ចតុកោណ

\(\displaystyle ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាមដែល \(\displaystyle AC\) ជាអង្កត់ទ្រូង។ បង្ហាញថា \(\displaystyle \Delta ADC \cong \Delta ABC\)។

\(\displaystyle \Delta ADC\) និង \(\displaystyle \Delta ABC\) មាន

• \(\displaystyle \angle A_1 = \angle C_3\) (មុំឆ្លាស់ក្នុង)
• \(\displaystyle AC\) (ជ្រុងរួម)
• \(\displaystyle \angle A_4 = \angle C_2\) (មុំឆ្លាស់ក្នុង)។

ដូច្នេះ \(\displaystyle \Delta ADC \cong \Delta ABC\) (ករណី ម-ជ-ម)។

\(\displaystyle ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាមដែល \(\displaystyle \angle A\) និង \(\displaystyle \angle B\) ជាមុំតគ្នា។ បង្ហាញថា \(\displaystyle \angle A + \angle B = 180^\circ\)។

គេមានអង្កត់ \(\displaystyle AD \parallel BC\) កាត់ដោយខ្នាត់ \(\displaystyle AB\)

គេបាន \(\displaystyle \angle A + \angle B = 180^\circ\) (ផលបូកមុំក្នុងរួមខាង)។

\(\displaystyle ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាមដែលមានអង្កត់ទ្រូង \(\displaystyle AC\) និង \(\displaystyle BD\) ប្រសព្វគ្នាត្រង់ \(\displaystyle O\)។ បង្ហាញថា \(\displaystyle O\) ជាចំណុចកណ្ដាលរៀងគ្នានៃអង្កត់ \(\displaystyle AC\) និង \(\displaystyle BD\)។

ត្រីកោណ \(\displaystyle AOB\) និង \(\displaystyle \Delta ODC\) មាន

• \(\displaystyle \angle OAB = \angle OCD\) (មុំឆ្លាស់ក្នុង)
• \(\displaystyle AB = DC\) (ជ្រុងឈមប្រលេឡូក្រាម)
• \(\displaystyle \angle OBA = \angle ODC\) (មុំឆ្លាស់ក្នុង)

ដូច្នេះ \(\displaystyle \Delta AOB \cong \Delta ODC\) (ករណី ម-ជ-ម)

គេបាន \(\displaystyle OA = OC\) នាំឱ្យ \(\displaystyle O\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃអង្កត់ \(\displaystyle AC\) និង \(\displaystyle OB = OD\) នាំឱ្យ \(\displaystyle O\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃអង្កត់ \(\displaystyle BD\)។

ដូច្នេះ \(\displaystyle O\) ជាចំណុចកណ្ដាលរៀងគ្នានៃអង្កត់ \(\displaystyle AC\) និង \(\displaystyle BD\)។

ចតុកោណ \(\displaystyle ABCD\) មាន \(\displaystyle AB = CD\) និង \(\displaystyle AD = BC\)។ បង្ហាញថា \(\displaystyle ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាម។

គូសអង្កត់ទ្រូង \(\displaystyle AC\)

ត្រីកោណ \(\displaystyle ADC\) និង \(\displaystyle ABC\) មាន

• \(\displaystyle AB = CD\), \(\displaystyle AD = BC\) (សម្មតិកម្ម)
• \(\displaystyle AC\) ជ្រុងរួម

ដូច្នេះ \(\displaystyle \Delta ADC \cong \Delta ABC\) (ករណី ជ-ជ-ជ)។

វិបាក   \(\displaystyle \angle A_1 = \angle C_3\) ជាមុំឆ្លាស់ក្នុង គេបាន \(\displaystyle AB \parallel DC\) (1)

\(\displaystyle \angle A_4 = \angle C_2\) ជាមុំឆ្លាស់ក្នុង គេបាន \(\displaystyle AD \parallel BC\) (2)

តាម (1) និង (2) គេបានចតុកោណ \(\displaystyle ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាម។

ចតុកោណ \(\displaystyle ABCD\) មាន \(\displaystyle \angle A = \angle C\) និង \(\displaystyle \angle B = \angle D\)។ បង្ហាញថា \(\displaystyle ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាម។

