មេរៀនទី ១០ វិសមភាព — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ៧

មេរៀនទី 10 វិសមភាព

✓វត្ថុបំណង

បកស្រាយចំណេះដឹងអំពីវិសមភាព
កំណត់សញ្ញាប្រៀបធៀបនៃវិសមភាព
ដោះស្រាយចំណោទបញ្ហាប្រចាំថ្ងៃ។

1. សញ្ញាណវិសមភាព

១ឧទាហរណ៍ ១

នៅលើបន្ទាត់ចំនួនកំណត់

យើងបានៈ

\[2>1,\quad -3>-5,\quad -2<1\]

ហៅថាវិសមភាព។

២ឧទាហរណ៍ ២

ការប្រៀបធៀបចំនួនកំណត់។

\[\frac{3}{4}<1,\quad \frac{5}{2}>1,\quad -\frac{1}{3}>-\frac{2}{3}\]

បើចំនួន \(\displaystyle a\) ធំជាងចំនួន \(\displaystyle b\) គេសរសេរ \(\displaystyle a>b\) ឬ \(\displaystyle b<a\)។
បើចំនួន \(\displaystyle c\) តូចជាងឬស្មើចំនួន \(\displaystyle d\) គេសរសេរ \(\displaystyle c\le d\) ឬ \(\displaystyle d\ge c\)។

ចំណាំ កន្សោមលេខពីរដែលនៅសងខាងសញ្ញា

\[>,\quad \ge,\quad <,\quad \le\]

ហៅថាវិសមភាព។

!សម្គាល់

\[a>b \quad \text{និង} \quad c>d\]

ជាវិសមភាពមានទិសដៅដូចគ្នា

\[a>b \quad \text{និង} \quad c<d\]

ជាវិសមភាពមានទិសដៅផ្ទុយគ្នា។

១លំហាត់គំរូ ១

គេមានត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) ដូចរូបខាងស្តាំ។

ចូរសរសេរទំនាក់ទំនងរវាងជ្រុងនៃត្រីកោណជាវិសមភាពចំនួន \(\displaystyle 5\)។

ចម្លើយ

គេបាន៖

\[AB<BC,\quad AC<BC,\quad AC>AB,\quad AB+AC>BC,\quad AC+BC>AB\]

\[3<7,\quad 5<7,\quad 5>3,\quad 3+5>7,\quad 5+7>3។\]

២លំហាត់គំរូ ២

រង្វង់មួយមានកាំ \(\displaystyle 2cm\) និងការេមួយជ្រុងប្រវែង \(\displaystyle 2cm\)។

ចូរសរសេរវិសមភាពរវាងបរិមាត្រនៃរូបទាំងពីរ។

ចម្លើយ

\[\text{តាង } P_1 \text{ ជាបរិមាត្រនៃរង្វង់} \qquad P_1=2\times2\times3.14=12.56\]

\[\text{តាង } P_2 \text{ ជាបរិមាត្រនៃការេ} \qquad P_2=4\times2=8\]

គេបានវិសមភាព

\[P_1>P_2។\]

✎ប្រតិបត្តិ

តើកន្សោមខាងក្រោមណាខ្លះជាវិសមភាព?

\[-2<-1,\quad 8>5,\quad a=b,\quad c<d,\quad a+c<a+d,\quad a+c=a+d។\]

2. លក្ខណៈវិសមភាព

2.1 ការបូក ដកអង្គទាំងពីរនៃវិសមភាពនឹងមួយចំនួន

•ឧទាហរណ៍

\[\begin{array}{c@{\qquad\qquad}c} \begin{array}{r} 25>10\\ + \quad 5=5\\ \hline 30>15 \end{array} & \begin{array}{r} 25>10\\ - \quad 5=5\\ \hline 20>5 \end{array} \end{array}\]

ចំណាំ បើគេបូក ឬដកចំនួនតែមួយទៅលើអង្គទាំងពីរនៃវិសមភាព គេបានវិសមភាពថ្មីមានទិសដៅដូចវិសមភាពដើម។

១លំហាត់គំរូ ១

\(\displaystyle a\) ជាចំនួនអវិជ្ជមានដែល \(\displaystyle a\ne -1\)។

ប្រៀបធៀប \(\displaystyle a+1\) និង \(\displaystyle 1\) ដោយប្រើលក្ខណៈវិសមភាព។

ចម្លើយ

\[\begin{array}{r} a<0\\ 1=1\\ \hline a+1<1 \end{array} \qquad \text{ដូចនេះ } a+1<1។\]

