ចំនួនអសនិទាន

ឧទាហរណ៍ទី១ ឧបមាថាយើងចង់រកតម្លៃ \(\displaystyle x\) ដែល \(\displaystyle x^2 = 9\)។

គិតមុនគូ តើលេខអ្វីខ្លះដែលគុណនឹងខ្លួនឯងស្មើនឹង 9? យើងត្រូវរកទាំងចំនួនវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន។

ជំហានទី១ រកចំនួនវិជ្ជមាន យើងដឹងហើយថា \(\displaystyle 3 \times 3 = 3^2 = 9\)។ ដូចនេះ \(\displaystyle x=3\) ជាចម្លើយមួយ។

ជំហានទី២ រកចំនួនអវិជ្ជមាន ចុះ \(\displaystyle (-3) \times (-3)\) វិញ? វាក៏ស្មើនឹង \(\displaystyle 9\) ដែរមែនទេ! ព្រោះអវិជ្ជមានគុណអវិជ្ជមានចេញវិជ្ជមាន។ ដូចនេះ \(\displaystyle x=-3\) ក៏ជាចម្លើយដែរ។

ដូចនេះ    \(\displaystyle \boxed{x = 3 \text{ ឬ } x = -3}\)
នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ចំនួន \(\displaystyle 3\) និង \(\displaystyle -3\) នេះហើយដែលយើងហៅថា ឫសការេ នៃ 9។ ការរកឫសការេនៃ 9 គឺមានន័យសាមញ្ញថា រកមើលតម្លៃ \(\displaystyle x\) ណាខ្លះដែល \(\displaystyle x^2 = 9\) នោះឯង!

ឧទាហរណ៍ទី២ តោះសាកល្បងជាមួយប្រភាគម្ដង! រក \(\displaystyle x\) ដែល \(\displaystyle x^2 = \frac{25}{4}\)។

គិតមុនគូ ដូចគ្នានឹងចំនួនគត់ដែរ យើងត្រូវរកប្រភាគដែលគុណនឹងខ្លួនឯងស្មើ \(\displaystyle \frac{25}{4}\) ទាំងតម្លៃវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន។

ជំហានទី១ រកប្រភាគវិជ្ជមាន យើងដឹងថា \(\displaystyle 5^2 = 25\) និង \(\displaystyle 2^2 = 4\)។ យើងឃើញថា \(\displaystyle \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{5^2}{2^2} = \frac{25}{4}\)។

ជំហានទី២ រកប្រភាគអវិជ្ជមាន ដូចដែលយើងបានដឹងពីមុន ចំនួនអវិជ្ជមានលើកជាការេចេញវិជ្ជមាន។ ដូចនេះ \(\displaystyle \left(-\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}\) ដូចគ្នា។

ដូចនេះ    \(\displaystyle \boxed{x = \frac{5}{2} \text{ ឬ } x = -\frac{5}{2}}\)
យើងអាចសន្និដ្ឋានបានថា ចំនួន \(\displaystyle \frac{25}{4}\) មានឫសការេពីរដែលជាចំនួនផ្ទុយគ្នា គឺ \(\displaystyle \frac{5}{2}\) និង \(\displaystyle -\frac{5}{2}\)។

ឧទាហរណ៍ទី៣ ឥឡូវយើងត្រលប់មកសំណួរដើមរបស់យើងវិញ រក \(\displaystyle x\) ដែល \(\displaystyle x^2 = 3\)។ តើវានៅលាក់ខ្លួនត្រង់ណា?

គិតមុនគូ លេខ 3 មិនមែនជាការេប្រាកដទេ (ដូចជា 1, 4, 9)។ តោះសាកល្បងស្វែងរកតម្លៃនេះដោយពឹងលើចំនួនទសភាគសនិទាន។

ជំហានទី១ សាកល្បងជាមួយលេខគត់ បើឱ្យ \(\displaystyle x = 1 \implies 1^2 = 1 < 3\) (នៅតូចជាង 3)
បើឱ្យ \(\displaystyle x = 2 \implies 2^2 = 4 > 3\) (អូសហួសបាត់!)
អញ្ចឹង \(\displaystyle x\) ត្រូវតែនៅចន្លោះ 1 និង 2។

ជំហានទី២ សាកល្បងជាមួយលេខទសភាគ បើឱ្យ \(\displaystyle x = 1.5 \implies (1.5)^2 = 2.25 < 3\) (នៅតូចជាង 3 ដែរ)
បើឱ្យ \(\displaystyle x = 1.7 \implies (1.7)^2 = 2.89 < 3\) (ខិតជិតមែនទែនហើយ!)
បើឱ្យ \(\displaystyle x = 1.8 \implies (1.8)^2 = 3.24 > 3\) (ហួសទៀតហើយ!)

ជំហានទី៣ ទាញសេចក្តីសន្និដ្ឋាន តាមការសាកល្បងនេះ យើងឃើញច្បាស់ថា គ្មានចំនួនសនិទានណាមួយ (ទសភាគបញ្ចប់) ដែលមានការេស្មើនឹង 3 បេះបិទនោះទេ។

ដូចនេះ ដោយសារតែបញ្ហានេះហើយ ទើបអ្នកគណិតវិទ្យាបង្កើតនិមិត្តសញ្ញាថ្មីមួយគឺ \(\displaystyle \sqrt{3}\) (អានថា ឫសទីពីរនៃ 3) ដើម្បីតំណាងឱ្យចំនួនដែល \(\displaystyle (\sqrt{3})^2 = 3\)។
ដូចនេះ    \(\displaystyle \boxed{x = \sqrt{3} \text{ ឬ } x = -\sqrt{3}}\)
យើងហៅ \(\displaystyle \sqrt{3}\) នេះថាជា ចំនួនអសនិទាន ដែលមានតម្លៃប្រហែល \(\displaystyle \sqrt{3} \approx 1.7320...\)។
ចំណាំបន្តិច ក្នុងនិមិត្តសញ្ញា \(\displaystyle \sqrt{3}\) នេះ សញ្ញា \(\displaystyle \sqrt{\phantom{x}}\) ត្រូវបានគេហៅថា រ៉ាឌីកាល់។ វាមាន សន្ទស្សន៍ លាក់ទុកស្មើនឹង 2 (តាមពិតត្រូវសរសេរ \(\displaystyle \sqrt[2]{3}\) តែគេនិយមលុបចោល) ហើយលេខ 3 នៅខាងក្នុងនោះហៅថា រ៉ាឌីកង់។

ប្រវត្តិសញ្ញាឫសការេ
សញ្ញាឫសការេ \(\displaystyle \sqrt{\quad}\) ត្រូវបានណែនាំឱ្យប្រើប្រាស់ជាផ្លូវការនៅក្នុងឆ្នាំ ១៥២៥ ដោយគណិតវិទូជនជាតិអាល្លឺម៉ង់ឈ្មោះ Christoph Rudolff នៅក្នុងសៀវភៅ Coss។ ប៉ុន្តែមានទ្រឹស្តីពីរផ្សេងគ្នាអំពីប្រភពដើមនៃសញ្ញានេះ

