ស្ថិតិ

វត្ថុបំណង

1. រៀបចំទិន្នន័យដាក់ក្នុងតារាងបំណែងចែកប្រេកង់
2. បកស្រាយទិន្នន័យជាក្រាប
3. រកមធ្យម ម៉ូត និងមេដ្យាននៃទិន្នន័យមិនផ្តុំជាថ្នាក់ ។

1. បំណែងចែកប្រេកង់

1.1. បំណែងចែកប្រេកង់នៃទិន្នន័យមិនផ្តុំជាថ្នាក់

ឧទាហរណ៍ ៖ ការស្រង់ចំនួនកូនក្នុងចំណោម 24 គ្រួសារគេបានទិន្នន័យដូចខាងក្រោម ៖

ទិន្នន័យខាងលើនេះឋិតនៅរប៉ាត់រប៉ាយ ។ ដូច្នេះវិធីមួយដែលអាចឱ្យយើងងាយយល់បាន ដំបូងគេត្រូវរៀបចំទិន្នន័យតាមលំដាប់នៃតម្លៃ និងរាប់ចំនួនដងដែលកើតមានឡើងចំពោះតម្លៃនៃតួនីមួយៗ ដាក់ក្នុងតារាងមួយហៅថា តារាងបំណែងចែកប្រេកង់ ។

ចំនួនកូនដែលគ្រួសារនីមួយៗមានតាងដោយ \(\displaystyle x\) ហើយចំនួនដងដែលកើតមានឡើងលើតម្លៃនីមួយៗហៅថា ប្រេកង់តាងដោយ \(\displaystyle f\) ។

និយមន័យ

តារាងបំណែងចែកប្រេកង់ គឺជាការរៀបចំទិន្នន័យដាក់ក្នុងតារាងតាមលំដាប់នៃតម្លៃនិងទៅតាមចំនួនដងចំពោះតម្លៃនីមួយៗ ដែលកើតមានឡើង ។

1.2. បំណែងចែកប្រេកង់នៃទិន្នន័យផ្តុំជាថ្នាក់

ឧទាហរណ៍ ៖ ខាងក្រោមនេះជាពិន្ទុភាសាអង់គ្លេសនៃសិស្ស 40 នាក់ ។

ដើម្បីសង់តារាងបំណែងចែកប្រេកង់នៃទិន្នន័យផ្តុំជាថ្នាក់គេត្រូវ ៖

1. រកផលសងរវាងតម្លៃធំបំផុតនិងតម្លៃតូចបំផុតនៃទិន្នន័យ ៖ \(\displaystyle 88 - 46 = 42\)
2. កំណត់ប្រវែងចន្លោះថ្នាក់នីមួយៗ ឧបមាថាយកប្រវែង 5
3. រកចំនួនថ្នាក់ ៖ \(\displaystyle \frac{42}{5} = 8.4 \approx 9\) ថ្នាក់
4. រៀបចំចន្លោះថ្នាក់ចាប់ពី 45–50, 50–55, ..., 85–90

2. ការតាងក្រាប

ឧទាហរណ៍ 1 ៖ បកស្រាយទិន្នន័យនៃចំនួនកូនក្នុងគ្រួសារដែលបានពិភាក្សានៅខាងដើមដូចបានបង្ហាញក្នុងតារាងបំណែងចែកប្រេកង់ខាងក្រោមនេះ៖

ចំពោះទិន្នន័យមិនផ្តុំជាថ្នាក់ គេអាចសង់ក្រាបតាមរបៀបដូចខាងលើ ។ នៅក្នុងប្លង់កូអរដោនេ គេដៅតម្លៃនីមួយៗនៃទិន្នន័យនៅលើអ័ក្សអាប់ស៊ីសនិងប្រេកង់ \(\displaystyle f\) នៅលើអ័ក្សអរដោនេរួចសង់សសរដែលតម្លៃនីមួយៗនៃទិន្នន័យជាផ្ចិតនៃបាតនិងប្រេកង់ជាកម្ពស់នៃសសរ ហើយក្រាបដែលសង់បានហៅថា ក្រាបសសរ ។

ឧទាហរណ៍ 2 ៖ ចំពោះទិន្នន័យផ្តុំជាថ្នាក់ដែលបានពិភាក្សានៅខាងដើម

គេអាចបកស្រាយទិន្នន័យខាងដើមជាក្រាបដូចខាងស្តាំ ។ នៅក្នុងប្លង់កូអរដោនេ គេដៅតម្លៃនៃចន្លោះថ្នាក់នីមួយៗលើអ័ក្សអាប់ស៊ីសនិងប្រេកង់នៅលើអ័ក្សអរដោនេ ។ សង់ក្រាបសសរជាប់ៗគ្នាដែលមានបាតជាប្រវែងចន្លោះថ្នាក់និងកម្ពស់ជាប្រេកង់នៃថ្នាក់នីមួយៗ ។ ក្រាបដែលសង់បានហៅថា អ៊ីស្តូក្រាម ។

