KhmerMathគណិតវិទ្យាខ្មែរ
ធ្វើតេស្ត CBA
  1. ទំព័រដើម
  2. ថ្នាក់ទី ១១
  3. មេរៀន
  4. ជំពូកទី ៨ · មេរៀនទី ២
២
ជំពូកទី ៨ : ធរណីមាត្រក្នុងលំហ · មេរៀនទី ២

ធរណីមាត្រក្នុងលំហ

introboxវត្ថុបំណងនៃមេរៀន

  • កំណត់ និងប្រើប្រាស់លក្ខណៈបន្ទាត់ស្របគ្នាក្នុងលំហ ដើម្បីដោះស្រាយលំហាត់ និងបញ្ជាក់ភាពស្របគ្នា។
  • កំណត់ និងប្រើប្រាស់លក្ខណៈបន្ទាត់ស្របនឹងប្លង់ ព្រមទាំងលក្ខណៈប្លង់ស្របគ្នា។
  • អនុវត្តទ្រឹស្តីបទតាលែសក្នុងលំហ លើប្លង់ស្របគ្នាកាត់ដោយខ្នាត់ពីរ។

A. បន្ទាត់ស្របគ្នាក្នុងលំហ

និយមន័យ ៖ បន្ទាត់ស្របគ្នាក្នុងលំហ បន្ទាត់ពីរស្របគ្នា គឺជាបន្ទាត់ពីរដែលស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយ ហើយគ្មានចំណុចរួម ៖

\[d_1 \parallel d_2 \quad \Longleftrightarrow \quad \begin{cases} d_1 \subset (P), \ d_2 \subset (P) \\ d_1 \cap d_2 = \emptyset \end{cases}\]

លក្ខណៈនៃបន្ទាត់ស្របគ្នា

លក្ខណៈទី ១ ៖ ស្វ័យសត្យបន្ទាត់ស្រប (Playfair) តាមចំណុចមួយ \(\displaystyle A\) ស្ថិតនៅក្រៅបន្ទាត់ \(\displaystyle d\) គេអាចគូសបន្ទាត់បានតែមួយគត់កាត់តាម \(\displaystyle A\) ហើយស្របទៅនឹងបន្ទាត់ \(\displaystyle d\) នោះ។

លក្ខណៈទី ២ ៖ ភាពឆ្លងនៃភាពស្របគ្នា បើបន្ទាត់ពីរស្របគ្នា ហើយបន្ទាត់ទី ២ ស្របនឹងបន្ទាត់ទី ៣ នោះបន្ទាត់ទី ១ និងទី ៣ ស្របគ្នា ៖

\[\begin{cases} d_1 \parallel d_2 \\ d_2 \parallel d_3 \end{cases} \implies d_1 \parallel d_3\]

លក្ខណៈទី ៣ ៖ ប្លង់កាត់បន្ទាត់ស្រប បើបន្ទាត់ពីរស្របគ្នា គ្រប់ប្លង់ដែលកាត់បន្ទាត់ទី ១ ត្រូវតែកាត់បន្ទាត់ទី ២ ផងដែរ ៖

\[\begin{cases} d \parallel d' \\ (P) \cap d = \{A\} \end{cases} \implies \exists B : (P) \cap d' = \{B\}\]

ការអនុវត្តលក្ខណៈបន្ទាត់ស្របគ្នា គេឱ្យចតុមុខ \(\displaystyle ABCD\) ។ តាង \(\displaystyle I, J, K, L\) ជាចំណុចកណ្តាលរៀងគ្នានៃទ្រនុង \(\displaystyle AB, BC, CD\) និង \(\displaystyle DA\) ។ បង្ហាញថា \(\displaystyle IJKL\) ជាប្រលេឡូក្រាម។

១. គិត ៖ ពិនិត្យត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) និង \(\displaystyle ACD\) ដែលមានជ្រុងរួម \(\displaystyle AC\) ហើយមានចំណុចកណ្តាលនៃជ្រុងសងខាង។

២. ជ្រើសវិធី ៖ ប្រើទ្រឹស្តីបទបាតមធ្យមក្នុងត្រីកោណ ដើម្បីទាញរក \(\displaystyle IJ \parallel AC\) និង \(\displaystyle LK \parallel AC\) រួចប្រើលក្ខណៈទី ២ នៃបន្ទាត់ស្រប។