1. ទ្រឹស្តីទី១ គេជឿថាសញ្ញានេះមានប្រភពមកពីការសរសេរទម្រង់អក្សរឡាតាំង "r" តូច ដែលតំណាងឱ្យពាក្យ radix (ប្រែថា ឫស)។
2. ទ្រឹស្តីទី២ (តាមទស្សនៈសកលក្នុងកម្មវិធី IB) បង្ហាញថាវាអាចវិវត្តចេញពីអក្សរអារ៉ាប់ "jeem" ដែលជាអក្សរដំបូងនៃពាក្យ "jadhir" (មានន័យថាឫស) ប្រើប្រាស់ដោយគណិតវិទូអារ៉ាប់ Al-Qalasadi នៅសតវត្សទី១៥ មុនលោក Rudolff ទៅទៀត។

ចំណែកឯបន្ទាត់ផ្ដេកនៅពីលើរ៉ាឌីកង់ ត្រូវបានបន្ថែមនៅពេលក្រោយដោយ René Descartes ក្នុងឆ្នាំ ១៦៣៧ ដើម្បីបញ្ជាក់ពីទំហំនៃកន្សោមដែលស្ថិតនៅក្រោមឫស។

ឧទាហរណ៍ទី៤ ចុះបើគ្រូឱ្យរក \(\displaystyle x\) ដែល \(\displaystyle x^2 = -3\) វិញ? តើមានចម្លើយដែរឬទេ?

គិតមុនគូ យើងដឹងថាការរកតម្លៃ \(\displaystyle x\) គឺស្វែងរកលេខដែលគុណនឹងខ្លួនឯងស្មើនឹង \(\displaystyle -3\)។

ជំហានទី១ សាកល្បងលេខវិជ្ជមាន លេខវិជ្ជមាន គុណនឹងលេខវិជ្ជមាន ចេញលេខវិជ្ជមាន។ (ឧទាហរណ៍ \(\displaystyle 2 \times 2 = 4\))

ជំហានទី២ សាកល្បងលេខអវិជ្ជមាន លេខអវិជ្ជមាន គុណនឹងលេខអវិជ្ជមាន ក៏ចេញលេខវិជ្ជមានដែរ។ (ឧទាហរណ៍ \(\displaystyle (-2) \times (-2) = 4\))

ដូចនេះ ប្រាកដជាគ្មានលេខណាមួយដែលគុណនឹងខ្លួនឯងទៅចេញដកទេ! ព្រោះចំនួនណាក៏ដោយ ឱ្យតែលើកជាការេ គឺតែងតែចេញវិជ្ជមានជានិច្ច។
ដូចនេះ    \(\displaystyle \boxed{\text{គ្មានចម្លើយក្នុងចំនួនពិតទេ}}\)
សូមចងចាំថា ក្នុងចំនួនពិត ចំនួនអវិជ្ជមានគ្មានឫសការេទេ!

ឧទាហរណ៍ទី៥ តោះ អនុវត្តជាមួយគ្នា! រកឫសការេនៃសមីការខាងក្រោម

គិតមុនគូ ចងចាំក្បួនទាំង៣ ១. ចំនួនវិជ្ជមានមានឫសការេពីរ (បូកនិងដក) ២. សូន្យមានឫសការេតែមួយគត់ (គឺសូន្យ) ៣. ចំនួនអវិជ្ជមានគ្មានឫសការេទេ

ជំហានដោះស្រាយ

• ក. \(\displaystyle x^2 = 16 \implies 4^2=16\) និង \(\displaystyle (-4)^2=16\)។ ដូចនេះ \(\displaystyle x = 4\) ឬ \(\displaystyle x = -4\)។
• ខ. \(\displaystyle x^2 = 7 \implies 7\) មិនមែនជាការេប្រាកដទេ។ ដូចនេះវាជាចំនួនអសនិទាន \(\displaystyle x = \sqrt{7}\) ឬ \(\displaystyle x = -\sqrt{7}\)។
• គ. \(\displaystyle x^2 = \frac{25}{4} \implies \left(\frac{5}{2}\right)^2=\frac{25}{4}\) និង \(\displaystyle \left(-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{25}{4}\)។ ដូចនេះ \(\displaystyle x = \frac{5}{2}\) ឬ \(\displaystyle x = -\frac{5}{2}\)។
• ឃ. \(\displaystyle x^2 = -81 \implies\) ជាចំនួនអវិជ្ជមាន។ ដូចនេះ គ្មានចម្លើយ ព្រោះគ្មានចំនួនពិតណាលើកជាការេចេញអវិជ្ជមានទេ។
• ង. \(\displaystyle x^2 = 1 \implies 1^2=1\) និង \(\displaystyle (-1)^2=1\)។ ដូចនេះ \(\displaystyle x = 1\) ឬ \(\displaystyle x = -1\)។
• ច. \(\displaystyle x^2 = 0 \implies 0^2=0\)។ ដូចនេះមានចម្លើយតែមួយគត់គឺ \(\displaystyle x = 0\)។

ដូចនេះ អនុវត្តតាមក្បួនខាងលើ យើងអាចដោះស្រាយបានគ្រប់ករណីយ៉ាងងាយស្រួល។

ការអនុវត្តជាក់ស្តែង ការរកប្រវែងជ្រុងសួនច្បារការេ
ឧបមាថាគ្រួសារប្អូនមានដីសួនច្បាររាងការេមួយដែលមានក្រឡាផ្ទៃ \(\displaystyle 50\text{ m}^2\)។ តើជ្រុងម្ខាងនៃសួនច្បារនោះមានប្រវែងប៉ុន្មានម៉ែត្រ?

• តាមរូបមន្តក្រឡាផ្ទៃការេ \(\displaystyle S = x^2\) ដែល \(\displaystyle x\) ជាប្រវែងជ្រុង។
• នាំឱ្យ \(\displaystyle x^2 = 50\)
• ដោយសារប្រវែងត្រូវតែវិជ្ជមាន យើងទាញបាន \(\displaystyle x = \sqrt{50}\)

យើងដឹងថា \(\displaystyle \sqrt{49} = 7\) ដូច្នេះ \(\displaystyle \sqrt{50}\) គឺមានប្រវែងប្រហែល \(\displaystyle 7\) ម៉ែត្រជាង។ បើយើងគណនាតាមម៉ាស៊ីនគិតលេខ យើងបាន \(\displaystyle x = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \approx 7.07\text{ m}\)។ នេះបញ្ជាក់ថាចំនួនអសនិទានគឺមានវត្តមានយ៉ាងពិតប្រាកដក្នុងការវាស់វែងជាក់ស្តែង!