២លំហាត់គំរូ ២

\(\displaystyle a\) ជាចំនួនវិជ្ជមាន។ ប្រៀបធៀប \(\displaystyle a^2+1\) និង \(\displaystyle 1\) ដោយវិសមភាព។

ចម្លើយ

\[\begin{array}{r} a^2>0\\ 1=1\\ \hline a^2+1>1 \end{array} \qquad \text{ដូចនេះ } a^2+1>1។\]

✎ប្រតិបត្តិ

\(\displaystyle n\) ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន។ ប្រៀបធៀបប្រភាគ

\[\frac{1}{n} \quad \text{និង} \quad \frac{1}{n+1}\]

ដោយវិសមភាព។

2.2 ការបូកអង្គម្ខាងទៅអង្គម្ខាងទៀតនៃវិសមភាព

គេមាន

\[a+b>c-d \qquad\text{(1)}\]

គេបូក \(\displaystyle d-b\) លើអង្គទាំងពីរនៃវិសមភាព

\[a+b+d-b>c-d+d-b\]

\[a+d>c-b \qquad\text{(2)}\]

ការវិសមភាព \(\displaystyle (1)\) និង \(\displaystyle (2)\) បង្ហាញថាក្នុងវិសមភាព គេអាចលើកទឹកទីនៅអង្គម្ខាងទៅអង្គម្ខាងទៀតដោយប្ដូរសញ្ញា គេបានវិសមភាពថ្មីមានទិសដៅដូចវិសមភាពដើម។

•លំហាត់គំរូ

ដឹងនូវតម្លៃ \(\displaystyle a\) ក្នុងករណីនីមួយៗ រួចបំពេញសញ្ញា \(\displaystyle >\) ឬ \(\displaystyle <\) ក្នុងប្រអប់ខាងក្រោម៖

\[\begin{array}{ll} \text{ក. } -5+3+a \ \Box\ 7+a-2, & \text{ចំពោះ } a=-1\\[4pt] \text{ខ. } +10+5+(-4)-a \ \Box\ 8-(+6)-a, & \text{ចំពោះ } a=2។ \end{array}\]

ចម្លើយ

\[\begin{array}{ll} \text{ក. } -5+3-1<7-1-2, & -3<4\\[4pt] \text{ខ. } +10+5+(-4)-2>8-6-2, & 9>0។ \end{array}\]

✎ប្រតិបត្តិ

ចូរបំពេញសញ្ញា \(\displaystyle >\) ឬ \(\displaystyle <\) នៅក្នុងប្រអប់ខាងក្រោម៖

\[\begin{array}{ll} \text{បើ } 10<20 \text{ នោះ } 10-4 \ \Box\ 20-4, & \text{បើ } -20<-2 \text{ នោះ } -20+4 \ \Box\ -2+4, \\[6pt] \text{បើ } a<b \text{ នោះ } a-c \ \Box\ b-c, & \text{បើ } a>b \text{ នោះ } a-c \ \Box\ b-c។ \end{array}\]

2.3 ការគុណ ចែកអង្គទាំងពីរនៃវិសមភាពនឹងមួយចំនួន

១ឧទាហរណ៍ ១

\[\begin{array}{c@{\qquad\qquad}c} \begin{array}{r} 10<20\\ \times \quad 5=5\\ \hline 50<100 \end{array} & \begin{array}{r} 10<20\\ \times \quad (-2)=(-2)\\ \hline -20>-40 \end{array} \end{array}\]

២ឧទាហរណ៍ ២

\[\begin{array}{c@{\qquad\qquad}c} \begin{array}{r} 10<20\\ \times \quad \dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{5}\\ \hline 2<4 \end{array} & \begin{array}{r} 10<20\\ \times \quad -\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}\\ \hline -5>-10 \end{array} \end{array}\]

ចំណាំ បើគេគុណ ឬចែកអង្គទាំងពីរនៃវិសមភាពនឹងមួយចំនួនវិជ្ជមាន គេបានវិសមភាពថ្មីមានទិសដៅដូចវិសមភាពដើម៖

\[a>b \text{ និង } c>0 \quad \text{នោះ} \quad ac>bc\]

\[a\div c>b\div c។\]

