មេរៀនទី ៣ ទំហំសមាមាត្រនិងភាគរយ — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ៨

✓វត្ថុបំណង

កំណត់ទំហំពីរសមាមាត្រគ្នា
ដោះស្រាយចំណោទដែលទាក់ទងនឹងសមាមាត្រ
ដោះស្រាយចំណោទដែលទាក់ទងនឹងភាគរយនិងកិច្ចការជំនួញ ។

1. ទំហំសមាមាត្រ

1.1. ទំហំសមាមាត្រស្រប

ឧទាហរណ៍ ៖ គេប្រើជញ្ជីងដែកក្នុងការថ្លឹងម៉ាស គេទទួលបានលទ្ធផលដូចតារាងខាងក្រោម៖

ម៉ាស $\displaystyle x$ គិតជាក្រាម (g)	50	100	150	250	…
ប្រវែងរ៉ឺស័រលូត $\displaystyle y$ គិតជាមីលីម៉ែត្រ (mm)	10	20	30	50	…

តាមតារាងខាងលើគេសង្កេតឃើញថា កាលណាម៉ាសកាន់តែធំ នោះរ៉ឺស័រលូតបានកាន់តែវែងទៅតាមចំនួនដងនៃម៉ាស ។

គេកត់សម្គាល់ឃើញថា $\displaystyle \frac{y}{x} = \frac{10}{50} = \frac{20}{100} = \frac{30}{150} = \dots = 0.2$

គេអាចបកស្រាយទំនាក់ទំនងរវាងទំហំ $\displaystyle x$ និង $\displaystyle y$ ដោយខ្លី $\displaystyle \frac{y}{x} = 0.2$ ឬ $\displaystyle y = 0.2x$ ។

គេថា $\displaystyle x$ និង $\displaystyle y$ ជាទំហំសមាមាត្រស្របនិង $\displaystyle 0.2$ ជាមេគុណសមាមាត្រ ។

Tជាទូទៅ

$\displaystyle y$ និង $\displaystyle x$ ជាទំហំសមាមាត្រស្របនិង $\displaystyle a \ne 0$ ជាមេគុណសមាមាត្រនោះ

\[\text{គេបាន } \frac{y}{x} = a \text{ ឬ } y = ax \text{ ។}\]

•លំហាត់គំរូ

ក្នុងបណ្ណាល័យមួយ ពិន័យអ្នកដែលបានខ្ចីសៀវភៅអានពីបណ្ណាល័យ ហើយបានសងសៀវភៅវិញហួសកំណត់មួយថ្ងៃនឹងត្រូវពិន័យប្រាក់ $\displaystyle 100\text{ ៛}$ ។ សរសេរទំនាក់ទំនងរវាងទំហំទាំងពីរនេះ ។

ដំណោះស្រាយ

តាង $\displaystyle x$ ជាចំនួនថ្ងៃដែលបានខ្ចីសៀវភៅហួសកំណត់

តាង $\displaystyle y$ ជាប្រាក់ដែលត្រូវបានពិន័យ ។ ប្រាក់ពិន័យនឹងកើនទៅតាមចំនួនដងនៃថ្ងៃដែលបានហួសកំណត់ វាជាទំហំសមាមាត្រស្របកំណត់ដោយ $\displaystyle y = 100x$ ។

✎ប្រតិបត្តិ

យន្តហោះមួយគ្រឿងហោះក្នុងល្បឿន $\displaystyle 800\text{ km/h}$ ។ កំណត់ចម្ងាយចរនៅពេលដែលវាចរអស់រយៈពេល 8 ម៉ោង ។

មើលចម្លើយ

$\displaystyle 6400\text{ km}$ ។

1.2. លក្ខណៈនៃសមាមាត្រស្រប

លក្ខណៈទី 1 ៖ យើងពិនិត្យតម្លៃសមាមាត្រនៃ $\displaystyle y$ និង $\displaystyle x$ ដែលមានមេគុណសមាមាត្រ $\displaystyle a \ne 0$ ។ បើ $\displaystyle x_1$ និង $\displaystyle x_2$ ជាតម្លៃពីរផ្សេងគ្នានៃ $\displaystyle x$ និង $\displaystyle y_1$ និង $\displaystyle y_2$ ជាតម្លៃត្រូវគ្នានៃ $\displaystyle y$ យើងបាន $\displaystyle y_1 = ax_1$ និង $\displaystyle y_2 = ax_2$

$\displaystyle \frac{y_1}{x_1} = a$ និង $\displaystyle \frac{y_2}{x_2} = a$ ដូចនេះ $\displaystyle \frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}$ ឬ $\displaystyle \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$ ជាសមាមាត្រ ហើយ $\displaystyle x_1$ និង $\displaystyle x_2$, $\displaystyle y_1$ និង $\displaystyle y_2$ ហៅថាគូនៃសមាមាត្រ ។

ក្នុងសមាមាត្រ $\displaystyle \frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}$, $\displaystyle y_1$ និង $\displaystyle x_2$ ហៅថាតួចុងនិង $\displaystyle x_1$ និង $\displaystyle y_2$ ហៅថាតួមធ្យម ។

បើយើងគុណអង្គទាំងពីរនៃសមាមាត្រ $\displaystyle \frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}$ នឹង $\displaystyle x_1 x_2$ យើងបាន

$\displaystyle \frac{y_1}{x_1} \times x_1 x_2 = \frac{y_2}{x_2} \times x_1 x_2$ សមមូលនឹង $\displaystyle y_1 x_2 = y_2 x_1$ ។

Tលក្ខណៈទី 1

ក្នុងសមាមាត្រ ផលគុណតួចុងស្មើនឹងផលគុណតួមធ្យម

\[\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} \text{ សមមូលនឹង } x_2 y_1 = x_1 y_2 \text{ ។}\]

•លំហាត់គំរូ

រូបខាងក្រោមជាចតុកោណកែងបីដែលមានប្រវែងបណ្តោយសមាមាត្រនឹងប្រវែងទទឹង ។ វិមាត្រទាំងអស់គិតជាសង់ទីម៉ែត្រ (cm) ។

ក. រកប្រវែងបណ្តោយនៃរូបទី 2
ខ. រកប្រវែងទទឹងនៃរូបទី 3 ។

ដំណោះស្រាយ

ផលធៀបប្រវែងបណ្តោយនិងប្រវែងទទឹងនៃរូបទី 1 គឺ $\displaystyle \frac{3}{2}$

ក.
ចំពោះរូបទី 2 ៖ ដោយរូបទី 2 សមាមាត្រនឹងរូបទី 1 គេបាន $\displaystyle \frac{3}{2} = \frac{x}{8}$ នោះ $\displaystyle x = \frac{3}{2} \times 8 = 12$
ដូចនេះបណ្តោយនៃរូបទី 2 មានប្រវែង $\displaystyle 12\text{ cm}$ ។
ខ.
ចំពោះរូបទី 3 ៖ ដោយរូបទី 3 សមាមាត្រនឹងរូបទី 1 គេបាន $\displaystyle \frac{3}{2} = \frac{15}{y}$ នោះ $\displaystyle y = \frac{2}{3} \times 15 = 10$
ដូចនេះទទឹងនៃរូបទី 3 មានប្រវែង $\displaystyle 10\text{ cm}$ ។

✎ប្រតិបត្តិ

ថ្លៃក្រូចសមាមាត្រនឹងចំនួនផ្លែក្រូច ។ បើក្រូច 9 ផ្លែ ថ្លៃ $\displaystyle 1\,200\text{ ៛}$ ។

ក. រកថ្លៃក្រូច 12 ផ្លែ ។
ខ. រកចំនួនផ្លែក្រូចដែលថ្លៃ $\displaystyle 32\,000\text{ ៛}$ ។

មើលចម្លើយ

ក. $\displaystyle 1\,600\text{ ៛}$ ខ. $\displaystyle 240\text{ ផ្លែ}$ ។

លក្ខណៈទី 2 ៖ បើ $\displaystyle y_1 = ax_1$ និង $\displaystyle y_2 = ax_2$ ដែល $\displaystyle a \ne 0$

យើងបាន $\displaystyle \frac{y_1 + y_2}{x_1 + x_2} = \frac{ax_1 + ax_2}{x_1 + x_2} = \frac{a(x_1 + x_2)}{x_1 + x_2} = a$