ឧទាហរណ៍ទី៦ តោះសាកល្បង រកតម្លៃ \(\displaystyle x\) ដែល ក. \(\displaystyle x^3 = 64\) និង ខ. \(\displaystyle x^3 = -27\)

គិតមុនគូ ការរកឫសគូបគឺសួរថា "តើលេខអ្វីដែលគុណនឹងខ្លួនឯងបីដង (\(\displaystyle x \times x \times x\)) ទើបស្មើនឹងចំនួននេះ?"។ ប្រយ័ត្នណា! វាខុសពីឫសការេ។

ជំហានទី១ រក \(\displaystyle x^3 = 64\) យើងសាកល្បងគុណលេខ \(\displaystyle 4 \times 4 \times 4 = 4^3 = 64\)។ ចុះ \(\displaystyle (-4)^3\) វិញ? \(\displaystyle (-4) \times (-4) \times (-4) = -64\) ណា៎! (មិនមែន \(\displaystyle 64\) ទេ)។ ដូចនេះ មានតែ \(\displaystyle x=4\) មួយគត់ដែលត្រឹមត្រូវ។

ជំហានទី២ រក \(\displaystyle x^3 = -27\) យើងសាកល្បងលេខអវិជ្ជមានម្តង \(\displaystyle (-3) \times (-3) \times (-3) = (-3)^3 = -27\)។ ដូចនេះ មានតែ \(\displaystyle x=-3\) មួយគត់ដែលត្រឹមត្រូវ។

ដូចនេះ    \(\displaystyle \boxed{x = \sqrt[3]{64} = 4}\)   និង   \(\displaystyle \boxed{x = \sqrt[3]{-27} = -3}\)

ឧទាហរណ៍ទី៧ តើមានអ្វីកើតឡើងបើគេឱ្យរក \(\displaystyle x\) ដែល \(\displaystyle x^3 = 17\) និង \(\displaystyle x^3 = -17\)?

គិតមុនគូ លេខ 17 មិនមែនជាគូបប្រាកដទេ (ដូចជា 8 ឬ 27 ឡើយ)។ ដូច្នេះចម្លើយវានឹងក្លាយជាចំនួនអសនិទាន។

ជំហានទី១ រក \(\displaystyle x^3 = 17\) បើ \(\displaystyle 2^3 = 8\) (តូចពេក), ហើយ \(\displaystyle 3^3 = 27\) (ធំពេក) នោះ \(\displaystyle x\) ត្រូវនៅចន្លោះ 2 និង 3។ ដោយគ្មានចំនួនសនិទានណាគូបទៅស្មើ 17 នោះទេ យើងបង្កើតនិមិត្តសញ្ញា \(\displaystyle \sqrt[3]{17}\) ដើម្បីតំណាងវា។

ជំហានទី២ រក \(\displaystyle x^3 = -17\) ដោយសារវាជាចំនួនអវិជ្ជមាន ឫសគូបរបស់វាក៏ជាអវិជ្ជមានដែរ។ នោះគឺ \(\displaystyle -\sqrt[3]{17}\) ឬអាចសរសេរថា \(\displaystyle \sqrt[3]{-17}\)។

ដូចនេះ    \(\displaystyle \boxed{x = \sqrt[3]{17}}\)   និង   \(\displaystyle \boxed{x = \sqrt[3]{-17} = -\sqrt[3]{17}}\)
ចំណាំ \(\displaystyle \sqrt[3]{\phantom{x}}\) គឺជា រ៉ាឌីកាល់ ដែលមានសន្ទស្សន៍ 3 ហើយ 17 គឺជា រ៉ាឌីកង់។

រកឫសគូបនៃចំនួនខាងក្រោម

ចម្លើយ

ឧទាហរណ៍ទី៨ គេអាចប្រៀបធៀប \(\displaystyle \sqrt{4} \times \sqrt{9}\) និង \(\displaystyle \sqrt{4 \times 9}\) ដូចខាងក្រោម

គិតមុនគូ តើយើងអាចគុណលេខដែលនៅក្រៅឫសបញ្ចូលគ្នាបានទេ? តោះសាកល្បងគណនាដាច់ដោយឡែក។

ជំហានទី១ គណនា \(\displaystyle \sqrt{4} \times \sqrt{9}\) យើងមាន \(\displaystyle \sqrt{4} = 2\) និង \(\displaystyle \sqrt{9} = 3\)។ ហេតុនេះ \(\displaystyle \sqrt{4} \times \sqrt{9} = 2 \times 3 = 6\)។

ជំហានទី២ គណនា \(\displaystyle \sqrt{4 \times 9}\) យើងមាន \(\displaystyle 4 \times 9 = 36\)។ ហេតុនេះ \(\displaystyle \sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = 6\)។

ដូចនេះ    \(\displaystyle \boxed{\sqrt{4} \times \sqrt{9} = \sqrt{4 \times 9}}\)

ឧទាហរណ៍ទី៩ គេអាចប្រៀបធៀប \(\displaystyle \sqrt[3]{8} \times \sqrt[3]{27}\) និង \(\displaystyle \sqrt[3]{8 \times 27}\) ដូចខាងក្រោម

គិតមុនគូ ធ្វើដូចឫសការេដែរ តោះសាកល្បងគណនាមើលថាតើឫសគូបមានលក្ខណៈដូចគ្នាឬទេ។

ជំហានទី១ គណនា \(\displaystyle \sqrt[3]{8} \times \sqrt[3]{27}\) យើងមាន \(\displaystyle \sqrt[3]{8} = 2\) និង \(\displaystyle \sqrt[3]{27} = 3\)។ ហេតុនេះ \(\displaystyle \sqrt[3]{8} \times \sqrt[3]{27} = 2 \times 3 = 6\)។

ជំហានទី២ គណនា \(\displaystyle \sqrt[3]{8 \times 27}\) យើងមាន \(\displaystyle 8 \times 27 = 216\)។ ហេតុនេះ \(\displaystyle \sqrt[3]{8 \times 27} = \sqrt[3]{216} = \sqrt[3]{6^3} = 6\)។

ដូចនេះ    \(\displaystyle \boxed{\sqrt[3]{8} \times \sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{8 \times 27}}\)

ឧទាហរណ៍ទី១០ គណនាផលគុណនៃរ៉ាឌីកាល់ខាងក្រោម

គិតមុនគូ រ៉ាឌីកង់នីមួយៗភាគច្រើនមិនមែនជាការេប្រាកដទេ (ឧ. \(\displaystyle \sqrt{2}\)) ប៉ុន្តែបើយើងគុណវាបញ្ចូលគ្នា វាអាចបង្កើតបានជាការេប្រាកដ។

ជំហានដោះស្រាយ

• ក. \(\displaystyle \sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{2 \times 8} = \sqrt{16} = \sqrt{4^2} = 4\)
• ខ. \(\displaystyle \sqrt{3} \times \sqrt{27} = \sqrt{3 \times 27} = \sqrt{81} = \sqrt{9^2} = 9\)
• គ. \(\displaystyle \sqrt[3]{2} \times \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2 \times 4} = \sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 2\)
• ឃ. \(\displaystyle \sqrt[3]{2} \times \sqrt[3]{\frac{1}{16}} = \sqrt[3]{2 \times \frac{1}{16}} = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \sqrt[3]{\left(\frac{1}{2}\right)^3} = \frac{1}{2}\)
• ង. \(\displaystyle \sqrt{2} \times \sqrt{32} = \sqrt{2 \times 32} = \sqrt{64} = \sqrt{8^2} = 8\)
• ច. \(\displaystyle \sqrt{50} \times \sqrt{2} = \sqrt{50 \times 2} = \sqrt{100} = \sqrt{10^2} = 10\)