គេមាន

• \(\displaystyle \angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\) (ផលបូកមុំក្នុង)
• \(\displaystyle \angle A = \angle C\) និង \(\displaystyle \angle B = \angle D\) (សម្មតិកម្ម)

គេបាន \(\displaystyle 2\angle A + 2\angle B = 360^\circ\) និង \(\displaystyle \angle B = \angle D\)

\(\displaystyle \angle A + \angle B = 180^\circ\) និង \(\displaystyle \angle A + \angle D = 180^\circ\) (ផលបូកមុំក្នុងរួមខាង)

គេបាន \(\displaystyle AD \parallel BC\) និង \(\displaystyle AB \parallel DC\)

ដូច្នេះចតុកោណ \(\displaystyle ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាម។

ចតុកោណ \(\displaystyle ABCD\) មាន \(\displaystyle AB \parallel DC\) និង \(\displaystyle AB = DC\)។ បង្ហាញថា \(\displaystyle ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាម។

គូសអង្កត់ទ្រូង \(\displaystyle AC\)

ត្រីកោណ \(\displaystyle \Delta ADC\) និង \(\displaystyle \Delta ABC\) មាន

• \(\displaystyle AB = DC\) (សម្មតិកម្ម)
• \(\displaystyle \angle ACD = \angle BAC\) (មុំឆ្លាស់ក្នុង)
• \(\displaystyle AC\) ជ្រុងរួម

នោះ \(\displaystyle \Delta ADC \cong \Delta ABC\) (ជ-ម-ជ)

វិបាក   \(\displaystyle \angle DAC = \angle BCA\) ជាមុំឆ្លាស់ក្នុង នោះ \(\displaystyle AD \parallel BC\)

ចតុកោណ \(\displaystyle ABCD\) មាន \(\displaystyle AD \parallel BC\) និង \(\displaystyle AB \parallel DC\)

ដូច្នេះចតុកោណ \(\displaystyle ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាម។

\(\displaystyle O\) ជាចំណុចកណ្ដាលរៀងគ្នានៃអង្កត់ទ្រូង \(\displaystyle AC\) និង \(\displaystyle BD\)។ បង្ហាញថា \(\displaystyle ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាម។

ត្រីកោណ \(\displaystyle AOB\) និង \(\displaystyle \Delta ODC\) មាន

• \(\displaystyle OA = OC\) (\(\displaystyle O\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃ \(\displaystyle AC\))
• \(\displaystyle \angle AOB = \angle COD\) (មុំទល់កំពូល)
• \(\displaystyle OD = OB\) (\(\displaystyle O\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃ \(\displaystyle BD\))

នោះ \(\displaystyle \Delta AOB \cong \Delta ODC\) (ករណី ជ-ម-ជ)

វិបាក   \(\displaystyle \angle CAB = \angle ACD\) ជាមុំឆ្លាស់ក្នុង នោះ \(\displaystyle DC \parallel AB\)

ហើយ \(\displaystyle \angle ACB = \angle CAD\) ជាមុំឆ្លាស់ក្នុង នោះ \(\displaystyle AD \parallel BC\)

ចតុកោណ \(\displaystyle ABCD\) មាន \(\displaystyle AD \parallel BC\) និង \(\displaystyle AB \parallel DC\)

ដូច្នេះចតុកោណ \(\displaystyle ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាម។

គេមានចតុកោណ \(\displaystyle ABEF\) និង \(\displaystyle EFDC\) ជាប្រលេឡូក្រាម។ បង្ហាញថា ចតុកោណ \(\displaystyle ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាម។

បើ \(\displaystyle ABEF\) ជាប្រលេឡូក្រាមនោះ \(\displaystyle AB = FE\), \(\displaystyle AB \parallel FE\) (1)

បើ \(\displaystyle EFDC\) ជាប្រលេឡូក្រាមនោះ \(\displaystyle FE = DC\), \(\displaystyle FE \parallel DC\) (2)

តាម (1) និង (2) គេបាន \(\displaystyle AB = DC\) និង \(\displaystyle AB \parallel DC\)