តែ $\displaystyle \frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} = a$ នោះ $\displaystyle \frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} = \frac{y_1 + y_2}{x_1 + x_2}$ ។

Tលក្ខណៈទី 2

$\displaystyle x_1$ និង $\displaystyle x_2$ ជាពីរចំនួនខុសពីសូន្យដែល $\displaystyle x_1 + x_2 \ne 0$ ។
\[\text{បើ } \frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} \text{ នោះ } \frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} = \frac{y_1 + y_2}{x_1 + x_2}\]
ដូចគ្នាដែរ $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ ជាបីចំនួនខុសពីសូន្យដែល $\displaystyle x_1 + x_2 + x_3 \ne 0$
\[\text{បើ } \frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} = \frac{y_3}{x_3} \text{ នោះ } \frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} = \frac{y_3}{x_3} = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{x_1 + x_2 + x_3} \text{ ។}\]

•លំហាត់គំរូ

កាកបាទក្រហមបានផ្តល់អង្ករ $\displaystyle 320\text{ kg}$ ឱ្យប្រជាជនបីគ្រួសាររងគ្រោះដោយទឹកជំនន់ ដែលគ្រួសារនីមួយៗមានសមាជិក 4 នាក់ 5 នាក់ និង 7 នាក់ ។ គេដឹងថាមនុស្សម្នាក់ៗទទួលបានអង្ករបរិមាណស្មើគ្នាហើយចំណែកនៃគ្រួសារនីមួយៗសមាមាត្រនឹងចំនួនសមាជិកនៅក្នុងគ្រួសារ ។ រកចំណែកអង្ករដែលគ្រួសារនីមួយៗទទួលបាន ។

ដំណោះស្រាយ

តាង $\displaystyle a, b$ និង $\displaystyle c$ ជាចំណែករៀងគ្នានៃគ្រួសារនីមួយៗ ។ ដោយចំណែកគ្រួសារនីមួយៗសមាមាត្រនឹងចំនួនសមាជិកនៅក្នុងគ្រួសារ យើងបាន

\[\frac{a}{4} = \frac{b}{5} = \frac{c}{7} \text{ ហើយ } a + b + c = 320\]

តាមលក្ខណៈសមាមាត្រ យើងបាន

\[\frac{a}{4} = \frac{b}{5} = \frac{c}{7} = \frac{a + b + c}{4 + 5 + 7} = \frac{320}{16} = 20\]

យើងទាញបាន

\[\begin{aligned} \frac{a}{4} &= 20 \text{ នោះ } a = 4 \times 20 = 80 \\ \frac{b}{5} &= 20 \text{ នោះ } b = 5 \times 20 = 100 \\ \frac{c}{7} &= 20 \text{ នោះ } c = 7 \times 20 = 140 \text{ ។} \end{aligned}\]

ដូចនេះចំណែកនៃគ្រួសារនីមួយៗ គឺ $\displaystyle 80\text{ kg}$, $\displaystyle 100\text{ kg}$ និង $\displaystyle 140\text{ kg}$ ។

✎ប្រតិបត្តិ

បុរសម្នាក់បានចែកប្រាក់ $\displaystyle 140\,000\text{ ៛}$ ឱ្យកូនបីនាក់មានអាយុ 7 ឆ្នាំ 10 ឆ្នាំ និង 11 ឆ្នាំ ។ គេដឹងថាចំណែកនៃកូនម្នាក់ៗសមាមាត្រនឹងអាយុរបស់ពួកគេ ។ រកចំណែកប្រាក់ដែលកូនម្នាក់ៗទទួលបាន ។

មើលចម្លើយ

$\displaystyle 35\,000\text{ ៛}, 50\,000\text{ ៛}, 55\,000\text{ ៛}$ ។

1.3. ទំហំសមាមាត្រច្រាស

ឧទាហរណ៍ ៖ គេចង់បានដីមួយកន្លែងរាងចតុកោណកែងដែលមានផ្ទៃក្រឡា $\displaystyle 36\text{ m}^2$ ។ គេមានជម្រើសច្រើនក្នុងការកំណត់ទទឹងនិងបណ្តោយនៃចតុកោណកែងដូចតារាងខាងក្រោម៖

ប្រវែងទទឹង $\displaystyle x$ គិតជាម៉ែត្រ (m)	1	2	3	4	6
ប្រវែងបណ្តោយ $\displaystyle y$ គិតជាម៉ែត្រ (m)	36	18	12	9	6

យើងសង្កេតលើតារាងឃើញថា កាលណាតម្លៃ $\displaystyle x$ កើន តម្លៃ $\displaystyle y$ ថយចុះ ឬតម្លៃ $\displaystyle x$ ថយចុះ នោះតម្លៃ $\displaystyle y$ កើន ហើយផលគុណតម្លៃទាំងពីរគឺ

\[xy = 1 \times 36 = 2 \times 18 = 3 \times 12 = 4 \times 9 = 6 \times 6 = 36 \text{ ។}\]

យើងអាចបកស្រាយទំនាក់ទំនង $\displaystyle x$ និង $\displaystyle y$ ដោយខ្លី $\displaystyle xy = 36$ ឬ $\displaystyle y = \frac{36}{x}$ ។

គេថាប្រវែងទទឹង $\displaystyle x\text{ (m)}$ និងបណ្តោយ $\displaystyle y\text{ (m)}$ ជាទំហំសមាមាត្រច្រាសហើយ 36 ជាមេគុណសមាមាត្រច្រាស ។

Tជាទូទៅ

បើ $\displaystyle y$ និង $\displaystyle x$ ជាទំហំសមាមាត្រច្រាសនិង $\displaystyle a \ne 0$ ជាមេគុណសមាមាត្រច្រាសនោះ

\[xy = a \text{ ឬ } y = \frac{a}{x} \text{ ។}\]

•លំហាត់គំរូ

កម្មករ 35 នាក់សង់ផ្ទះមួយហើយក្នុងរយៈពេល 16 ថ្ងៃ ។ តើកម្មករ 28 នាក់សង់ផ្ទះនោះហើយក្នុងរយៈពេលប៉ុន្មានថ្ងៃ ?

ដំណោះស្រាយ

តាង $\displaystyle x$ ជាចំនួនថ្ងៃដែលកម្មករ 28 នាក់សង់ផ្ទះនោះហើយ

ចំនួនកម្មករ	35	28
ចំនួនថ្ងៃ	16	$\displaystyle x$

ចំនួនកម្មករនិងចំនួនថ្ងៃជាទំហំសមាមាត្រច្រាស យើងបាន

\[28x = 35 \times 16 \text{ នោះ } x = \frac{35 \times 16}{28} = 20 \text{ ថ្ងៃ ។}\]

ដូចនេះកម្មករ 28 នាក់សង់ផ្ទះនោះហើយក្នុងរយៈពេល 20 ថ្ងៃ ។

✎ប្រតិបត្តិ

គេបញ្ចូលទឹកដាក់ក្នុងអាងមួយដោយប្រើប៊ីដុង 4 ចំណាយពេលអស់ $\displaystyle 70\text{ mn}$ ទើបពេញអាង ។ បើគេប្រើប៊ីដុង 7 តើត្រូវចំណាយពេលអស់ប៉ុន្មាន ទើបបញ្ចូលទឹកពេញអាងនោះ ?

មើលចម្លើយ

$\displaystyle 40\text{ mn}$ ។

2. ភាគរយ

2.1. ការសរសេរបរិមាណមួយជាភាគរយនៃបរិមាណមួយទៀត

ឧទាហរណ៍ ៖ សរសេរ $\displaystyle 45\text{ m}$ ជាភាគរយនៃ $\displaystyle 1\text{ km}$ ។

ដំបូងសរសេរប្រភាគ $\displaystyle \frac{45}{1000}$ (ដោយ $\displaystyle 1\text{ km} = 1000\text{ m}$)

ប្តូរប្រភាគទៅជាភាគរយ $\displaystyle = \frac{45}{1000} \times 100\% = 4.5\%$ ។

ដូចនេះ $\displaystyle 45\text{ m}$ ជាភាគរយនៃ $\displaystyle 1\text{ km}$ គឺ $\displaystyle 4.5\%$ ។

Tជាទូទៅ

ដើម្បីសរសេរបរិមាណ $\displaystyle a$ មួយជាភាគរយនៃបរិមាណ $\displaystyle b$ មួយទៀត គេត្រូវសរសេរ $\displaystyle a$ ជាប្រភាគនៃ $\displaystyle b$ មានន័យថា $\displaystyle \frac{a}{b}$ គុណប្រភាគ $\displaystyle \frac{a}{b}$ នឹង $\displaystyle 100\%$ ។

•លំហាត់គំរូ

ការធ្វើតេស្តសិស្ស 40 នាក់ ជាប់បាន 30 នាក់ ។ តើសិស្សដែលបានធ្វើតេស្តជាប់មានប៉ុន្មានភាគរយ ?