•លំហាត់គំរូ

ទិន្នន័យខាងក្រោមនេះជារយៈពេលនៃការធ្វើតេស្តធាតុផ្សំអេឡិចត្រូនិច 30 ដែលមិនបានជោគជ័យ ហើយរយៈពេលចំពោះការមិនបានជោគជ័យគិតជាម៉ោង (h) ។

1.2	21.0	34.7	13.2	3.6	14.7
31.0	17.1	22.1	16.4	21.2	15.2
11.3	6.8	2.7	31.2	9.0	6.8
23.7	16.3	30.0	28.6	19.0	29.0
4.4	44.3	18.5	5.3	5.5	10.0

1. ក. រៀបចំទិន្នន័យតាមលំដាប់ផ្គុំជាថ្នាក់ក្នុងតារាងបំណែងចែកប្រេកង់ដែលថ្នាក់នីមួយៗ មានប្រវែងចន្លោះ \(\displaystyle 10\text{ h}\) ដោយចាប់ផ្តើមពី 0 ។
2. ខ. បកស្រាយទិន្នន័យនេះជា អ៊ីស្តូក្រាម ។

ដំណោះស្រាយ

ក. រៀបចំទិន្នន័យដាក់ក្នុងតារាងបំណែងចែកប្រេកង់

ថ្នាក់	ប្រេកង់ \(\displaystyle f\)
0–10	9
10–20	10
20–30	6
30–40	4
40–50	1

ខ. បកស្រាយទិន្នន័យនេះជា អ៊ីស្តូក្រាម ៖

3. មធ្យម មេដ្យាន និងម៉ូត

3.1. មធ្យម

មធ្យមនៃទិន្នន័យតាងដោយ \(\displaystyle \bar{x}\) ៖

ដែល \(\displaystyle N = \sum f_i\) ជាចំនួនទិន្នន័យសរុប ។

3.2. មេដ្យាន

មេដ្យាន (\(\displaystyle M_e\)) គឺជាតម្លៃកណ្តាលនៃទិន្នន័យដែលបានតម្រៀបតាមលំដាប់កើន ៖

• បើ \(\displaystyle N\) ជាចំនួនសេស ៖ \(\displaystyle M_e\) គឺជាតម្លៃនៃតួទី \(\displaystyle \frac{N+1}{2}\)
• បើ \(\displaystyle N\) ជាចំនួនគូ ៖ \(\displaystyle M_e\) គឺជាមធ្យមភាគនៃតួទី \(\displaystyle \frac{N}{2}\) និង \(\displaystyle \frac{N}{2} + 1\) ។

3.3. ម៉ូត

ម៉ូត (\(\displaystyle M_o\)) គឺជាតម្លៃនៃទិន្នន័យដែលមានប្រេកង់ធំជាងគេបំផុត (កើតមានឡើងច្រើនដងជាងគេ) ។

លំហាត់

1. គេបានសួរគ្រូបង្រៀននៅសាលាមួយដើម្បីបញ្ជាក់ចំនួនម៉ោងជាមធ្យមដែលគាត់បានចំណាយលើការកែកិច្ចការរបស់សិស្សក្នុងថ្ងៃនីមួយៗ ៖

   6	4	3	1	2	2	3	1	4	1	2	5
   3	2	2	3	3	1	2	2	3	1	4	2
   4	5

   1. ក. រៀបចំទិន្នន័យដាក់ក្នុងតារាងបំណែងចែកប្រេកង់ ។
   2. ខ. តើមានគ្រូបង្រៀនចំនួនប៉ុន្មាននាក់ដែលបានឆ្លើយក្នុងការស្ទង់មតិនេះ ?
   3. គ. រកចំនួនម៉ោងដែលបានចំណាយច្រើនជាងគេ ។
   4. ឃ. រកចំនួនម៉ោងរួមដែលគ្រូភាគច្រើនបានចំណាយ ។
   មើលដំណោះស្រាយ

   ដំណោះស្រាយ

   1. ក.

      តារាងបំណែងចែកប្រេកង់ ៖

      ចំនួនម៉ោង (\(\displaystyle x\))	របាប់ចំនួនដង	ប្រេកង់ (\(\displaystyle f\))
      1	HI	5
      2	HI ///	8
      3	HI /	6
      4	////	4
      5	//	2
      6	/	1
      សរុប		26

   2. ខ. ចំនួនគ្រូបង្រៀនដែលបានឆ្លើយក្នុងការស្ទង់មតិ ៖
      ផលបូកប្រេកង់សរុប \(\displaystyle N = 5 + 8 + 6 + 4 + 2 + 1 = 26\) នាក់ ។
   3. គ. ចំនួនម៉ោងដែលបានចំណាយច្រើនជាងគេ ៖
      តម្លៃអតិបរមានៃម៉ោងគឺ \(\displaystyle 6\text{ ម៉ោង}\) (មានគ្រូ 1 នាក់ចំណាយ) ។
   4. ឃ. ចំនួនម៉ោងរួមដែលគ្រូភាគច្រើនបានចំណាយ (ម៉ូត \(\displaystyle M_o\)) ៖
      ប្រេកង់ខ្ពស់ជាងគេគឺ 8 ដែលត្រូវនឹង \(\displaystyle 2\text{ ម៉ោង}\) ។ ដូចនេះគ្រូភាគច្រើនបានចំណាយ \(\displaystyle 2\text{ ម៉ោង}\) ក្នុងការកែកិច្ចការសិស្ស ។

