កន្សោមពីជគណិត

ឧទាហរណ៍ទី 1 : គណនាផ្ទៃក្រឡានៃចតុកោណកែងដែលមានវិមាត្រ \(\displaystyle 2x + 5\) និង \(\displaystyle 3x - 2\) ។

ឧទាហរណ៍ទី 2 : តោះអនុវត្តរូបមន្តពន្លាតខាងលើឱ្យបានស្ទាត់!

• ក. \(\displaystyle (2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(3) + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9\)
• ខ. \(\displaystyle (5x - 1)^2 = (5x)^2 - 2(5x)(1) + 1^2 = 25x^2 - 10x + 1\)
• គ. \(\displaystyle (2x + 7)(2x - 7) = (2x)^2 - 7^2 = 4x^2 - 49\)
• ឃ. \(\displaystyle (x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 - 1^3 = x^3 - 1\)
• ង. \(\displaystyle (x + 1)(x^2 - x + 1) = x^3 + 1^3 = x^3 + 1\)

ឧទាហរណ៍ទី 3 : ចូរគណនា ក. \(\displaystyle A = (k + 4)(k^2 - 4k + 1)\) ខ. \(\displaystyle B = (a - 2)(a^2 - 3a + 2)\)

គិតមុនគូ នេះជាការគុណទ្វេធា និងត្រីធា។ យើងត្រូវយកតួនីមួយៗនៃទ្វេធាទីមួយ ទៅគុណពង្រាយចូលគ្រប់តួនៃត្រីធាទីពីរ រួចបូកដកតួដូចគ្នា។

តោះ! អនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖

ក. \(\displaystyle A = (k + 4)(k^2 - 4k + 1)\)
   \(\displaystyle = k(k^2 - 4k + 1) + 4(k^2 - 4k + 1)\)    (គុណបំបែកតួ)
   \(\displaystyle = k^3 - 4k^2 + k + 4k^2 - 16k + 4\)    (ពង្រាយសញ្ញា)
   \(\displaystyle = k^3 + (-4k^2 + 4k^2) + (k - 16k) + 4\)    (ផ្ដុំតួដូចគ្នា)
   \(\displaystyle = k^3 - 15k + 4\)

ខ. \(\displaystyle B = (a - 2)(a^2 - 3a + 2)\)
   \(\displaystyle = a(a^2 - 3a + 2) - 2(a^2 - 3a + 2)\)
   \(\displaystyle = a^3 - 3a^2 + 2a - 2a^2 + 6a - 4\)    (ប្រយ័ត្នសញ្ញាដក!)
   \(\displaystyle = a^3 - 5a^2 + 8a - 4\)

ឧទាហរណ៍ទី 4 (ប្រយ័ត្នសញ្ញាដក!) : ចូរគណនាកន្សោម \(\displaystyle C = -2x(x - 3) - (x - 2)(x - 5)\)

គិតមុនគូ លំហាត់នេះមានសញ្ញាដកច្រើនកន្លែង ដែលសិស្សភាគច្រើនតែងតែច្រឡំ! ប្អូនៗត្រូវប្រុងប្រយ័ត្នពីរចំណុច៖ ១. ការគុណពង្រាយ \(\displaystyle -2x\) ចូលតួខាងក្នុង គឺត្រូវប្ដូរសញ្ញា (\(\displaystyle -2x \times -3 = +6x\))។ ២. ការពង្រាយសញ្ញាដក \(\displaystyle -\) នៅពីមុខរង្វង់ក្រចកទីពីរ។ យកល្អ គួរបើកវង់ក្រចកធំ \(\displaystyle [ \dots ]\) សិន ហើយគណនាផលគុណឱ្យចប់ មុននឹងទម្លាយសញ្ញាដកចូល!