ដំណោះស្រាយ

ភាគរយនៃសិស្សដែលបានធ្វើតេស្តជាប់គឺ $\displaystyle \frac{30}{40} \times 100\% = 75\%$ ។

✎ប្រតិបត្តិ

សិស្សម្នាក់ទទួលបាន 95 ពិន្ទុក្នុង 100 ពិន្ទុលើមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យានិង 92 ពិន្ទុក្នុង 100 ពិន្ទុលើមុខវិជ្ជាភាសាខ្មែរ ។ រកពិន្ទុដែលទទួលបានជាភាគរយលើមុខវិជ្ជានីមួយៗ ។

មើលចម្លើយ

$\displaystyle 95\%, 92\%$ ។

2.2. ភាគរយនៃប្រាក់ចំណេញនិងប្រាក់ខាត

ភាគរយនៃប្រាក់ចំណេញ ឬប្រាក់ខាតធៀបនឹងប្រាក់ថ្លៃដើមកំណត់ដូចខាងក្រោម ៖

\[\begin{aligned} \text{ភាគរយប្រាក់ចំណេញ} &= \frac{\text{ប្រាក់ចំណេញ}\rule[-0.5em]{0pt}{1.55em}}{\text{ប្រាក់ថ្លៃដើម}\rule[-0.5em]{0pt}{1.55em}} \times 100\% \\[6pt] \text{ភាគរយប្រាក់ខាត} &= \frac{\text{ប្រាក់ខាត}\rule[-0.5em]{0pt}{1.55em}}{\text{ប្រាក់ថ្លៃដើម}\rule[-0.5em]{0pt}{1.55em}} \times 100\% \end{aligned}\]

•លំហាត់គំរូ

នៅក្នុងក្រុមហ៊ុននាំចូលនៃរថយន្តមួយគេដឹងថាថ្លៃដើមទិញចូលមួយគ្រឿងគឺ $\displaystyle 75\,000\$$ ។ ក្រុមហ៊ុនបានលក់រថយន្តមួយគ្រឿងឱ្យលោកស្រីស៊ុនថ្លៃ $\displaystyle 84\,000\$$ ។ ពីរឆ្នាំក្រោយមកលោកស្រីស៊ុនបានលក់រថយន្តនេះឱ្យលោកហេងលីម ថ្លៃ $\displaystyle 60\,000\$$ ។

ក. រកភាគរយប្រាក់ចំណេញដែលក្រុមហ៊ុនទទួលបានពីការលក់រថយន្តឱ្យលោកស្រីស៊ុន ។
ខ. រកភាគរយប្រាក់ខាតដែលលោកស្រីស៊ុនបានខាតពីការលក់រថយន្តឱ្យលោកហេងលីម ។

ដំណោះស្រាយ

ក.
ប្រាក់ថ្លៃដើមនៃរថយន្ត $\displaystyle = 75\,000\$$
ប្រាក់ចំណេញសម្រាប់ក្រុមហ៊ុន $\displaystyle 84\,000\$ - 75\,000\$ = 9\,000\$$
ភាគរយប្រាក់ចំណេញសម្រាប់ក្រុមហ៊ុន $\displaystyle = \frac{9\,000\$}{75\,000\$} \times 100\% = 12\%$
ដូចនេះ ក្រុមហ៊ុនចំណេញប្រាក់បាន $\displaystyle 12\%$ ។
ខ.
លោកស្រីស៊ុនបានចំណាយសម្រាប់ប្រាក់ទិញរថយន្តស្មើនឹង $\displaystyle 84\,000\$$
ចំនួនប្រាក់ដែលបានខាតនៅពេលដែលគាត់បានលក់រថយន្ត
\[84\,000\$ - 60\,000\$ = 24\,000\$\]
ភាគរយប្រាក់ខាតដែលលោកស្រីស៊ុនបានខាតពីការលក់រថយន្ត
\[\frac{24\,000\$}{84\,000\$} \times 100\% = 28.57\%\]
ដូចនេះ នៅពេលលោកស្រីស៊ុនបានលក់រថយន្តឱ្យលោកហេងលីមគាត់បានខាតអស់ $\displaystyle 28.57\%$ ។

✎ប្រតិបត្តិ

ពូសុខបានទិញចម្ការក្រូចមួយកន្លែងថ្លៃ $\displaystyle 2\,240\,000\text{ ៛}$ ។ បីឆ្នាំក្រោយមកគាត់បានលក់វាចេញវិញខាតអស់ $\displaystyle 22\%$ ។ តើចម្ការក្រូចនោះ គាត់បានលក់ចេញវិញថ្លៃប៉ុន្មាន?

មើលចម្លើយ

$\displaystyle 1\,747\,200\text{ ៛}$ ។

2.3. ការបញ្ចុះតម្លៃ

ឧទាហរណ៍ ៖ នៅពេលដែលរបស់មួយត្រូវបានកាត់ក្នុងតម្លៃមួយទាបជាងថ្លៃលក់ខាងដើមនោះ ភាពខុសគ្នានេះហៅថា ការបញ្ចុះតម្លៃ ។

ភាគរយនៃការបញ្ចុះតម្លៃធៀបនឹងតម្លៃខាងដើមកំណត់ដូចខាងក្រោម ៖

\[\text{ភាគរយការបញ្ចុះតម្លៃ} = \frac{\text{ការបញ្ចុះតម្លៃ}\rule[-0.5em]{0pt}{1.55em}}{\text{ថ្លៃលក់ខាងដើម}\rule[-0.5em]{0pt}{1.55em}} \times 100\%\]

•លំហាត់គំរូ

គេដឹងថាតម្លៃលក់ខាងដើមនៃកាបូបដៃមួយថ្លៃ $\displaystyle 32\,000\text{ ៛}$ និងសម្លៀកបំពាក់មួយកំប្លេថ្លៃ $\displaystyle 36\,000\text{ ៛}$ ។ នៅពេលដំណាច់ឆ្នាំ គេលក់កាបូបដៃមួយថ្លៃតែ $\displaystyle 25\,600\text{ ៛}$ និងលក់សម្លៀកបំពាក់មួយកំប្លេបញ្ចុះថ្លៃ $\displaystyle 30\%$ ។

ក. រកភាគរយនៃការបញ្ចុះតម្លៃកាបូបដៃមួយក្នុងអំឡុងពេលលក់នោះ ។
ខ. រកថ្លៃលក់សម្លៀកបំពាក់មួយកំប្លេក្នុងអំឡុងពេលលក់នោះ ។

ដំណោះស្រាយ

ក.
តម្លៃលក់ខាងដើមនៃកាបូបដៃមួយថ្លៃ $\displaystyle 32\,000\text{ ៛}$
ថ្លៃលក់កាបូបដៃមួយស្មើនឹង $\displaystyle 25\,600\text{ ៛}$
ការបញ្ចុះតម្លៃ $\displaystyle = 32\,000\text{ ៛} - 25\,600\text{ ៛} = 6\,400\text{ ៛}$
ភាគរយការបញ្ចុះតម្លៃ $\displaystyle = \frac{6\,400\text{ ៛}\rule[-0.5em]{0pt}{1.55em}}{32\,000\text{ ៛}\rule[-0.5em]{0pt}{1.55em}} \times 100\% = 20\%$
ដូចនេះពេលដំណាច់ឆ្នាំកាបូបដៃមួយត្រូវបានគេលក់បញ្ចុះថ្លៃ $\displaystyle 20\%$ ។
ខ.
តម្លៃលក់ខាងដើមនៃសម្លៀកបំពាក់មួយកំប្លេថ្លៃ $\displaystyle 36\,000\text{ ៛}$
ការបញ្ចុះថ្លៃ $\displaystyle 30\%$ នៃ $\displaystyle 36\,000\text{ ៛} = \frac{30}{100} \times 36\,000\text{ ៛} = 10\,800\text{ ៛}$
ថ្លៃលក់សម្លៀកបំពាក់មួយកំប្លេ $\displaystyle = 36\,000\text{ ៛} - 10\,800\text{ ៛} = 25\,200\text{ ៛}$ ។
ដូចនេះសម្លៀកបំពាក់មួយកំប្លេត្រូវបានលក់តម្លៃ $\displaystyle 25\,200\text{ ៛}$ ។