៣. ធ្វើ ៖
ក្នុង \(\displaystyle \Delta ABC\) មាន \(\displaystyle I\) ជាចំណុចកណ្តាល \(\displaystyle AB\) និង \(\displaystyle J\) ជាចំណុចកណ្តាល \(\displaystyle BC\) នាំឱ្យ \(\displaystyle IJ\) ជាបាតមធ្យម ៖

\[IJ \parallel AC \quad \text{និង} \quad IJ = \frac{1}{2}AC\]

ក្នុង \(\displaystyle \Delta ACD\) មាន \(\displaystyle L\) ជាចំណុចកណ្តាល \(\displaystyle AD\) និង \(\displaystyle K\) ជាចំណុចកណ្តាល \(\displaystyle CD\) នាំឱ្យ \(\displaystyle LK\) ជាបាតមធ្យម ៖

\[LK \parallel AC \quad \text{និង} \quad LK = \frac{1}{2}AC\]

តាមលក្ខណៈឆ្លងនៃភាពស្របគ្នា គេបាន \(\displaystyle IJ \parallel LK\) និង \(\displaystyle IJ = LK = \frac{1}{2}AC\)។
ដូចគ្នាដែរ ក្នុង \(\displaystyle \Delta ABD\) និង \(\displaystyle \Delta BCD\) គេបាន \(\displaystyle IL \parallel JK\) និង \(\displaystyle IL = JK = \frac{1}{2}BD\)។
ដូច្នេះ ចតុកោណ \(\displaystyle IJKL\) មានជ្រុងឈមស្របគ្នានិងប៉ុនគ្នា រៀងៗខ្លួន ជាប្រលេឡូក្រាម។

៤. ពិនិត្យ ៖ គ្រប់ចតុមុខក្នុងលំហ ចំណុចកណ្តាលនៃទ្រនុងទាំងបួនបង្កើតបានជាប្រលេឡូក្រាម (ទ្រឹស្តីបទ Varignon ក្នុងលំហ)។

គេឱ្យបន្ទាត់ \(\displaystyle a \parallel b\) ដោយ \(\displaystyle a \subset (P)\) និង \(\displaystyle b \subset (Q)\) ហើយប្លង់ទាំងពីរប្រសព្វគ្នាតាមបន្ទាត់ \(\displaystyle l = (P) \cap (Q)\)។ បង្ហាញថា \(\displaystyle l \parallel a\) និង \(\displaystyle l \parallel b\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ឧបមាថា \(\displaystyle l\) មិនស្របនឹង \(\displaystyle a\) ទេ នោះ \(\displaystyle l\) ត្រូវតែកាត់ \(\displaystyle a\) ត្រង់ចំណុច \(\displaystyle M\) មួយ (ព្រោះ \(\displaystyle l\) និង \(\displaystyle a\) ស្ថិតក្នុងប្លង់ \(\displaystyle (P)\) តែមួយ)។
ដោយ \(\displaystyle M \in l\) ហើយ \(\displaystyle l \subset (Q)\) នាំឱ្យ \(\displaystyle M \in (Q)\)។
ដូចនេះ \(\displaystyle M\) ជាចំណុចរួមនៃបន្ទាត់ \(\displaystyle a\) និងប្លង់ \(\displaystyle (Q)\)។ តែ \(\displaystyle a \parallel b\) និង \(\displaystyle b \subset (Q)\) នាំឱ្យ \(\displaystyle a \parallel (Q)\) ដែលមិនអាចកាត់ \(\displaystyle (Q)\) ត្រង់ \(\displaystyle M\) បានឡើយ (ផ្ទុយពីសម្មតិកម្ម)។
ដូច្នេះ \(\displaystyle l\) មិនអាចកាត់ \(\displaystyle a\) បានទេ ពោលគឺ \(\displaystyle l \parallel a\)។ ដោយភាពឆ្លង នាំឱ្យ \(\displaystyle l \parallel b\) ដែរ។

B. បន្ទាត់ស្របនឹងប្លង់

និយមន័យ ៖ បន្ទាត់ស្របនឹងប្លង់ បន្ទាត់មួយស្របនឹងប្លង់មួយ កាលណាពួកវាគ្មានចំណុចរួមសោះ ៖

\[d \parallel (P) \quad \Longleftrightarrow \quad d \cap (P) = \emptyset\]

