ធរណីមាត្រក្នុងលំហ

introboxវត្ថុបំណងនៃមេរៀន

• កំណត់ និងប្រើប្រាស់លក្ខណៈបន្ទាត់ពីរអរតូកូណាល់គ្នាក្នុងលំហ។
• កំណត់ និងប្រើប្រាស់លក្ខណៈបន្ទាត់កែងនឹងប្លង់ និងទ្រឹស្តីបទបីបន្ទាត់កែងក្នុងការដោះស្រាយលំហាត់។
• កំណត់លក្ខណៈប្លង់មេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ និងប្លង់កែងគ្នា។
• គណនាមុំរវាងប្លង់ពីរ និងប្រើប្រាស់ចំណោលកែងលើប្លង់ (ប្រវែង និងផ្ទៃក្រឡា)។

A. រំលឹករូបមន្តសូលីតក្នុងលំហ

រូបមន្តផ្ទៃក្រឡា និងមាឌនៃសូលីតសំខាន់ៗ តាង \(\displaystyle V\) ជាមាឌ, \(\displaystyle A_L\) ជាផ្ទៃក្រឡាខាង, \(\displaystyle B\) ជាផ្ទៃក្រឡាបាត, \(\displaystyle h\) ជាកម្ពស់ ៖

• ប្រលេពីប៉ែតកែង ៖ \(\displaystyle V = a \times b \times c\),   \(\displaystyle A_L = 2c(a + b)\)
• ព្រីសត្រង់ ៖ \(\displaystyle V = B \times h\),   \(\displaystyle A_L = P_{\text{បាត}} \times h\)
• ស៊ីឡាំង ៖ \(\displaystyle V = \pi r^2 h\),   \(\displaystyle A_L = 2\pi rh\)
• ស៊្វែ ៖ \(\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi R^3\),   \(\displaystyle S = 4\pi R^2\)
• ពីរ៉ាមីត ៖ \(\displaystyle V = \frac{1}{3}Bh\)
• កោណ ៖ \(\displaystyle V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\),   \(\displaystyle A_L = \pi r a \quad (a \text{ ជាប្រវែងទ្រនុងខាង/ជនេត្រ})\)

គណនាទ្រនុង និងមាឌនៃគូប ផ្ទៃក្រឡាសរុបនៃគូបមួយស្មើនឹង \(\displaystyle 150\text{ m}^2\)។ ចូររកប្រវែងទ្រនុង និងមាឌនៃគូបនេះ។

១. គិត ៖ គូបមានមុខចំនួន ៦ ដែលមុខនីមួយៗជាការេមានក្រឡាផ្ទៃ \(\displaystyle a^2\)។

២. ជ្រើសវិធី ៖ ប្រើរូបមន្តផ្ទៃក្រឡាសរុប \(\displaystyle 6a^2 = 150\) ដើម្បីទាញរកទ្រនុង \(\displaystyle a\) រួចគណនាមាឌ \(\displaystyle V = a^3\)។

៣. ធ្វើ ៖
តាង \(\displaystyle a\) ជាប្រវែងទ្រនុងគូប។ ផ្ទៃក្រឡាសរុបនៃគូបគឺ ៖

មាឌនៃគូបគឺ ៖

៤. ពិនិត្យ ៖ ផ្ទៃមុខនីមួយៗ \(\displaystyle 5 \times 5 = 25\text{ m}^2\), ផ្ទៃសរុប \(\displaystyle 6 \times 25 = 150\text{ m}^2\) ត្រឹមត្រូវ។

B. បន្ទាត់អរតូកូណាល់ក្នុងលំហ

និយមន័យ ៖ បន្ទាត់អរតូកូណាល់ បន្ទាត់ពីរក្នុងលំហហៅថា អរតូកូណាល់គ្នា កាលណាមុំរវាងបន្ទាត់ទាំងពីរជាមុំកែង (\(\displaystyle 90^\circ\))។
គេកំណត់សរសេរ ៖ \(\displaystyle d_1 \perp d_2\)។

វិបាកនៃបន្ទាត់អរតូកូណាល់

• បើ \(\displaystyle a \perp d\) ហើយ \(\displaystyle a \parallel b\) នោះ \(\displaystyle b \perp d\)។
• បន្ទាត់ពីរអរតូកូណាល់គ្នា អាចកាត់គ្នា (ក្នុងប្លង់តែមួយ) ឬជាបន្ទាត់ទ្វេរ (Skew lines ក្នុងប្លង់ផ្សេងគ្នា)។

C. បន្ទាត់កែងនឹងប្លង់

និយមន័យ ៖ បន្ទាត់កែងនឹងប្លង់ បន្ទាត់មួយកែងនឹងប្លង់មួយ កាលណាបន្ទាត់នោះអរតូកូណាល់នឹងគ្រប់បន្ទាត់ទាំងអស់នៅក្នុងប្លង់នោះ ៖