✎ប្រតិបត្តិ

មីងសារីបានទិញចានច្រៀងដៃចំនួន 300 ដែលចានច្រៀងនីមួយៗ ថ្លៃ $\displaystyle 3\,300\text{ ៛}$ ។ គាត់បានលក់វិញនៅដើមដំបូងអស់ចានច្រៀងចំនួន 200 ដែលចានច្រៀងមួយៗ ថ្លៃ $\displaystyle 3\,980\text{ ៛}$ ហើយនៅសល់ពីនេះគាត់លក់បញ្ចុះតម្លៃ $\displaystyle 15\%$ ។ រកភាគរយប្រាក់ចំណេញរបស់គាត់ ។

មើលចម្លើយ

$\displaystyle 14.57\%$ ។

2.4. ការប្រែប្រួលភាគរយ

ឧទាហរណ៍ ៖ បើគេនិយាយថាប្រាក់ខែនៃកម្មករម្នាក់កើនបាន $\displaystyle 15\%$ មានន័យថារាល់ប្រាក់ $\displaystyle 100\text{ ៛}$ នៅក្នុងប្រាក់ខែដើមកើនបាន $\displaystyle 15\text{ ៛}$ បានសេចក្តីថាក្នុងប្រាក់ $\displaystyle 100\text{ ៛}$ នៅក្នុងប្រាក់ខែដើមទៅជា $\displaystyle 115\text{ ៛}$ នៅក្នុងប្រាក់ខែថ្មី ។

ឧបមាថាប្រាក់ខែដើមរបស់កម្មករម្នាក់គឺ $\displaystyle 320\,000\text{ ៛}$ ។ តើប្រាក់ខែថ្មីរបស់គាត់ទទួលបានប៉ុន្មានបន្ទាប់ពីកើនបាន $\displaystyle 15\%$ ?

\[\text{ប្រាក់ខែថ្មី : ប្រាក់ខែដើម} = 115 : 100 = \frac{\text{ប្រាក់ខែថ្មី}\rule[-0.5em]{0pt}{1.55em}}{\text{ប្រាក់ខែដើម}\rule[-0.5em]{0pt}{1.55em}} = \frac{115}{100}\]

\[\text{ប្រាក់ខែថ្មី} = \frac{115}{100} \times \text{ប្រាក់ខែដើម} = \frac{115}{100} \times 320\,000\text{ ៛} = 368\,000\text{ ៛} \text{ ។}\]

ម្យ៉ាងទៀតបើគេនិយាយថាប្រាក់ខែថយចុះ $\displaystyle 5\%$ មានន័យថារាល់ប្រាក់ $\displaystyle 100\text{ ៛}$ នៅក្នុងប្រាក់ខែដើមថយចុះអស់ $\displaystyle 5\text{ ៛}$ បានសេចក្តីថាក្នុង $\displaystyle 100\text{ ៛}$ នៅក្នុងប្រាក់ខែដើមទៅជា $\displaystyle 95\text{ ៛}$ នៅក្នុងប្រាក់ខែថ្មី ។ នៅក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ គេបាន

\[\text{គេបានប្រាក់ខែថ្មី : ប្រាក់ខែដើម} = 95 : 100 = \frac{\text{ប្រាក់ខែថ្មី}\rule[-0.5em]{0pt}{1.55em}}{\text{ប្រាក់ខែដើម}\rule[-0.5em]{0pt}{1.55em}} = \frac{95}{100}\]

\[\text{ប្រាក់ខែថ្មី} = \frac{95}{100} \times \text{ប្រាក់ខែដើម} = \frac{95}{100} \times 320\,000\text{ ៛} = 304\,000\text{ ៛} \text{ ។}\]

•លំហាត់គំរូ

កម្មករនៃក្រុមហ៊ុនអគ្គិសនីមួយត្រូវបានគេដំឡើង $\displaystyle 8\%$ នៅក្នុងប្រាក់ខែ ប្រចាំខែរបស់ពួកគេ ។

ក. លោកប៊ុនថា ទទួលបានប្រាក់ខែដើម $\displaystyle 540\,000\text{ ៛}$ ក្នុងមួយខែ ។ រកប្រាក់ប្រចាំខែរបស់គាត់បន្ទាប់ពីបានដំឡើង $\displaystyle 8\%$ មកនោះ ។
ខ. បើប្រាក់ខែប្រចាំខែរបស់លោកស្រីចាន់ធីទទួលបាន $\displaystyle 518\,400\text{ ៛}$ បន្ទាប់ពីបានដំឡើងរួច ។ រកប្រាក់ខែដើមប្រចាំខែរបស់គាត់ ។

ដំណោះស្រាយ

ក.
ប្រាក់ខែប្រចាំខែរបស់ប៊ុនថាបន្ទាប់ពីបានដំឡើងគឺ
\[100\% + 8\% = 108\% \text{ នៃប្រាក់ខែដើមប្រចាំខែរបស់គាត់ ។}\]
ប្រាក់ប្រចាំខែរបស់គាត់បន្ទាប់ពីបានដំឡើងគឺ
\[108\% \text{ នៃ } 540\,000\text{ ៛} = 108\% \times 540\,000\text{ ៛} = 583\,200\text{ ៛}\]
ខ.
$\displaystyle \frac{\text{ប្រាក់ខែរបស់លោកស្រីចាន់ធីបន្ទាប់ពីបានដំឡើង}\rule[-0.5em]{0pt}{1.55em}}{\text{ប្រាក់ខែដើមរបស់លោកស្រីចាន់ធី}\rule[-0.5em]{0pt}{1.55em}} = \frac{108}{100}$
ប្រាក់ខែដើមរបស់លោកស្រីចាន់ធី $\displaystyle = \frac{100}{108} \times 518\,400\text{ ៛} = 480\,000\text{ ៛}$
ដូចនេះប្រាក់ខែដើមរបស់លោកស្រីចាន់ធីគឺ $\displaystyle 480\,000\text{ ៛}$ ។

✎ប្រតិបត្តិ

អាវធំក្រហមមួយគ្រឿងបន្ទាប់ពីបានបញ្ចុះតម្លៃ $\displaystyle 15\%$ នៅសល់តម្លៃត្រឹមតែ $\displaystyle 846\,000\text{ ៛}$ ។ តើអាវធំនោះកាលពីដើមមានតម្លៃប៉ុន្មានរៀល ?

មើលចម្លើយ

$\displaystyle 995\,294.11\text{ ៛}$ ។

2.5. ការប្រាក់សាមញ្ញ

ការប្រាក់ ៖ ជាប្រាក់ចំណេញដែលបានមកពីប្រាក់ឱ្យគេខ្ចីក្នុងរយៈពេលមានកំណត់តាងដោយ $\displaystyle I$ ។

ប្រាក់ដើម ៖ ជាប្រាក់ខ្ចី ឬឱ្យគេខ្ចីតាងដោយ $\displaystyle P$ ។

អត្រា ៖ ជាការប្រាក់ក្នុងមួយឆ្នាំលើប្រាក់ដើម 100 ៛ (គិតជាភាគរយ) តាងដោយ $\displaystyle R\%$ ។

ប្រាក់សរុប ៖ ជាការប្រាក់និងប្រាក់ដើមរួមគ្នា ។

រយៈពេល ៖ ជាអំឡុងពេលដែលបានខ្ចីប្រាក់គេ ឬឱ្យគេខ្ចីតាងដោយ $\displaystyle T$ ។

គេអាចគិតការប្រាក់ប្រចាំឆមាស ឬប្រចាំត្រីមាស ប្រចាំខែ ឬប្រចាំថ្ងៃ ។ ចំនួននៃការប្រាក់អាស្រ័យលើរយៈពេលដែលបានចែងការ ។

ឧទាហរណ៍ ៖ ពូសំនាងចងការប្រាក់ចំនួន $\displaystyle 2\,000\,000\text{ ៛}$ ពីធនាគារមួយដោយធនាគារគិតការប្រាក់តាមអត្រា $\displaystyle 15\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំ ។ គណនាការប្រាក់ក្នុងរយៈពេល 3 ឆ្នាំ ។