តោះ! អនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖

ដូចនេះ    \(\displaystyle \boxed{C = -3x^2 + 13x - 10}\)

ឧទាហរណ៍ទី 1 : ដាក់ \(\displaystyle A = 2x^2 + 4xy\) ជាផលគុណនៃកត្តា ។

គិតមុនគូ រកមើលអ្វីដែលតួទាំងពីរមានដូចគ្នា។ - ផ្នែកមេគុណ៖ 2 និង 4 ចែកដាច់នឹង 2 ដូចគ្នា។ អញ្ចឹង 2 ជាកត្តារួម។ - ផ្នែកអក្សរ៖ \(\displaystyle x^2\) និង \(\displaystyle x\) មាន \(\displaystyle x\) ដូចគ្នា (យកស្វ័យគុណតូចជាងគេ)។ អញ្ចឹង \(\displaystyle x\) ជាកត្តារួម។

តោះ! អនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖ តួទាំងពីរមាន \(\displaystyle 2x\) ដូចគ្នា ហេតុនេះ \(\displaystyle 2x\) ជាកត្តារួម។ \(\displaystyle A = 2x(x) + 2x(2y)\) \(\displaystyle A = 2x(x + 2y)\)

ឧទាហរណ៍ទី 2 : ដាក់ \(\displaystyle A = (x^2 - x) + (xy - y)\) ជាផលគុណនៃកត្តា ។

គិតមុនគូ នៅពេលដែលកន្សោមមានច្រើនតួ យើងអាចសាកល្បងផ្គុំតួជាក្រុមសិន។ ក្រុមទី១ \(\displaystyle (x^2 - x)\) អាចទាញ \(\displaystyle x\) ជាកត្តា។ ក្រុមទី២ \(\displaystyle (xy - y)\) អាចទាញ \(\displaystyle y\) ជាកត្តា។

តោះ! អនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖ \(\displaystyle A = x(x - 1) + y(x - 1)\) ឥឡូវនេះ យើងឃើញថាតួថ្មីទាំងពីរមានកត្តារួមមួយទៀតគឺវង់ក្រចក \(\displaystyle (x - 1)\) ទាំងមូលតែម្តង! \(\displaystyle A = (x - 1)(x + y)\)

ឧទាហរណ៍ទី 3 (ករណីតួមុខមានសញ្ញាដក) : ដាក់ \(\displaystyle A = -4x^2 - 8x + 12\) ជាផលគុណនៃកត្តា។

គិតមុនគូ នៅពេលដែលតួមុខមានសញ្ញាដក វិធីដ៏ល្អបំផុតគឺចាប់យកសញ្ញាដក \(\displaystyle -\) ជាកត្តារួម (ឬចាប់លេខអវិជ្ជមានតែម្ដង) ដើម្បីឱ្យតួមុខនៅសល់ត្រឹមរាងវិជ្ជមាន ងាយស្រួលគណនាបន្ត។ ក្នុងទីនេះ លេខ 4, 8, និង 12 សុទ្ធតែចែកដាច់នឹង 4។ ដូច្នេះ យើងគួរចាប់ \(\displaystyle -4\) ជាកត្តារួម!
ចំណាំ៖ ពេលទាញយកសញ្ញាដកចេញ កុំភ្លេចប្ដូរសញ្ញារបស់គ្រប់តួនៅក្នុងវង់ក្រចក! (ដកទៅជាបូក បូកទៅជាដក)។

តោះ! អនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖ \(\displaystyle A = -4x^2 - 8x + 12\)
   \(\displaystyle = -4(x^2 + 2x - 3)\)    (ទាញ \(\displaystyle -4\) ជាកត្តារួម រួចប្ដូរសញ្ញាខាងក្នុងវង់ក្រចក)

នៅពេលនេះ កន្សោមក្នុងវង់ក្រចកគឺ \(\displaystyle x^2 + 2x - 3\) ដែលយើងអាចដាក់ជាកត្តាបន្តទៀតដោយបំបែកតួ៖

យកលទ្ធផលនេះមកជួសចូល \(\displaystyle A\) វិញ យើងបាន៖

ដូចនេះ    \(\displaystyle \boxed{A = -4(x + 3)(x - 1)}\)

លំហាត់គំរូទី 1 : ដាក់ \(\displaystyle A = 4x^2(x + 1) - 9(x + 1)\) ជាផលគុណនៃកត្តា។

គិតមុនគូ ដំបូងយើងសង្កេតឃើញកត្តារួម \(\displaystyle (x + 1)\) ជាមុន។ បន្ទាប់ពីទាញកត្តារួមរួច យើងអាចនឹងសល់ទម្រង់ \(\displaystyle a^2 - b^2\) ទៀត។