ដូចនេះ ការគុណបញ្ចូលគ្នាជួយសម្រួលរ៉ាឌីកាល់អសនិទានឱ្យក្លាយជាចំនួនសនិទានបានយ៉ាងងាយស្រួល។

ឧទាហរណ៍ទី១១ គេអាចប្រៀបធៀប \(\displaystyle \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{4}}\) និង \(\displaystyle \sqrt{\frac{36}{4}}\) ដូចខាងក្រោម

គិតមុនគូ តើយើងអាចចែកលេខក្នុងរ៉ាឌីកាល់បញ្ចូលគ្នាបានដែរឬទេ? តោះគណនាដាច់ដោយឡែកសិន។

ជំហានទី១ គណនា \(\displaystyle \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{4}}\) យើងមាន \(\displaystyle \sqrt{36} = 6\) និង \(\displaystyle \sqrt{4} = 2\)។ ហេតុនេះ \(\displaystyle \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{4}} = \frac{6}{2} = 3\)។

ជំហានទី២ គណនា \(\displaystyle \sqrt{\frac{36}{4}}\) យើងមាន \(\displaystyle \frac{36}{4} = 9\)។ ហេតុនេះ \(\displaystyle \sqrt{\frac{36}{4}} = \sqrt{9} = 3\)។

ដូចនេះ    \(\displaystyle \boxed{\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{4}} = \sqrt{\frac{36}{4}}}\)

ឧទាហរណ៍ទី១២ គេអាចប្រៀបធៀប \(\displaystyle \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}\) និង \(\displaystyle \sqrt[3]{\frac{27}{8}}\) ដូចខាងក្រោម

គិតមុនគូ សម្រាប់ឫសគូបក៏ដូចគ្នា យើងនឹងផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខណៈនេះ។

ជំហានទី១ គណនា \(\displaystyle \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}\) យើងមាន \(\displaystyle \sqrt[3]{27} = 3\) និង \(\displaystyle \sqrt[3]{8} = 2\)។ ហេតុនេះ \(\displaystyle \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{3}{2}\)។

ជំហានទី២ គណនា \(\displaystyle \sqrt[3]{\frac{27}{8}}\) យើងមាន \(\displaystyle \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \sqrt[3]{\left(\frac{3}{2}\right)^3} = \frac{3}{2}\)។

ដូចនេះ    \(\displaystyle \boxed{\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}}}\)

ឧទាហរណ៍ទី១៣ គណនាផលចែកនៃរ៉ាឌីកាល់ខាងក្រោម

គិតមុនគូ បើរ៉ាឌីកង់ចែកមិនដាច់ យើងអាចដាក់វាជាប្រភាគក្រោមរ៉ាឌីកាល់រួម រួចសម្រួលវាសិន។

ជំហានដោះស្រាយ

ដូចនេះ ការចែករ៉ាឌីកាល់ជួយបំប្លែងទម្រង់ស្មុគស្មាញឱ្យងាយស្រួលគណនាបានយ៉ាងមានប្រសិទ្ធភាព។

ឧទាហរណ៍ទី១៤ ចូរបញ្ចេញមួយចំនួនពីរ៉ាឌីកាល់ ក. \(\displaystyle \sqrt{18}\), ខ. \(\displaystyle \sqrt{72}\), គ. \(\displaystyle \sqrt{200x^3} \quad (x>0)\)

គិតមុនគូ ប្អូនៗសង្កេតឃើញទេថា លេខនៅក្នុងឫសទាំងនេះមិនមែនជាការេប្រាកដទាំងអស់ទេ។ ដើម្បីបញ្ចេញវាបាន វិធីសាស្ត្ររបស់យើងគឺត្រូវព្យាយាមបំបែកលេខនោះជាផលគុណនៃ "លេខការេប្រាកដ" គុណនឹង "លេខដែលនៅសល់"។ តោះសាកល្បងមើលទាំងអស់គ្នា!

ជំហានទី១៖ បញ្ចេញ \(\displaystyle \sqrt{18}\) ដំបូង យើងសួរខ្លួនឯងថា តើមានលេខការេប្រាកដណាដែលចែកដាច់នឹង 18 ទេ? អូ! 18 អាចបំបែកជា \(\displaystyle 9 \times 2\) ដែលលេខ 9 នេះហើយជាការេប្រាកដ (\(\displaystyle 3^2\))។
ហេតុនេះយើងបាន \(\displaystyle \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{3^2 \times 2} = 3\sqrt{2}\)។

ជំហានទី២៖ បញ្ចេញ \(\displaystyle \sqrt{72}\) ចុះចំណែកលេខធំដូចជា 72 វិញ? យើងអាចបំបែកវាជា \(\displaystyle 36 \times 2\) ព្រោះលេខ 36 គឺជាការេប្រាកដ (\(\displaystyle 6^2\)) ដែលធំបំផុតអាចចែកដាច់នឹង 72។
ហេតុនេះយើងបាន \(\displaystyle \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{6^2 \times 2} = 6\sqrt{2}\)។

ជំហានទី៣៖ បញ្ចេញ \(\displaystyle \sqrt{200x^3}\) ឥឡូវយើងមានអថេរចូលរួមផងដែរ! កុំបារម្ភអី យើងគ្រាន់តែបំបែកទាំងមេគុណ និងអថេរដាច់ពីគ្នា។ លេខ \(\displaystyle 200 = 100 \times 2\) (យក 100 ព្រោះជាការេ) រីឯ \(\displaystyle x^3 = x^2 \times x\) (យក \(\displaystyle x^2\) ព្រោះជាការេ)។
ហេតុនេះយើងបាន \(\displaystyle \sqrt{200x^3} = \sqrt{100 \cdot x^2 \cdot 2 \cdot x} = \sqrt{(10x)^2 \cdot 2x} = 10x\sqrt{2x}\) (ព្រោះគេប្រាប់ស្រាប់ថា \(\displaystyle x>0\))។

ដូចនេះ យើងទទួលបានលទ្ធផល    \(\displaystyle \boxed{\sqrt{18} = 3\sqrt{2}}\)   \(\displaystyle \boxed{\sqrt{72} = 6\sqrt{2}}\)   \(\displaystyle \boxed{\sqrt{200x^3} = 10x\sqrt{2x}}\)

ឧទាហរណ៍ទី១៥ ក. រក \(\displaystyle x\) បើ \(\displaystyle x^2 = 9\)
ខ. រក \(\displaystyle x\) បើ \(\displaystyle x^3 = 8\)

គិតមុនគូ ឧទាហរណ៍នេះបង្ហាញពីទំនាក់ទំនងរវាងការដោះស្រាយសមីការ និងការបញ្ចេញលេខពីរ៉ាឌីកាល់។