ប្រាក់ដើមគឺ $\displaystyle 2\,000\,000\text{ ៛}$

ការប្រាក់លើប្រាក់ដើម $\displaystyle 2\,000\,000\text{ ៛}$ សម្រាប់ 1 ឆ្នាំគឺ $\displaystyle 2\,000\,000\text{ ៛} \times \frac{15}{100} = 300\,000\text{ ៛}$

ដូចនេះការប្រាក់លើប្រាក់ដើម $\displaystyle 2\,000\,000\text{ ៛}$ សម្រាប់ 3 ឆ្នាំគឺ $\displaystyle 300\,000\text{ ៛} \times 3 = 900\,000\text{ ៛}$ ។

តាមឧទាហរណ៍ខាងលើយើងអាចទាញបានថា បើ $\displaystyle P$ ជាប្រាក់ដើមដែលបានខ្ចីគេ ឬឱ្យគេខ្ចីដោយអត្រាការប្រាក់ $\displaystyle R\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំសម្រាប់រយៈពេល $\displaystyle T$ ឆ្នាំ នោះការប្រាក់គឺ

\[I = \frac{PRT}{100}\]

•លំហាត់គំរូ

មីងចនបានដាក់ប្រាក់ $\displaystyle 15\,000\,000\text{ ៛}$ នៅក្នុងធនាគារមួយដែលត្រូវទទួលបានអត្រាការប្រាក់ $\displaystyle 6\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំ ។

ក. តើរយៈពេល 5 ឆ្នាំក្រោយមក គាត់ទទួលបានប្រាក់សរុបចំនួនប៉ុន្មានរៀល? មីងចនបានដកយកការប្រាក់មកប្រើប្រាស់ជារៀងរាល់ចុងឆ្នាំ ។
ខ. មីងចនបានចងការប្រាក់ $\displaystyle 15\,000\,000\text{ ៛}$ ឱ្យមីងសានទៀត ។ 2 ឆ្នាំក្រោយមក គាត់ទទួលបានប្រាក់សរុប $\displaystyle 18\,000\,000\text{ ៛}$ ។ រកអត្រាការប្រាក់ដែលគាត់ទទួលបានពីចងការប្រាក់ឱ្យមីងសាន ។

ដំណោះស្រាយ

ក.
រយៈពេល 5 ឆ្នាំក្រោយមក គាត់ទទួលបានប្រាក់សរុប
$\displaystyle P = 15\,000\,000\text{ ៛}$, $\displaystyle R = 6$ និង $\displaystyle T = 5\text{ ឆ្នាំ}$
ការប្រាក់ $\displaystyle I = \frac{PRT}{100} = \frac{15\,000\,000 \times 6 \times 5}{100} = 4\,500\,000\text{ ៛}$
រយៈពេល 5 ឆ្នាំមីងចនទទួលបានប្រាក់សរុប
\[15\,000\,000 + 4\,500\,000 = 19\,500\,000\text{ ៛} \text{ ។}\]
ខ.
ចំនួនប្រាក់សរុប $\displaystyle 18\,000\,000\text{ ៛}$
ប្រាក់ដើម $\displaystyle P = 15\,000\,000\text{ ៛}$
ការប្រាក់ $\displaystyle I = 18\,000\,000 - 15\,000\,000 = 3\,000\,000\text{ ៛}$
រយៈពេល $\displaystyle T = 2\text{ ឆ្នាំ}$ តាមរូបមន្ត $\displaystyle I = \frac{PRT}{100}$ នោះ $\displaystyle R = \frac{100I}{PT}$
\[R = \frac{100 \times 3\,000\,000}{15\,000\,000 \times 2} = 10\%\]
ដូចនេះ មីងចននឹងត្រូវបានទទួលអត្រាការប្រាក់ពីមីងសាន $\displaystyle 10\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំ ។

✎ប្រតិបត្តិ

ចឹកទ្រីបានចងការប្រាក់ $\displaystyle 24\,000\,000\text{ ៛}$ ពីធនាគារមួយដោយមានអត្រាការប្រាក់ $\displaystyle 16\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំសម្រាប់រយៈពេល 4 ឆ្នាំ ។ ចឹកទ្រីបានបង់ការប្រាក់ឱ្យធនាគារជារៀងរាល់ឆ្នាំ ។

ក. តើការប្រាក់ដែលត្រូវសងធនាគារទាំងអស់មានចំនួនប៉ុន្មាន ?
ខ. តើចំនួនប្រាក់សរុបដែលចឹកទ្រីនឹងត្រូវសងធនាគារវិញមានចំនួនប៉ុន្មាននៅពេលគ្រប់ 4 ឆ្នាំ ?

មើលចម្លើយ

ក. $\displaystyle 15\,360\,000\text{ ៛}$ ខ. $\displaystyle 39\,360\,000\text{ ៛}$ ។

2.6. ការប្រាក់សមាស

ឧទាហរណ៍ ៖ មីងសៅបានដាក់ប្រាក់ $\displaystyle 8\,000\,000\text{ ៛}$ ក្នុងគណនីសន្សំនៅក្នុងធនាគារមួយសម្រាប់រយៈពេល 2 ឆ្នាំដោយមានអត្រាការប្រាក់ $\displaystyle 15\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំ ។ ការប្រាក់ដែលផ្តល់ឱ្យគាត់នោះ ត្រូវបានគិតដូចខាងក្រោម៖

ឆ្នាំទី 1 ៖ $\displaystyle P = 8\,000\,000\text{ ៛}$, $\displaystyle R = 15$, $\displaystyle T = 1\text{ ឆ្នាំ}$

\[I = \frac{8\,000\,000\text{ ៛}\rule[-0.5em]{0pt}{1.55em} \times 15}{100} = 1\,200\,000\text{ ៛}\]

ឆ្នាំទី 2 ៖ $\displaystyle P = 8\,000\,000\text{ ៛} + 1\,200\,000\text{ ៛} = 9\,200\,000\text{ ៛}$, $\displaystyle R = 15$, $\displaystyle T = 1\text{ ឆ្នាំ}$

\[I = \frac{9\,200\,000\text{ ៛}\rule[-0.5em]{0pt}{1.55em} \times 15}{100} = 1\,380\,000\text{ ៛}\]

ការប្រាក់សរុបសម្រាប់រយៈពេល 2 ឆ្នាំ $\displaystyle 1\,200\,000 + 1\,380\,000 = 2\,580\,000\text{ ៛}$ ។

ក្នុងការគិតខាងលើនេះ ការប្រាក់ $\displaystyle 1\,200\,000\text{ ៛}$ ដែលផ្តល់ឱ្យគាត់នៅដំណាច់ឆ្នាំទី 1 ត្រូវបានបន្ថែមទៅលើប្រាក់ដើម $\displaystyle 8\,000\,000\text{ ៛}$ បានចំនួនប្រាក់សរុប $\displaystyle 9\,200\,000\text{ ៛}$ ក្លាយទៅជាប្រាក់ដើមសម្រាប់គិតការប្រាក់នៅដំណាច់ឆ្នាំទី 2 ។

ការប្រាក់សរុប $\displaystyle 2\,580\,000\text{ ៛}$ ហៅថា ការប្រាក់សមាស ហើយប្រាក់ដើម $\displaystyle 8\,000\,000\text{ ៛}$ ដែលដាក់នៅក្នុងធនាគារ ត្រូវបានបូកបន្ថែមនឹងការប្រាក់សមាសជារៀងរាល់ឆ្នាំសម្រាប់គិតការប្រាក់នៅឆ្នាំបន្តបន្ទាប់ ។

ការប្រាក់សមាស រាល់ដំណាច់ឆ្នាំ គេបន្ថែមលើប្រាក់ដើមនូវការប្រាក់កន្លងទៅ គេក៏បានប្រាក់ដើមថ្មី ហើយឆ្នាំក្រោយគេគិតការប្រាក់លើប្រាក់ដើមថ្មីនេះដោយអត្រាដដែល ។

•លំហាត់គំរូ

ប្រាក់បានចងការប្រាក់ $\displaystyle 3\,000\,000\text{ ៛}$ ឱ្យមីងស្រីសសម្រាប់រយៈពេល 3 ឆ្នាំ ដោយមានការប្រាក់តាមអត្រា $\displaystyle 20\%$ ។ រកការប្រាក់សមាសដែលប្រាក់ទទួលបាន ។

