លីមីតនិងដេរីវេ

លីមីតនិងដេរីវេ (Limits and Derivatives)   នៅក្នុងជំពូកនេះ យើងចាប់ផ្តើមសិក្សាពីបញ្ញត្តិមូលដ្ឋាននៃលីមីត និងប្រមាណវិធីលើលីមីត ដែលជាគ្រឹះដ៏សំខាន់សម្រាប់ឈានទៅសិក្សាបញ្ញត្តិនៃដេរីវេ និងប្រមាណវិធីលើដេរីវេនៃអនុគមន៍។ បន្ទាប់ពីទទួលបានបញ្ញត្តិលីមីត ដេរីវេ និងបំណិនក្នុងការគណនាលីមីត ដេរីវេ ប្អូនៗនឹងអាចប្រើចំណេះដឹងទាំងនោះក្នុងការដោះស្រាយចំណោទបន្ទាត់ប៉ះនឹងក្រាបតាងអនុគមន៍ត្រង់ចំណុចមួយ ការសិក្សាអថេរភាព និងសង់ក្រាប ការគណនាតម្លៃអតិបរមាធៀប តម្លៃអប្បបរមាធៀប ការគណនាល្បឿនខណៈនៃចលនា និងការដោះស្រាយបញ្ហាពិតក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រ និងសេដ្ឋកិច្ច។

1. លីមីត

1.1. សញ្ញាណលីមីត

ឧទាហរណ៍ ១ : គេឱ្យអនុគមន៍ \(\displaystyle y = f(x) = x^2 + 2x - 3\) និងតារាងតម្លៃលេខ

តាមតារាងតម្លៃលេខ បើ \(\displaystyle x\) ខិតជិត \(\displaystyle 2\) ពីខាងឆ្វេង (\(\displaystyle x \to 2^-\)) និងពីខាងស្តាំ (\(\displaystyle x \to 2^+\)) នោះ \(\displaystyle y\) ខិតជិត \(\displaystyle 5\) ។

គេថាអនុគមន៍ \(\displaystyle y = f(x)\) មានលីមីតស្មើនឹង \(\displaystyle 5\) កាលណា \(\displaystyle x\) ខិតជិត \(\displaystyle 2\) ។

គេកំណត់សរសេរ

ឧទាហរណ៍ ២ : គេឱ្យអនុគមន៍ \(\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}\)

ចំពោះ \(\displaystyle x \ne 3\) គេបាន \(\displaystyle f(x) = x + 3\) និងក្រាប \(\displaystyle L\) ។

តាមក្រាបបើ \(\displaystyle x\) ខិតជិត \(\displaystyle 3\) នោះអនុគមន៍ \(\displaystyle y = f(x)\) ខិតជិត \(\displaystyle 6\) ។

គេកំណត់សរសេរ \(\displaystyle \lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = 6\) ។

1.2. ប្រមាណវិធីលើលីមីត

អនុគមន៍ \(\displaystyle y = f(x)\) និង \(\displaystyle y = g(x)\) មានលីមីតកាលណា \(\displaystyle x \to a\) ។ គេបាន

• \(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} c = c\) ដែល \(\displaystyle f(x) = c\) ជាអនុគមន៍ថេរ
• \(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} x = a\) ដែល \(\displaystyle f(x) = x\)
• \(\displaystyle \lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)\)
• \(\displaystyle \lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x)\)
• \(\displaystyle \lim_{x \to a} [f(x) \times g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \times \lim_{x \to a} g(x)\)
• \(\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}\) បើ \(\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) \ne 0\) ។

1.3. លីមីតខាងឆ្វេងនិងខាងស្តាំ

ឧទាហរណ៍ : គេឱ្យអនុគមន៍ \(\displaystyle y = f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{បើ } x \le 1 \\ x + 2 & \text{បើ } x > 1 \end{cases}\)

តាមក្រាបគេសង្កេតឃើញថា \(\displaystyle f(x)\) ខិតជិត \(\displaystyle 1\) កាលណា \(\displaystyle x\) ខិតជិត \(\displaystyle 1\) ពីខាងឆ្វេង ។

ម្យ៉ាងទៀត \(\displaystyle f(x)\) ខិតជិត \(\displaystyle 3\) កាលណា \(\displaystyle x\) ខិតជិត \(\displaystyle 1\) ពីខាងស្តាំ ។

២លំហាត់គំរូ ២

គេមានក្រាបតាងអនុគមន៍ \(\displaystyle f\) ខាងក្រោម ៖
រក \(\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x)\) និង \(\displaystyle \lim_{x \to 3^+} f(x)\) ក្នុងរូបទី ១ ទី ២ ទី ៣ និង រូបទី ៤ ។

ដំណោះស្រាយ

• តាមរូបទី ១ គេបាន \(\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x) = -\infty\) និង \(\displaystyle \lim_{x \to 3^+} f(x) = 2\)
• តាមរូបទី ២ គេបាន \(\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x) = 2\) និង \(\displaystyle \lim_{x \to 3^+} f(x) = -1\)
• តាមរូបទី ៣ គេបាន \(\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x) = 2\) និង \(\displaystyle \lim_{x \to 3^+} f(x) = 2\)
• តាមរូបទី ៤ គេបាន \(\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x) = -1\) និង \(\displaystyle \lim_{x \to 3^+} f(x) = +\infty\) ។

1.4. លីមីតត្រង់អនន្តនៃអនុគមន៍

1.4.1. លីមីតត្រង់អនន្តនៃអនុគមន៍ស្វ័យគុណងាយ

ឧទាហរណ៍ ១ : គេឱ្យអនុគមន៍ \(\displaystyle y = x^2\) និងតារាងតម្លៃលេខ

តាមតារាងតម្លៃលេខខាងលើ បើ \(\displaystyle x\) យកតម្លៃវិជ្ជមានកាន់តែធំទៅៗគ្មានទីបញ្ចប់ នោះអនុគមន៍ \(\displaystyle y = x^2\) មានតម្លៃវិជ្ជមានកាន់តែធំទៅៗគ្មានទីបញ្ចប់ដែរ ។