តោះ! អនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖ \(\displaystyle A = 4x^2(x + 1) - 9(x + 1)\)    \(\displaystyle = (x + 1)(4x^2 - 9)\)    (ដាក់ \(\displaystyle x + 1\) ជាកត្តារួម) ដោយ \(\displaystyle 4x^2 = (2x)^2\) និង \(\displaystyle 9 = 3^2\) នោះ \(\displaystyle 4x^2 - 9\) ចូលទម្រង់ \(\displaystyle a^2 - b^2\)។    \(\displaystyle = (x + 1)[(2x)^2 - 3^2]\)    (ប្រើរូបមន្ត \(\displaystyle a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\))    \(\displaystyle = (x + 1)(2x - 3)(2x + 3)\)

លំហាត់គំរូទី 2 (រាងការេនៃទ្វេធា) : ចូរដាក់កន្សោមខាងក្រោមជាផលគុណនៃកត្តា។
ក. \(\displaystyle B = 9x^2 - 12x + 4\)
ខ. \(\displaystyle C = x^2 + 10x + 25\)

គិតមុនគូ នេះគឺជាកន្សោមត្រីធាដែលមានតួមុខ និងតួក្រោយជារាងការេសព្វ។ - សម្រាប់ ក. តួមុខ \(\displaystyle 9x^2 = (3x)^2\) និងតួក្រោយ \(\displaystyle 4 = 2^2\)។ តួកណ្តាលមានសញ្ញាដក ដូច្នេះវាទំនងជាចូលរូបមន្ត \(\displaystyle a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\)។ (ដកនៅកណ្តាល បូកនៅចុង!) - សម្រាប់ ខ. តួមុខ \(\displaystyle x^2\) និងតួក្រោយ \(\displaystyle 25 = 5^2\)។ សញ្ញាបូកទាំងអស់ ដូច្នេះវាចូលរូបមន្ត \(\displaystyle a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\)។

តោះ! អនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖

ក. \(\displaystyle B = 9x^2 - 12x + 4\)

ខ. \(\displaystyle C = x^2 + 10x + 25\)

ដូចនេះ    \(\displaystyle \boxed{B = (3x - 2)^2}\)    និង    \(\displaystyle \boxed{C = (x + 5)^2}\)

លំហាត់គំរូទី 3 (លំហាត់កម្រិតសិស្សពូកែ!) : ចូរដាក់កន្សោម \(\displaystyle D = x^2 - 4x + 4 - y^2\) ជាផលគុណនៃកត្តា។

គិតមុនគូ លំហាត់នេះមាន 4 តួ ធ្វើឱ្យសិស្សភាគច្រើនគិតដល់ការផ្ដុំតួ \(\displaystyle (2-2)\)។ ប៉ុន្តែបើប្អូនៗចាប់គូ \(\displaystyle (x^2 - y^2)\) និង \(\displaystyle (-4x + 4)\) វានឹងមិនចេញកត្តារួមទេ។ ល្បិចពិសេស៖ សង្កេតមើល 3 តួដំបូង \(\displaystyle x^2 - 4x + 4\)! នេះគឺជារាងការេនៃទ្វេធាសុទ្ធសាធ។ បើយើងផ្ដុំវាចូលគ្នា យើងនឹងអាចបំប្លែងលំហាត់នេះទៅជារូបមន្ត \(\displaystyle a^2 - b^2\) ដ៏ស្រស់ស្អាតមួយ។ តោះមើលការដោះស្រាយ!

តោះ! អនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖

ដូចនេះ    \(\displaystyle \boxed{D = (x - y - 2)(x + y - 2)}\)

លំហាត់គំរូទី 1 (ករណីងាយមេគុណ \(\displaystyle A=1\)) : ចូរដាក់កន្សោម \(\displaystyle A = x^2 + 5x + 4\) ជាផលគុណនៃកត្តា ។

គិតមុនគូ ដូចដែលគ្រូបានប្រាប់ពីខាងលើ កន្សោមនេះមិនមែនជារាងការេសព្វទេ ព្រោះតួកណ្តាលមិនមែន \(\displaystyle 4x\)! ដូច្នេះយើងត្រូវប្រើវិធីគុណខ្វែង។ តួមុខ \(\displaystyle x^2\) បានមកពី \(\displaystyle x \cdot x\)។ តួក្រោយ \(\displaystyle 4\) បានមកពី \(\displaystyle 1 \cdot 4\) ឬ \(\displaystyle 2 \cdot 2\)។ ដោយសារតួកណ្តាលគឺ \(\displaystyle 5x\) យើងត្រូវយក \(\displaystyle 1 \cdot 4\) ព្រោះ \(\displaystyle 1x + 4x = 5x\) ត្រូវបេះបិទ!