ជំហានទី១ ដោះស្រាយករណីឫសការេ \(\displaystyle x^2 = 9\) តាមរូបមន្ត \(\displaystyle x = \sqrt{9}\) ឬ \(\displaystyle x = -\sqrt{9}\)។ ដោយ \(\displaystyle 3^2 = 9\) នោះ \(\displaystyle \sqrt{9} = \sqrt{3^2} = 3\)។ យើងទាញបាន \(\displaystyle \sqrt{9} = 3\) និង \(\displaystyle -\sqrt{9} = -3\)។ នេះបញ្ជាក់ថា \(\displaystyle \sqrt{3^2} = 3\) (បញ្ចេញ 9 ពីរ៉ាឌីកាល់)។

ជំហានទី២ ដោះស្រាយករណីឫសគូប \(\displaystyle x^3 = 8\) តាមរូបមន្ត \(\displaystyle x = \sqrt[3]{8}\)។ ដោយ \(\displaystyle 2^3 = 8\) នោះ \(\displaystyle \sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 2\)។ នេះបញ្ជាក់ថា \(\displaystyle \sqrt[3]{2^3} = 2\) (បញ្ចេញ 8 ពីរ៉ាឌីកាល់)។

ដូចនេះ ការដោះស្រាយសមីការជួយបញ្ជាក់យ៉ាងច្បាស់ពីលក្ខណៈនៃការបញ្ចេញលេខពីរ៉ាឌីកាល់។

ឧទាហរណ៍ទី១៦ បញ្ចេញមួយចំនួនពីរ៉ាឌីកាល់

គិតមុនគូ ចំនួនទាំងអស់នេះអាចសរសេរជាទម្រង់ស្វ័យគុណបាន ដែលអាចបញ្ចេញពីរ៉ាឌីកាល់អស់តែម្តងដោយគ្មានសល់លេខខាងក្នុង។

ជំហានដោះស្រាយ

ដូចនេះ លេខទាំងអស់ត្រូវបានបញ្ចេញពីរ៉ាឌីកាល់បានយ៉ាងងាយ។

ឧទាហរណ៍ទី១៧ បញ្ចេញចំនួន \(\displaystyle \sqrt{32}\) និង \(\displaystyle \sqrt[3]{16}\) ពីរ៉ាឌីកាល់។

គិតមុនគូ យើងបំបែកវាជាផលគុណដោយប្រើលក្ខណៈវិធីគុណរ៉ាឌីកាល់ ដែលយើងធ្លាប់រៀន។

ជំហានទី១ បញ្ចេញ \(\displaystyle \sqrt{32}\) យើងដឹងថា \(\displaystyle 32 = 16 \times 2\) ដែល \(\displaystyle 16 = 4^2\)។ \(\displaystyle \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = \sqrt{16} \times \sqrt{2} = \sqrt{4^2} \times \sqrt{2} = 4\sqrt{2}\)

ជំហានទី២ បញ្ចេញ \(\displaystyle \sqrt[3]{16}\) ចំពោះឫសគូប យើងត្រូវរកគូបប្រាកដ។ \(\displaystyle 16 = 8 \times 2\) ដែល \(\displaystyle 8 = 2^3\)។ \(\displaystyle \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \times 2} = \sqrt[3]{8} \times \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{2^3} \times \sqrt[3]{2} = 2\sqrt[3]{2}\)

ដូចនេះ    \(\displaystyle \boxed{\sqrt{32} = 4\sqrt{2}}\)   និង   \(\displaystyle \boxed{\sqrt[3]{16} = 2\sqrt[3]{2}}\)

ឧទាហរណ៍ទី១៨ ក. បញ្ចូល 4 ទៅក្នុងរ៉ាឌីកាល់នៃ \(\displaystyle 4\sqrt{2}\)
ខ. បញ្ចូល 3 ទៅក្នុងរ៉ាឌីកាល់នៃ \(\displaystyle 3\sqrt[3]{2}\)

គិតមុនគូ មុននឹងបញ្ជូនលេខចូលក្នុងរ៉ាឌីកាល់ ត្រូវបំពាក់ស្វ័យគុណឲ្យវាសិន។ បើឫសការេ បំពាក់ស្វ័យគុណ២។ បើឫសគូប បំពាក់ស្វ័យគុណ៣។

ជំហានទី១ បញ្ចូល \(\displaystyle 4\sqrt{2}\) លេខ 4 បញ្ចូលក្នុងឫសការេត្រូវបំពាក់ស្វ័យគុណ២ ក្លាយជា \(\displaystyle 4^2 = 16\)។
\(\displaystyle 4\sqrt{2} = \sqrt{4^2} \times \sqrt{2} = \sqrt{16 \times 2} = \sqrt{32}\)

ជំហានទី២ បញ្ចូល \(\displaystyle 3\sqrt[3]{2}\) លេខ 3 បញ្ចូលក្នុងឫសគូបត្រូវបំពាក់ស្វ័យគុណ៣ ក្លាយជា \(\displaystyle 3^3 = 27\)។
\(\displaystyle 3\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{3^3} \times \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{27 \times 2} = \sqrt[3]{54}\)

ដូចនេះ    \(\displaystyle \boxed{4\sqrt{2} = \sqrt{32}}\)   និង   \(\displaystyle \boxed{3\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{54}}\)

ឧទាហរណ៍ទី១៩ បញ្ចូលមួយចំនួនក្នុងរ៉ាឌីកាល់

គិតមុនគូ លេខវិជ្ជមាន អាចបញ្ចូលក្នុងរ៉ាឌីកាល់បានធម្មតា ដោយគ្រាន់តែបំពាក់ស្វ័យគុណ។ ចំពោះលេខអវិជ្ជមាន បើឫសការេ យើងរក្សាទុកសញ្ញាដកនៅខាងក្រៅ។ បើឫសគូប យើងអាចបញ្ចូលសញ្ញាដកទៅខាងក្នុងបាន។

ជំហានដោះស្រាយ

• ក. \(\displaystyle \frac{2}{3}\sqrt{\frac{12}{5}} = \sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \frac{12}{5}} = \sqrt{\frac{4}{9} \times \frac{12}{5}} = \sqrt{\frac{48}{45}} = \sqrt{\frac{16}{15}}\)
• ខ. \(\displaystyle 5\sqrt{\frac{3}{50}} = \sqrt{5^2 \times \frac{3}{50}} = \sqrt{25 \times \frac{3}{50}} = \sqrt{\frac{3}{2}}\)
• គ. \(\displaystyle -7\sqrt{5} = -\sqrt{7^2 \times 5} = -\sqrt{49 \times 5} = -\sqrt{245}\) (រក្សាសញ្ញាដកនៅក្រៅ ព្រោះជាឫសការេ)
• ឃ. \(\displaystyle -5\sqrt[3]{\frac{4}{25}} = \sqrt[3]{(-5)^3 \times \frac{4}{25}} = \sqrt[3]{-125 \times \frac{4}{25}} = \sqrt[3]{-20} = -\sqrt[3]{20}\)
• ង. \(\displaystyle 2\sqrt[3]{\frac{5}{12}} = \sqrt[3]{2^3 \times \frac{5}{12}} = \sqrt[3]{8 \times \frac{5}{12}} = \sqrt[3]{\frac{40}{12}} = \sqrt[3]{\frac{10}{3}}\)
• ច. \(\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{\left(\frac{1}{2}\right)^3 \times 4} = \sqrt[3]{\frac{1}{8} \times 4} = \sqrt[3]{\frac{4}{8}} = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}\)

ដូចនេះ រាល់ពេលបញ្ចូលលេខចូលរ៉ាឌីកាល់ កុំភ្លេចបំពាក់ស្វ័យគុណឲ្យវាស្មើនឹងសន្ទស្សន៍!