2. គេបានត្រួតពិនិត្យផ្លែប៉ោម 100 កេស ដែលបាននាំចូលពីប្រទេស A ហើយចំនួនផ្លែប៉ោមស្អុយបានកត់ត្រាដូចខាងក្រោម៖

   ផ្លែប៉ោមស្អុយ	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
   ចំនួនកេស	4	9	12	26	22	15	5	3	3	1

   គេក៏បានត្រួតពិនិត្យផ្លែប៉ោម 100 កេសទៀតដែលបាននាំចូលពីប្រទេស B ហើយចំនួនផ្លែប៉ោមស្អុយបានកត់ត្រាដូចខាងក្រោម៖

   ផ្លែប៉ោមស្អុយ	0	1	2	3	4	5	6	7	8
   ចំនួនកេស	51	30	8	4	1	2	2	1	1

   1. ក. រកចំនួនផ្លែប៉ោមស្អុយច្រើនបំផុតចំពោះការនាំចូលនីមួយៗ ។
   2. ខ. រកចំនួនផ្លែប៉ោមស្អុយទាំងអស់ចំពោះការនាំចូលនីមួយៗ ។
   មើលដំណោះស្រាយ

   ដំណោះស្រាយ

   1. ក.

      ចំនួនផ្លែប៉ោមស្អុយច្រើនបំផុតក្នុងមួយកេស ៖

      • ប្រទេស A ៖ ចំនួនផ្លែប៉ោមស្អុយច្រើនបំផុតក្នុង 1 កេស គឺ \(\displaystyle 9\text{ ផ្លែ}\) (មាន 1 កេស) ។
      • ប្រទេស B ៖ ចំនួនផ្លែប៉ោមស្អុយច្រើនបំផុតក្នុង 1 កេស គឺ \(\displaystyle 8\text{ ផ្លែ}\) (មាន 1 កេស) ។
   2. ខ.

      ចំនួនផ្លែប៉ោមស្អុយទាំងអស់ចំពោះការនាំចូលនីមួយៗ ៖

      • ប្រទេស A ៖

        \[\begin{aligned} \text{សរុប} &= 0(4) + 1(9) + 2(12) + 3(26) + 4(22) + 5(15) + 6(5) + 7(3) + 8(3) + 9(1) \\ &= 0 + 9 + 24 + 78 + 88 + 75 + 30 + 21 + 24 + 9 = 358\text{ ផ្លែ} \end{aligned}\]

      • ប្រទេស B ៖

        \[\begin{aligned} \text{សរុប} &= 0(51) + 1(30) + 2(8) + 3(4) + 4(1) + 5(2) + 6(2) + 7(1) + 8(1) \\ &= 0 + 30 + 16 + 12 + 4 + 10 + 12 + 7 + 8 = 99\text{ ផ្លែ} \end{aligned}\]

3. ទិន្នន័យខាងក្រោមនេះបង្ហាញពីអាយុរបស់គ្រូបង្រៀនគិតជាឆ្នាំ នៅក្នុងសាលាមួយ ៖

   30	53	54	59	42	45	48	33	61	41	49	36	50	43	52
   45	46	52	31	53	37	54	60	51	61	47	34	56	42	47
   31	58	57	36	45	50	40	59	48	60	49	45	38	33	39
   44	57	45	57	46

   1. ក. រៀបចំទិន្នន័យនេះតាមលំដាប់ផ្គុំជាថ្នាក់ដាក់ក្នុងតារាងបំណែងចែកប្រេកង់ដែលថ្នាក់នីមួយៗ មានប្រវែងចន្លោះស្មើនឹង 5 ។
   2. ខ. តើគ្រូបង្រៀនដែលមានអាយុតិចជាង 50 ឆ្នាំមានចំនួនប៉ុន្មាននាក់ ?
   3. គ. សង់អ៊ីស្តូក្រាមដើម្បីតាងទិន្នន័យនេះ ។
   មើលដំណោះស្រាយ

   ដំណោះស្រាយ

   1. ក.

      តារាងបំណែងចែកប្រេកង់ (ប្រវែងចន្លោះ 5 គិតពី 30 ដល់ 65) ៖

      ថ្នាក់	ចន្លោះអាយុ	ប្រេកង់ (\(\displaystyle f\))
      1	30–35	6
      2	35–40	5
      3	40–45	6
      4	45–50	13
      5	50–55	9
      6	55–60	7
      7	60–65	4
      សរុប		50

   2. ខ.