ការអនុវត្ត (ផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយតារាងគុណខ្វែង)៖

ចាប់យកតួតាមជួរដេក ជួរទីមួយគឺ \(\displaystyle (x + 1)\) ជួរទីពីរគឺ \(\displaystyle (x + 4)\)។

ដូចនេះ    \(\displaystyle \boxed{A = (x + 1)(x + 4)}\)

លំហាត់គំរូទី 2 : ចូរដាក់កន្សោម \(\displaystyle B = 2x^2 - 11x + 12\) ជាផលគុណនៃកត្តា ។

គិតមុនគូ តួមុខ \(\displaystyle 2x^2\) អាចបំបែកជា \(\displaystyle 2x \cdot x\)។ តួក្រោយ \(\displaystyle 12\) អាចបំបែកជា \(\displaystyle 3 \cdot 4\) , \(\displaystyle 2 \cdot 6\) ឬ \(\displaystyle 1 \cdot 12\)។ ដោយសារតួកណ្តាលគឺ \(\displaystyle -11x\) (អវិជ្ជមាន) យើងគួរតែបំបែក \(\displaystyle 12\) ជាលេខអវិជ្ជមានគុណគ្នាសាកមើល។ តោះសាក \(\displaystyle (-3) \cdot (-4)\)!

ការអនុវត្ត (ផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយតារាងគុណខ្វែង)៖

ដោយសារផលបូកខ្វែងស្មើនឹងតួកណ្តាលបេះបិទ នោះចម្លើយរបស់យើងគឺត្រឹមត្រូវហើយ! គ្រាន់តែចាប់តួវង់ក្រចកតាមជួរដេកជាការស្រេច។

ដូចនេះ    \(\displaystyle \boxed{A = (2x - 3)(x - 4)}\)

លំហាត់គំរូទី 3 (ប្រយ័ត្នតួចុងអវិជ្ជមាន!) : ចូរដាក់កន្សោម \(\displaystyle B = 3x^2 - 5x - 2\) ជាផលគុណនៃកត្តា ។

គិតមុនគូ តួមុខ \(\displaystyle 3x^2\) អាចបំបែកជា \(\displaystyle 3x \cdot x\)។ តួក្រោយ \(\displaystyle -2\) អាចបំបែកជា \(\displaystyle (-2) \cdot 1\) ឬ \(\displaystyle 2 \cdot (-1)\)។ ដោយសារតួកណ្តាលគឺ \(\displaystyle -5x\) (អវិជ្ជមាន) យើងគួរតែដាក់សញ្ញាដកនៅលេខធំ ដើម្បីឱ្យផលបូកខ្វែងចេញមកអវិជ្ជមាន។ តោះសាក \(\displaystyle (-2) \cdot 1\) ដោយដាក់លេខ \(\displaystyle -2\) គុណខ្វែងជាមួយ \(\displaystyle 3x\) សាកមើល!

ការអនុវត្ត (ផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយតារាងគុណខ្វែង)៖

ដោយសារផលបូកខ្វែងស្មើនឹងតួកណ្តាលបេះបិទ (\(\displaystyle -6x + x = -5x\)) នោះចម្លើយរបស់យើងគឺត្រឹមត្រូវហើយ! ចាប់តួវង់ក្រចកតាមជួរដេក។

ដូចនេះ    \(\displaystyle \boxed{B = (3x + 1)(x - 2)}\)

លំហាត់គំរូទី 4 (ប្រយ័ត្ន! ត្រូវទាញកត្តារួមជាមុនសិន) : ចូរដាក់កន្សោម \(\displaystyle C = 6x^2 - 3x - 9\) ជាផលគុណនៃកត្តា ។

គិតមុនគូ ប្អូនៗឃើញលេខធំៗ កុំទាន់ប្រញាប់គុណខ្វែងភ្លាមៗ! បើយើងយកមេគុណ \(\displaystyle 6\) និង \(\displaystyle -9\) មកបំបែក វាមានជម្រើសច្រើនណាស់ ហើយលេខនឹងធំពិបាកគណនា។ ក្បួនមាស៖ មុននឹងធ្វើវិធីគុណខ្វែង ត្រូវមើលថាតើគ្រប់តួទាំងអស់មានកត្តារួមដែរឬទេ? នៅទីនេះ \(\displaystyle 6, 3\) និង \(\displaystyle 9\) សុទ្ធតែអាចចែកដាច់នឹង 3។ ដូច្នេះយើងត្រូវទាញ 3 ជាកត្តាសិន!