ដំណោះស្រាយ

\[\begin{aligned} \text{ឆ្នាំទី 1 ៖ } &P = 3\,000\,000\text{ ៛}, R = 20, T = 1\text{ ឆ្នាំ} \\ &I = 3\,000\,000\text{ ៛} \times 20 \times \frac{1}{100} = 600\,000\text{ ៛} \\ &\text{ដោយនៅដំណាច់ឆ្នាំទី 1 ប្រាក់ដើមគឺ } 3\,000\,000\text{ ៛} + 600\,000\text{ ៛} = 3\,600\,000\text{ ៛} \\[6pt] \text{ឆ្នាំទី 2 ៖ } &P = 3\,600\,000\text{ ៛}, R = 20, T = 1\text{ ឆ្នាំ} \\ &P = 3\,600\,000\text{ ៛} \times 20 \times \frac{1}{100} = 720\,000\text{ ៛} \\ &\text{ដោយនៅដំណាច់ឆ្នាំទី 2 ប្រាក់ដើមគឺ } 3\,600\,000\text{ ៛} + 720\,000\text{ ៛} = 4\,320\,000\text{ ៛} \\[6pt] \text{ឆ្នាំទី 3 ៖ } &P = 4\,320\,000\text{ ៛}, R = 20, T = 1\text{ ឆ្នាំ} \\ &I = 4\,320\,000\text{ ៛} \times 20 \times \frac{1}{100} = 864\,000\text{ ៛} \\ &\text{ដោយនៅដំណាច់ឆ្នាំទី 3 ការប្រាក់សមាសគឺ } \\ &600\,000\text{ ៛} + 720\,000\text{ ៛} + 864\,000\text{ ៛} = 2\,184\,000\text{ ៛} \text{ ។} \end{aligned}\]

•លំហាត់គំរូ

រកការប្រាក់សមាសលើប្រាក់ $\displaystyle 7\,500\,000\text{ ៛}$ សម្រាប់រយៈពេល 1 ឆ្នាំដោយមានការប្រាក់តាមអត្រា $\displaystyle 16\%$ បានបន្ថែមទៅលើប្រាក់ដើមប្រចាំឆមាស ។

ដំណោះស្រាយ

\[\begin{aligned} \text{ឆមាសទី 1 ៖ } &P = 7\,500\,000\text{ ៛}, R = 16, T = 6\text{ ខែ} = \frac{1}{2}\text{ ឆ្នាំ} \\ &I = 7\,500\,000\text{ ៛} \times \frac{16}{100} \times \frac{1}{2} = 600\,000\text{ ៛} \\[6pt] \text{ឆមាសទី 2 ៖ } &P = 7\,500\,000\text{ ៛} + 600\,000\text{ ៛} = 8\,100\,000\text{ ៛} \\ &P = 8\,100\,000\text{ ៛}, R = 16, T = 6\text{ ខែ} = \frac{1}{2}\text{ ឆ្នាំ} \\ &I = 8\,100\,000\text{ ៛} \times \frac{16}{100} \times \frac{1}{2} = 648\,000\text{ ៛} \end{aligned}\]

ដូចនេះការប្រាក់សរុប $\displaystyle 600\,000\text{ ៛} + 648\,000\text{ ៛} = 1\,248\,000\text{ ៛}$ ។

✎ប្រតិបត្តិ

រកការប្រាក់សមាសលើប្រាក់ $\displaystyle 2\,700\,000\text{ ៛}$ សម្រាប់រយៈពេល 2 ឆ្នាំដោយមានការប្រាក់តាមអត្រា $\displaystyle 20\%$ បានបន្ថែមទៅលើប្រាក់ដើមប្រចាំឆ្នាំ ។

មើលចម្លើយ

$\displaystyle I = 1\,188\,000\text{ ៛}$ ។

2.7. ការទិញបង់រំលស់

ឧទាហរណ៍ ៖ ខាងក្រោមនេះជាការផ្សាយពាណិជ្ជកម្មសម្រាប់លក់កុំព្យូទ័រមួយគ្រឿង

ចំពោះថ្លៃលក់ ៖ $\displaystyle 9\,000\,000\text{ ៛}$

ប្រាក់កក់ ៖ $\displaystyle 2\,000\,000\text{ ៛}$

អត្រាការប្រាក់នៅជំពាក់ ៖ $\displaystyle 14\%$ សម្រាប់ 2 ឆ្នាំ ។

បន្ទាប់ពីបង់ប្រាក់កក់ $\displaystyle 2\,000\,000\text{ ៛}$ អ្នកអាចយកកុំព្យូទ័រនេះបាន ។ ម្យ៉ាងទៀត អ្នកមិនទាន់ជាម្ចាស់នៃកុំព្យូទ័រនេះទេ ។ អ្នកគ្រាន់តែជាអ្នកជួលប៉ុណ្ណោះ ។ ម្ចាស់កុំព្យូទ័រនឹងត្រូវផ្ទេរកម្មសិទ្ធិជូនអ្នកបន្ទាប់ពីអ្នកបានសងប្រាក់ជំពាក់ $\displaystyle 7\,000\,000\text{ ៛}$ បូកនឹងការប្រាក់លើប្រាក់ $\displaystyle 7\,000\,000\text{ ៛}$ សម្រាប់រយៈពេល 2 ឆ្នាំ ដោយអត្រា $\displaystyle 14\%$ ដោយការសងប្រាក់ប្រចាំខែស្មើៗគ្នា ក្នុងរយៈពេល 24 ខែ ។ ការទិញទំនិញតាមវិធីនេះហៅថាជំនួញការទិញបង់រំលស់ ។ ការសងប្រាក់ប្រចាំខែនីមួយៗត្រូវតែដឹងប្រាក់សងរំលស់ ។

ការប្រាក់ខាងលើគឺ $\displaystyle \frac{7\,000\,000 \times 14 \times 2}{100} = 1\,960\,000\text{ ៛}$

ចំនួនប្រាក់សរុបដែលត្រូវសង $\displaystyle 7\,000\,000\text{ ៛} + 1\,960\,000\text{ ៛} = 8\,960\,000\text{ ៛}$

ដូចនេះប្រាក់សងរំលស់ប្រចាំខែនីមួយៗ $\displaystyle \frac{8\,960\,000\text{ ៛}\rule[-0.5em]{0pt}{1.55em}}{24} = 373\,333.33\text{ ៛}$ ។

•លំហាត់គំរូ

ម៉ាស៊ីនបោកខោអាវមួយគ្រឿងថ្លៃ $\displaystyle 1\,350\,000\text{ ៛}$ ។ គេទិញបង់រំលស់ដែលមានប្រាក់កក់ $\displaystyle 15\%$ អត្រាការប្រាក់ជំពាក់ $\displaystyle 10\frac{2}{3}\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំសម្រាប់ 2 ឆ្នាំ ។ ការសងប្រាក់ត្រូវសងរំលស់ប្រចាំខែ ។

ក. រកប្រាក់សងរំលស់ប្រចាំខែ ។
ខ. រកថ្លៃទិញបង់រំលស់ទាំងអស់នៃម៉ាស៊ីនបោកខោអាវ ។
គ. រកភាគរយនៃប្រាក់ដែលសន្សំបាន បើគេម្នាក់ទិញម៉ាស៊ីនបោកខោអាវនោះដោយសងប្រាក់ $\displaystyle 1\,350\,000\text{ ៛}$ ភ្លាមៗ ។

ដំណោះស្រាយ

ប្រាក់កក់ $\displaystyle \frac{15}{100} \times 1\,350\,000 = 202\,500\text{ ៛}$

ចំនួនប្រាក់នៅសល់ $\displaystyle 1\,350\,000\text{ ៛} - 202\,500\text{ ៛} = 1\,147\,500\text{ ៛}$

ការប្រាក់លើប្រាក់ $\displaystyle 1\,147\,500\text{ ៛}$ សម្រាប់ 2 ឆ្នាំ

\[1\,147\,500 \times \frac{32}{3} \times \frac{1}{100} \times 2 = 244\,800\text{ ៛}\]