ឧទាហរណ៍ទី២០ គណនា

គិតមុនគូ យើងអាចបូកដកបានតែរ៉ាឌីកាល់ដែលមានរ៉ាឌីកង់ (លេខក្នុងឫស) ដូចគ្នាប៉ុណ្ណោះ។ បើវាខុសគ្នា ត្រូវព្យាយាមបញ្ចេញពីរ៉ាឌីកាល់សិន។

ជំហានទី១ (កម្រិតងាយ) រ៉ាឌីកង់ដូចគ្នាស្រាប់

• ក. \(\displaystyle 2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = (2 + 5)\sqrt{3} = 7\sqrt{3}\)
• ខ. \(\displaystyle 5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + \sqrt{2} = (5 - 3 + 1)\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\)

ជំហានទី២ (កម្រិតមធ្យម) ត្រូវបញ្ចេញលេខខ្លះសិន

• គ. \(\displaystyle 3\sqrt{2} + \sqrt{8}\) (ដោយ \(\displaystyle \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}\))
  \(\displaystyle = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2}\)

ជំហានទី៣ (កម្រិតពិបាក) ត្រូវបញ្ចេញគ្រប់តួ

• ឃ. \(\displaystyle \sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{3}\)
  (ដោយ \(\displaystyle \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) និង \(\displaystyle \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\))
  \(\displaystyle = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 1\sqrt{3} = (2 + 3 - 1)\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\)

ដូចនេះ ការបូកដករ៉ាឌីកាល់គឺដូចការបូកដកឯកធា \(\displaystyle x\) ដែរ ឱ្យតែរ៉ាឌីកង់វាដូចគ្នា!

ឧទាហរណ៍ទី២១ គណនាកន្សោមខាងក្រោម

គិតមុនគូ យើងបំបែករ៉ាឌីកង់នីមួយៗឱ្យចេញជាការេប្រាកដ ឬគូបប្រាកដ រួចបញ្ចេញវាមកក្រៅដើម្បីរក្សាតែផ្នែកដែលបូកដកគ្នាបាន។

ជំហានដោះស្រាយ

• \(\displaystyle A\) \(\displaystyle = 3\sqrt{11} + 5\sqrt{4 \times 11} - 3\sqrt{9 \times 11} = 3\sqrt{11} + 10\sqrt{11} - 9\sqrt{11} = 4\sqrt{11}\)
• \(\displaystyle B\) \(\displaystyle = 3\sqrt{9 \times 2} - \sqrt{4 \times 3} + \sqrt{25 \times 3} + \sqrt{2} = 9\sqrt{2} - 2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} + \sqrt{2} = 10\sqrt{2} + 3\sqrt{3}\)
• \(\displaystyle C\) \(\displaystyle = 3\sqrt[3]{8 \times 3} + 6\sqrt[3]{27 \times 3} = 6\sqrt[3]{3} + 18\sqrt[3]{3} = 24\sqrt[3]{3}\)
• \(\displaystyle D\) \(\displaystyle = 12\sqrt[3]{x^2} - 6\sqrt[3]{x^2} = 6\sqrt[3]{x^2}\)
• \(\displaystyle E\) \(\displaystyle = \sqrt{4 \times 5} + \sqrt{16 \times 5} - \sqrt{9 \times 5} = 2\sqrt{5} + 4\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = 3\sqrt{5}\)
• \(\displaystyle F\) \(\displaystyle = 14\sqrt{3} + 6\sqrt{2} - 11\sqrt{3} = (14-11)\sqrt{3} + 6\sqrt{2} = 3\sqrt{3} + 6\sqrt{2}\)

ដូចនេះ បើមានរ៉ាឌីកង់ណាដែលខុសគេ យើងគ្រាន់តែទុកវានៅដដែល (ដូចករណី B និង F)។

ឧទាហរណ៍ទី២២ សម្រួលកន្សោមដែលមានអថេរខាងក្រោម (ដោយសន្មតថាអថេរទាំងអស់វិជ្ជមាន)

គិតមុនគូ វិធីដោះស្រាយគឺដូចគ្នាទាំងស្រុងទៅនឹងលេខសុទ្ធដែរ។ យើងបំបែកទាំងលេខ ទាំងអថេរ ដើម្បីបញ្ចេញពីរ៉ាឌីកាល់។

ជំហានដោះស្រាយ

• \(\displaystyle A\) \(\displaystyle = \sqrt{64 \times 2y} - \sqrt{2y} = 8\sqrt{2y} - \sqrt{2y} = 7\sqrt{2y}\)
• \(\displaystyle B\) \(\displaystyle = 5\sqrt{9 \times 2x} + 2\sqrt{4 \times 2x} = 15\sqrt{2x} + 4\sqrt{2x} = 19\sqrt{2x}\)
• \(\displaystyle C\) \(\displaystyle = \sqrt{4(2n + 2)} + \sqrt{2n + 2} = 2\sqrt{2n + 2} + \sqrt{2n + 2} = 3\sqrt{2n + 2}\)
• \(\displaystyle D\) \(\displaystyle = \sqrt{100 \times 2k^2} - \sqrt{49 \times 2k^2} = 10k\sqrt{2} - 7k\sqrt{2} = 3k\sqrt{2}\)
• \(\displaystyle E\) \(\displaystyle = \sqrt{4 \times 2x^2} + \sqrt{2x^2} = 2x\sqrt{2} + x\sqrt{2} = 3x\sqrt{2}\)
• \(\displaystyle F\) \(\displaystyle = 2\sqrt{9 \times 5x^3} - \sqrt{4 \times 5x^3} = 6x\sqrt{5x} - 2x\sqrt{5x} = 4x\sqrt{5x}\)

ដូចនេះ ទោះមានអក្សរក៏ដោយ លក្ខណៈនៃការបូកដកនៅតែរក្សាដដែល។

ឧទាហរណ៍ទី២៣ វិធីបំបាត់រ៉ាឌីកាល់ពីភាគបែងដែលមានមួយតួ

គិតមុនគូ ប្អូនៗឃើញទេថា ភាគបែងនៅទីនេះសុទ្ធតែមានជាប់រ៉ាឌីកាល់។ គោលដៅរបស់យើង គឺត្រូវរកវិធីបំបាត់វាចោល។ វិធីដែលល្អបំផុតគឺ "គុណបំពេញ" ដើម្បីឱ្យរ៉ាឌីកង់ខាងក្នុងក្លាយជាស្វ័យគុណ ដែលអាចបញ្ចេញពីរ៉ាឌីកាល់បាន!