គេថាអនុគមន៍ \(\displaystyle y = x^2\) មានលីមីត \(\displaystyle +\infty\) កាលណា \(\displaystyle x\) ខិតជិត \(\displaystyle +\infty\) ហើយគេកំណត់សរសេរ

តាមតារាងតម្លៃលេខខាងលើ បើ \(\displaystyle x\) យកតម្លៃអវិជ្ជមាន កាន់តែតូចទៅៗគ្មានទីបញ្ចប់ នោះអនុគមន៍ \(\displaystyle y = x^2\) មានតម្លៃវិជ្ជមានកាន់តែធំទៅៗគ្មានទីបញ្ចប់ដែរ ។ គេថាអនុគមន៍ \(\displaystyle y = x^2\) មានលីមីត \(\displaystyle +\infty\) កាលណា \(\displaystyle x\) ខិតជិត \(\displaystyle -\infty\) ហើយគេកំណត់សរសេរ \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} x^2 = +\infty\) ។

ឧទាហរណ៍ ២ : គេឱ្យអនុគមន៍ \(\displaystyle y = \frac{1}{x}\) និងតារាងតម្លៃលេខទី ១ និងទី ២ ដូចខាងក្រោម៖

តាមតារាងតម្លៃលេខទី ១ ខាងលើ បើ \(\displaystyle x\) យកតម្លៃវិជ្ជមានកាន់តែធំទៅៗគ្មានទីបញ្ចប់ នោះអនុគមន៍ \(\displaystyle y = \frac{1}{x}\) មានតម្លៃវិជ្ជមានកាន់តែតូចទៅៗជិតស្មើសូន្យ ។

គេថាអនុគមន៍ \(\displaystyle y = \frac{1}{x}\) មានលីមីតសូន្យ កាលណា \(\displaystyle x\) ខិតជិត \(\displaystyle +\infty\) ហើយគេកំណត់សរសេរ

តាមតារាងតម្លៃលេខទី ២ ខាងលើ បើ \(\displaystyle x\) យកតម្លៃអវិជ្ជមានកាន់តែតូចទៅៗគ្មានទីបញ្ចប់ នោះអនុគមន៍ \(\displaystyle y = \frac{1}{x}\) មានតម្លៃដាច់ខាតកាន់តែតូចទៅៗជិតស្មើសូន្យ ។

គេថាអនុគមន៍ \(\displaystyle y = \frac{1}{x}\) មានលីមីតសូន្យ កាលណា \(\displaystyle x\) ខិតជិត \(\displaystyle -\infty\) ហើយគេកំណត់សរសេរ

1.4.2. លីមីតមានរាងមិនកំណត់ \(\displaystyle \infty - \infty\)

ឧទាហរណ៍ : គណនា \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x^2 - x + 1)\) ។

បើ \(\displaystyle x \to +\infty\) នោះ \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x^2 - x + 1)\) មានរាងមិនកំណត់ \(\displaystyle \infty - \infty\) ព្រោះ \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty\), \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (-x + 1) = -\infty\) ។

• ជំហានទី ១ : ដាក់តួដែលមានដឺក្រេធំជាងគេជាកត្តារួម \(\displaystyle x^2 - x + 1 = x^2\left(1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)\)

• ជំហានទី ២ : រកលីមីតនៃកន្សោមថ្មី

  \[\lim_{x \to +\infty} (x^2 - x + 1) = \lim_{x \to +\infty} \left[x^2\left(1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)\right] = \lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty\]

  ព្រោះ \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0\), \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^2} = 0\) ។

1.4.3. លីមីតមានរាងមិនកំណត់ \(\displaystyle \frac{\infty}{\infty}\)

ឧទាហរណ៍ : គណនា \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 1}{x - 2}\) និង \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{2x + 1}{x - 2}\) ។

បើ \(\displaystyle x\) ខិតជិត \(\displaystyle +\infty\) នោះ \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 1}{x - 2}\) មានរាងមិនកំណត់ \(\displaystyle \frac{\infty}{\infty}\) ។

• ជំហានទី ១ : ដាក់តួដែលមានដឺក្រេធំជាងគេនៃភាគយក និងភាគបែងជាកត្តារួម ហើយសម្រួលកត្តារួមចោល

  \[\frac{2x + 1}{x - 2} = \frac{x\left(2 + \frac{1}{x}\right)}{x\left(1 - \frac{2}{x}\right)} = \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}}, \quad x \ne 0 \text{ ។}\]

• ជំហានទី ២ : រកលីមីតនៃប្រភាគថ្មី

  \[\lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 1}{x - 2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}} = \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2\]

  តាមរបៀបដូចគ្នា គេបាន \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{2x + 1}{x - 2} = 2\) ។

2. ដេរីវេ

2.1. អត្រាបម្រែបម្រួលមធ្យម

ឧទាហរណ៍ : ក្នុងទម្លាក់សេរីនៃវត្ថុមួយ គេបានចម្ងាយចរ \(\displaystyle S(t) = 4.9t^2\text{ ម៉ែត្រ}\) បន្ទាប់ពី \(\displaystyle t\) វិនាទីក្រោយមក។ ល្បឿនមធ្យមនៃទម្លាក់នោះ ក្នុងចន្លោះខណៈ \(\displaystyle t_1 = 1\text{s}\) និង \(\displaystyle t_2 = 3\text{s}\) កំណត់ដោយផលធៀប \(\displaystyle \frac{\Delta S}{\Delta t}\) ដូចខាងក្រោម៖

ល្បឿនមធ្យម \(\displaystyle \frac{\Delta S}{\Delta t}\) ហៅថាអត្រាបម្រែបម្រួលមធ្យមនៃចម្ងាយចរ \(\displaystyle S(t)\) ពីខណៈ \(\displaystyle t_1\) ទៅខណៈ \(\displaystyle t_2\) ។

2.2. ដេរីវេត្រង់ចំណុចមួយ

ឧទាហរណ៍ : គេប៉ាន់ស្មានថាក្នុង \(\displaystyle x\) ឆ្នាំទៀតប្រជាជននៅក្នុងតំបន់មួយនឹងមានចំនួន \(\displaystyle P(x) = x^2 + 20x + 80000\text{ នាក់}\) ។

