បន្ទាត់ស្រប បន្ទាត់កែង

• - សសរព្រះវិហារ    - ផ្លូវរថភ្លើង
• - បង្គោលភ្លើងតាមសួនច្បារ    - ត្រង់ទ្វារ

ឧទាហរណ៍ទាំងអស់ខាងលើនេះផ្តល់សញ្ញាណ “បន្ទាត់ស្រប” ។

បើបន្ទាត់ \(\displaystyle d\) និង \(\displaystyle d'\) នៅក្នុងប្លង់មួយគ្មានចំណុចរួមគេថា \(\displaystyle d\) និង \(\displaystyle d'\) ស្របគ្នា ។

គេកំណត់សរសេរ \(\displaystyle d \parallel d'\) ។

ឱ្យឧទាហរណ៍បន្ទាត់ពីរស្របគ្នាដែលស្ថិតនៅក្នុងថ្នាក់រៀនយើង ។ ជើងតុ ជើងកៅអី សសរថ្នាក់រៀន \(\displaystyle \dots\) ។ល។

គូសបន្ទាត់ពីរស្របគ្នា បន្ទាប់មកគូសបន្ទាត់ទីបីស្របនឹងបន្ទាត់ទីមួយ ។ តើបន្ទាត់ទីបីស្របនឹងបន្ទាត់ទីពីរឬទេ ?

តាងបន្ទាត់ \(\displaystyle d_1\) ជាបន្ទាត់ទី 1

ហើយ \(\displaystyle d_2\) ជាបន្ទាត់ទី 2

និង \(\displaystyle d_3\) ជាបន្ទាត់ទី 3

គេមាន \(\displaystyle d_1 \parallel d_2\) ហើយ \(\displaystyle d_1 \parallel d_3\) នោះគេបាន \(\displaystyle d_2 \parallel d_3\) ។

ផ្លូវបំបែកជាបួន ក្រឡាលើក្រដាស បន្ទាត់កែង \(\displaystyle \dots\dots\dots\dots\dots\dots\)

ឧទាហរណ៍ទាំងអស់ខាងលើនេះហៅថា “បន្ទាត់កែង” ។

បើបន្ទាត់ \(\displaystyle d\) និង \(\displaystyle d'\) នៅក្នុងប្លង់មួយមានចំណុច \(\displaystyle O\) មួយហើយផ្តុំបានមុំកែងមួយ ។

គេថា \(\displaystyle d\) និង \(\displaystyle d'\) កែងគ្នាត្រង់ \(\displaystyle O\) ។

គេកំណត់សរសេរ \(\displaystyle d \perp d'\) ។

គេឱ្យ \(\displaystyle Ax \perp Ay\) ។ មុំ \(\displaystyle \angle xAO\) មានរង្វាស់បួនដងនៃមុំ \(\displaystyle \angle yAO\) ។ គណនារង្វាស់មុំ \(\displaystyle \angle xAO\) ។

គេមាន \(\displaystyle Ax \perp Ay\) នោះ \(\displaystyle \angle xAO + \angle yAO = 90^\circ\)

តែ \(\displaystyle \angle xAO = 4\angle yAO\) សម្មតិកម្ម

\(\displaystyle \angle xAO + \frac{1}{4}\angle xAO = 90^\circ\)

\(\displaystyle \frac{5}{4}\angle xAO = 90^\circ\)

\(\displaystyle \Rightarrow \angle xAO = \frac{90^\circ \times 4}{5} = 72^\circ\)

ដូចនេះ \(\displaystyle \angle xAO = 72^\circ\) ។

1. ក. គូសបន្ទាត់ \(\displaystyle d\) និងដៅចំណុច \(\displaystyle A\) មួយនៅក្រៅបន្ទាត់ \(\displaystyle d\) ។
2. ខ. គូសបន្ទាត់ \(\displaystyle h\) កាត់តាមចំណុច \(\displaystyle A\) ហើយកែងបន្ទាត់ \(\displaystyle d\) ។
3. គ. ដៅចំណុច \(\displaystyle B\) មួយនៅក្រៅបន្ទាត់ \(\displaystyle d\) និង \(\displaystyle h\) ។
4. ឃ. គូសបន្ទាត់ \(\displaystyle k\) កាត់តាមចំណុច \(\displaystyle B\) ហើយកែងបន្ទាត់ \(\displaystyle h\) ។
5. ង. តើគេថាយ៉ាងណាចំពោះ \(\displaystyle d\) និង \(\displaystyle k\) ?