ដូច្នេះចតុកោណ \(\displaystyle ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាម។

គេមាន \(\displaystyle ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាមដែលមាន \(\displaystyle \angle A\) ជាមុំកែង។ បង្ហាញថា \(\displaystyle \angle B\), \(\displaystyle \angle C\) និង \(\displaystyle \angle D\) ជាមុំកែង។

បើ \(\displaystyle ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាមនោះ

\(\displaystyle \angle A = \angle C\), \(\displaystyle \angle B = \angle D\) (មុំឈមនៃប្រលេឡូក្រាម)

ហើយ \(\displaystyle \angle A = 90^\circ\) នាំឱ្យ \(\displaystyle \angle C = 90^\circ\) ដោយ \(\displaystyle \angle A + \angle B = 180^\circ\) (មុំជាប់បន្ថែម)

\(\displaystyle 90^\circ + \angle B = 180^\circ\) នាំឱ្យ \(\displaystyle \angle B = 90^\circ\) នោះ \(\displaystyle \angle B = \angle D = 90^\circ\)

ដូច្នេះ \(\displaystyle \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ\)។

គេមាន \(\displaystyle ABCD\) ជាចតុកោណកែង។ បង្ហាញថា \(\displaystyle AC = BD\)។

បើ \(\displaystyle ABCD\) ជាចតុកោណកែងនោះ \(\displaystyle AD = BC\) (ជ្រុងឈមនៃចតុកោណកែង)

ក្នុង \(\displaystyle \Delta ADC\) និង \(\displaystyle \Delta BDC\) មាន

\(\displaystyle AD = BC\), \(\displaystyle \angle C = \angle D = 90^\circ\) និង \(\displaystyle DC\) ជ្រុងរួម

នោះ \(\displaystyle \Delta ADC \cong \Delta BDC\) (ករណី ជ-ម-ជ)។

វិបាក   \(\displaystyle AC = BD\)

ដូច្នេះ \(\displaystyle AC = BD\)។

\(\displaystyle ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាមដែល \(\displaystyle AC = BD\)។ បង្ហាញថា \(\displaystyle ABCD\) ជាចតុកោណកែង។

បើ \(\displaystyle ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាមនោះ

\(\displaystyle AD = BC\) (ជ្រុងឈមប្រលេឡូក្រាម)

\(\displaystyle AC = BD\) (សម្មតិកម្ម) និង \(\displaystyle DC\) ជាជ្រុងរួម

គេបាន \(\displaystyle \Delta ADC \cong \Delta BDC\) (ករណី ជ-ជ-ជ)

វិបាក   \(\displaystyle AD = BC\), \(\displaystyle \angle ADC = \angle DCB\) ហើយ \(\displaystyle \angle ADC\), \(\displaystyle \angle DCB\) ជាមុំជាប់បន្ថែម

នោះ \(\displaystyle \angle ADC + \angle DCB = 180^\circ\), \(\displaystyle 2\angle DCB = 180^\circ\) នាំឱ្យ \(\displaystyle \angle DCB = 90^\circ\)។

ដូច្នេះ \(\displaystyle ABCD\) ជាចតុកោណកែង។

គេឱ្យត្រីកោណសមបាត \(\displaystyle ABC\) មួយ ដែល \(\displaystyle AB = AC\)។ \(\displaystyle M \in BC\) ហើយ \(\displaystyle P\) និង \(\displaystyle Q\) ជាចំណោលកែងនៃចំណុច \(\displaystyle M\) លើ \(\displaystyle AB\) និង \(\displaystyle AC\)។ បន្លាយ \(\displaystyle QM\) កាត់តាម \(\displaystyle M\) ឱ្យបាន \(\displaystyle MR = MP\)។ តាម \(\displaystyle B\) គូសអង្កត់ \(\displaystyle BH \perp AC\), \(\displaystyle H \in AC\)។ ស្រាយបញ្ជាក់ថា \(\displaystyle BHQR\) ជាចតុកោណកែង ហើយទាញបញ្ជាក់ថា \(\displaystyle MP + MQ = BH\)។