ជំហានទី១៖ ករណីឫសការេ (សន្ទស្សន៍ ២)
យើងត្រូវគុណទាំងភាគយកនិងភាគបែង នឹងរ៉ាឌីកាល់ខ្លួនវា ដើម្បីបង្កើតបានជាស្វ័យគុណការេ រួចទម្លាក់រ៉ាឌីកាល់ចោលយ៉ាងងាយស្រួល។

• ក. \(\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2^2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\)
• ខ. \(\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{3}}\) នៅទីនេះយើងគុណតែនឹង \(\displaystyle \sqrt{3}\) គឺគ្រប់គ្រាន់ហើយ មិនចាំបាច់គុណលេខ \(\displaystyle 2\) នាំឱ្យលេខធំទេ!
  \(\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{3}} = \frac{5 \times \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{2 \times (\sqrt{3})^2} = \frac{5\sqrt{3}}{2 \times 3} = \frac{5\sqrt{3}}{6}\)

ជំហានទី២៖ ករណីឫសគូប (សន្ទស្សន៍ ៣)
ប្រយ័ត្នណា! សម្រាប់ឫសគូប យើងមិនអាចគ្រាន់តែគុណខ្លួនវាបានទេ! យើងត្រូវស្វែងរក រ៉ាឌីកាល់បំពេញ ធ្វើយ៉ាងណាឱ្យបានជាស្វ័យគុណគូប (\(\displaystyle ^3\)) សិនទើបអាចទម្លាក់បាន។

• គ. \(\displaystyle \frac{2}{\sqrt[3]{5}}\) ភាគបែងគឺ \(\displaystyle \sqrt[3]{5}\) ដែលមានស្វ័យគុណ \(\displaystyle 1\)។ ដើម្បីបានជាគូបពេញលេញ ត្រូវគុណនឹងរ៉ាឌីកាល់បំពេញ \(\displaystyle \sqrt[3]{5^2}\)។
  \(\displaystyle \frac{2}{\sqrt[3]{5}} = \frac{2 \times \sqrt[3]{5^2}}{\sqrt[3]{5} \times \sqrt[3]{5^2}} = \frac{2\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{5^3}} = \frac{2\sqrt[3]{25}}{5}\)
• ឃ. \(\displaystyle \frac{7}{\sqrt[3]{2^2}}\) ភាគបែងគឺ \(\displaystyle \sqrt[3]{2^2}\)។ វាខ្វះតែមួយតួទៀតទេនឹងគ្រប់គូប ដូច្នេះត្រូវគុណនឹងរ៉ាឌីកាល់បំពេញ \(\displaystyle \sqrt[3]{2^1}\)។
  \(\displaystyle \frac{7}{\sqrt[3]{2^2}} = \frac{7 \times \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^2} \times \sqrt[3]{2}} = \frac{7\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^3}} = \frac{7\sqrt[3]{2}}{2}\)
• ង. \(\displaystyle \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}\) ភាគបែងគឺ \(\displaystyle \sqrt[3]{4}\) ដែលយើងអាចសរសេរជា \(\displaystyle \sqrt[3]{2^2}\) បាន។ ដូច្នេះរ៉ាឌីកាល់បំពេញគឺ \(\displaystyle \sqrt[3]{2}\) ដដែល។
  \(\displaystyle \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}} = \frac{\sqrt[3]{3} \times \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{4} \times \sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{2^3}} = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}\)

ដូចនេះ ការគុណទាំងភាគយកនិងភាគបែងនឹងតម្លៃដូចគ្នា មិនធ្វើឱ្យប្រភាគប្រែប្រួលតម្លៃទេ ហើយអាចបំបាត់រ៉ាឌីកាល់បានយ៉ាងមានប្រសិទ្ធភាព!

ឧទាហរណ៍ទី២៤ ចូរបំបាត់រ៉ាឌីកាល់ពីភាគបែងនៃ \(\displaystyle \frac{2}{\sqrt{7} - 2}\) និង \(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}\)។

គិតមុនគូ នេះជាចំណុចពិសេសមួយ! នៅពេលភាគបែងមានតួពីរ (មានសញ្ញាបូក ឬដកនៅកណ្តាល) បើយើងគុណតែ \(\displaystyle \sqrt{7}\) វាអត់បាត់រ៉ាឌីកាល់ទេ។ ដើម្បីបំបាត់វាឱ្យស្រឡះ យើងត្រូវតែគុណនឹង "កន្សោមឆ្លាស់" របស់វា ដើម្បីបង្កើតជាសមភាពដ៏ល្បីល្បាញ \(\displaystyle (a-b)(a+b) = a^2 - b^2\)!

ជំហានទី១៖ បំបាត់រ៉ាឌីកាល់ \(\displaystyle \frac{2}{\sqrt{7} - 2}\) ដំបូង យើងត្រូវរកកន្សោមឆ្លាស់នៃ \(\displaystyle (\sqrt{7} - 2)\) សិន។ កន្សោមឆ្លាស់របស់វាគឺត្រូវប្តូរសញ្ញាដកទៅជាបូក គឺ \(\displaystyle (\sqrt{7} + 2)\)។
បន្ទាប់មក យើងគុណទាំងភាគយកនិងភាគបែងនឹង \(\displaystyle (\sqrt{7} + 2)\) ៖
\(\displaystyle \frac{2}{\sqrt{7} - 2} = \frac{2(\sqrt{7} + 2)}{(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2)} = \frac{2(\sqrt{7} + 2)}{(\sqrt{7})^2 - 2^2} = \frac{2(\sqrt{7} + 2)}{7 - 4} = \frac{2(\sqrt{7} + 2)}{3}\)

ជំហានទី២៖ បំបាត់រ៉ាឌីកាល់ \(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}\) ដូចគ្នាដែរ កន្សោមឆ្លាស់នៃ \(\displaystyle (\sqrt{5} + \sqrt{2})\) គឺត្រូវប្តូរសញ្ញាបូកទៅជាដក គឺ \(\displaystyle (\sqrt{5} - \sqrt{2})\)។
យើងអនុវត្តវិធីដូចខាងលើ ៖
\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{4}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{10} - 2}{5 - 2} = \frac{\sqrt{10} - 2}{3}\)

ដូចនេះ ប្អូនៗឃើញទេ សម្រាប់ភាគបែងដែលមានឫសការេពីរតួ ការជ្រើសរើសប្រើកន្សោមឆ្លាស់ គឺជា "អាវុធ" ដ៏អស្ចារ្យបំផុតជួយបំបាត់រ៉ាឌីកាល់បានយ៉ាងស្អាត!