      ចំនួនគ្រូបង្រៀនដែលមានអាយុតិចជាង 50 ឆ្នាំ ៖
      បូកប្រេកង់នៃ 4 ថ្នាក់ដំបូង (30–35, 35–40, 40–45, 45–50) ៖

      \[6 + 5 + 6 + 13 = 30\text{ នាក់}\]
   3. គ. អ៊ីស្តូក្រាម ៖
      នៅលើអ័ក្សដេក ដៅចន្លោះអាយុ 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65 ហើយលើអ័ក្សឈរ ដៅប្រេកង់ពី 0 ដល់ 14 ។ សង់ចតុកោណកែងជាប់ៗគ្នាដែលមានកម្ពស់រៀងគ្នា 6, 5, 6, 13, 9, 7, 4 ។

4. ទិន្នន័យខាងក្រោមនេះបង្ហាញពីប្រាក់ចំណាយគិតជាម៉ឺនរៀល លើសេវាភ្លើងអគ្គិសនីប្រចាំខែរបស់អតិថិជន ៖

   ប្រាក់ចំណាយ (ម៉ឺនរៀល)	10–15	15–20	20–25	25–30	30–35	35–40	40–45
   ចំនួនអតិថិជន (គិតជាគ្រួសារ)	32	40	25	12	5	4	2

   1. ក. សង់អ៊ីស្តូក្រាមតាងទិន្នន័យនេះ
   2. ខ. តើមានអតិថិជនប៉ុន្មានគ្រួសារដែលប្រើអគ្គិសនីក្នុងមួយខែអស់យ៉ាងតិច \(\displaystyle 300~000\text{ ៛}\) ?
   មើលដំណោះស្រាយ

   ដំណោះស្រាយ

   1. ក. អ៊ីស្តូក្រាម ៖
      អ័ក្សអាប់ស៊ីស \(\displaystyle Ox\) តាងប្រាក់ចំណាយជាម៉ឺនរៀល (10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45) ហើយអ័ក្សអរដោនេ \(\displaystyle Oy\) តាងចំនួនគ្រួសារ (ពី 0 ដល់ 45) ។ សង់សសរចតុកោណកែងជាប់គ្នាដែលមានកម្ពស់រៀងគ្នា 32, 40, 25, 12, 5, 4, 2 ។
   2. ខ.

      អតិថិជនដែលប្រើអស់យ៉ាងតិច \(\displaystyle 300~000\text{ ៛}\) (\(\displaystyle 30\text{ ម៉ឺនរៀល}\)) ៖
      ត្រូវនឹងចន្លោះចាប់ពី 30–35, 35–40 និង 40–45 ៖

      \[5 + 4 + 2 = 11\text{ គ្រួសារ}\]

5. តារាងខាងក្រោមនេះ បង្ហាញពីប្រាក់ចំណូលប្រចាំសប្តាហ៍គិតជាម៉ឺនរៀលនៃអាជីវករលក់ដូរនៅក្នុងផ្សារមួយ ៖

   ប្រាក់ចំណូលប្រចាំសប្តាហ៍	ចំនួនអាជីវករលក់ដូរ
   80–85	4
   85–90	6
   90–95	8
   95–100	16
   100–105	20
   105–110	6
   110–115	8

   1. ក. តើអាជីវករលក់ដូរទាំងអស់មានចំនួនប៉ុន្មាននាក់?
   2. ខ. តើមានអាជីវករប៉ុន្មាននាក់ដែលរកប្រាក់បានតិចជាង 100 ម៉ឺនរៀលក្នុងមួយសប្តាហ៍ ?
   3. គ. សង់អ៊ីស្តូក្រាមតាងទិន្នន័យនេះ ។
   មើលដំណោះស្រាយ

   ដំណោះស្រាយ

   1. ក.

      ចំនួនអាជីវករលក់ដូរទាំងអស់ ៖

      \[N = 4 + 6 + 8 + 16 + 20 + 6 + 8 = 68\text{ នាក់}\]
   2. ខ.

      ចំនួនអាជីវករដែលរកប្រាក់បានតិចជាង 100 ម៉ឺនរៀល ៖
      បូកប្រេកង់នៃថ្នាក់ 80–85, 85–90, 90–95, 95–100 ៖

      \[4 + 6 + 8 + 16 = 34\text{ នាក់}\]
   3. គ. អ៊ីស្តូក្រាម ៖
      សង់អ័ក្សដេកដោយបែងចែកចន្លោះពី 80 ដល់ 115 ដោយមានជំហាន 5 និងអ័ក្សឈរពី 0 ដល់ 22 ។ សង់ចតុកោណកែងជាប់គ្នាដែលមានកម្ពស់រៀងគ្នា 4, 6, 8, 16, 20, 6, 8 ។

6. ទិន្នន័យខាងក្រោមនេះជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្តភាសាអង់គ្លេសក្នុងចំណោមបេក្ខជន 28 នាក់ ៖

   69	72	56	68	62	61	58	57	43	66	53
   45	72	64	46	50	61	59	52	63	54	62
   61	55	52	58	64	63

   1. ក. រៀបចំទិន្នន័យតាមលំដាប់ដោយផ្តុំជា 7 ថ្នាក់ដាក់ក្នុងតារាងបំណែងចែកប្រេកង់ ដោយចាប់ផ្តើមពី 40 ។
   2. ខ. បកស្រាយទិន្នន័យនេះជា អ៊ីស្តូក្រាម ។
   3. គ. តើសិស្សដែលបានពិន្ទុយ៉ាងច្រើនត្រឹម 60 ពិន្ទុមានចំនួនប៉ុន្មាននាក់ ?
   មើលដំណោះស្រាយ

   ដំណោះស្រាយ

   1. ក.