បើ \(\displaystyle x\) បម្រែបម្រួលពី \(\displaystyle x_1 = 1\text{ ឆ្នាំ}\) ទៅ \(\displaystyle x_2 = a\text{ ឆ្នាំ}\) នោះគេបានអត្រាបម្រែបម្រួលមធ្យម

\(\displaystyle \frac{\Delta P}{\Delta x} = \frac{(a - 1)(a + 1) + 20(a - 1)}{a - 1} = a + 21\) ។

បើចន្លោះឆ្នាំ \(\displaystyle \Delta x\) កាន់តែតូច (\(\displaystyle \Delta x \to 0\)) នោះអត្រាបម្រែបម្រួលមធ្យម \(\displaystyle \frac{\Delta P}{\Delta x}\) ខិតជិតតម្លៃមួយដែលហៅថាអត្រាបម្រែបម្រួលខណៈ ហើយកំណត់ដោយ

អត្រាបម្រែបម្រួលខណៈ \(\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta P}{\Delta x} = 22\) ហៅថាដេរីវេនៃអនុគមន៍ \(\displaystyle P(x)\) ត្រង់ \(\displaystyle x = 1\) ហើយកំណត់សរសេរ \(\displaystyle P'(1) = 22\) ។

ដែល \(\displaystyle x = a + h\) ឬ \(\displaystyle h = x - a\) ។

2.3. ដេរីវេ

ឧទាហរណ៍ : គេឱ្យអនុគមន៍ \(\displaystyle f(x) = x^3\) ។

គេបាន

ដោយ \(\displaystyle f'(a) = 3a^2\) ចំពោះចំនួនពិត \(\displaystyle a\) ណាមួយ នោះគេអាចជំនួស \(\displaystyle a\) ដោយចំនួនពិត \(\displaystyle x\) ហើយកំណត់សរសេរ \(\displaystyle f'(x) = 3x^2\) ។

\(\displaystyle f'(x) = 3x^2\) ជាអនុគមន៍ថ្មីមួយទៀត ហើយហៅថាដេរីវេនៃអនុគមន៍ \(\displaystyle f(x) = x^3\) ។

និយមន័យ ៖ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ \(\displaystyle f(x)\) គឺជាអនុគមន៍ដែលកំណត់ដោយ

គេអាចប្រើនិមិត្តសញ្ញា \(\displaystyle y', \frac{dy}{dx}, \frac{d}{dx}f(x)\) សម្រាប់តាងដេរីវេនៃ \(\displaystyle y = f(x)\) ។

2.4. រូបមន្តដេរីវេ

2.4.1. ដេរីវេនៃអនុគមន៍ថេរ អនុគមន៍ស្វ័យគុណងាយ និងដេរីវេនៃផលគុណចំនួនថេរនឹងអនុគមន៍

• ចំពោះអនុគមន៍ថេរ \(\displaystyle f(x) = c\)
  គេបាន \(\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{c - c}{h} = \lim_{h \to 0} 0 = 0\)
  ដូច្នេះ បើ \(\displaystyle f(x) = c\) នោះ \(\displaystyle f'(x) = 0\) ។

• ចំពោះអនុគមន៍ស្វ័យគុណងាយ \(\displaystyle f(x) = x^n\) ដែល \(\displaystyle n \in \mathbb{N}\)
  គេបាន \(\displaystyle f(x + h) - f(x) = (x + h)^n - x^n\)
  តាង \(\displaystyle u = x + h\) ហើយ \(\displaystyle h = u - x\) បើ \(\displaystyle h \to 0\) នោះ \(\displaystyle u \to x\)
  គេបាន

  \[\begin{aligned} f(x + h) - f(x) &= u^n - x^n = (u - x)(u^{n-1} + u^{n-2}x + \dots + x^{n-1}) \\ &= h(u^{n-1} + u^{n-2}x + \dots + x^{n-1}) \\ f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{u \to x} (u^{n-1} + u^{n-2}x + \dots + x^{n-1}) \\ &= \underbrace{x^{n-1} + x^{n-1} + \dots + x^{n-1}}_{n \text{ តួ}} = nx^{n-1} \end{aligned}\]

  ដូច្នេះ បើ \(\displaystyle f(x) = x^n\) នោះ \(\displaystyle f'(x) = nx^{n-1}\) ។

• ចំពោះអនុគមន៍ផលគុណចំនួនថេរនឹងអនុគមន៍ \(\displaystyle y = kf(x), k \in \mathbb{R}\)
  គេបាន \(\displaystyle y' = \lim_{h \to 0} \frac{kf(x + h) - kf(x)}{h} = k \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = kf'(x)\)
  ដូច្នេះ បើ \(\displaystyle y = kf(x)\) នោះ \(\displaystyle y' = kf'(x)\) ។

2.4.2. ដេរីវេផលបូកនិងផលដកអនុគមន៍

• ចំពោះផលបូកនៃអនុគមន៍ \(\displaystyle y = f(x) + g(x)\)
  គេតាង \(\displaystyle F(x) = f(x) + g(x)\)
  គេបាន \(\displaystyle F(x + h) - F(x) = [f(x + h) + g(x + h)] - [f(x) + g(x)] = [f(x + h) - f(x)] + [g(x + h) - g(x)]\)
  \(\displaystyle y' = \lim_{h \to 0} \frac{F(x + h) - F(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h} = f'(x) + g'(x)\)
  ដូច្នេះ បើ \(\displaystyle y = f(x) + g(x)\) នោះ \(\displaystyle y' = f'(x) + g'(x)\) ។
• ចំពោះផលដកនៃអនុគមន៍ \(\displaystyle y = f(x) - g(x)\)
  គេបាន \(\displaystyle y = f(x) + (-1)g(x)\) នោះ \(\displaystyle y' = f'(x) + [(-1)g(x)]'\)
  \(\displaystyle y' = f'(x) + (-1)g'(x) = f'(x) - g'(x)\)
  ដូច្នេះ បើ \(\displaystyle y = f(x) - g(x)\) នោះ \(\displaystyle y' = f'(x) - g'(x)\) ។