តោះ! អនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖ \(\displaystyle C = 6x^2 - 3x - 9\)
\(\displaystyle C = 3(2x^2 - x - 3)\)    (ទាញ \(\displaystyle 3\) ជាកត្តា)

ឥឡូវនេះ យើងធ្វើវិធីគុណខ្វែងសម្រាប់តែកន្សោមក្នុងវង់ក្រចក \(\displaystyle 2x^2 - x - 3\) ប៉ុណ្ណោះ៖

ផលបូកខ្វែងគឺ \(\displaystyle -3x + 2x = -x\) ពិតជាស្មើនឹងតួកណ្តាលមែន។ ដូច្នេះកត្តាគឺ \(\displaystyle (x + 1)\) និង \(\displaystyle (2x - 3)\)។

យកកត្តានេះទៅជួសចូលកន្សោមដើមដែលមានលេខ 3 នៅពីមុខស្រាប់៖ ដូចនេះ    \(\displaystyle \boxed{C = 3(x + 1)(2x - 3)}\)

លំហាត់គំរូទី 5 (រាងត្រីធា ដឺក្រេទី៤) : ចូរដាក់កន្សោម \(\displaystyle D = x^4 - 5x^2 + 4\) ជាផលគុណនៃកត្តា។

គិតមុនគូ ប្អូនៗឃើញស្វ័យគុណ 4 កុំទាន់ភ័យ! ដោយសារវាមានតួ \(\displaystyle x^4\) និង \(\displaystyle x^2\) យើងអាចចាត់ទុក \(\displaystyle x^2\) ជាអញ្ញាតមួយផ្សេងសិន (ដូចជាតាង \(\displaystyle t = x^2\) ជាដើម) រួចប្រើវិធីគុណខ្វែងដោះស្រាយដូចសមីការដឺក្រេទី២ធម្មតា។ ពេលបានចម្លើយជា \(\displaystyle x^2\) ហើយ កុំភ្លេចពិនិត្យមើលថាតើវាអាចចូលរូបមន្ត \(\displaystyle a^2 - b^2\) បន្តទៀតឬទេ!

តោះ! អនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖ បើយើងតាង \(\displaystyle t = x^2\) កន្សោមនេះនឹងទៅជា \(\displaystyle t^2 - 5t + 4\)។ យើងអាចប្រើការគុណខ្វែង៖
\(\displaystyle t^2\) បានមកពី \(\displaystyle t \times t\)
\(\displaystyle 4\) បានមកពី \(\displaystyle (-1) \times (-4)\) (ផលបូកខ្វែង \(\displaystyle -4t - t = -5t\))
អញ្ចឹង \(\displaystyle t^2 - 5t + 4 = (t - 1)(t - 4)\)។

ពេលនេះ យើងយក \(\displaystyle x^2\) មកជំនួស \(\displaystyle t\) វិញ៖

ដូចនេះ    \(\displaystyle \boxed{C = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)}\)

ឧទាហរណ៍ទី១ : ដាក់ \(\displaystyle A = x^2 - 2x - 8\) ជាផលគុណនៃកត្តា។

គិតមុនគូ តួកណ្តាលគឺ \(\displaystyle -2x\)។ យក \(\displaystyle -2\) ចែកនឹង ២ ស្មើ \(\displaystyle -1\)។ លើកជាការេបាន \(\displaystyle (-1)^2 = 1\)។ ដូច្នេះ "លេខទិព្វ" ដែលត្រូវបំពេញគឺ 1។ យើងនឹងបូក 1 ហើយដក 1 វិញ។

តោះ! អនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖

ដូចនេះ    \(\displaystyle \boxed{A = (x - 4)(x + 2)}\)

ឧទាហរណ៍ទី២ : ដាក់ \(\displaystyle B = x^2 + 6x - 7\) ជាផលគុណនៃកត្តា។

គិតមុនគូ តួកណ្តាលគឺ \(\displaystyle 6x\)។ យក \(\displaystyle 6\) ចែកនឹង ២ ស្មើ \(\displaystyle 3\)។ លើកជាការេបាន \(\displaystyle 3^2 = 9\)។ ដូច្នេះ "លេខទិព្វ" ដែលត្រូវបំពេញគឺ 9។