ក. ខ. គ. ឃ. ជាតូបខាងស្តាំ

ង. ដោយ \(\displaystyle \begin{cases} h \perp d \\ h \perp k \end{cases}\) នោះ \(\displaystyle d \parallel k\) ។

ក្នុងរូបនេះ បន្ទាត់ \(\displaystyle a\) គឺជាខ្នាត់នៃបន្ទាត់ \(\displaystyle d\) និង \(\displaystyle d'\) ។

ពិនិត្យរូបខាងស្តាំនេះ រួចប្រាប់គូ មុំឆ្លាស់ក្នុង មុំឆ្លាស់ក្រៅ និងមុំត្រូវគ្នា ។

មុំឆ្លាស់ក្នុង គឺគូ \(\displaystyle \angle B_4\) និង \(\displaystyle \angle C_2 \quad , \quad \angle B_3\) និង \(\displaystyle \angle C_1\)

មុំឆ្លាស់ក្រៅ គឺគូ \(\displaystyle \angle B_1\) និង \(\displaystyle \angle C_3 \quad , \quad \angle B_2\) និង \(\displaystyle \angle C_4\)

និងមុំត្រូវគ្នា គឺគូ \(\displaystyle \angle B_1\) និង \(\displaystyle \angle C_1 \quad , \quad \angle B_2\) និង \(\displaystyle \angle C_2 \quad , \quad \angle B_3\) និង \(\displaystyle \angle C_3 \quad , \quad \angle B_4\) និង \(\displaystyle \angle C_4\) ។

ក្នុងរូបខាងស្តាំនេះ គេមាន :

1. បន្ទាត់ \(\displaystyle \Delta\) ហៅថា ខ្នាត់
2. មុំក្នុង \(\displaystyle \angle A_1 \quad , \quad \angle A_2 \quad , \quad \angle B_7 \quad , \quad \angle B_8\)
3. មុំក្រៅ \(\displaystyle \angle A_3 \quad , \quad \angle A_4 \quad , \quad \angle B_5 \quad , \quad \angle B_6\)
4. មុំឆ្លាស់ក្នុង គឺគូ \(\displaystyle \angle A_2\) និង \(\displaystyle \angle B_8 \quad , \quad \angle A_1\) និង \(\displaystyle \angle B_7\)

1. មុំឆ្លាស់ក្រៅ គឺគូ \(\displaystyle \angle A_3\) និង \(\displaystyle \angle B_5 \quad , \quad \angle A_4\) និង \(\displaystyle \angle B_6\)

2. មុំត្រូវគ្នា គឺគូ \(\displaystyle \angle A_1\) និង \(\displaystyle \angle B_5 \quad , \quad \angle A_2\) និង \(\displaystyle \angle B_6 \quad ,\)

   \(\displaystyle \angle A_4\) និង \(\displaystyle \angle B_8 \quad , \quad \angle A_3\) និង \(\displaystyle \angle B_7\) ។

ក្នុងរូបខាងស្តាំនេះបញ្ជាក់ថា តើគូ បន្ទាត់ណាខ្លះស្របគ្នា ? ហើយមុំ \(\displaystyle \angle x \quad , \quad \angle y \quad , \quad \angle z\) និង \(\displaystyle \angle u\) ណាខ្លះប៉ុនគ្នា ?