ទ្រឹស្តីបទទី ១ ៖ លក្ខខណ្ឌបន្ទាត់កែងនឹងប្លង់ បើបន្ទាត់មួយអរតូកូណាល់នឹងបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នាពីរនៅក្នុងប្លង់ នោះវាកែងនឹងប្លង់នោះ ៖

ទ្រឹស្តីបទទី ២ ៖ ទំនាក់ទំនងភាពកែង និងភាពស្រប

1. ក. \(\displaystyle \begin{cases} a \parallel b \\ a \perp (P) \end{cases} \implies b \perp (P)\)
2. ខ. \(\displaystyle \begin{cases} a \perp (P) \\ b \perp (P) \end{cases} \implies a \parallel b\)
3. គ. \(\displaystyle \begin{cases} a \perp (P) \\ (P) \parallel (Q) \end{cases} \implies a \perp (Q)\)

គណនាប្រវែងអង្កត់ទ្រូងលំហនៃប្រលេពីប៉ែតកែង គេឱ្យប្រលេពីប៉ែតកែង \(\displaystyle ABCDEFGH\) ដែលមានវិមាត្រ \(\displaystyle AB = a, BC = b, AE = c\)។

1. ក. បង្ហាញថាបន្ទាត់ \(\displaystyle BC\) កែងនឹងប្លង់មុខ \(\displaystyle (ABFE)\)។
2. ខ. បង្ហាញថា \(\displaystyle \Delta EBC\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(\displaystyle B\)។
3. គ. គណនាប្រវែងអង្កត់ទ្រូងលំហ \(\displaystyle EC\) ជាអនុគមន៍នៃ \(\displaystyle a, b, c\)។

១. គិត ៖ មុខនីមួយៗនៃប្រលេពីប៉ែតកែងជាចតុកោណកែង។

២. ជ្រើសវិធី ៖ ប្រើទ្រឹស្តីបទទី ១ បង្ហាញថា \(\displaystyle BC \perp (ABFE)\) រួចប្រើទ្រឹស្តីបទពីតាក័រពីរដង។

៣. ធ្វើ ៖
ក. ក្នុងចតុកោណកែង \(\displaystyle ABCD\) មាន \(\displaystyle BC \perp AB\)។ ក្នុងចតុកោណកែង \(\displaystyle BCGF\) មាន \(\displaystyle BC \perp BF\)។
បន្ទាត់ \(\displaystyle AB\) និង \(\displaystyle BF\) ប្រសព្វគ្នាត្រង់ \(\displaystyle B\) ក្នុងប្លង់ \(\displaystyle (ABFE)\) នាំឱ្យ \(\displaystyle BC \perp (ABFE)\)។
ខ. ដោយ \(\displaystyle BC \perp (ABFE)\) ហើយ \(\displaystyle EB \subset (ABFE)\) នាំឱ្យ \(\displaystyle BC \perp EB\)។ ដូច្នេះ \(\displaystyle \Delta EBC\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(\displaystyle B\)។
គ. ក្នុងត្រីកោណកែង \(\displaystyle EBC\) តាមទ្រឹស្តីបទពីតាក័រ ៖

ក្នុងត្រីកោណកែង \(\displaystyle EAB\) ត្រង់ \(\displaystyle A\) ៖

ជំនួសចូល គេបាន ៖

៤. ពិនិត្យ ៖ នេះជារូបមន្តអង្កត់ទ្រូងលំហនៃប្រលេពីប៉ែតកែង ត្រឹមត្រូវល្អណាស់។

D. ទ្រឹស្តីបទបីបន្ទាត់កែង

ទ្រឹស្តីបទបីបន្ទាត់កែង (Theorem of Three Perpendiculars) បើបន្ទាត់ \(\displaystyle AB\) កែងនឹងប្លង់ \(\displaystyle (P)\) ត្រង់ \(\displaystyle B\) ហើយបន្ទាត់ \(\displaystyle BO\) កែងនឹងបន្ទាត់ \(\displaystyle a\) នៃប្លង់ \(\displaystyle (P)\) ត្រង់ \(\displaystyle O\) នោះបន្ទាត់ \(\displaystyle AO\) កែងនឹងបន្ទាត់ \(\displaystyle a\) ៖

ទ្រឹស្តីបទច្រាសនៃបីបន្ទាត់កែង បើបន្ទាត់ \(\displaystyle AB\) កែងនឹងប្លង់ \(\displaystyle (P)\) ត្រង់ \(\displaystyle B\) ហើយ \(\displaystyle AO\) កែងនឹងបន្ទាត់ \(\displaystyle a\) នៃប្លង់ \(\displaystyle (P)\) ត្រង់ \(\displaystyle O\) នោះបន្ទាត់ \(\displaystyle BO\) កែងនឹងបន្ទាត់ \(\displaystyle a\) ៖

E. ប្លង់មេដ្យាទ័រ និងប្លង់កែង

និយមន័យ ៖ ប្លង់មេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ ប្លង់មេដ្យាទ័រនៃអង្កត់មួយ គឺជាប្លង់ដែលកែងនឹងអង្កត់នោះត្រង់ចំណុចកណ្តាល ៖