2.4.3. ដេរីវេនៃផលគុណនិងផលចែកនៃអនុគមន៍

• ចំពោះផលគុណនៃអនុគមន៍ : \(\displaystyle y = f(x) \times g(x)\)
  គេតាង \(\displaystyle F(x) = f(x) \times g(x)\)
  គេបាន \(\displaystyle F(x + h) - F(x) = f(x + h) \times g(x + h) - f(x) \times g(x)\)
  \(\displaystyle = f(x + h) \times g(x + h) - g(x + h) \times f(x) + g(x + h) \times f(x) - f(x) \times g(x)\)
  \(\displaystyle = [f(x + h) - f(x)]g(x + h) + f(x)[g(x + h) - g(x)]\)
  \(\displaystyle y' = F'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{F(x + h) - F(x)}{h}\)
  \(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \times g(x + h) + \lim_{h \to 0} f(x) \times \frac{g(x + h) - g(x)}{h}\)
  \(\displaystyle = f'(x) \times g(x) + f(x) \times g'(x)\) ។
  ដូច្នេះ បើ \(\displaystyle y = f(x) \times g(x)\) នោះ \(\displaystyle y' = f'(x) \times g(x) + f(x) \times g'(x)\) ។

2.5. ដេរីវេទី 2

ឧទាហរណ៍ : អនុគមន៍ \(\displaystyle f(x) = 6x^3 - x^2 + 3x - 4\) មានដេរីវេ \(\displaystyle f'(x) = 18x^2 - 2x + 3\) ។
អនុគមន៍ \(\displaystyle f'(x)\) មានដេរីវេ \(\displaystyle [f'(x)]'\) ។ អនុគមន៍ \(\displaystyle [f'(x)]' = (18x^2 - 2x + 3)' = 36x - 2\) ហៅថាដេរីវេទី 2 នៃ \(\displaystyle f(x)\) ។ គេកំណត់សរសេរ \(\displaystyle f''(x) = 36x - 2\) ។

លំហាត់

1. គណនាលីមីតខាងក្រោម ៖

   1. ក. \(\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x}{x^2 + 1}\)
   2. ខ. \(\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\)
   3. គ. \(\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{x^2 - 1}{x + 1}\)
   4. ឃ. \(\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 27}{x - 3}\)
   5. ង. \(\displaystyle \lim_{x \to -4} \frac{x^3 + 64}{x + 4}\)
   6. ច. \(\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x^2} - \frac{1}{4}}{x - 2}\) ។
   មើលដំណោះស្រាយ

   \[\begin{aligned} \text{ក. } \lim_{x \to 3} \frac{x}{x^2 + 1} &= \frac{3}{3^2 + 1} = \frac{3}{10} && \text{(ជំនួស $x = 3$ ដោយផ្ទាល់)} \\ \text{ខ. } \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} &= \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4 && \text{(រាង $\frac{0}{0}$ សម្រួលកត្តា $(x - 2)$)} \\ \text{គ. } \lim_{x \to -1} \frac{x^2 - 1}{x + 1} &= \lim_{x \to -1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1} = \lim_{x \to -1} (x - 1) = -1 - 1 = -2 && \text{(សម្រួលកត្តា $(x + 1)$)} \\ \text{ឃ. } \lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 27}{x - 3} &= \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)}{x - 3} = 3^2 + 3(3) + 9 = 27 && \text{(ប្រើរូបមន្ត $a^3 - b^3$)} \\ \text{ង. } \lim_{x \to -4} \frac{x^3 + 64}{x + 4} &= \lim_{x \to -4} \frac{(x + 4)(x^2 - 4x + 16)}{x + 4} = (-4)^2 - 4(-4) + 16 = 48 && \text{(ប្រើរូបមន្ត $a^3 + b^3$)} \\ \text{ច. } \lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x^2} - \frac{1}{4}}{x - 2} &= \lim_{x \to 2} \frac{\frac{4 - x^2}{4x^2}}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{-(x - 2)(x + 2)}{4x^2(x - 2)} = \frac{-(2 + 2)}{4(2)^2} = -\frac{1}{4} && \text{(តម្រូវភាគបែងរួម $4x^2$)} \end{aligned}\]

   ដូចនេះ ចម្លើយលីមីតគឺ ៖ ក. \(\displaystyle \frac{3}{10}\), ខ. \(\displaystyle 4\), គ. \(\displaystyle -2\), ឃ. \(\displaystyle 27\), ង. \(\displaystyle 48\), ច. \(\displaystyle -\frac{1}{4}\) ។

2. គណនាលីមីតខាងក្រោម ៖

   1. ក. \(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 3x^2 + 3x - 1}{x^3 - x}\)
   2. ខ. \(\displaystyle \lim_{x \to 3} \left[\frac{3}{x - 3} - \frac{x}{x - 3}\right]\)
   3. គ. \(\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 - 2x - 3}\)
   4. ឃ. \(\displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2x^2 - x}{2x^2 - 3x + 1}\)
   5. ង. \(\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{x^6 + 3x + 2}{x^4 - 2x - 3}\)
   6. ច. \(\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{x^n - a^n}{x - a} \quad (n \ge 1, n \in \mathbb{N})\) ។
   មើលដំណោះស្រាយ

   \[\begin{aligned} \text{ក. } \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 3x^2 + 3x - 1}{x^3 - x} &= \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)^3}{x(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)^2}{x(x + 1)} = \frac{0}{2} = 0 && \text{(ព្រោះ $(x-1)^3 = x^3-3x^2+3x-1$)} \\ \text{ខ. } \lim_{x \to 3} \left[\frac{3}{x - 3} - \frac{x}{x - 3}\right] &= \lim_{x \to 3} \frac{3 - x}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (-1) = -1 && \text{(ផលដកប្រភាគមានភាគបែងដូចគ្នា)} \\ \text{គ. } \lim_{x \to -1} \frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 - 2x - 3} &= \lim_{x \to -1} \frac{(x + 1)(x + 2)}{(x + 1)(x - 3)} = \lim_{x \to -1} \frac{x + 2}{x - 3} = \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4} && \text{(ដាក់ជាផលគុណកត្តាសម្រួល $(x+1)$)} \\ \text{ឃ. } \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2x^2 - x}{2x^2 - 3x + 1} &= \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x(2x - 1)}{(2x - 1)(x - 1)} = \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x}{x - 1} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} - 1} = -1 && \text{(សម្រួលកត្តា $(2x-1)$)} \\ \text{ង. } \lim_{x \to -1} \frac{x^6 + 3x + 2}{x^4 - 2x - 3} &= \lim_{x \to -1} \frac{(x + 1)(x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x + 2)}{(x + 1)(x^3 - x^2 + x - 3)} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2} && \text{(ចែកពហុធានឹង $(x+1)$)} \\ \text{ច. } \lim_{x \to a} \frac{x^n - a^n}{x - a} &= \lim_{x \to a} (x^{n-1} + x^{n-2}a + \dots + a^{n-1}) = n a^{n-1} && \text{(និយមន័យដេរីវេនៃ $x^n$ ត្រង់ $a$)} \end{aligned}\]