បន្ទាត់ \(\displaystyle a \parallel d\) និង \(\displaystyle c \parallel b\)

មុំ \(\displaystyle \angle x = \angle u\) មុំត្រូវគ្នានិង \(\displaystyle \angle y = \angle z\) មុំត្រូវគ្នា ។

ក្នុងរូបខាងស្តាំនេះ គេមានបន្ទាត់ \(\displaystyle a \parallel b\) កាត់ដោយខ្នាត់ \(\displaystyle m\) ។

គណនារង្វាស់មុំ \(\displaystyle \angle 1\) និង \(\displaystyle \angle 4\) ។

មុំ \(\displaystyle \angle 5\) និងមុំ \(\displaystyle \angle 1\) ជាមុំត្រូវគ្នា នោះគេបាន \(\displaystyle \angle 5 = \angle 1\) តែមុំ \(\displaystyle \angle 5\) មានរង្វាស់ \(\displaystyle 120^\circ\) នោះមុំ \(\displaystyle \angle 1\) រង្វាស់ \(\displaystyle 120^\circ\) ។ ដូចនេះ មុំ \(\displaystyle \angle 1\) រង្វាស់ \(\displaystyle 120^\circ\) \(\displaystyle \angle 1 + \angle 4 = 180^\circ\) \(\displaystyle 120^\circ + \angle 4 = 180^\circ\) \(\displaystyle \angle 4 = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\) ដូចនេះ មុំ \(\displaystyle \angle 4\) រង្វាស់ \(\displaystyle 60^\circ\) ។

ក្នុងរូបខាងស្តាំនេះ គេមានបន្ទាត់ \(\displaystyle a \parallel b\) កាត់ដោយខ្នាត់ \(\displaystyle t\) ។

គណនារង្វាស់មុំនីមួយៗនៃមុំទាំង 8 ដែលផ្តុំឡើងដោយបន្ទាត់ \(\displaystyle a \parallel b\) កាត់ដោយខ្នាត់ \(\displaystyle t\) ។

\(\displaystyle \angle E_7\) និង \(\displaystyle \angle F_1\) ជាមុំឆ្លាស់ក្រៅ នោះ គេបាន \(\displaystyle 7x = 2x + 75\) \(\displaystyle 5x = 75\) \(\displaystyle x = 15\)

ដូចនេះ \(\displaystyle \angle E_1 = \angle F_1 = 7x = 2x + 75 = 105^\circ\) ។

\(\displaystyle \angle E_1 = \angle F_5 = 105^\circ\) មុំត្រូវគ្នា \(\displaystyle \angle E_3 = \angle F_5 = 105^\circ\) មុំឆ្លាស់ក្នុង គេមាន \(\displaystyle \angle E_1 + \angle E_2 = 180^\circ\) មុំជាប់បន្ថែម នោះ \(\displaystyle 105^\circ + \angle E_2 = 180^\circ\) \(\displaystyle \angle E_2 = 180^\circ - 150^\circ = 75^\circ\)

ដូចនេះ \(\displaystyle \angle E_2 = \angle F_6 = 75^\circ\) មុំត្រូវគ្នា ។ \(\displaystyle \angle E_4 = \angle F_6 = 75^\circ\) មុំឆ្លាស់ក្នុង \(\displaystyle \angle E_2 = \angle F_8 = 75^\circ\) មុំឆ្លាស់ក្រៅ ។

ក្នុងករណីនីមួយៗនៃរូបខាងលើបង្ហាញថា \(\displaystyle \angle xOy = \angle x'O'y'\) ឬ \(\displaystyle \angle xOy + \angle x'O'y' = 180^\circ\) ។

រូប \(\displaystyle (a)\)

បន្លាយជ្រុង \(\displaystyle Ox\) កាត់ \(\displaystyle O'y'\) ត្រង់ \(\displaystyle A\) ។ គេបាន \(\displaystyle \angle xOy = \angle xAy'\) មុំត្រូវគ្នា ។ \(\displaystyle \angle x'O'y' = \angle xAy'\) មុំត្រូវគ្នា ។ ដូចនេះ \(\displaystyle \angle xOy = \angle x'O'y'\) ។

រូប \(\displaystyle (b)\)