លក្ខណៈទី ១ ៖ លក្ខខណ្ឌបន្ទាត់ស្របនឹងប្លង់ គ្រប់បន្ទាត់ដែលនៅក្រៅប្លង់មួយ ហើយស្របនឹងបន្ទាត់មួយនៃប្លង់នោះ ជាបន្ទាត់ស្របនឹងប្លង់ ៖

\[\begin{cases} d \not\subset (P) \\ d \parallel d' \\ d' \subset (P) \end{cases} \implies d \parallel (P)\]

លក្ខណៈទី ២ ៖ ប្លង់កាត់តាមបន្ទាត់ស្រប បើបន្ទាត់មួយស្របនឹងប្លង់មួយ នោះគ្រប់ប្លង់ដែលកាត់តាមបន្ទាត់នេះ ហើយប្រសព្វនឹងប្លង់ទី ១ នោះបន្ទាត់ប្រសព្វស្របនឹងបន្ទាត់នោះ ៖

\[\begin{cases} d \parallel (P) \\ d \subset (Q) \\ (P) \cap (Q) = d' \end{cases} \implies d \parallel d'\]

លក្ខណៈទី ៣ ៖ បន្ទាត់ស្របនឹងប្លង់ពីរប្រសព្វគ្នា បើបន្ទាត់មួយស្របនឹងប្លង់ពីរប្រសព្វគ្នា នោះវាស្របទៅនឹងបន្ទាត់ប្រសព្វរវាងប្លង់ទាំងពីរនោះ ៖

\[\begin{cases} d \parallel (P) \\ d \parallel (Q) \\ (P) \cap (Q) = d' \end{cases} \implies d \parallel d'\]

កំណត់ប្រភេទចតុកោណក្នុងពីរ៉ាមីត គេឱ្យពីរ៉ាមីត \(\displaystyle SABCD\) ដែលមានបាត \(\displaystyle ABCD\) ជាការេ។ ប្លង់មួយកាត់តាមបន្ទាត់ \(\displaystyle BC\) ហើយប្រសព្វនឹងប្លង់មុខ \(\displaystyle (SAD)\) តាមអង្កត់ \(\displaystyle IJ\) (\(\displaystyle I \in SA, J \in SD\))។ កំណត់ប្រភេទនៃចតុកោណ \(\displaystyle BCJI\)។

១. គិត ៖ បាត \(\displaystyle ABCD\) ជាការេ នាំឱ្យ \(\displaystyle BC \parallel AD\)។ បន្ទាត់ \(\displaystyle BC\) ស្របនឹងបន្ទាត់ \(\displaystyle AD\) ក្នុងប្លង់មុខ \(\displaystyle (SAD)\)។

២. ជ្រើសវិធី ៖ ប្រើលក្ខណៈទី ១ (\(\displaystyle BC \parallel (SAD)\)) រួចប្រើលក្ខណៈទី ២ ដើម្បីទាញរក \(\displaystyle BC \parallel IJ\)។

៣. ធ្វើ ៖
ដោយ \(\displaystyle ABCD\) ជាការេ នាំឱ្យ \(\displaystyle BC \parallel AD\)។
ដោយ \(\displaystyle AD \subset (SAD)\) និង \(\displaystyle BC \not\subset (SAD)\) នាំឱ្យ \(\displaystyle BC \parallel (SAD)\)។
ប្លង់ \(\displaystyle (BCJI)\) កាត់តាមបន្ទាត់ \(\displaystyle BC \parallel (SAD)\) ហើយប្រសព្វនឹង \(\displaystyle (SAD)\) តាមបន្ទាត់ \(\displaystyle IJ\)។
តាមលក្ខណៈទី ២ នៃបន្ទាត់ស្របនឹងប្លង់ គេបាន ៖

\[BC \parallel IJ\]

ចតុកោណ \(\displaystyle BCJI\) មានជ្រុងឈម \(\displaystyle BC \parallel IJ\) ដូច្នេះ \(\displaystyle BCJI\) ជាចតុកោណព្នាយ។

C. ប្លង់ស្របគ្នាក្នុងលំហ

និយមន័យ ៖ ប្លង់ពីរស្របគ្នា ប្លង់ពីរស្របគ្នា កាលណាពួកវាគ្មានចំណុចរួមសោះ ៖

\[(P) \parallel (Q) \quad \Longleftrightarrow \quad (P) \cap (Q) = \emptyset\]