   ដូចនេះ ចម្លើយលីមីតគឺ ៖ ក. \(\displaystyle 0\), ខ. \(\displaystyle -1\), គ. \(\displaystyle -\frac{1}{4}\), ឃ. \(\displaystyle -1\), ង. \(\displaystyle \frac{1}{2}\), ច. \(\displaystyle n a^{n-1}\) ។

3. 1. ក. គេឱ្យ \(\displaystyle f(x) = x^2\) ។ ចូររក \(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}\) ។
   2. ខ. \(\displaystyle f\) ជាអនុគមន៍កំណត់ដោយ \(\displaystyle f(x) = 3x^2 + x\) ។ រក \(\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2}\) ។
   3. គ. \(\displaystyle f(x) = \begin{cases} 2x^2 + 3x & \text{បើ } x \ne 1 \\ 5 & \text{បើ } x = 1 \end{cases}\) ។ រក \(\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)\) និង \(\displaystyle f(1)\) ។
   មើលដំណោះស្រាយ

   \[\begin{aligned} \text{ក. } f(1) = 1^2 = 1 \Rightarrow \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} &= \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2 \\ \text{ខ. } f(2) = 3(2)^2 + 2 = 14 \Rightarrow \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} &= \lim_{x \to 2} \frac{3x^2 + x - 14}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(3x + 7)}{x - 2} = 3(2) + 7 = 13 \\ \text{គ. } \lim_{x \to 1} f(x) &= \lim_{x \to 1} (2x^2 + 3x) = 2(1)^2 + 3(1) = 5 \\ \text{និង } f(1) &= 5 \end{aligned}\]

   ដូចនេះ ៖ ក. លីមីតស្មើ \(\displaystyle 2\)   ខ. លីមីតស្មើ \(\displaystyle 13\)   គ. \(\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = 5\) និង \(\displaystyle f(1) = 5\) (អនុគមន៍ \(\displaystyle f\) ជាប់ត្រង់ \(\displaystyle x = 1\)) ។

4. 1. ក. រកចំនួនពិត \(\displaystyle a\) និង \(\displaystyle b\) ដើម្បីឱ្យ \(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x - 1} = 5\) ។
   2. ខ. រកចំនួនពិត \(\displaystyle p\) និង \(\displaystyle q\) ដើម្បីឱ្យ \(\displaystyle \lim_{x \to -2} \frac{x^2 + px - 6}{2x^2 + 3x - 2} = q\) ។
   3. គ. រកចំនួនពិត \(\displaystyle m\) និង \(\displaystyle n\) ដើម្បីឱ្យ \(\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + mx + 8}{x^2 - (n + 2)x + 2n} = \frac{1}{5}\) ។
   មើលដំណោះស្រាយ

   \[\begin{aligned} \text{ក. } &\text{ដោយភាគបែងខិតជិត $0$ ត្រង់ $x = 1$ នោះភាគយកត្រូវតែស្មើ $0$ ត្រង់ $x = 1$ ៖} \\ &1^2 + a(1) + b = 0 \iff 1 + a + b = 0 \iff b = -a - 1 \\ &\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax - a - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1 + a)}{x - 1} = 2 + a = 5 \Rightarrow a = 3 \\ &\Rightarrow b = -3 - 1 = -4 \\ \text{ខ. } &\text{ភាគបែងស្មើ $0$ ត្រង់ $x = -2$ ព្រោះ $2(-2)^2 + 3(-2) - 2 = 0$ ៖} \\ &(-2)^2 + p(-2) - 6 = 0 \iff 4 - 2p - 6 = 0 \iff p = -1 \\ &q = \lim_{x \to -2} \frac{(x + 2)(x - 3)}{(x + 2)(2x - 1)} = \lim_{x \to -2} \frac{x - 3}{2x - 1} = \frac{-5}{-5} = 1 \Rightarrow q = 1 \\ \text{គ. } &\text{ភាគបែង $(x - 2)(x - n)$ ស្មើ $0$ ត្រង់ $x = 2$ ៖} \\ &2^2 + 2m + 8 = 0 \iff 2m = -12 \iff m = -6 \\ &\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x - 4)}{(x - 2)(x - n)} = \lim_{x \to 2} \frac{x - 4}{x - n} = \frac{-2}{2 - n} = \frac{1}{5} \iff 2 - n = -10 \iff n = 12 \end{aligned}\]

   ដូចនេះ ៖ ក. \(\displaystyle a = 3, b = -4\)   ខ. \(\displaystyle p = -1, q = 1\)   គ. \(\displaystyle m = -6, n = 12\) ។