      តារាងបំណែងចែកប្រេកង់ 7 ថ្នាក់ (ប្រវែងចន្លោះ 5) ៖

      ថ្នាក់	ចន្លោះពិន្ទុ	ទិន្នន័យ	ប្រេកង់ (\(\displaystyle f\))
      1	40–45	43	1
      2	45–50	45, 46	2
      3	50–55	50, 52, 52, 53, 54	5
      4	55–60	55, 56, 57, 58, 58, 59	6
      5	60–65	61, 61, 61, 62, 62, 63, 63, 64, 64	9
      6	65–70	66, 68, 69	3
      7	70–75	72, 72	2
      សរុប			28

   2. ខ. អ៊ីស្តូក្រាម ៖
      អ័ក្សដេកតាងចន្លោះពិន្ទុ (40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75) និងអ័ក្សឈរតាងប្រេកង់ (0 ដល់ 10) ។ សង់សសរជាប់ៗគ្នាដែលមានកម្ពស់រៀងគ្នា 1, 2, 5, 6, 9, 3, 2 ។
   3. គ.

      ចំនួនសិស្សដែលបានពិន្ទុយ៉ាងច្រើនត្រឹម 60 ពិន្ទុ (\(\displaystyle \le 60\)) ៖
      បូកប្រេកង់ពីថ្នាក់ទី 1 ដល់ថ្នាក់ទី 4 ៖

      \[1 + 2 + 5 + 6 = 14\text{ នាក់}\]

7. កំណត់ មធ្យម មេដ្យាន និងម៉ូតនៃទិន្នន័យខាងក្រោម៖

   1. ក. 8   11   14   13   14   9   15
   2. ខ. 88   93   85   98   102   98   93   104   102   98
   3. គ.

      \(\displaystyle x\)	4	6	8	10	12
      \(\displaystyle f\)	2	10	6	3	1

   4. ឃ.

      \(\displaystyle x\)	0	1	2	3	4
      \(\displaystyle f\)	45	32	14	6	3

   មើលដំណោះស្រាយ

   ដំណោះស្រាយ

   1. ក.

      តម្រៀបទិន្នន័យតាមលំដាប់កើន ៖ \(\displaystyle 8, 9, 11, 13, 14, 14, 15\) (\(\displaystyle N = 7\))

      • មធ្យម ៖ \(\displaystyle \bar{x} = \frac{8 + 9 + 11 + 13 + 14 + 14 + 15}{7} = \frac{84}{7} = 12\)
      • មេដ្យាន ៖ ដោយ \(\displaystyle N=7\) ជាចំនួនសេស តួទី \(\displaystyle \frac{7+1}{2} = 4\) គឺ \(\displaystyle M_e = 13\)
      • ម៉ូត ៖ តម្លៃកើតឡើងច្រើនជាងគេគឺ \(\displaystyle M_o = 14\) (កើតឡើង 2 ដង) ។
   2. ខ.

      តម្រៀបទិន្នន័យតាមលំដាប់កើន ៖ \(\displaystyle 85, 88, 93, 93, 98, 98, 98, 102, 102, 104\) (\(\displaystyle N = 10\))

      • មធ្យម ៖ \(\displaystyle \bar{x} = \frac{85 + 88 + 93 + 93 + 98 + 98 + 98 + 102 + 102 + 104}{10} = \frac{961}{10} = 96.1\)
      • មេដ្យាន ៖ ដោយ \(\displaystyle N=10\) ជាចំនួនគូ មធ្យមនៃតួទី 5 និង 6 គឺ \(\displaystyle M_e = \frac{98 + 98}{2} = 98\)
      • ម៉ូត ៖ តម្លៃកើតឡើងច្រើនជាងគេគឺ \(\displaystyle M_o = 98\) (កើតឡើង 3 ដង) ។
   3. គ.

      ចំនួនទិន្នន័យសរុប \(\displaystyle N = 2 + 10 + 6 + 3 + 1 = 22\)

      • មធ្យម ៖

        \[\bar{x} = \frac{4(2) + 6(10) + 8(6) + 10(3) + 12(1)}{22} = \frac{8 + 60 + 48 + 30 + 12}{22} = \frac{158}{22} \approx 7.18\]
      • មេដ្យាន ៖ \(\displaystyle N = 22\) ជាចំនួនគូ តួទី 11 និង 12 ទាំងពីរស្ថិតនៅក្នុងក្រុម \(\displaystyle x = 6\) (ប្រេកង់កើន 2, 12) \(\displaystyle \implies M_e = 6\)
      • ម៉ូត ៖ ប្រេកង់ធំជាងគេគឺ 10 ត្រូវនឹង \(\displaystyle x = 6 \implies M_o = 6\) ។
   4. ឃ.