លក្ខណៈទី ១ ៖ ភាពមានតែមួយនៃប្លង់ស្រប តាមចំណុចមួយនៅក្រៅប្លង់ \(\displaystyle (P)\) គេអាចគូសបានប្លង់ \(\displaystyle (Q)\) តែមួយគត់ដែលស្របទៅនឹងប្លង់ \(\displaystyle (P)\) នោះ។

លក្ខណៈទី ២ ៖ ភាពឆ្លងនៃប្លង់ស្រប បើប្លង់ពីរស្របគ្នា នោះគ្រប់ប្លង់ដែលស្របនឹងប្លង់មួយ ត្រូវតែស្របនឹងប្លង់មួយទៀត ៖

\[\begin{cases} (P) \parallel (Q) \\ (S) \parallel (Q) \end{cases} \implies (P) \parallel (S)\]

លក្ខណៈទី ៣ ៖ ប្លង់ទី ៣ កាត់ប្លង់ស្របពីរ ប្លង់ពីរស្របគ្នា ហើយកាត់ដោយប្លង់ទី ៣ នោះបន្ទាត់ប្រសព្វទាំងពីរជាបន្ទាត់ស្របគ្នា ៖

\[\begin{cases} (P) \parallel (Q) \\ (R) \cap (P) = d_1 \\ (R) \cap (Q) = d_2 \end{cases} \implies d_1 \parallel d_2\]

លក្ខណៈទី ៤ ៖ បន្ទាត់កាត់ប្លង់ស្រប បើប្លង់ពីរស្របគ្នា នោះគ្រប់បន្ទាត់ដែលកាត់ប្លង់ទី ១ ត្រូវតែកាត់ប្លង់ទី ២ ផងដែរ ៖

\[\begin{cases} (P) \parallel (Q) \\ d \cap (P) = \{A\} \end{cases} \implies \exists B : d \cap (Q) = \{B\}\]

លក្ខណៈទី ៥ ៖ ទ្រឹស្តីបទតាលែសក្នុងលំហ (Thales in Space) ប្លង់ស្របគ្នាបី \(\displaystyle (P) \parallel (Q) \parallel (R)\) កាត់ខ្នាត់ពីរ \(\displaystyle \Delta\) និង \(\displaystyle \Delta'\) ត្រង់ចំណុច \(\displaystyle A, B, C\) និង \(\displaystyle A', B', C'\) រៀងគ្នា កំណត់បានអង្កត់ត្រូវគ្នាសមាមាត្រគ្នា ៖

\[\frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{A'C'}{AC}\]

ចតុកោណបង្កើតដោយបន្ទាត់ស្របកាត់ប្លង់ស្រប ប្លង់ \(\displaystyle (P)\) និង \(\displaystyle (Q)\) ជាប្លង់ស្របគ្នា ហើយ \(\displaystyle d_1 \parallel d_2\) ជាបន្ទាត់ស្របគ្នាពីរ។ ប្លង់ \(\displaystyle (P)\) កាត់ \(\displaystyle d_1\) និង \(\displaystyle d_2\) ត្រង់ \(\displaystyle A\) និង \(\displaystyle B\)។ ប្លង់ \(\displaystyle (Q)\) កាត់ \(\displaystyle d_1\) និង \(\displaystyle d_2\) ត្រង់ \(\displaystyle C\) និង \(\displaystyle D\)។ ស្រាយបញ្ជាក់ថា ចតុកោណ \(\displaystyle ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាម។

១. គិត ៖ បន្ទាត់ស្របគ្នាពីរ \(\displaystyle d_1\) និង \(\displaystyle d_2\) កំណត់បានប្លង់ \(\displaystyle (R)\) មួយ។

២. ជ្រើសវិធី ៖ ប្រើលក្ខណៈទី ៣ (ប្លង់ទី ៣ កាត់ប្លង់ស្របពីរ) ដើម្បីបង្ហាញថា \(\displaystyle AB \parallel CD\)។