ក្នុងត្រីកោណ \(\displaystyle BMP\) មាន \(\displaystyle \angle PBM + \angle BMP = 90^\circ\)

ក្នុងត្រីកោណ \(\displaystyle MQC\) មាន \(\displaystyle \angle QMC + \angle QCM = 90^\circ\)

ហើយ \(\displaystyle \angle QCM = \angle MBP\) មុំបាតត្រីកោណសមបាត \(\displaystyle ABC\)

\(\displaystyle \angle QMC = \angle PMB\) និង \(\displaystyle \angle QMC = \angle RMB\)

នោះ \(\displaystyle \angle PMB = \angle RMB\)

ត្រីកោណ \(\displaystyle BMP\) និងត្រីកោណ \(\displaystyle BRM\) មាន

• \(\displaystyle MR = MP\) (សម្មតិកម្ម)
• \(\displaystyle \angle PMB = \angle RMB\) ហើយ \(\displaystyle MB\) ជាជ្រុងរួម

នោះ \(\displaystyle \Delta BMP \cong \Delta BRM\) (ករណី ជ-ម-ជ)

វិបាក   \(\displaystyle \angle BPM = \angle BRM = 90^\circ\), \(\displaystyle MR = MP\)

ចតុកោណ \(\displaystyle BHQR\) មាន \(\displaystyle \angle BHQ = \angle RQH = \angle QRB = 90^\circ\)

ដូច្នេះចតុកោណ \(\displaystyle BHQR\) ជាចតុកោណកែង។

វិបាក   \(\displaystyle RQ = BH\) តែ \(\displaystyle RQ = MR + MQ\)

ដូច្នេះ \(\displaystyle MP + MQ = BH\)។

គេមាន \(\displaystyle ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាម ដែល \(\displaystyle AB = AD\)។ បង្ហាញថា \(\displaystyle AB = BC = CD = DA\)។

បើ \(\displaystyle ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាម

នោះ \(\displaystyle AB = CD\) និង \(\displaystyle AD = BC\) (ជ្រុងឈមនៃប្រលេឡូក្រាម)

\(\displaystyle AB = AD\) (សម្មតិកម្ម)

ដូច្នេះ \(\displaystyle AB = BC = CD = DA\)។

គេមាន \(\displaystyle ABCD\) ជាចតុកោណស្មើ។ បង្ហាញថា \(\displaystyle AC \perp BD\)។

បើ \(\displaystyle ABCD\) ជាចតុកោណស្មើ នោះ

\(\displaystyle \Delta ABO\) និង \(\displaystyle \Delta ADO\) មាន

• \(\displaystyle AB = AD\) និង \(\displaystyle OD = OB\)
• \(\displaystyle AO\) (ជ្រុងរួម)

នាំឱ្យ \(\displaystyle \Delta ABO \cong \Delta ADO\) (ករណី ជ-ជ-ជ)

វិបាក   \(\displaystyle \angle AOD = \angle AOB\)

ហើយ \(\displaystyle \angle AOD\), \(\displaystyle \angle AOB\) ជាមុំជាប់បន្ថែម នោះ \(\displaystyle \angle AOD + \angle AOB = 180^\circ\)

\(\displaystyle 2\angle AOB = 180^\circ\), \(\displaystyle \angle AOB = 90^\circ\)

ដូច្នេះ \(\displaystyle AC \perp BD\)។

គេមាន \(\displaystyle ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាម ដែល \(\displaystyle AC \perp BD\)។ បង្ហាញថា \(\displaystyle ABCD\) ជាចតុកោណស្មើ។

ក្នុង \(\displaystyle \Delta ABO\) និង \(\displaystyle \Delta ADO\) មាន

• \(\displaystyle OD = OB\) និង \(\displaystyle \angle AOD = \angle AOB\)
• \(\displaystyle AO\) (ជ្រុងរួម)

នាំឱ្យ \(\displaystyle \Delta ABO \cong \Delta ADO\) ករណី (ជ-ម-ជ)

វិបាក   \(\displaystyle AB = AD\)