បើគេគុណ ឬចែកអង្គទាំងពីរនៃវិសមភាពនឹងមួយចំនួនអវិជ្ជមាន គេបានវិសមភាពថ្មីមានទិសដៅផ្ទុយពីវិសមភាពដើម៖

\[a>b \text{ និង } c<0 \quad \text{នោះ} \quad ac<bc\]

\[a\div c<b\div c។\]

\[\begin{array}{ll} \text{បើ } a>b \text{ និង } c>0 \text{ នោះ } ac>bc, & \text{បើ } a>b \text{ និង } c<0 \text{ នោះ } ac<bc, \\[4pt] \text{បើ } a>b \text{ និង } c>0 \text{ នោះ } a\div c>b\div c, & \text{បើ } a>b \text{ និង } c<0 \text{ នោះ } a\div c<b\div c។ \end{array}\]

•លំហាត់គំរូ

ដឹងនូវតម្លៃ \(\displaystyle a,b,c\) រួចបំពេញសញ្ញា \(\displaystyle >\) ឬ \(\displaystyle <\) ក្នុងប្រអប់ខាងក្រោម៖

\[\begin{array}{ll} \text{ក. } a \ \Box\ b \text{ នោះ } ac \ \Box\ bc, & a=-8,\ b=-5,\ c=-1\\[4pt] \text{ខ. } a \ \Box\ b \text{ នោះ } a\div c \ \Box\ b\div c, & a=15,\ b=-5,\ c=-5។ \end{array}\]

ចម្លើយ

\[\begin{array}{l} \text{ក. } -8<-5 \text{ នោះ } (-8)(-1)>(-5)(-1)\\[4pt] \text{ខ. } 15>-5 \text{ នោះ } 15\div(-5)<(-5)\div(-5)។ \end{array}\]

✎ប្រតិបត្តិ

បំពេញសញ្ញា \(\displaystyle >\) ឬ \(\displaystyle <\) នៅក្នុងប្រអប់ខាងក្រោម៖

\[\begin{array}{ll} \text{ក. } 10<20 \text{ នោះ } 10\times4 \ \Box\ 20\times4\\[4pt] \text{ខ. } -20<-2 \text{ នោះ } -20\times(-4) \ \Box\ -2\times(-4)\\[4pt] \text{គ. } 1<12 \text{ នោះ } 1\div4 \ \Box\ 12\div4។ \end{array}\]

3. ចំណោទ

១ឧទាហរណ៍ ១

បើគេទិញប៊ិច \(\displaystyle 5\) ដើមមានតម្លៃ \(\displaystyle a\) រៀលក្នុងមួយដើម រួមជាមួយប្រអប់ដែលមានតម្លៃ \(\displaystyle b\) រៀល នោះតើចំណាយទាំងអស់យ៉ាងច្រើន \(\displaystyle 10000\) រៀល។ សរសេរទំនាក់ទំនងនៃប្រាក់ចំណាយជាវិសមភាព។

គេមានប៊ិច \(\displaystyle 1\) ដើម ថ្លៃ \(\displaystyle a\) រៀល នោះប៊ិច \(\displaystyle 5\) ដើមថ្លៃ \(\displaystyle 5a\) រៀល។

ប្រអប់ \(\displaystyle 1\) ថ្លៃ \(\displaystyle b\) រៀល ហើយចំណាយទាំងអស់យ៉ាងច្រើន \(\displaystyle 10000\) រៀល។

គេបានទំនាក់ទំនងជាវិសមភាពគឺ

\[5a+b\le 10000។\]

២ឧទាហរណ៍ ២

សួនផ្កាមួយមានការេ និងសួនផ្កាមួយមានត្រីកោណ ដូចរូបខាងស្តាំ។ រកផ្ទៃក្រឡាសួនទាំងពីរ រួចប្រៀបធៀប។

ផ្ទៃក្រឡាការេ

\[S_1=4m\times4m=16m^2\]

ផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ

\[S_2=\frac{1}{2}\times3m\times8m=12m^2\]

ដូចនេះ

\[16m^2>12m^2\]

ឬ ផ្ទៃក្រឡា

\[S_1>S_2។\]

៣ឧទាហរណ៍ ៣

ផលបូកជ្រុងពីរនៃត្រីកោណមួយធំជាងជ្រុងទីបី \(\displaystyle (\text{ដូចរូបខាងស្តាំ})\)។

គេបាន

\[x+y>z,\quad x+z>y,\quad y+z>x។\]