ចំនួនប្រាក់បន្ថែមសម្រាប់សងរំលស់ក្នុង 24 ខែ

\[1\,147\,500\text{ ៛} + 244\,800\text{ ៛} = 1\,392\,300\text{ ៛} \text{ ។}\]

ក. ប្រាក់សងរំលស់ប្រចាំខែ $\displaystyle 1\,392\,300 \div 24 = 58\,012.5 \approx 58\,013\text{ ៛}$ ។
ខ.
ថ្លៃទិញបង់រំលស់ទាំងអស់ = ប្រាក់កក់ + ចំនួនប្រាក់បន្ថែម
\[202\,500\text{ ៛} + 1\,392\,300\text{ ៛} = 1\,594\,800\text{ ៛} \text{ ។}\]
គ.
តាមការព្រមព្រៀងការទិញបង់រំលស់ ចំនួនប្រាក់បន្ថែមដែលគេម្នាក់នឹងត្រូវចំណាយគឺ
\[1\,594\,800\text{ ៛} - 1\,350\,000\text{ ៛} = 244\,800\text{ ៛} \text{ ។}\]
ភាគរយនៃប្រាក់ដែលគាត់អាចសន្សំបាននៅពេលសងប្រាក់ភ្លាមៗ
\[\frac{244\,800}{1\,350\,000} \times 100\% = 18.13\% = 18\frac{2}{15}\% \text{ ។}\]

✎ប្រតិបត្តិ

រកចំនួនប្រាក់បន្ថែមដែលអ្នកត្រូវចំណាយតាមវិធីទិញបង់រំលស់និងបង្ហាញចំនួនប្រាក់បន្ថែមជាភាគរយនៃតម្លៃទិញមិនបង់រំលស់នីមួយៗដូចខាងក្រោម ៖

	តម្លៃទិញមិនបង់រំលស់	ការព្រមព្រៀងគ្នាទិញបង់រំលស់
		ប្រាក់កក់	ប្រាក់សងរំលស់ប្រចាំខែ	ចំនួនខែនៃការសងរំលស់
ក.	$\displaystyle 1\,080\,000\text{ ៛}$	$\displaystyle 150\,000\text{ ៛}$	$\displaystyle 120\,000\text{ ៛}$	10
ខ.	$\displaystyle 2\,700\,000\text{ ៛}$	$\displaystyle 450\,000\text{ ៛}$	$\displaystyle 225\,000\text{ ៛}$	12

មើលចម្លើយ

ក. $\displaystyle 270\,000\text{ ៛}, 25\%$ ខ. $\displaystyle 450\,000\text{ ៛}, 16.66\%$ ។