\(\displaystyle ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាមដែលមាន \(\displaystyle AB = AD\) ដូច្នេះ \(\displaystyle ABCD\) ជាចតុកោណស្មើ។

គេមាន \(\displaystyle ABCD\) ជាចតុកោណស្មើដែលមានអង្កត់ទ្រូង \(\displaystyle AC\) និង \(\displaystyle BD\)។ បង្ហាញថា \(\displaystyle AC\) ជាកន្លះបន្ទាត់ពុះ \(\displaystyle \angle BAD\) និង \(\displaystyle \angle BCD\) ហើយ \(\displaystyle BD\) ជាកន្លះបន្ទាត់ពុះ \(\displaystyle \angle ADC\) និង \(\displaystyle \angle ABC\)។

ក្នុង \(\displaystyle \Delta ABO\) និង \(\displaystyle \Delta ADO\) មាន

• \(\displaystyle OD = OB\) និង \(\displaystyle \angle AOD = \angle AOB\)
• \(\displaystyle AO\) (ជ្រុងរួម)

នាំឱ្យ \(\displaystyle \Delta ABO \cong \Delta ADO\) ករណី (ជ-ម-ជ)

វិបាក   \(\displaystyle \angle BAO = \angle DAO\)

ដូច្នេះ \(\displaystyle AC\) ជាកន្លះបន្ទាត់ពុះមុំ \(\displaystyle \angle BAD\)។

សម្រាយបញ្ជាក់ដូចគ្នា គេបាន

\(\displaystyle AC\) ជាកន្លះបន្ទាត់ពុះមុំ \(\displaystyle \angle BCD\)

\(\displaystyle BD\) ជាកន្លះបន្ទាត់ពុះមុំ \(\displaystyle \angle ADC\) និង \(\displaystyle \angle ABC\)។

គេឱ្យចតុកោណកែង \(\displaystyle ABCD\) មាន \(\displaystyle O\) ជាចំណុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូង។ \(\displaystyle I\) ជាចំណុចមួយដែល \(\displaystyle AOBI\) ជាប្រលេឡូក្រាម។ បង្ហាញថា \(\displaystyle AOBI\) ជាចតុកោណស្មើ។

បើ \(\displaystyle AOBI\) ជាប្រលេឡូក្រាម គេបាន \(\displaystyle AI = OB\), \(\displaystyle IB = AO\) (1)

\(\displaystyle ABCD\) ជាចតុកោណកែង គេបាន \(\displaystyle AO = DO = OB = OC\) (2)

តាម (1) និង (2) គេបាន \(\displaystyle AO = AI\)

ដូច្នេះ \(\displaystyle AOBI\) ជាប្រលេឡូក្រាមដែលមានជ្រុងជាប់ \(\displaystyle AO = AI\) ជាចតុកោណស្មើ។

គេមាន \(\displaystyle \Delta ABC\) មានចំណុច \(\displaystyle D\) កណ្ដាល \(\displaystyle AB\) និងចំណុច \(\displaystyle E\) កណ្ដាល \(\displaystyle AC\)។ បង្ហាញថា \(\displaystyle DE \parallel BC\) និង \(\displaystyle DE = \frac{1}{2}BC\)។

បន្លាយជ្រុង \(\displaystyle DE\) ឱ្យបាន \(\displaystyle DE = EF\) រួចភ្ជាប់ \(\displaystyle FC\), \(\displaystyle AF\) និង \(\displaystyle DC\) បានចតុកោណ \(\displaystyle ADCF\)។

ចតុកោណ \(\displaystyle ADCF\) មានអង្កត់ទ្រូង \(\displaystyle AC\) និង \(\displaystyle DF\) ប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំណុចកណ្ដាល \(\displaystyle E\) គឺជាប្រលេឡូក្រាម។

ដោយ \(\displaystyle ADCF\) ជាប្រលេឡូក្រាម នោះ \(\displaystyle AD = CF\) និង \(\displaystyle AB \parallel CF\) ហើយ \(\displaystyle AD = DB\) នាំឱ្យ \(\displaystyle DB = CF\)។