៣. ធ្វើ ៖
បន្ទាត់ស្រប \(\displaystyle d_1\) និង \(\displaystyle d_2\) កំណត់បានប្លង់ \(\displaystyle (R)\) មួយ។
ប្លង់ \(\displaystyle (R)\) កាត់ប្លង់ \(\displaystyle (P)\) តាមបន្ទាត់ \(\displaystyle AB\) នាំឱ្យ \(\displaystyle (R) \cap (P) = AB\)។
ប្លង់ \(\displaystyle (R)\) កាត់ប្លង់ \(\displaystyle (Q)\) តាមបន្ទាត់ \(\displaystyle CD\) នាំឱ្យ \(\displaystyle (R) \cap (Q) = CD\)។
ដោយ \(\displaystyle (P) \parallel (Q)\) តាមលក្ខណៈទី ៣ គេបាន \(\displaystyle AB \parallel CD\)។
ម្យ៉ាងទៀត \(\displaystyle A, C \in d_1\) និង \(\displaystyle B, D \in d_2\) ដោយ \(\displaystyle d_1 \parallel d_2\) នាំឱ្យ \(\displaystyle AC \parallel BD\)។
ចតុកោណ \(\displaystyle ABCD\) មានជ្រុងឈមស្របគ្នារៀងខ្លួន (\(\displaystyle AB \parallel CD\) និង \(\displaystyle AC \parallel BD\)) ដូច្នេះ \(\displaystyle ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាម។

គេឱ្យប្លង់ពីរស្របគ្នា \(\displaystyle (P) \parallel (Q)\) និងបន្ទាត់ពីរស្របគ្នា \(\displaystyle d_1 \parallel d_2\) ដែលកាត់ប្លង់ទាំងពីរត្រង់ \(\displaystyle A, B\) និង \(\displaystyle C, D\)។ បង្ហាញថាអង្កត់នៅចន្លោះប្លង់ទាំងពីរមានប្រវែងស្មើគ្នា \(\displaystyle AC = BD\)។

មើលដំណោះស្រាយ

តាមលំហាត់គំរូខាងលើ ចតុកោណ \(\displaystyle ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាម។
ក្នុងប្រលេឡូក្រាម ជ្រុងឈមមានប្រវែងស្មើគ្នា នាំឱ្យ \(\displaystyle AC = BD\)។
ដូច្នេះ អង្កត់នៃបន្ទាត់ស្របគ្នាដែលខណ្ឌដោយប្លង់ស្របគ្នាពីរ តែងតែមានប្រវែងស្មើគ្នាជានិច្ច។

D. លំហាត់អនុវត្ត

ក្នុងគូប \(\displaystyle ABCDEFGH\) ចូរបញ្ជាក់ថាការអះអាងខាងក្រោម ត្រូវ ឬខុស ៖

  1. ក. បន្ទាត់ \(\displaystyle AG\) និង \(\displaystyle DF\) ស្របគ្នា។
  2. ខ. បន្ទាត់ \(\displaystyle BF\) និង \(\displaystyle HD\) ស្របគ្នា។
  3. គ. បន្ទាត់ \(\displaystyle AG\) ស្របនឹងប្លង់ \(\displaystyle (CDF)\)។
  4. ឃ. ប្លង់ \(\displaystyle (ACF)\) ស្របនឹងប្លង់ \(\displaystyle (ACH)\)។
មើលដំណោះស្រាយ
  1. ក. ខុស ៖ \(\displaystyle AG\) និង \(\displaystyle DF\) ជាអង្កត់ទ្រូងធំនៃគូប ប្រសព្វគ្នានៅចំផ្ចិតនៃគូប (មិនស្របគ្នាទេ)។
  2. ខ. ត្រូវ ៖ \(\displaystyle BF\) និង \(\displaystyle HD\) ជាទ្រនុងឈរពីរនៃគូប ស្ថិតក្នុងប្លង់អង្កត់ទ្រូង \(\displaystyle (BFHD)\) ស្របគ្នា។
  3. គ. ខុស ៖ បន្ទាត់ \(\displaystyle AG\) កាត់ប្លង់ \(\displaystyle (CDF)\) (មិនស្របទេ)។
  4. ឃ. ខុស ៖ ប្លង់ទាំងពីរមានបន្ទាត់ \(\displaystyle AC\) រួម ដូច្នេះវាកាត់គ្នាតាមបន្ទាត់ \(\displaystyle AC\)។

គេមានតេត្រាអែត \(\displaystyle ABCD\) មួយ។ បន្ទាត់ \(\displaystyle d\) កាត់តាម \(\displaystyle A\) ស្របនឹង \(\displaystyle BC\) ហើយបន្ទាត់ \(\displaystyle d'\) កាត់តាម \(\displaystyle D\) ស្របនឹង \(\displaystyle AB\)។ បង្ហាញថាបន្ទាត់ \(\displaystyle d\) និង \(\displaystyle d'\) មិនស្ថិតក្នុងប្លង់តែមួយ (បន្ទាត់ទ្វេរ)។