      ចំនួនទិន្នន័យសរុប \(\displaystyle N = 45 + 32 + 14 + 6 + 3 = 100\)

      • មធ្យម ៖

        \[\bar{x} = \frac{0(45) + 1(32) + 2(14) + 3(6) + 4(3)}{100} = \frac{0 + 32 + 28 + 18 + 12}{100} = \frac{90}{100} = 0.9\]
      • មេដ្យាន ៖ \(\displaystyle N = 100\) តួទី 50 និង 51 ស្ថិតក្នុងក្រុម \(\displaystyle x = 1\) (ប្រេកង់កើន 45, 77) \(\displaystyle \implies M_e = 1\)
      • ម៉ូត ៖ ប្រេកង់ធំជាងគេគឺ 45 ត្រូវនឹង \(\displaystyle x = 0 \implies M_o = 0\) ។

8. មធ្យមនៃបួនចំនួន 4, 5, 7 និង \(\displaystyle x\) ស្មើនឹង 6 ។ រកតម្លៃ \(\displaystyle x\) ។

   មើលដំណោះស្រាយ

   ដំណោះស្រាយ
   តាមរូបមន្តមធ្យម ៖

   \[\bar{x} = \frac{4 + 5 + 7 + x}{4} = 6\]

   \[16 + x = 6 \times 4\]

   \[16 + x = 24 \implies x = 24 - 16 = 8\]

   ដូចនេះ \(\displaystyle x = 8\) ។

9. មធ្យមនៃប្រាំមួយចំនួនស្មើនឹង 41 ។ គេស្គាល់បីចំនួនគឺ 32, 31 និង 42 ។ បីចំនួនដែលនៅសល់នីមួយៗស្មើនឹង \(\displaystyle a\) ។

   1. ក. រកផលបូកនៃប្រាំមួយចំនួននោះ
   2. ខ. រកតម្លៃ \(\displaystyle a\) ។
   មើលដំណោះស្រាយ

   ដំណោះស្រាយ

   1. ក.

      ផលបូកនៃប្រាំមួយចំនួន ៖

      \[\text{ផលបូក} = 6 \times \bar{x} = 6 \times 41 = 246\]
   2. ខ.

      រកតម្លៃ \(\displaystyle a\) ៖
      ផលបូកនៃចំនួនទាំង 6 គឺ ៖

      \[32 + 31 + 42 + a + a + a = 246\]
      \[105 + 3a = 246\]
      \[3a = 246 - 105 = 141\]
      \[a = \frac{141}{3} = 47\]

      ដូចនេះ \(\displaystyle a = 47\) ។

10. គេបានបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ពីរគ្រាប់ 30 ដង ។ ផលបូកនៃពិន្ទុក្នុងការបោះម្តងៗបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម៖

    ពិន្ទុ \(\displaystyle x\)	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
    ប្រេកង់ \(\displaystyle f\)	1	1	3	5	6	7	3	2	1	1	0

    រកមធ្យម មេដ្យាន និងម៉ូតនៃពិន្ទុនេះ ។

    មើលដំណោះស្រាយ

    ដំណោះស្រាយ
    ចំនួនដងសរុប \(\displaystyle N = 1+1+3+5+6+7+3+2+1+1+0 = 30\)

    • មធ្យម (\(\displaystyle \bar{x}\)) ៖

      \[\begin{aligned} \sum f_i x_i &= 2(1) + 3(1) + 4(3) + 5(5) + 6(6) + 7(7) + 8(3) + 9(2) + 10(1) + 11(1) + 12(0) \\ &= 2 + 3 + 12 + 25 + 36 + 49 + 24 + 18 + 10 + 11 + 0 = 190 \\ \bar{x} &= \frac{190}{30} = \frac{19}{3} \approx 6.33 \end{aligned}\]
    • មេដ្យាន (\(\displaystyle M_e\)) ៖
      ដោយ \(\displaystyle N = 30\) ជាចំនួនគូ មេដ្យានជាមធ្យមនៃតួទី 15 និង 16 ។
      ប្រេកង់កើន ៖ 1, 2, 5, 10, 16 (ក្រុម \(\displaystyle x=6\) មានតួទី 11 ដល់ 16) ។
      តួទី 15 គឺ 6 និងតួទី 16 គឺ 6 \(\displaystyle \implies M_e = \frac{6+6}{2} = 6\) ។
    • ម៉ូត (\(\displaystyle M_o\)) ៖
      ប្រេកង់ខ្ពស់ជាងគេគឺ 7 ត្រូវនឹងពិន្ទុ \(\displaystyle x = 7 \implies M_o = 7\) ។

11. តារាងខាងក្រោម បង្ហាញពីបំណែងចែកប្រេកង់នៃចំនួនការសរសេរខុសអក្ខរាវិរុទ្ធដោយសិស្សម្នាក់ៗនៅក្នុងថ្នាក់មួយមានសិស្ស 36 នាក់ ៖

    ចំនួនកំហុស \(\displaystyle x\)	0	1	2	3	4	5	6	7
    ចំនួនសិស្ស \(\displaystyle f\)	3	7	10	6	5	3	1	1