ភ្ជាប់ \(\displaystyle OO'\) គេបាន \(\displaystyle \angle O'Oy = \angle OO'y'\) មុំឆ្លាស់ក្នុង ។ \(\displaystyle \angle O'Ox = \angle OO'x'\) មុំឆ្លាស់ក្នុង ។ នោះ \(\displaystyle \angle O'Oy - \angle O'Ox = \angle OO'y' - \angle OO'x'\) \(\displaystyle \implies \angle xOy = \angle x'O'y'\) ។

រូប \(\displaystyle (c)\)

បន្លាយជ្រុង \(\displaystyle Ox\) កាត់ \(\displaystyle O'y'\) ត្រង់ \(\displaystyle A\) ។ គេបាន \(\displaystyle \angle xOy = \angle xAO'\) មុំត្រូវគ្នា ។ \(\displaystyle \angle x'O'y' + \angle xAO' = 180^\circ\) ផលបូកមុំក្នុងរួមខាង ។ ដូចនេះ \(\displaystyle \angle xOy + \angle x'O'y' = 180^\circ\) ។

ក្នុងករណីនីមួយៗនៃរូបខាងលើបង្ហាញថា \(\displaystyle \angle xOy = \angle x'O'y'\) ឬ \(\displaystyle \angle xOy + \angle x'O'y' = 180^\circ\) ។

រូប \(\displaystyle (a)\)

តាម \(\displaystyle O\) គូស \(\displaystyle Ot \parallel O'x'\) រួច \(\displaystyle oy\) កាត់ \(\displaystyle ox\) ត្រង់ចំណុច \(\displaystyle A\) គេបាន \(\displaystyle \angle yOt = \angle O'Ay\) មុំត្រូវគ្នា ហើយ \(\displaystyle \angle xOy = 90^\circ - \angle tOy\) \(\displaystyle \angle x'O'y' = 90^\circ - \angle O'Ay\) ដូចនេះ \(\displaystyle \angle xOy = \angle x'O'y'\) ។

រូប \(\displaystyle (b)\)

តាម \(\displaystyle O\) គូស \(\displaystyle Ot \parallel O'y'\) នោះគេបាន \(\displaystyle Ot \perp Oy\) រួច \(\displaystyle ot\) កាត់ \(\displaystyle o'x'\) ត្រង់ចំណុច \(\displaystyle A\) គេបាន \(\displaystyle \angle OAx' = \angle x'O'y'\) មុំត្រូវគ្នា ហើយ \(\displaystyle \angle xOy = 90^\circ - \angle xOA\) \(\displaystyle \angle x'O'y' = 90^\circ - \angle xOA\) ដូចនេះ \(\displaystyle \angle xOy = \angle x'O'y'\) ។

រូប \(\displaystyle (c)\)

បន្លាយ \(\displaystyle Ox\) និង \(\displaystyle O'y'\) កាត់គ្នាត្រង់ \(\displaystyle A\) គេបាន \(\displaystyle \angle AOy = \angle x'O'y'\) មុំមានជ្រុងត្រួតកែងរៀងគ្នា \(\displaystyle \angle AOy + \angle xOy = 180^\circ\) ( មុំជាប់បន្ថែម ) ដូចនេះ \(\displaystyle \angle xOy + \angle x'O'y' = 180^\circ\) ។

គេមានត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) ដែលមុំទាំងបីជាមុំស្រួច ហើយ \(\displaystyle H\) ជាអរតូសង់ ។ បង្ហាញថា \(\displaystyle \angle BAC + \angle BHC = 180^\circ\) ។

គេមាន \(\displaystyle AB \perp CH\) \(\displaystyle AC \perp BH\) នោះមុំ \(\displaystyle \angle BAC\) និង \(\displaystyle \angle BHC\) មុំមានជ្រុងត្រួតកែងរៀងគ្នា ។

ដោយមុំ \(\displaystyle \angle BAC\) ជាមុំស្រួច ហើយ \(\displaystyle \angle BHC\) ជាមុំទាល ។ ដូចនេះ \(\displaystyle \angle BAC + \angle BHC = 180^\circ\) ។