មើលដំណោះស្រាយ

ឧបមាថា \(\displaystyle d\) និង \(\displaystyle d'\) ស្ថិតក្នុងប្លង់ \(\displaystyle (\alpha)\) តែមួយ។
ដោយ \(\displaystyle A \in d\) នាំឱ្យ \(\displaystyle A \in (\alpha)\) ហើយ \(\displaystyle D \in d'\) នាំឱ្យ \(\displaystyle D \in (\alpha)\) ដូច្នេះបន្ទាត់ \(\displaystyle AD \subset (\alpha)\)។
ដោយ \(\displaystyle d \parallel BC\) និង \(\displaystyle d \subset (\alpha)\) នាំឱ្យ \(\displaystyle BC \parallel (\alpha)\)។
ដោយ \(\displaystyle d' \parallel AB\) និង \(\displaystyle d' \subset (\alpha)\) នាំឱ្យ \(\displaystyle AB \parallel (\alpha)\) ឬ \(\displaystyle AB \subset (\alpha)\)។ ព្រោះ \(\displaystyle A \in (\alpha)\) នាំឱ្យបន្ទាត់ \(\displaystyle AB \subset (\alpha)\)។
ចំណុច \(\displaystyle A, B, D \in (\alpha)\) នាំឱ្យប្លង់ \(\displaystyle (\alpha)\) គឺប្លង់ \(\displaystyle (ABD)\)។
ដោយ \(\displaystyle d \parallel BC\) និង \(\displaystyle d \subset (ABD)\) នាំឱ្យ \(\displaystyle BC \subset (ABD)\) ឬ \(\displaystyle BC \parallel (ABD)\) នាំឱ្យ \(\displaystyle C \in (ABD)\) ដែលផ្ទុយពីសម្មតិកម្មថា \(\displaystyle ABCD\) ជាតេត្រាអែត (៤ ចំណុចមិនក្នុងប្លង់តែមួយ)។
ដូច្នេះ បន្ទាត់ \(\displaystyle d\) និង \(\displaystyle d'\) មិនអាចស្ថិតក្នុងប្លង់តែមួយបានឡើយ។

គេឱ្យបន្ទាត់ \(\displaystyle a\) និង \(\displaystyle d\) ស្របគ្នាក្នុងប្លង់ \(\displaystyle (P)\)។ ប្លង់ \(\displaystyle (Q)\) និង \(\displaystyle (Q')\) កំណត់ដោយបន្ទាត់ \(\displaystyle a\) និង \(\displaystyle d\) ជាមួយនឹងបន្ទាត់ \(\displaystyle b\) រៀងគ្នា។ បង្ហាញថា \(\displaystyle b \parallel (P)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

បន្ទាត់ \(\displaystyle b\) ជាប្រសព្វនៃប្លង់ \(\displaystyle (Q)\) និង \(\displaystyle (Q')\) នាំឱ្យ \(\displaystyle b = (Q) \cap (Q')\)។
ក្នុងប្លង់ \(\displaystyle (Q)\) មានបន្ទាត់ \(\displaystyle a\) ហើយក្នុងប្លង់ \(\displaystyle (Q')\) មានបន្ទាត់ \(\displaystyle d\) ដោយ \(\displaystyle a \parallel d\)។
តាមលក្ខណៈប្រសព្វនៃប្លង់ពីរកាត់តាមបន្ទាត់ស្របពីរ បន្ទាត់ប្រសព្វ \(\displaystyle b\) ត្រូវតែស្របនឹង \(\displaystyle a\) និង \(\displaystyle d\) ៖

\[b \parallel a \quad \text{និង} \quad b \parallel d\]

ដោយ \(\displaystyle a \subset (P)\) និង \(\displaystyle b\) នៅក្រៅប្លង់ \(\displaystyle (P)\) នាំឱ្យ ៖

\[b \parallel (P)\]

គេមានតេត្រាអែត \(\displaystyle OABC\) មួយដែលចំណុច \(\displaystyle M, N, P\) ជាចំណុចកណ្តាលរៀងគ្នានៃជ្រុង \(\displaystyle OA, OB, OC\)។ បង្ហាញថាប្លង់ \(\displaystyle (ABC) \parallel (MNP)\)។