ចតុកោណ \(\displaystyle BDFC\) មាន \(\displaystyle DB = CF\) និង \(\displaystyle DB \parallel CF\) ជាប្រលេឡូក្រាម

\(\displaystyle DF = BC\) និង \(\displaystyle DE \parallel BC\) ហើយ \(\displaystyle DE + EF = DF\) តែ \(\displaystyle DE = EF\) (សម្មតិកម្ម)

\(\displaystyle 2DE = DF\) នាំឱ្យ \(\displaystyle DE = \frac{1}{2}DF = \frac{1}{2}BC\)

ដូច្នេះ \(\displaystyle DE = \frac{1}{2}BC\)។

គេមាន \(\displaystyle \Delta ABC\) មានចំណុច \(\displaystyle D\) កណ្ដាល \(\displaystyle AB\) និងបន្ទាត់ \(\displaystyle d\) កាត់តាមចំណុច \(\displaystyle D\) ដែល \(\displaystyle d \parallel BC\) ហើយកាត់ \(\displaystyle AC\) ត្រង់ \(\displaystyle E\)។ បង្ហាញថា \(\displaystyle E\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃ \(\displaystyle AC\)។

តាមចំណុច \(\displaystyle C\) គូស \(\displaystyle CF \parallel AB\) ដូច្នេះគេបានចតុកោណ \(\displaystyle BDFC\) មាន \(\displaystyle AB \parallel CF\) និង \(\displaystyle DF \parallel BC\) ជាប្រលេឡូក្រាម។

វិបាក   \(\displaystyle BD = CF\)

\(\displaystyle DA = DB\) (ចំណុច \(\displaystyle D\) កណ្ដាល \(\displaystyle AB\)) នោះ \(\displaystyle DA = CF\)

ចតុកោណ \(\displaystyle DAFC\) មាន \(\displaystyle DA = CF\) និង \(\displaystyle DA \parallel CF\) ជាប្រលេឡូក្រាម

គេបាន អង្កត់ទ្រូង \(\displaystyle DF\) និង \(\displaystyle AC\) ប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំណុចកណ្ដាល \(\displaystyle E\)

ដូច្នេះ \(\displaystyle E\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃ \(\displaystyle AC\)។

គេមាន \(\displaystyle \Delta ABC\) កែងត្រង់ \(\displaystyle B\) ហើយ \(\displaystyle BO\) ជាមេដ្យានត្រូវនឹងអ៊ីប៉ូតេនុស \(\displaystyle AC\)។ បង្ហាញថា \(\displaystyle BO = \frac{1}{2}AC\)។

បន្លាយមេដ្យាន \(\displaystyle BO\) ឱ្យបាន \(\displaystyle BO = OD\)។ គេបាន

ចតុកោណ \(\displaystyle ABCD\) ដែលមានអង្កត់ទ្រូងប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំណុចកណ្ដាល \(\displaystyle O\) ជាប្រលេឡូក្រាម។

ប្រលេឡូក្រាម \(\displaystyle ABCD\) ដែលមាន \(\displaystyle \angle ABC = 90^\circ\) ជាចតុកោណកែង។

វិបាក   \(\displaystyle BD = AC\) នាំឱ្យ \(\displaystyle BO = \frac{1}{2}AC\)។

គេមាន \(\displaystyle \Delta ABC\) មានមេដ្យាន \(\displaystyle BO = \frac{1}{2}AC\)។ បង្ហាញថា \(\displaystyle \Delta ABC\) កែងត្រង់ \(\displaystyle B\)។

បន្លាយមេដ្យាន \(\displaystyle BO\) ឱ្យបាន \(\displaystyle BO = OD\)។ គេបាន

ចតុកោណ \(\displaystyle ABCD\) ដែលមានអង្កត់ទ្រូងប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំណុចកណ្ដាល \(\displaystyle O\) ជាប្រលេឡូក្រាម។

ដោយ \(\displaystyle BO = \frac{1}{2}AC\) នោះ \(\displaystyle BO + OD = BD\)

\(\displaystyle \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}AC = BD\) ឬ \(\displaystyle AC = BD\)