5. 1. ក. អនុគមន៍ \(\displaystyle f(x) = \begin{cases} 3x - 1 & \text{បើ } x < 1 \\ 2x & \text{បើ } x \ge 1 \end{cases}\) ។ រក \(\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x)\), \(\displaystyle \lim_{x \to 1^+} f(x)\) និង \(\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)\) ។
   2. ខ. អនុគមន៍ \(\displaystyle g(x) = \begin{cases} x^2 & \text{បើ } x \le 0 \\ 2x & \text{បើ } x > 0 \end{cases}\) ។ រក \(\displaystyle \lim_{x \to 0^-} g(x)\), \(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} g(x)\) និង \(\displaystyle \lim_{x \to 0} g(x)\) ។
   មើលដំណោះស្រាយ

   \[\begin{aligned} \text{ក. } \lim_{x \to 1^-} f(x) &= \lim_{x \to 1^-} (3x - 1) = 3(1) - 1 = 2 \\ \lim_{x \to 1^+} f(x) &= \lim_{x \to 1^+} (2x) = 2(1) = 2 \\ \text{ដោយ } \lim_{x \to 1^-} f(x) &= \lim_{x \to 1^+} f(x) = 2 \Rightarrow \lim_{x \to 1} f(x) = 2 \\ \text{ខ. } \lim_{x \to 0^-} g(x) &= \lim_{x \to 0^-} (x^2) = 0^2 = 0 \\ \lim_{x \to 0^+} g(x) &= \lim_{x \to 0^+} (2x) = 2(0) = 0 \\ \text{ដោយ } \lim_{x \to 0^-} g(x) &= \lim_{x \to 0^+} g(x) = 0 \Rightarrow \lim_{x \to 0} g(x) = 0 \end{aligned}\]

   ដូចនេះ ៖ ក. \(\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) = 2, \lim_{x \to 1^+} f(x) = 2, \lim_{x \to 1} f(x) = 2\)   ខ. \(\displaystyle \lim_{x \to 0^-} g(x) = 0, \lim_{x \to 0^+} g(x) = 0, \lim_{x \to 0} g(x) = 0\) ។

6. គណនាលីមីតខាងក្រោម ៖

   1. ក. \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x^2 - 3x + 1)\)
   2. ខ. \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (1 + 3x^2 + x^3)\)
   3. គ. \(\displaystyle \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x - 2}{2x + 3}\)
   4. ឃ. \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{4 - x}{x + 2}\)
   5. ង. \(\displaystyle \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-2}{3x + 4}\)
   6. ច. \(\displaystyle \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}\)
   7. ឆ. \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{2 - x^2}{1 - x}\)
   8. ជ. \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{-x^2 + x + 1}{2x + 1}\)
   9. ឈ. \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x - 3}{x^2 + 1}\)
   10. ញ. \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{1 - 2x}{x^2 + x + 1}\) ។
   មើលដំណោះស្រាយ

   \[\begin{aligned} \text{ក. } \lim_{x \to +\infty} (x^2 - 3x + 1) &= \lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty && \text{(យកតួដឺក្រេខ្ពស់បំផុត $x^2$)} \\ \text{ខ. } \lim_{x \to -\infty} (1 + 3x^2 + x^3) &= \lim_{x \to -\infty} x^3 = (-\infty)^3 = -\infty && \text{(យកតួដឺក្រេខ្ពស់បំផុត $x^3$)} \\ \text{គ. } \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x - 2}{2x + 3} &= \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2} && \text{(ផលធៀបមេគុណតួដឺក្រេទី ១)} \\ \text{ឃ. } \lim_{x \to -\infty} \frac{4 - x}{x + 2} &= \lim_{x \to -\infty} \frac{-x}{x} = -1 \\ \text{ង. } \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-2}{3x + 4} &= 0 && \text{(ភាគបែងខិតជិត $\pm\infty$)} \\ \text{ច. } \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} &= \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x^2} = 1 \\ \text{ឆ. } \lim_{x \to -\infty} \frac{2 - x^2}{1 - x} &= \lim_{x \to -\infty} \frac{-x^2}{-x} = \lim_{x \to -\infty} x = -\infty \\ \text{ជ. } \lim_{x \to +\infty} \frac{-x^2 + x + 1}{2x + 1} &= \lim_{x \to +\infty} \frac{-x^2}{2x} = \lim_{x \to +\infty} \left(-\frac{x}{2}\right) = -\infty \\ \text{ឈ. } \lim_{x \to +\infty} \frac{x - 3}{x^2 + 1} &= \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 \\ \text{ញ. } \lim_{x \to -\infty} \frac{1 - 2x}{x^2 + x + 1} &= \lim_{x \to -\infty} \frac{-2x}{x^2} = \lim_{x \to -\infty} \left(-\frac{2}{x}\right) = 0 \end{aligned}\]

7. គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម ៖

   1. ក. \(\displaystyle y = (2x + 1)(4x - 3)\)
   2. ខ. \(\displaystyle y = (3x^2 - 1)(4x + 1)\)
   3. គ. \(\displaystyle f(x) = \frac{x}{x - 4}\)
   4. ឃ. \(\displaystyle f(t) = (t^2 - 3)(-t^2 + t + 1)\)
   5. ង. \(\displaystyle f(x) = \frac{3x + 4}{2x - 1}\)
   6. ច. \(\displaystyle f(x) = \frac{(1 - x)(x^2 + 2)}{x^2 - 3}\) ។
   មើលដំណោះស្រាយ

   \[\begin{aligned} \text{ក. } y &= 8x^2 - 2x - 3 \Rightarrow y' = 16x - 2 \\ \text{ខ. } y &= 12x^3 + 3x^2 - 4x - 1 \Rightarrow y' = 36x^2 + 6x - 4 \\ \text{គ. } f'(x) &= \frac{(x)'(x - 4) - x(x - 4)'}{(x - 4)^2} = \frac{(x - 4) - x}{(x - 4)^2} = \frac{-4}{(x - 4)^2} \\ \text{ឃ. } f(t) &= -t^4 + t^3 + 4t^2 - 3t - 3 \Rightarrow f'(t) = -4t^3 + 3t^2 + 8t - 3 \\ \text{ង. } f'(x) &= \frac{3(2x - 1) - 2(3x + 4)}{(2x - 1)^2} = \frac{6x - 3 - 6x - 8}{(2x - 1)^2} = \frac{-11}{(2x - 1)^2} \\ \text{ច. } f(x) &= \frac{-x^3 + x^2 - 2x + 2}{x^2 - 3} \Rightarrow f'(x) = \frac{(-3x^2 + 2x - 2)(x^2 - 3) - 2x(-x^3 + x^2 - 2x + 2)}{(x^2 - 3)^2} \\ &= \frac{-x^4 + 11x^2 - 10x + 6}{(x^2 - 3)^2} \end{aligned}\]
8. 1. ក. គេឱ្យអនុគមន៍ \(\displaystyle f(x) = 10 + \frac{40}{x}\) ។
      រកអត្រាបម្រែបម្រួលមធ្យមនៃ \(\displaystyle f\) កាលណា \(\displaystyle x\) ប្រែប្រួលពី \(\displaystyle 1\) ទៅ \(\displaystyle 10\) ។
   2. ខ. តម្លៃ \(\displaystyle v\) នៃរថយន្តមួយ បន្ទាប់ពី \(\displaystyle t\) ឆ្នាំក្រោយមកកំណត់ដោយ \(\displaystyle v(t) = \frac{10000}{t} + 6000\) ។
      ដោយ \(\displaystyle v(t) = \frac{10000}{t} + 6000\) ។ រកអត្រាបម្រែបម្រួលមធ្យមនៃតម្លៃរថយន្ត កាលណា \(\displaystyle t\) ប្រែប្រួលពី \(\displaystyle 2\text{ ឆ្នាំ}\) ទៅ \(\displaystyle 5\text{ ឆ្នាំ}\) ។
   មើលដំណោះស្រាយ