ឧទាហរណ៍ទី២៥ (កម្រិតទី១ - ងាយ) បំបាត់ឫសការេដែលមានតួពីរ
នៅកម្រិតនេះ យើងជួបភាគបែងដែលមានឫសការេបូកឬដកគ្នា។
អាវុធត្រូវប្រើ កន្សោមឆ្លាស់ \(\displaystyle (a-b)(a+b) = a^2 - b^2\)

លំហាត់ A \(\displaystyle \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}\)

• ជំហានទី១ ពិនិត្យមើលភាគបែងគឺ \(\displaystyle \sqrt{3} - \sqrt{2}\) (មានរាង \(\displaystyle a-b\))។ ដូចនេះយើងត្រូវគុណទាំងភាគយកនិងភាគបែងនឹងកន្សោមឆ្លាស់របស់វាគឺ \(\displaystyle \sqrt{3} + \sqrt{2}\) (រាង \(\displaystyle a+b\))។
• ជំហានទី២ គុណចូលគ្នា
  \(\displaystyle A = \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}\)
• ជំហានទី៣ គណនាភាគបែង វាក្លាយជា \(\displaystyle 3 - 2 = 1\)។ ចំណែកភាគយក \(\displaystyle (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6}\)។
• ដូចនេះ \(\displaystyle A = \frac{5 + 2\sqrt{6}}{1} = 5 + 2\sqrt{6}\)។

ឧទាហរណ៍ទី២៦ (កម្រិតទី២ - មធ្យម) សម្រួលរ៉ាឌីកាល់សិនមុននឹងគុណ
ជួនកាល លេខក្នុងរ៉ាឌីកាល់ធំៗពេក។ បើយើងប្រញាប់គុណកន្សោមឆ្លាស់យកតែម្តង លេខនឹងកាន់តែធំ ហើយពិបាកគណនាខ្លាំងណាស់!

លំហាត់ B \(\displaystyle \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{20} - \sqrt{18}}\)

• ជំហានទី១ (សម្រួលសិន) ភាគបែងមាន \(\displaystyle \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) និង \(\displaystyle \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)។
  ភាគបែងថ្មីគឺ \(\displaystyle 2\sqrt{5} - 3\sqrt{2}\) ឃើញថាលេខតូចជាងមុនមែនទេ?
• ជំហានទី២ (គុណកន្សោមឆ្លាស់) ភាគបែងជាសញ្ញាដក ដូច្នេះយើងគុណនឹង \(\displaystyle 2\sqrt{5} + 3\sqrt{2}\)។
  \(\displaystyle B = \frac{8\sqrt{2}(2\sqrt{5} + 3\sqrt{2})}{(2\sqrt{5} - 3\sqrt{2})(2\sqrt{5} + 3\sqrt{2})} = \frac{16\sqrt{10} + 24\sqrt{4}}{(2\sqrt{5})^2 - (3\sqrt{2})^2}\)
• ជំហានទី៣ (គណនាភាគបែង) \(\displaystyle (2\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20\) និង \(\displaystyle (3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18\)។ ភាគបែងគឺ \(\displaystyle 20 - 18 = 2\)។
• ជំហានទី៤ (សម្រួលចម្លើយ) \(\displaystyle B = \frac{16\sqrt{10} + 48}{2} = \frac{2(8\sqrt{10} + 24)}{2} = 8\sqrt{10} + 24\)។
• ចំណាំ ឃើញទេ? បើយើងចេះសម្រួលសិន លេខនឹងងាយស្រួលគណនាជាងមុនច្រើន!

ឧទាហរណ៍ទី២៧ (កម្រិតទី៣ - កម្រិតប្រឡង) បំបាត់ឫសគូបដែលមានតួពីរ
នេះជាចំណុចដែលសិស្សភាគច្រើនតែងតែខ្លាច! នៅពេលភាគបែងមាន ឫសគូប យើងដាច់ខាតមិនអាចប្រើកន្សោមឆ្លាស់ \(\displaystyle (a-b)(a+b)\) ដូចមុនបានទេ ព្រោះវានឹងចេញត្រឹមការេ \(\displaystyle a^2-b^2\) ដែលមិនអាចបំបាត់ឫសគូបបានឡើយ។ យើងត្រូវប្រើ កន្សោមបំពេញ ដើម្បីឱ្យវាចេញជាស្វ័យគុណបី \(\displaystyle a^3 \pm b^3\)។
អាវុធត្រូវប្រើ \(\displaystyle (a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3\) ឬ \(\displaystyle (a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3\)

លំហាត់ C \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{2} - 1}\) (ឧទាហរណ៍នាំមុខ)

• កំណត់តួ ភាគបែងមានរាង \(\displaystyle a-b\) ដែល \(\displaystyle a = \sqrt[3]{2}\) និង \(\displaystyle b = 1\)។
• រកកន្សោមបំពេញ ត្រូវប្រើ \(\displaystyle a^2 + ab + b^2\)
  គឺ \(\displaystyle (\sqrt[3]{2})^2 + (\sqrt[3]{2})(1) + 1^2 = \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1\)។
• ប្រតិបត្តិការគុណ យើងគុណវាទៅទាំងភាគយកនិងភាគបែង
  \(\displaystyle C = \frac{1 \times (\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1)}{(\sqrt[3]{2} - 1)(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1)} = \frac{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1}{(\sqrt[3]{2})^3 - 1^3} = \frac{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1\)

លំហាត់ D \(\displaystyle \frac{3}{\sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{2}}\) (កម្រិតពិបាក)

• កំណត់តួ មានរាង \(\displaystyle a-b\) ដូចគ្នា ដែល \(\displaystyle a = \sqrt[3]{5}\) និង \(\displaystyle b = \sqrt[3]{2}\)។
• រកកន្សោមបំពេញ ត្រូវប្រើ \(\displaystyle a^2 + ab + b^2\)
  គឺ \(\displaystyle (\sqrt[3]{5})^2 + \sqrt[3]{5}\sqrt[3]{2} + (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{25} + \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4}\)។
• ប្រតិបត្តិការគុណ
  \(\displaystyle D = \frac{3(\sqrt[3]{25} + \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4})}{(\sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{25} + \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4})} = \frac{3(\sqrt[3]{25} + \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4})}{(\sqrt[3]{5})^3 - (\sqrt[3]{2})^3} = \frac{3(\sqrt[3]{25} + \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4})}{5 - 2}\)
• ចម្លើយចុងក្រោយ ដោយសារភាគបែង \(\displaystyle 5 - 2 = 3\) នោះវាអាចសម្រួលជាមួយមេគុណ ៣ នៅភាគយកបានយ៉ាងស្អាត។
  \(\displaystyle D = \sqrt[3]{25} + \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4}\)

ដូចនេះ បើទោះជាកន្សោមមើលទៅស្មុគស្មាញ ក៏ដោយ បើយើងចេះជ្រើសរើសរូបមន្តឱ្យត្រូវនឹងប្រភេទឫស កន្សោមឆ្លាស់សម្រាប់ឫសការេ និងកន្សោមបំពេញសម្រាប់ឫសគូប យើងអាចបំបាត់រ៉ាឌីកាល់ពីភាគបែងបានត្រឹមត្រូវ។