ប្រលេឡូក្រាម \(\displaystyle ABCD\) ដែលមានអង្កត់ទ្រូង \(\displaystyle AC = BD\) ជាចតុកោណកែង

ដូច្នេះ \(\displaystyle \Delta ABC\) កែងត្រង់ \(\displaystyle B\)។

គេមានចតុកោណព្នាយសមបាត \(\displaystyle ABCD\) ដែល \(\displaystyle AB \parallel DC\)។ បង្ហាញថា \(\displaystyle \angle A = \angle B\)។

តាមចំណុច \(\displaystyle D\) គូស \(\displaystyle DE \parallel BC\) ហើយ \(\displaystyle AB \parallel DC\) គេបាន \(\displaystyle EBCD\) ជាប្រលេឡូក្រាម។

គេមាន \(\displaystyle DE = CB\) ហើយ \(\displaystyle DA = CB\) (ជ្រុងចតុកោណព្នាយសមបាត) នាំឱ្យ \(\displaystyle DA = DE\)

ដូច្នេះ \(\displaystyle \Delta ADE\) ជាត្រីកោណសមបាត។

វិបាក   \(\displaystyle \angle A = \angle E\) ហើយ \(\displaystyle \angle E = \angle B\) (មុំត្រូវគ្នា)។

ដូច្នេះ \(\displaystyle \angle A = \angle B\)។

គេមានចតុកោណព្នាយសមបាត \(\displaystyle ABCD\) ដែល \(\displaystyle AB \parallel DC\)។ បង្ហាញថា \(\displaystyle AC = DB\)។

\(\displaystyle \Delta ADC\) និង \(\displaystyle \Delta DBC\)

• មាន \(\displaystyle DA = CB\) (ជ្រុងចតុកោណព្នាយសមបាត)
• មុំ \(\displaystyle \angle D = \angle C\) (មុំបាតចតុកោណព្នាយសមបាត)
• ជ្រុង \(\displaystyle DC\) ជាជ្រុងរួម

នោះ \(\displaystyle \Delta ADC \cong \Delta DBC\)។

វិបាក   \(\displaystyle AC = DB\)។

ដូច្នេះ \(\displaystyle AC = DB\)។

គេមាន \(\displaystyle ABCD\) ជាចតុកោណព្នាយដែលមានបាត \(\displaystyle DC \parallel AB\) ហើយ \(\displaystyle EF\) ជាអង្កត់ដែលភ្ជាប់ចំណុចកណ្ដាលនៃជ្រុងទាំងពីរហៅថា បាតមធ្យម នៃចតុកោណព្នាយ។ បង្ហាញថា \(\displaystyle DC \parallel EF \parallel AB\) និង \(\displaystyle EF = \frac{1}{2}(AB + DC)\)។

តាមចំណុច \(\displaystyle C\) គូសបន្ទាត់ \(\displaystyle CE\) កាត់បន្លាយជ្រុង \(\displaystyle AB\) ត្រង់ \(\displaystyle G\)។ ត្រីកោណ \(\displaystyle AGE\) និង \(\displaystyle EDC\) មាន

• \(\displaystyle \angle GAE = \angle CDE\) (មុំឆ្លាស់ក្នុង)
• \(\displaystyle AE = ED\) (\(\displaystyle E\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃជ្រុង \(\displaystyle AD\))
• \(\displaystyle \angle AEG = \angle DEC\) (មុំទល់កំពូល)។

ដូច្នេះ \(\displaystyle \Delta AGE \cong \Delta EDC\)។

វិបាក   \(\displaystyle AG = DC\) និង \(\displaystyle GE = EC\)។

ក្នុងត្រីកោណ \(\displaystyle CGB\) មាន \(\displaystyle E\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃ \(\displaystyle GC\) និង \(\displaystyle F\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃ \(\displaystyle BC\) នោះ \(\displaystyle EF\) ជាបាតមធ្យមនៃត្រីកោណ \(\displaystyle CGB\)។

គេបាន \(\displaystyle DC \parallel EF \parallel AB\) និង \(\displaystyle EF = \frac{1}{2}GB = \frac{1}{2}(GA + AB) = \frac{1}{2}(DC + AB)\)។