✎ប្រតិបត្តិ

សរសេរទំនាក់ទំនងរវាងបរិមាណខាងក្រោមដោយប្រើសញ្ញាវិសមភាព។

បើគេគុណចំនួន \(\displaystyle x\) និង \(\displaystyle 2\) លើមួយចំនួន \(\displaystyle 5\) គេនោះលទ្ធផលធំជាង \(\displaystyle 10\)។

លំហាត់

ជ្រើសរើសវិសមភាពក្នុងសំណុំខាងក្រោម៖
\[-2<-1,\quad 8>5,\quad a=b,\quad c<d,\quad a+c<a+d,\quad a+c=a+d\]
បំពេញសញ្ញា \(\displaystyle >\) ឬ \(\displaystyle <\) ឬ \(\displaystyle =\) នៅក្នុងប្រអប់ខាងក្រោម៖
\[\begin{array}{ll} \text{ក. } 10<20 \text{ នោះ } 10-4 \ \Box\ 20-4\\[4pt] \text{ខ. } a<b \text{ នោះ } a-c \ \Box\ b-c\\[4pt] \text{គ. } a>b \text{ នោះ } a-c \ \Box\ b-c\\[4pt] \text{ឃ. } 1<12 \text{ នោះ } 1\div4 \ \Box\ 12\div4\\[4pt] \text{ង. } -20<-2 \text{ នោះ } -20\div(-4) \ \Box\ -2\div(-4)\\[4pt] \text{ច. } a<b \text{ នោះ } a\div c \ \Box\ b\div c \quad \text{ចំពោះ } c>0\\[4pt] \text{ឆ. } a>b \text{ នោះ } a\div c \ \Box\ b\div c \quad \text{ចំពោះ } c<0\\[4pt] \text{ជ. } 2\times38\times5 \ \Box\ 360\\[4pt] \text{ឈ. } 170+40\div8\times2 \ \Box\ 190\\[4pt] \text{ញ. } 25\times19+25\times21 \ \Box\ 1000។ \end{array}\]
បង្ហាញថាបើ \(\displaystyle a>b\) និង \(\displaystyle c>d\) នាំឱ្យ \(\displaystyle a+c>b+d\) រួចឱ្យឧទាហរណ៍ដោយលេខបញ្ជាក់។
បង្ហាញថាបើ \(\displaystyle a>b\) និង \(\displaystyle c<d\) នាំឱ្យ \(\displaystyle a-c>b-d\) រួចឱ្យឧទាហរណ៍ដោយលេខបញ្ជាក់។
បង្ហាញថាបើ \(\displaystyle a>b\) និង \(\displaystyle b>c\) នាំឱ្យ \(\displaystyle a>c\) រួចឱ្យឧទាហរណ៍ដោយលេខបញ្ជាក់។
ប្រៀបធៀបចំនួន
\[\text{ក. } \frac{5}{3} \text{ និង } \frac{7}{3} \qquad \text{ខ. } \frac{2}{3} \text{ និង } \frac{17}{27}\]
\[\text{គ. } \frac{14}{11} \text{ និង } \frac{7}{5} \qquad \text{ឃ. } \frac{55}{23} \text{ និង } \frac{17}{11}\]
គេចង់ធ្វើដំណើរពីក្រុង \(\displaystyle A\) ទៅក្រុង \(\displaystyle B\) ដែលស្ថិតនៅចម្ងាយ \(\displaystyle 18km\) ពីគ្នា។ ដំបូងគាត់ដើរដោយល្បឿន \(\displaystyle 5km/h\) បន្ទាប់មក \(\displaystyle 4km/h\)។ បើការធ្វើដំណើរចំណាយពេលអស់ \(\displaystyle 4h\)។ ចូរសរសេរទំនាក់ទំនងដោយប្រើសញ្ញាវិសមភាព។
\(\displaystyle a=10,\quad b=-1\) ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា
\[|a+b|\le |a|+|b|។\]

ខ្លឹមសារ៖ សៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី៧ របស់ក្រសួងអប់រំ យុវជន និងកីឡា · វាយអត្ថបទ គូររូបភាពឡើងវិញ និងរៀបចំលើអនឡាញដោយលោកគ្រូ សាន សុខលី សម្រាប់ការសិក្សាដោយឥតគិតថ្លៃ និងមិនរកប្រាក់ចំណេញ។ មិនមែនជាការបោះពុម្ពផ្លូវការរបស់ក្រសួងទេ។