    រកមធ្យម មេដ្យាន និងម៉ូតនៃបំណែងចែកនេះ ។

    មើលដំណោះស្រាយ

    ដំណោះស្រាយ
    ចំនួនសិស្សសរុប \(\displaystyle N = 36\) នាក់

    • មធ្យម (\(\displaystyle \bar{x}\)) ៖

      \[\begin{aligned} \sum f_i x_i &= 0(3) + 1(7) + 2(10) + 3(6) + 4(5) + 5(3) + 6(1) + 7(1) \\ &= 0 + 7 + 20 + 18 + 20 + 15 + 6 + 7 = 93 \\ \bar{x} &= \frac{93}{36} = \frac{31}{12} \approx 2.58\text{ កំហុស} \end{aligned}\]
    • មេដ្យាន (\(\displaystyle M_e\)) ៖
      ដោយ \(\displaystyle N = 36\) មេដ្យានជាមធ្យមនៃតួទី 18 និង 19 ។
      ប្រេកង់កើន ៖ 3, 10, 20 (ក្រុម \(\displaystyle x=2\) មានតួទី 11 ដល់ 20) ។
      តួទី 18 និង 19 ស្មើនឹង 2 ដូចគ្នា \(\displaystyle \implies M_e = 2\) ។
    • ម៉ូត (\(\displaystyle M_o\)) ៖
      ប្រេកង់ធំជាងគេគឺ 10 ត្រូវនឹង \(\displaystyle x = 2 \implies M_o = 2\) ។

12. កម្ពស់នៃដើមផ្កា 3 ដើម A, B និង C នៅក្នុងសួនច្បារមួយសមាមាត្រនឹង 2, 3 និង 5 រៀងគ្នា ។ កម្ពស់មធ្យមរបស់វាស្មើ \(\displaystyle 30\text{ cm}\) ។

    1. ក. រកកម្ពស់នៃដើមផ្កា B ។
    2. ខ. បើគេថែមដើមផ្កា D មួយដើមទៀតនោះកម្ពស់មធ្យមនៃដើមផ្កាទាំងបួនដើមស្មើនឹង \(\displaystyle 33\text{ cm}\) ។ រកកម្ពស់នៃដើមផ្កា D ។
    មើលដំណោះស្រាយ

    ដំណោះស្រាយ

    1. ក.

       រកកម្ពស់នៃដើមផ្កា B ៖
       តាងកម្ពស់នៃដើមផ្កាទាំងបីដោយ \(\displaystyle h_A = 2k\), \(\displaystyle h_B = 3k\), \(\displaystyle h_C = 5k\) (\(\displaystyle k > 0\)) ។
       កម្ពស់មធ្យមគឺ ៖

       \[\frac{2k + 3k + 5k}{3} = 30 \iff \frac{10k}{3} = 30 \iff 10k = 90 \implies k = 9\]

       ដូចនេះកម្ពស់ដើមផ្កា B គឺ ៖

       \[h_B = 3k = 3 \times 9 = 27\text{ cm}\]

       (និង \(\displaystyle h_A = 18\text{ cm}\), \(\displaystyle h_C = 45\text{ cm}\)) ។

    2. ខ.

       រកកម្ពស់នៃដើមផ្កា D ៖
       កម្ពស់មធ្យមនៃដើមផ្កាទាំង 4 គឺ \(\displaystyle 33\text{ cm}\) ៖

       \[\frac{h_A + h_B + h_C + h_D}{4} = 33\]
       \[\frac{18 + 27 + 45 + h_D}{4} = 33\]
       \[90 + h_D = 132 \implies h_D = 132 - 90 = 42\text{ cm}\]

       ដូចនេះដើមផ្កា D មានកម្ពស់ \(\displaystyle 42\text{ cm}\) ។

13. កម្ពស់មធ្យមនៃក្មេងប្រុស 20 នាក់និងក្មេងស្រី 14 នាក់ស្មើនឹង \(\displaystyle 161\text{ cm}\) ។ បើកម្ពស់មធ្យមនៃក្មេងស្រី 14 នាក់ស្មើនឹង \(\displaystyle 151\text{ cm}\) ។ គណនាកម្ពស់មធ្យមនៃក្មេងប្រុស 20 នាក់ ។

    មើលដំណោះស្រាយ

    ដំណោះស្រាយ
    ចំនួនក្មេងសរុប \(\displaystyle N = 20 + 14 = 34\) នាក់ ។
    ផលបូកកម្ពស់សរុបនៃក្មេងទាំង 34 នាក់ ៖

    \[S_{\text{សរុប}} = 34 \times 161 = 5474\text{ cm}\]

    ផលបូកកម្ពស់នៃក្មេងស្រី 14 នាក់ ៖

    \[S_{\text{ស្រី}} = 14 \times 151 = 2114\text{ cm}\]

    ផលបូកកម្ពស់នៃក្មេងប្រុស 20 នាក់ ៖

    \[S_{\text{ប្រុស}} = S_{\text{សរុប}} - S_{\text{ស្រី}} = 5474 - 2114 = 3360\text{ cm}\]