គេមាន \(\displaystyle ABCD\) ជាចតុកោណព្នាយដែលមាន \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\) និង \(\displaystyle G\), \(\displaystyle H\) ជាចំណុចកណ្ដាលរៀងគ្នានៃជ្រុងទ្រេត \(\displaystyle AD\), \(\displaystyle BC\) និងអង្កត់ទ្រូង \(\displaystyle AC\), \(\displaystyle BD\)។ បង្ហាញថា \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\) និង \(\displaystyle G\), \(\displaystyle H\) ឋិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ។

ក្នុងត្រីកោណ \(\displaystyle ADC\) មាន \(\displaystyle E\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃ \(\displaystyle AD\) និង \(\displaystyle G\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃ \(\displaystyle AC\) នោះ \(\displaystyle EG\) ជាបាតមធ្យមនៃត្រីកោណ \(\displaystyle ADC\)។

គេបាន \(\displaystyle DC \parallel EG\) (1)

ដូចគ្នានេះដែរក្នុងត្រីកោណ \(\displaystyle BDC\) មាន \(\displaystyle HF\) ជាបាតមធ្យមនៃត្រីកោណ \(\displaystyle BDC\)

គេបាន \(\displaystyle DC \parallel HF\) (2)

ម្យ៉ាងទៀត \(\displaystyle EF\) ជាបាតមធ្យមនៃចតុកោណព្នាយ \(\displaystyle ABCD\) នោះ \(\displaystyle DC \parallel EF\) (3)

តាម (1), (2) និង (3) គេបាន \(\displaystyle EG\) និង \(\displaystyle HF\) នៅលើទិសតែមួយមានន័យថា \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\) និង \(\displaystyle G\), \(\displaystyle H\) ឋិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ

ដូច្នេះចំណុច \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\) និង \(\displaystyle G\), \(\displaystyle H\) ឋិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ។

គេមានចតុកោណព្នាយសមបាត \(\displaystyle ABCD\) ហើយ \(\displaystyle G\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃ \(\displaystyle AB\)។ \(\displaystyle O\) ជាចំណុចប្រសព្វនៃជ្រុងទ្រេត \(\displaystyle AD\) និង \(\displaystyle BC\) ហើយ \(\displaystyle H\) ជាចំណុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូង \(\displaystyle AC\) និង \(\displaystyle BD\)។ បង្ហាញថា ចំណុច \(\displaystyle O\), \(\displaystyle H\) និង \(\displaystyle G\) ឋិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ។

ត្រីកោណ \(\displaystyle OAB\) សមបាត (មុំបាត \(\displaystyle \angle A = \angle B\))

គេបាន មេដ្យាន \(\displaystyle OG\) ជាមេដ្យាទ័រនៃ \(\displaystyle AB\) (1)

ក្នុង \(\displaystyle \Delta ADC\), \(\displaystyle \Delta BDC\) មាន \(\displaystyle AC = BD\) អង្កត់ទ្រូងចតុកោណព្នាយសមបាត។

\(\displaystyle CD\) (ជ្រុងរួម)

\(\displaystyle AD = BC\) ជ្រុងនៃចតុកោណព្នាយសមបាត។

ដូច្នេះ \(\displaystyle \Delta ADC \cong \Delta BDC\)។

គេបាន \(\displaystyle \angle DAC = \angle DBC\), \(\displaystyle \angle DAB = \angle ABC\)

គេបាន \(\displaystyle \angle DAB - \angle DAC = \angle ABC - \angle DBC\) នាំឱ្យ \(\displaystyle \angle CAB = \angle DBA\)

\(\displaystyle \Delta HAB\) ជាត្រីកោណសមបាតនោះមេដ្យាន \(\displaystyle HG\) ជាមេដ្យាទ័រនៃ \(\displaystyle AB\) (2)។

តាម (1) និង (2) គេបាន \(\displaystyle OG\) និង \(\displaystyle HG\) ជាមេដ្យាទ័រនៃ \(\displaystyle AB\)។

ដូច្នេះចំណុច \(\displaystyle O\), \(\displaystyle H\) និង \(\displaystyle G\) ឋិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ។