
គេបានតួនៃស្វ៊ីតគឺ \(\displaystyle 2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{5}{4}, \dots\) ។ ដោយ \(\displaystyle 2 > \frac{3}{2} > \frac{4}{3} > \dots\) នាំឱ្យស្វ៊ីត \(\displaystyle (a_n)\) ជាស្វ៊ីតចុះ នោះគេថាស្វ៊ីតនេះជា ស្វ៊ីតម៉ូណូតូន ។

និយមន័យ

ស្វ៊ីត \(\displaystyle (a_n)\) ជាស្វ៊ីតម៉ូណូតូន កាលណាស្វ៊ីត \(\displaystyle (a_n)\) ជាស្វ៊ីតកើន ឬជាស្វ៊ីតចុះ ។

•លំហាត់គំរូ

បង្ហាញថាស្វ៊ីត \(\displaystyle (a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) ដែល \(\displaystyle a_n = \frac{n}{n+1}\) ជាស្វ៊ីតម៉ូណូតូន ។

ដំណោះស្រាយ

  • របៀបទី 1 (ពិនិត្យផលសង \(\displaystyle a_{n+1} - a_n\)) ៖ គេមាន \(\displaystyle a_n = \frac{n}{n+1}\) នាំឱ្យ \(\displaystyle a_{n+1} = \frac{n+1}{n+2}\) ។
    ចំពោះ \(\displaystyle \forall n \ge 1\) គេបាន ៖

    \[a_{n+1} - a_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)} > 0\]

    នាំឱ្យ \(\displaystyle a_{n+1} > a_n\) ដូច្នេះស្វ៊ីត \(\displaystyle (a_n)\) ជាស្វ៊ីតកើន ។ ដូចនេះវាជាស្វ៊ីតម៉ូណូតូន ។

  • របៀបទី 2 (ពិនិត្យផលធៀប \(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}\) ចំពោះតួវិជ្ជមាន) ៖ ដោយ \(\displaystyle a_n > 0, \forall n \in \mathbb{N}\) ៖

    \[\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{n+2} \times \frac{n+1}{n} = \frac{n^2+2n+1}{n^2+2n} > 1 \implies a_{n+1} > a_n\]

    ដូច្នេះ ស្វ៊ីត \(\displaystyle (a_n)\) ជាស្វ៊ីតម៉ូណូតូន ។

✎ប្រតិបត្តិ

តើស្វ៊ីតខាងក្រោម តួណាជាស្វ៊ីតម៉ូណូតូន ៖

  1. ក. \(\displaystyle 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots, \frac{1}{n}, \dots\)
  2. ខ. \(\displaystyle a_n = \frac{2^n}{n}, \quad n \ge 1\)
  3. គ. \(\displaystyle 1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{4}, \dots, (-1)^{n+1}\frac{1}{n}, \dots\)
មើលចម្លើយ
  1. ក. ជាស្វ៊ីតចុះ នាំឱ្យជាស្វ៊ីតម៉ូណូតូន ។
  2. ខ. \(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1}}{n+1} \times \frac{n}{2^n} = \frac{2n}{n+1} \ge 1\) (ចំពោះ \(\displaystyle n \ge 1\)) នាំឱ្យ \(\displaystyle (a_n)\) ជាស្វ៊ីតកើន ដូចនេះជាស្វ៊ីតម៉ូណូតូន ។
  3. គ. តួឆ្លាស់សញ្ញាបូក ដក មិនកើនមិនចុះ នាំឱ្យមិនមែនជាស្វ៊ីតម៉ូណូតូនទេ ។

លំហាត់

  1. សរសេរបីតួបន្ទាប់នៃស្វ៊ីតខាងក្រោម ៖

    1. ក. \(\displaystyle 5, 10, 15, 20, \dots\)
    2. ខ. \(\displaystyle 1, 5, 14, 30, 55, \dots\)

  2. សរសេរតួនៃស្វ៊ីតរាប់អស់ខាងក្រោម ៖

    1. ក. \(\displaystyle a_n = \frac{(-1)^n}{n}\) ចំពោះ \(\displaystyle 1 \le n \le 8\)
    2. ខ. \(\displaystyle b_n = 2^{-n+2}\) ចំពោះ \(\displaystyle 1 \le n \le 5\)

  3. សរសេរបួនតួដំបូងនៃស្វ៊ីតរាប់អស់ខាងក្រោម ៖

    1. ក. \(\displaystyle a_n = \frac{(-1)^n}{n^2}\)
    2. ខ. \(\displaystyle b_n = \frac{1}{n^2+n}\)
    3. គ. \(\displaystyle c_n = (-1)^n(n-2)^2\)
    4. ឃ. \(\displaystyle d_n = (-1)^n 2^{n-1}\)

  4. កំណត់តួទី \(\displaystyle n\) ចំពោះគ្រប់ \(\displaystyle n \in \mathbb{N}\) នៃស្វ៊ីតខាងក្រោម ៖

    1. ក. \(\displaystyle 5, 7, 9, 11, 13, \dots\)
    2. ខ. \(\displaystyle -3, -1, 1, 3, 5, \dots\)
    3. គ. \(\displaystyle 16, 13, 10, 7, 4, \dots\)
    4. ឃ. \(\displaystyle \frac{2}{3}, \frac{3}{5}, \frac{4}{7}, \frac{5}{9}, \dots\)
  5. បង្ហាញថាស្វ៊ីត \(\displaystyle (a_n)\) ដែល \(\displaystyle a_n = \frac{1}{n+3}\) ជាស្វ៊ីតចុះ ។
  6. បង្ហាញថាស្វ៊ីត \(\displaystyle (b_n)\) ដែល \(\displaystyle b_n = \frac{2n+1}{n+3}\) ជាស្វ៊ីតកើន ។

  7. សិក្សាភាពម៉ូណូតូននៃស្វ៊ីតដែលកំណត់ដូចខាងក្រោម ៖

    1. ក. ស្វ៊ីត \(\displaystyle (a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) ដែល \(\displaystyle a_n = \frac{1}{n}\)
    2. ខ. ស្វ៊ីត \(\displaystyle (a_n)\) ដែល \(\displaystyle a_n = n^3 + 4n - 5\)
    3. គ. ស្វ៊ីត \(\displaystyle (a_n)\) ដែល \(\displaystyle a_{n+1} = a_n^2\) និង \(\displaystyle a_1 = 2\)

  8. គេមានស្វ៊ីត \(\displaystyle (a_n)\) ដែល \(\displaystyle n\) ជាចំនួនគត់ធម្មជាតិ ហើយ \(\displaystyle a_1 = 1\) និង \(\displaystyle a_{n+1} = a_n^2 + a_n + 1\) ៖

    1. ក. បង្ហាញថាស្វ៊ីត \(\displaystyle (a_n)\) ជាស្វ៊ីតកើន ។
    2. ខ. បង្ហាញថាចំពោះគ្រប់ \(\displaystyle n\), \(\displaystyle a_n \ge n\) ។

ខ្លឹមសារ៖ សៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី១១ របស់ក្រសួងអប់រំ យុវជន និងកីឡា · វាយអត្ថបទ គូររូបភាពឡើងវិញ និងរៀបចំលើអនឡាញដោយលោកគ្រូ សាន សុខលី សម្រាប់ការសិក្សាដោយឥតគិតថ្លៃ និងមិនរកប្រាក់ចំណេញ។ មិនមែនជាការបោះពុម្ពផ្លូវការរបស់ក្រសួងទេ។