មើលដំណោះស្រាយ

ក្នុង \(\displaystyle \Delta OAB\) មាន \(\displaystyle M, N\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(\displaystyle OA, OB\) នាំឱ្យ \(\displaystyle MN\) ជាបាតមធ្យម ៖

\[MN \parallel AB \implies MN \parallel (ABC) \quad (\text{ព្រោះ } AB \subset (ABC))\]

ក្នុង \(\displaystyle \Delta OBC\) មាន \(\displaystyle N, P\) ជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(\displaystyle OB, OC\) នាំឱ្យ \(\displaystyle NP\) ជាបាតមធ្យម ៖

\[NP \parallel BC \implies NP \parallel (ABC) \quad (\text{ព្រោះ } BC \subset (ABC))\]

បន្ទាត់កាត់គ្នាពីរ \(\displaystyle MN\) និង \(\displaystyle NP\) នៃប្លង់ \(\displaystyle (MNP)\) ស្របនឹងប្លង់ \(\displaystyle (ABC)\)។
តាមលក្ខខណ្ឌប្លង់ស្របគ្នា គេបានប្លង់ \(\displaystyle (ABC) \parallel (MNP)\)។

គេមានតេត្រាអែត \(\displaystyle ABCD\) មួយដែលចំណុច \(\displaystyle M\) ស្ថិតនៅលើជ្រុង \(\displaystyle AB\) (\(\displaystyle M \neq A, B\))។ បន្ទាត់កាត់តាម \(\displaystyle M\) ស្របនឹង \(\displaystyle AC\) កាត់ \(\displaystyle BC\) ត្រង់ \(\displaystyle N\)។ បន្ទាត់កាត់តាម \(\displaystyle N\) ស្របនឹង \(\displaystyle BD\) កាត់ \(\displaystyle CD\) ត្រង់ \(\displaystyle P\)។ បន្ទាត់កាត់តាម \(\displaystyle P\) ស្របនឹង \(\displaystyle AC\) កាត់ \(\displaystyle AD\) ត្រង់ \(\displaystyle Q\) ៖

  1. ក. បង្ហាញថា \(\displaystyle MNPQ\) ជាប្រលេឡូក្រាម។
  2. ខ. បង្ហាញថា \(\displaystyle AC \parallel (MNPQ)\)។
មើលដំណោះស្រាយ
  1. ក. តាមបម្រាប់ គេមាន \(\displaystyle MN \parallel AC\) និង \(\displaystyle PQ \parallel AC\)។
    តាមលក្ខណៈឆ្លងនៃភាពស្របគ្នា គេបាន \(\displaystyle MN \parallel PQ\) (១)។
    ម្យ៉ាងទៀត ក្នុង \(\displaystyle \Delta BCD\) មាន \(\displaystyle NP \parallel BD\) នាំឱ្យ \(\displaystyle \frac{CP}{CD} = \frac{CN}{CB} = \frac{AM}{AB}\)។
    ក្នុង \(\displaystyle \Delta ABD\) មាន \(\displaystyle \frac{AM}{AB} = \frac{AQ}{AD}\) នាំឱ្យ \(\displaystyle MQ \parallel BD\)។
    ដោយ \(\displaystyle NP \parallel BD\) និង \(\displaystyle MQ \parallel BD\) នាំឱ្យ \(\displaystyle MQ \parallel NP\) (២)។
    តាម (១) និង (២) ចតុកោណ \(\displaystyle MNPQ\) មានជ្រុងឈមស្របគ្នារៀងៗខ្លួន ដូច្នេះ \(\displaystyle MNPQ\) ជាប្រលេឡូក្រាម។
  2. ខ. ដោយ \(\displaystyle MN \parallel AC\) ហើយ \(\displaystyle MN \subset (MNPQ)\) និង \(\displaystyle AC \not\subset (MNPQ)\) នាំឱ្យបន្ទាត់ \(\displaystyle AC\) ស្របនឹងប្លង់ \(\displaystyle (MNPQ)\)។

ខ្លឹមសារ៖ សៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី១១ របស់ក្រសួងអប់រំ យុវជន និងកីឡា · វាយអត្ថបទ គូររូបភាពឡើងវិញ និងរៀបចំលើអនឡាញដោយលោកគ្រូ សាន សុខលី សម្រាប់ការសិក្សាដោយឥតគិតថ្លៃ និងមិនរកប្រាក់ចំណេញ។ មិនមែនជាការបោះពុម្ពផ្លូវការរបស់ក្រសួងទេ។