លក្ខណៈ

គ្រប់ចំណុច \(\displaystyle M \in (P)\) ស្មើចម្ងាយពីចុងសងខាងនៃអង្កត់ \(\displaystyle MA = MB\)។

និយមន័យ ៖ ប្លង់ពីរកែងគ្នា ប្លង់ពីរហៅថាកែងគ្នា កាលណាប្លង់មួយមានបន្ទាត់កែងនឹងប្លង់មួយទៀត ៖

F. មុំរវាងប្លង់ពីរ និងចំណោលកែង

និយមន័យ ៖ មុំរវាងប្លង់ពីរ (Dihedral Angle) មុំដែលបង្កើតឡើងដោយប្លង់ប្រសព្វគ្នាពីរ \(\displaystyle (P)\) និង \(\displaystyle (Q)\) តាមបន្ទាត់ \(\displaystyle d\) គឺជាមុំ \(\displaystyle \angle AOB\) ដែល \(\displaystyle OA \subset (Q), OA \perp d\) និង \(\displaystyle OB \subset (P), OB \perp d\) ត្រង់ចំណុច \(\displaystyle O \in d\)។

លក្ខណៈចំណោលកែងលើប្លង់

• ប្រវែងចំណោលកែង ៖ បើ \(\displaystyle A'B'\) ជាចំណោលកែងនៃអង្កត់ \(\displaystyle AB\) មកលើប្លង់ \(\displaystyle (P)\) ហើយ \(\displaystyle \alpha\) ជាមុំរវាងបន្ទាត់ \(\displaystyle AB\) និងប្លង់ \(\displaystyle (P)\) នោះ ៖

  \[A'B' = AB \cos\alpha\]

• ផ្ទៃក្រឡាចំណោលកែង ៖ បើពហុកោណមួយមានផ្ទៃក្រឡា \(\displaystyle S\) ធ្វើចំណោលកែងលើប្លង់ \(\displaystyle (P)\) បានពហុកោណមានផ្ទៃក្រឡា \(\displaystyle S'\) ហើយ \(\displaystyle \alpha\) ជាមុំរវាងប្លង់ទាំងពីរ នោះ ៖

  \[S' = S \cos\alpha\]

G. លំហាត់អនុវត្ត

ចូរបញ្ជាក់ថាការអះអាងខាងក្រោម ត្រូវ ឬខុស ៖

1. ក. ក្នុងលំហ បើបន្ទាត់ពីរ \(\displaystyle a\) និង \(\displaystyle a'\) អរតូកូណាល់នឹងបន្ទាត់ \(\displaystyle b\) នោះ \(\displaystyle a \parallel a'\)។
2. ខ. បើបន្ទាត់ \(\displaystyle d \perp (P)\) និង \(\displaystyle d' \perp (P)\) នោះ \(\displaystyle d \parallel d'\)។
3. គ. បើបន្ទាត់ \(\displaystyle a \perp (P)\) និងបន្ទាត់ \(\displaystyle a' \parallel (P)\) នោះ \(\displaystyle a \perp a'\)។
4. ឃ. បើបន្ទាត់មួយកែងនឹងបន្ទាត់ពីរផ្សេងគ្នានៃប្លង់ \(\displaystyle (P)\) នោះវាកែងនឹងប្លង់ \(\displaystyle (P)\)។

គេមានចតុមុខនិយ័ត \(\displaystyle ABCD\) មួយ។ បង្ហាញថាទ្រនុង \(\displaystyle CD\) ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់មេដ្យាទ័រនៃអង្កត់ \(\displaystyle AB\)។

គេឱ្យពីរ៉ាមីត \(\displaystyle SABCD\) ដែលមានបាត \(\displaystyle ABCD\) ជាការេជ្រុង \(\displaystyle a\) ហើយទ្រនុងចំហៀង \(\displaystyle SB \perp (ABCD)\) ដោយ \(\displaystyle SB = a\)។

1. ក. បង្ហាញថាបន្ទាត់ \(\displaystyle AD \perp (SAB)\)។
2. ខ. គណនាប្រវែង \(\displaystyle BD, SD, SA\) ជាអនុគមន៍នៃ \(\displaystyle a\)។
3. គ. គណនាមាឌនៃពីរ៉ាមីត \(\displaystyle SABCD\) ជាអនុគមន៍នៃ \(\displaystyle a\)។

ខ្លឹមសារ៖ សៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី១១ របស់ក្រសួងអប់រំ យុវជន និងកីឡា · វាយអត្ថបទ គូររូបភាពឡើងវិញ និងរៀបចំលើអនឡាញដោយលោកគ្រូ សាន សុខលី សម្រាប់ការសិក្សាដោយឥតគិតថ្លៃ និងមិនរកប្រាក់ចំណេញ។ មិនមែនជាការបោះពុម្ពផ្លូវការរបស់ក្រសួងទេ។