លំហាត់

រកតម្លៃ $\displaystyle x$ ក្នុងករណីនីមួយៗខាងក្រោម៖
1. ក. $\displaystyle 4 : 7 = x : 5$
2. ខ. $\displaystyle x : 8 = 99 : 5$
3. គ. $\displaystyle 1\text{ km} : 32\text{ m} = 250\text{ g} : x\text{ g}$ ។
1. ក. គេឱ្យ $\displaystyle a : b = 5 : 18$ និង $\displaystyle a + b = 138$ រកតម្លៃនៃ $\displaystyle b$ ។
2. ខ. គេឱ្យ $\displaystyle x : y = 3 : 5$ និង $\displaystyle x + y = 200$ រកតម្លៃនៃ $\displaystyle x$ ។
បើ $\displaystyle a, b, c$ និង $\displaystyle d$ ជាចំនួនវិជ្ជមាន ។ បង្ហាញលក្ខណៈនៃសមាមាត្រ $\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ដូចខាងក្រោម ៖
1. ក. $\displaystyle ad = bc$
2. ខ. $\displaystyle \frac{a}{c} = \frac{b}{d}$
3. គ. $\displaystyle \frac{d}{b} = \frac{c}{a}$
4. ឃ. $\displaystyle \frac{d}{c} = \frac{b}{a}$
5. ង. $\displaystyle \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$
6. ច. $\displaystyle \frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$
7. ឆ. បើ $\displaystyle c \ne d$ នោះ $\displaystyle \frac{a-b}{c-d} = \frac{a}{c}$
8. ជ. បើ $\displaystyle a \ne b$ និង $\displaystyle c \ne d$ នោះ $\displaystyle \frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}$ ។
គេឱ្យ $\displaystyle a : b : c = 6 : 7 : 9$
1. ក. រកតម្លៃនៃ $\displaystyle a$ និង $\displaystyle c$ បើ $\displaystyle b = 21\text{ cm}$
2. ខ. រកតម្លៃនៃ $\displaystyle a$ និង $\displaystyle b$ បើ $\displaystyle c = 720\text{ g}$ ។
1. ក. គេឱ្យ $\displaystyle a : b : c = 7 : 13 : 20$ និង $\displaystyle a + b + c = 520$ ។ រកតម្លៃនៃ $\displaystyle a, b$ និង $\displaystyle c$ ។
2. ខ. គេឱ្យ $\displaystyle x : y : z = 6 : 8 : 15$ និង $\displaystyle z - y = 98\text{ g}$ ។ រកតម្លៃនៃ $\displaystyle x, y$ និង $\displaystyle z$ ។
3. គ. គេឱ្យ $\displaystyle a : b : c = 4 : 6 : 9$ ។ រកតម្លៃនៃ $\displaystyle a + b + c$ បើ $\displaystyle b - a = 34\text{ m}$ ។
1. ក. រកតម្លៃសៀវភៅសរសេរ 12 ក្បាល បើសៀវភៅសរសេរ 6 ក្បាលថ្លៃ $\displaystyle 4\,800\text{ ៛}$ ដោយដឹងថាសៀវភៅសរសេរនីមួយៗមានតម្លៃដូចគ្នា ។
2. ខ. រកតម្លៃតែ $\displaystyle 10\text{ kg}$ បើតែ $\displaystyle 3\text{ kg}$ ថ្លៃ $\displaystyle 45\,000\text{ ៛}$ ។
3. គ. រកតម្លៃស្ករស $\displaystyle x\text{ kg}$ បើស្ករស $\displaystyle y\text{ kg}$ ថ្លៃ $\displaystyle z\text{ រៀល}$ ។
$\displaystyle \frac{5}{9}$ នៃកំណាត់មួយដុំមានប្រវែង $\displaystyle 7\text{ m}$ ។ តើ $\displaystyle \frac{2}{7}$ នៃកំណាត់មួយដុំនេះមានប្រវែងប៉ុន្មានម៉ែត្រ?
នៅក្នុងរោងចក្រមួយ កម្មករ 25 នាក់ធ្វើការ 26 ម៉ោងអាចផលិតស្បែកជើងបាន $\displaystyle 1\,300\text{ គូ}$ ។ តើកម្មករដែលគេត្រូវធ្វើការប៉ុន្មានម៉ោងនិងអាចផលិតបានស្បែកជើង $\displaystyle 450\text{ គូ}$?
កម្មការិនី 12 នាក់ធ្វើការ 7 ម៉ោងក្នុងមួយថ្ងៃអាចបញ្ចប់ការងារមួយក្នុងរយៈពេល 8 ថ្ងៃ ។ តើកម្មការិនី 16 នាក់ត្រូវធ្វើការប៉ុន្មានម៉ោងក្នុងមួយថ្ងៃ ដើម្បីបញ្ចប់ការងារដែលគេកុម្ម៉ង់រយៈពេល 16 ថ្ងៃ ?
គេដឹងថាសាំងមានតម្លៃ $\displaystyle 3\,750\text{ ៛}$ ក្នុងមួយលីត្រ ហើយចាក់ឱ្យពេញធុងមួយអស់ប្រាក់ $\displaystyle 112\,500\text{ ៛}$ ។ បើនៅពេលឥឡូវនេះប្រេងសាំងត្រូវបានដំឡើងថ្លៃ $\displaystyle 210\text{ ៛}$ ក្នុងមួយលីត្រ ។ គណនាតម្លៃប្រេងសាំងចាក់ពេញធុងនៅពេលឥឡូវនេះ ។
មីងសានបានចែកប្រាក់ឱ្យកូនបីនាក់ $\displaystyle A, B$ និង $\displaystyle C$ មានអាយុ 14 ឆ្នាំ 16 ឆ្នាំ និង 18 ឆ្នាំរៀងគ្នា ។ ដោយដឹងថាចំណែកម្នាក់ៗសមាមាត្រនឹងអាយុរបស់ពួកគេ ហើយចំណែក $\displaystyle A$ ទទួលបាន $\displaystyle 105\,000\text{ ៛}$ ។ គណនាចំនួនប្រាក់សរុបដែលគាត់បានចែកនិងចំណែក $\displaystyle B$ និង $\displaystyle C$ ដែលម្នាក់ៗទទួលបាន ។
ពូឡេងបានចែកប្រាក់មួយចំនួនឱ្យកូនរបស់គាត់បីនាក់ $\displaystyle x, y$ និង $\displaystyle z$ តាមផលធៀប $\displaystyle 7 : 5 : 4$ ។ បើ $\displaystyle x$ ទទួលបានច្រើនជាង $\displaystyle y$ ចំនួន $\displaystyle 3\,200\$$ ។ តើប្រាក់ទាំងអស់ដែលពូឡេងបានចែកឱ្យកូនរបស់គាត់មានចំនួនប៉ុន្មានដុល្លារ?
អ្នកចម្ការម្នាក់មានចម្ការមួយរាងការេនិងចម្ការពីរទៀតរាងចតុកោណកែង ដោយផ្ទៃក្រឡាចម្ការសមាមាត្ររៀងគ្នានឹង $\displaystyle 12 : 49$ និង $\displaystyle 28$ ។
1. ក. ផ្ទៃក្រឡាសរុបនៃចម្ការទាំងបីមាន 2 ហិកតា 67 អារ ។ គណនាផ្ទៃក្រឡានៃចម្ការនីមួយៗ ។
2. ខ. រកប្រវែងជ្រុងនៃចម្ការទី 1 រាងការេ ។ ($\displaystyle 1\text{ ហិកតា} = 100\text{ អារ}$ និង $\displaystyle 1\text{ អារ} = 100\text{ m}^2$)
3. គ. បណ្តោយនៃចម្ការទី 2 មានប្រវែងស្មើនឹង 3 ដងប្រវែងទទឹង ។ រកវិមាត្រទាំងពីរនៃចម្ការនេះ ។
4. ឃ. វិមាត្រនៃចម្ការទី 3 គឺសមាមាត្រនឹង 7 និង 3 ។ រកវិមាត្រទាំងពីរនៃចម្ការនេះ ។
1. ក. បណ្ណាល័យនៅក្នុងសាលារៀនមួយ មានសៀវភៅអាន $\displaystyle 28\%$ ជាសៀវភៅប្រលោមលោក និងសៀវភៅនៅសល់ពីនេះមិនមែនជាសៀវភៅប្រលោមលោក ។ គេដឹងថាសៀវភៅមិនមែនជាសៀវភៅប្រលោមលោកមាន 1980 ក្បាល ច្រើនជាងសៀវភៅប្រលោមលោក ។ រកចំនួនសៀវភៅអានប្រភេទនីមួយៗនិងចំនួនសៀវភៅទាំងអស់នៅក្នុងបណ្ណាល័យ ។
2. ខ. បណ្ណាល័យបានសម្រេចចិត្តបង្កើនចំនួនសៀវភៅមិនមែនជាប្រលោមលោក $\displaystyle 7\frac{1}{2}\%$ ដោយមានតម្លៃមធ្យម $\displaystyle 7\,500\text{ ៛}$ ក្នុងមួយក្បាលនិងចំនួនសៀវភៅប្រលោមលោក $\displaystyle 5\%$ ដោយមានតម្លៃ $\displaystyle 2\,250\text{ ៛}$ ក្នុងមួយក្បាល ។ គណនាតម្លៃទាំងអស់នៃសៀវភៅថ្មីនិងភាគរយកើនចំនួនសៀវភៅអានទាំងអស់ក្នុងបណ្ណាល័យ ។
លោកសុខ លោកចន និងលោកស្រីនី ធ្វើវិនិយោគ $\displaystyle 800\,000\$, 900\,000\$$ និង $\displaystyle 1\,100\,000\$$ រៀងគ្នានៅក្នុងជំនួញ ។ នៅក្នុងឆ្នាំពិសេសមួយ គេរកប្រាក់ចំណេញបាន $\displaystyle 250\,000\$$ ហើយចំណាយអស់ $\displaystyle 20\%$ នៃប្រាក់ចំណេញ ។ លោកសុខជាអ្នកគ្រប់គ្រងប្រាក់ត្រូវទទួលបានប្រាក់បាន $\displaystyle 16\%$ នៃប្រាក់ចំណេញនៅសល់ពីចំណាយ ហើយប្រាក់នៅសល់ត្រូវបានចែកជាបីចំណែកដែលសមាមាត្រនឹងដើមទុនដាក់ធ្វើវិនិយោគរបស់ពួកគេ ។ រកប្រាក់ចំណេញដែលម្នាក់ៗទទួលបាន ។
មីងជួនផ្ញើប្រាក់មួយចំនួននៅក្នុងធនាគារមួយ ។ បើអត្រាការប្រាក់នៃធនាគារនោះថយចុះពី $\displaystyle 15\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំទៅ $\displaystyle 13\%$ ក្នុងមួយឆ្នាំ ការប្រាក់របស់មីងជួនថយចុះ $\displaystyle 200\,000\text{ ៛}$ ក្នុងមួយឆ្នាំ ។ រកប្រាក់ដើមដែលគាត់បានផ្ញើនៅក្នុងធនាគារនោះ ។
1. ក. រកការប្រាក់សមាសលើប្រាក់ $\displaystyle 1\,800\,000\text{ ៛}$ សម្រាប់ 2 ឆ្នាំដោយអត្រា $\displaystyle 10\%$ បានបន្ថែមលើប្រាក់ដើមជារៀងរាល់ឆ្នាំ ។
2. ខ. រកការប្រាក់សមាសលើប្រាក់ $\displaystyle 2\,800\,000\text{ ៛}$ សម្រាប់ 3 ឆ្នាំដោយអត្រា $\displaystyle 11\%$ បានបន្ថែមលើប្រាក់ដើមជារៀងរាល់ឆ្នាំ ។
ពូស្រៀនបានចងការប្រាក់ឱ្យគេចំនួន $\displaystyle 20\,000\,000\text{ ៛}$ ជាការប្រាក់សមាសដោយអត្រា $\displaystyle 15\%$ បានបន្ថែមលើប្រាក់ដើមប្រចាំឆ្នាំ ។ រកចំនួនប្រាក់សរុបនៅដំណាច់ឆ្នាំទី 3 ។
ពូភាបានទិញម៉ាស៊ីនត្រជាក់មួយគ្រឿងថ្លៃ $\displaystyle 2\,700\,000\text{ ៛}$ ។ គាត់បង់ប្រាក់ $\displaystyle 20\%$ ហើយប្រាក់នៅជំពាក់មិនទាន់សង ថែមការប្រាក់ក្នុងរយៈពេល 48 ខែ ។ ការប្រាក់លើប្រាក់ដែលនៅជំពាក់ ត្រូវបានយកដោយអត្រា $\displaystyle 10\%$ ។
1. ក. រកតម្លៃនៃការសងរំលស់ប្រចាំខែរបស់គាត់ ។
2. ខ. រកចំនួនប្រាក់ដែលគាត់សន្សំបាន បើគាត់ទិញមិនជំពាក់ ។

ខ្លឹមសារ៖ សៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី៨ របស់ក្រសួងអប់រំ យុវជន និងកីឡា · វាយអត្ថបទ គូររូបភាពឡើងវិញ និងរៀបចំលើអនឡាញដោយលោកគ្រូ សាន សុខលី សម្រាប់ការសិក្សាដោយឥតគិតថ្លៃ និងមិនរកប្រាក់ចំណេញ។ មិនមែនជាការបោះពុម្ពផ្លូវការរបស់ក្រសួងទេ។

ម៉ាស \(\displaystyle x\) គិតជាក្រាម (g)	50	100	150	250	…
ប្រវែងរ៉ឺស័រលូត \(\displaystyle y\) គិតជាមីលីម៉ែត្រ (mm)	10	20	30	50	…

ប្រវែងទទឹង \(\displaystyle x\) គិតជាម៉ែត្រ (m)	1	2	3	4	6
ប្រវែងបណ្តោយ \(\displaystyle y\) គិតជាម៉ែត្រ (m)	36	18	12	9	6

ចំនួនកម្មករ	35	28
ចំនួនថ្ងៃ	16	\(\displaystyle x\)