   \[\begin{aligned} \text{ក. } f(1) &= 10 + \frac{40}{1} = 50, \quad f(10) = 10 + \frac{40}{10} = 14 \\ \frac{\Delta f}{\Delta x} &= \frac{f(10) - f(1)}{10 - 1} = \frac{14 - 50}{9} = \frac{-36}{9} = -4 \\ \text{ខ. } v(2) &= \frac{10000}{2} + 6000 = 11000, \quad v(5) = \frac{10000}{5} + 6000 = 8000 \\ \frac{\Delta v}{\Delta t} &= \frac{v(5) - v(2)}{5 - 2} = \frac{8000 - 11000}{3} = \frac{-3000}{3} = -1000\text{ (ដុល្លារ/ឆ្នាំ)} \end{aligned}\]

   ដូចនេះ ៖ ក. អត្រាបម្រែបម្រួលមធ្យមគឺ \(\displaystyle -4\)   ខ. អត្រាបម្រែបម្រួលមធ្យមគឺ \(\displaystyle -1000\text{ ដុល្លារក្នុងមួយឆ្នាំ}\) ។

9. អនុគមន៍ \(\displaystyle f\) កំណត់ដោយ \(\displaystyle f(x) = -4x^3 + x^2 + 14x - 1\) ។

   1. ក. រកតម្លៃ \(\displaystyle x\) ដើម្បីឱ្យ \(\displaystyle f'(x) = 0\) ហើយសិក្សាសញ្ញានៃ \(\displaystyle f'(x)\) ។
   2. ខ. រកតម្លៃ \(\displaystyle x\) ដើម្បីឱ្យ \(\displaystyle f''(x) = 0\) ហើយសិក្សាសញ្ញានៃ \(\displaystyle f''(x)\) ។
   មើលដំណោះស្រាយ

   \[\begin{aligned} \text{ក. } f'(x) &= -12x^2 + 2x + 14 = -2(6x^2 - x - 7) = -2(x + 1)(6x - 7) \\ f'(x) = 0 &\iff x = -1 \text{ ឬ } x = \frac{7}{6} \\ &\text{សញ្ញានៃ $f'(x)$ ៖} \\ &\bullet \text{ ចំពោះ } x \in (-\infty, -1) \cup \left(\frac{7}{6}, +\infty\right) ៖ f'(x) < 0 \\ &\bullet \text{ ចំពោះ } x \in \left(-1, \frac{7}{6}\right) ៖ f'(x) > 0 \\ &\bullet \text{ ត្រង់ } x = -1 \text{ និង } x = \frac{7}{6} ៖ f'(x) = 0 \\ \text{ខ. } f''(x) &= -24x + 2 \\ f''(x) = 0 &\iff -24x + 2 = 0 \iff x = \frac{1}{12} \\ &\text{សញ្ញានៃ $f''(x)$ ៖} \\ &\bullet \text{ ចំពោះ } x < \frac{1}{12} ៖ f''(x) > 0 \\ &\bullet \text{ ចំពោះ } x > \frac{1}{12} ៖ f''(x) < 0 \\ &\bullet \text{ ត្រង់ } x = \frac{1}{12} ៖ f''(x) = 0 \end{aligned}\]

   ដូចនេះ ៖ ក. \(\displaystyle x = -1\) ឬ \(\displaystyle x = \frac{7}{6}\)   ខ. \(\displaystyle x = \frac{1}{12}\) ។

10. អនុគមន៍ប៊ីការេ \(\displaystyle g(x) = 3x^4 - 2x^2 + 4\) ។

    1. ក. រកដេរីវេទី 1 និងទី 2 នៃអនុគមន៍ \(\displaystyle g\) ។
    2. ខ. សិក្សាសញ្ញានៃដេរីវេទី 1 និងសញ្ញានៃដេរីវេទី 2 ។
    មើលដំណោះស្រាយ

    \[\begin{aligned} \text{ក. } g'(x) &= 12x^3 - 4x = 4x(3x^2 - 1) \\ g''(x) &= 36x^2 - 4 = 4(9x^2 - 1) = 4(3x - 1)(3x + 1) \\ \text{ខ. } g'(x) = 0 &\iff x = 0 \text{ ឬ } x = \pm\frac{\sqrt{3}}{3} \\ &\bullet \text{ លើ } \left(-\infty, -\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \cup \left(0, \frac{\sqrt{3}}{3}\right) ៖ g'(x) < 0 \\ &\bullet \text{ លើ } \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}, 0\right) \cup \left(\frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty\right) ៖ g'(x) > 0 \\ g''(x) = 0 &\iff x = \pm\frac{1}{3} \\ &\bullet \text{ លើ } \left(-\infty, -\frac{1}{3}\right) \cup \left(\frac{1}{3}, +\infty\right) ៖ g''(x) > 0 \\ &\bullet \text{ លើ } \left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right) ៖ g''(x) < 0 \end{aligned}\]

11. គណនាលីមីតខាងក្រោម៖

    1. ក. \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{4x - 1}{\sqrt{x^2 + 2}}\)
    2. ខ. \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{7x - 4}{\sqrt{x^3 + 5}}\)
    3. គ. \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^3 + 2}{\sqrt[3]{x^3 - 2}}\)
    4. ឃ. \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 5}}{3x^2 - 2}\) ។
    មើលដំណោះស្រាយ

    \[\begin{aligned} \text{ក. } &\text{កាលណា $x \to -\infty$ គេបាន $\sqrt{x^2} = |x| = -x$ ៖} \\ &\lim_{x \to -\infty} \frac{4x - 1}{\sqrt{x^2 + 2}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x(4 - \frac{1}{x})}{-x\sqrt{1 + \frac{2}{x^2}}} = \frac{4 - 0}{-\sqrt{1 + 0}} = -4 \\ \text{ខ. } &\lim_{x \to +\infty} \frac{7x - 4}{\sqrt{x^3 + 5}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{7x}{x^{3/2}\sqrt{1 + \frac{5}{x^3}}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{7}{\sqrt{x}} = 0 \\ \text{គ. } &\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^3 + 2}{\sqrt[3]{x^3 - 2}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^3}{x\sqrt[3]{1 - \frac{2}{x^3}}} = \lim_{x \to +\infty} 3x^2 = +\infty \\ \text{ឃ. } &\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 5}}{3x^2 - 2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x\sqrt{1 + \frac{5}{x^2}}}{3x^2 - 2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{3x} = 0 \end{aligned}\]

    ដូចនេះ ៖ ក. \(\displaystyle -4\)   ខ. \(\displaystyle 0\)   គ. \(\displaystyle +\infty\)   ឃ. \(\displaystyle 0\) ។

12. គណនា \(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x}\), \(\displaystyle \lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x}\), \(\displaystyle \lim_{x \to 4^+} \frac{3}{x - 4}\) និង \(\displaystyle \lim_{x \to 4^-} \frac{3}{x - 4}\) ។

    មើលដំណោះស្រាយ

    \[\begin{aligned} \bullet \lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} &= \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1 && \text{(ចំពោះ $x > 0$, $|x| = x$)} \\ \bullet \lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} &= \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1 && \text{(ចំពោះ $x < 0$, $|x| = -x$)} \\ \bullet \lim_{x \to 4^+} \frac{3}{x - 4} &= +\infty && \text{(កាលណា $x \to 4^+$, $x - 4 \to 0^+$ និង $3 > 0$)} \\ \bullet \lim_{x \to 4^-} \frac{3}{x - 4} &= -\infty && \text{(កាលណា $x \to 4^-$, $x - 4 \to 0^-$ និង $3 > 0$)} \end{aligned}\]

    ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} = 1\), \(\displaystyle \lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = -1\), \(\displaystyle \lim_{x \to 4^+} \frac{3}{x - 4} = +\infty\), \(\displaystyle \lim_{x \to 4^-} \frac{3}{x - 4} = -\infty\) ។

13. គណនា \(\displaystyle \lim_{x \to 3^+} \frac{1}{x^2 - 7x + 12}\) និង \(\displaystyle \lim_{x \to 3^-} \frac{1}{x^2 - 7x + 12}\) ។

    មើលដំណោះស្រាយ

    ដាក់ភាគបែងជាផលគុណកត្តា ៖ \(\displaystyle x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)\)

    \[\begin{aligned} \bullet \lim_{x \to 3^+} \frac{1}{(x - 3)(x - 4)} &= -\infty && \text{(កាលណា $x \to 3^+$ ៖ $x - 3 \to 0^+$ និង $x - 4 \to -1 < 0$)} \\ \bullet \lim_{x \to 3^-} \frac{1}{(x - 3)(x - 4)} &= +\infty && \text{(កាលណា $x \to 3^-$ ៖ $x - 3 \to 0^-$ និង $x - 4 \to -1 < 0$)} \end{aligned}\]

    ដូចនេះ ៖ \(\displaystyle \lim_{x \to 3^+} \frac{1}{x^2 - 7x + 12} = -\infty\) និង \(\displaystyle \lim_{x \to 3^-} \frac{1}{x^2 - 7x + 12} = +\infty\) ។

14. រក \(\displaystyle \lim_{x \to 2^+} f(x)\) និង \(\displaystyle \lim_{x \to 2^-} f(x)\) សម្រាប់អនុគមន៍ \(\displaystyle f\) ដែលតាងដោយរូបខាងក្រោម៖

    
    មើលដំណោះស្រាយ

    ពិនិត្យមើលក្រាបនៃអនុគមន៍ \(\displaystyle f\) ៖

    \[\begin{aligned} \lim_{x \to 2^-} f(x) &= 3 && \text{(កាលណា $x$ ខិតជិត $2$ ពីឆ្វេង ខ្សែកោងខិតជិតចំណុចខ្មៅពេញ $(2, 3)$)} \\ \lim_{x \to 2^+} f(x) &= 1 && \text{(កាលណា $x$ ខិតជិត $2$ ពីស្តាំ ខ្សែកោងខិតជិតចំណុចរង្វង់ប្រហោង $(2, 1)$)} \end{aligned}\]

    ដោយលីមីតខាងឆ្វេង និងលីមីតខាងស្តាំមិនស្មើគ្នា (\(\displaystyle \lim_{x \to 2^-} f(x) \ne \lim_{x \to 2^+} f(x)\)) នោះអនុគមន៍គ្មានលីមីតត្រង់ \(\displaystyle x = 2\) ឡើយ ។
    ដូចនេះ \(\displaystyle \lim_{x \to 2^-} f(x) = 3\) និង \(\displaystyle \lim_{x \to 2^+} f(x) = 1\) ។

ខ្លឹមសារ៖ សៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី១១ របស់ក្រសួងអប់រំ យុវជន និងកីឡា · វាយអត្ថបទ គូររូបភាពឡើងវិញ និងរៀបចំលើអនឡាញដោយលោកគ្រូ សាន សុខលី សម្រាប់ការសិក្សាដោយឥតគិតថ្លៃ និងមិនរកប្រាក់ចំណេញ។ មិនមែនជាការបោះពុម្ពផ្លូវការរបស់ក្រសួងទេ។