    កម្ពស់មធ្យមនៃក្មេងប្រុស 20 នាក់ ៖

    \[\bar{x}_{\text{ប្រុស}} = \frac{3360}{20} = 168\text{ cm}\]

    ដូចនេះ កម្ពស់មធ្យមនៃក្មេងប្រុសគឺ \(\displaystyle 168\text{ cm}\) ។

14. ប្រអប់មួយមានប័ណ្ណលេខ 5 សន្លឹកដែលបានចុះលេខ 1, 2, 3, 4 និង 5 ។ គេបានចាប់យកប័ណ្ណមួយសន្លឹកពីប្រអប់ ហើយបានកត់ត្រាលេខរបស់វារួចដាក់ចូលទៅក្នុងប្រអប់វិញ ។ លំនាំរបៀបនេះត្រូវបានធ្វើសាចុះសាឡើង 100 ដង ហើយតារាងខាងក្រោមបង្ហាញពីលទ្ធផលបំណែងចែកប្រេកង់ ។

    ប័ណ្ណលេខ	1	2	3	4	5
    ប្រេកង់	21	\(\displaystyle x\)	\(\displaystyle y\)	18	17

    1. ក. បង្ហាញថា \(\displaystyle x+y=44\)
    2. ខ. បើមធ្យមនៃបំណែងចែកនេះស្មើនឹង 2.9 ។ បង្ហាញថា \(\displaystyle 2x+3y=112\) ។
    3. គ. រកតម្លៃ \(\displaystyle x\) និង \(\displaystyle y\) ។
    4. ឃ. បញ្ជាក់ប្រាប់ម៉ូតនិងមេដ្យាននៃបំណែងចែកនេះ ។
    មើលដំណោះស្រាយ

    ដំណោះស្រាយ

    1. ក.

       បង្ហាញថា \(\displaystyle x + y = 44\) ៖
       ផលបូកប្រេកង់សរុបត្រូវស្មើនឹង 100 ដង ៖

       \[21 + x + y + 18 + 17 = 100\]
       \[x + y + 56 = 100 \implies x + y = 100 - 56 = 44 \quad \text{(ពិត)}\]
    2. ខ.

       បង្ហាញថា \(\displaystyle 2x + 3y = 112\) ៖
       ផលបូកនៃទិន្នន័យ \(\displaystyle \sum f_i x_i\) គឺ ៖

       \[\begin{aligned} \sum f_i x_i &= 1(21) + 2(x) + 3(y) + 4(18) + 5(17) \\ &= 21 + 2x + 3y + 72 + 85 = 2x + 3y + 178 \end{aligned}\]

       ដោយមធ្យម \(\displaystyle \bar{x} = 2.9\) ៖

       \[\frac{2x + 3y + 178}{100} = 2.9\]
       \[2x + 3y + 178 = 290 \implies 2x + 3y = 290 - 178 = 112 \quad \text{(ពិត)}\]
    3. គ.

       រកតម្លៃ \(\displaystyle x\) និង \(\displaystyle y\) ៖
       យើងមានប្រព័ន្ធសមីការ ៖

       \[\begin{cases} x + y = 44 & (1) \\ 2x + 3y = 112 & (2) \end{cases}\]

       គុណសមីការ (1) នឹង 2 ៖ \(\displaystyle 2x + 2y = 88\) ។
       ដកសមីការនេះចេញពី (2) ៖

       \[(2x + 3y) - (2x + 2y) = 112 - 88 \implies y = 24\]

       ជំនួស \(\displaystyle y = 24\) ចូល (1) ៖

       \[x + 24 = 44 \implies x = 20\]

       ដូចនេះ \(\displaystyle x = 20\) និង \(\displaystyle y = 24\) ។

    4. ឃ.

       ម៉ូតនិងមេដ្យាន ៖
       តារាងប្រេកង់ពេញលេញ ៖

       ប័ណ្ណលេខ	1	2	3	4	5
       ប្រេកង់ (\(\displaystyle f\))	21	20	24	18	17
       ប្រេកង់កើន	21	41	65	83	100

       • ម៉ូត (\(\displaystyle M_o\)) ៖ ប្រេកង់ខ្ពស់ជាងគេគឺ 24 ត្រូវនឹងប័ណ្ណលេខ 3 \(\displaystyle \implies M_o = 3\) ។
       • មេដ្យាន (\(\displaystyle M_e\)) ៖ \(\displaystyle N = 100\) តួទី 50 និង 51 ស្ថិតក្នុងជួរនៃប័ណ្ណលេខ 3 (ប្រេកង់កើនដល់ 65) \(\displaystyle \implies M_e = 3\) ។

ខ្លឹមសារ៖ សៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី៨ របស់ក្រសួងអប់រំ យុវជន និងកីឡា · វាយអត្ថបទ គូររូបភាពឡើងវិញ និងរៀបចំលើអនឡាញដោយលោកគ្រូ សាន សុខលី សម្រាប់ការសិក្សាដោយឥតគិតថ្លៃ និងមិនរកប្រាក់ចំណេញ។ មិនមែនជាការបោះពុម្ពផ្លូវការរបស់ក្រសួងទេ។