តោះ! អនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖

ដូចនេះ    \(\displaystyle \boxed{B = (x - 1)(x + 7)}\)

ឧទាហរណ៍ទី៣ (ករណីមានប្រភាគ) : ដាក់ \(\displaystyle C = x^2 - 5x + 6\) ជាផលគុណនៃកត្តា។

គិតមុនគូ តួកណ្តាលគឺ \(\displaystyle -5x\)។ យក \(\displaystyle -5\) ចែកនឹង ២ បាន \(\displaystyle -\frac{5}{2}\)។ លើកជាការេបាន \(\displaystyle \left(-\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}\)។ "លេខទិព្វ" គឺ \(\displaystyle \frac{25}{4}\)។ ករណីនេះមានប្រភាគ ត្រូវប្រុងប្រយ័ត្នពេលបូកដក!

តោះ! អនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖

ដូចនេះ    \(\displaystyle \boxed{C = (x - 3)(x - 2)}\)

ឧទាហរណ៍ទី៤ (ករណីមេគុណ \(\displaystyle a \neq 1\)) : ដាក់ \(\displaystyle D = 2x^2 + 8x - 10\) ជាផលគុណនៃកត្តា។

គិតមុនគូ នៅទីនេះ មេគុណនៃ \(\displaystyle x^2\) មិនមែនជាលេខ 1 ទេ (គឺលេខ 2)។ ដូច្នេះ ជាដំបូងយើងត្រូវទាញលេខ 2 ជាកត្តាសិន ទើបអាចអនុវត្តវិធីបំពេញនិងបន្ថយតួលើកន្សោមក្នុងរង្វង់ក្រចកបាន។

តោះ! អនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖ ទាញ 2 ជាកត្តា៖ \(\displaystyle D = 2(x^2 + 4x - 5)\)
តួកណ្តាលថ្មីគឺ \(\displaystyle 4x\)។ យក \(\displaystyle 4\) ចែកនឹង ២ បាន \(\displaystyle 2\)។ លើកជាការេបាន \(\displaystyle 2^2 = 4\)។ "លេខទិព្វ" គឺ \(\displaystyle 4\)។

ដូចនេះ    \(\displaystyle \boxed{D = 2(x - 1)(x + 5)}\)

ឧទាហរណ៍ទី៥ (ពេលតួកណ្តាលថ្មីជាសេស) : ដាក់ \(\displaystyle E = 2x^2 - 6x + 4\) ជាផលគុណនៃកត្តាដោយវិធីបំពេញនិងបន្ថយតួ។

គិតមុនគូ ទាញ \(\displaystyle 2\) ជាកត្តា យើងបាន \(\displaystyle E = 2(x^2 - 3x + 2)\)។ តួកណ្តាលថ្មីគឺ \(\displaystyle -3x\) ដែលជាចំនួនសេស។ អញ្ចឹងពេលយកវាមកចែកនឹង ២ យើងនឹងបានប្រភាគ \(\displaystyle \frac{3}{2}\)។ កុំភ័យអី គ្រាន់តែធ្វើតាមជំហានធម្មតា! "លេខទិព្វ" គឺ \(\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}\)។

តោះ! អនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖

ដូចនេះ    \(\displaystyle \boxed{E = 2(x - 2)(x - 1)}\)

ឧទាហរណ៍ទី៦ (លំហាត់កម្រិតសិស្សពូកែ ចេញប្រភាគតាំងពីដើម!) : ដាក់ \(\displaystyle F = 3x^2 + 5x + 2\) ជាផលគុណនៃកត្តាដោយវិធីបំពេញនិងបន្ថយតួ។

គិតមុនគូ មេគុណ \(\displaystyle a=3\) ប៉ុន្តែតួផ្សេងទៀតមិនអាចចែកដាច់នឹង 3 ទេ។ ដូច្នេះពេលទាញ 3 ជាកត្តា វាប្រាកដជាមានភាគបែង 3 នៅក្នុងវង់ក្រចក! \(\displaystyle F = 3\left(x^2 + \frac{5}{3}x + \frac{2}{3}\right)\)។ តួកណ្តាលថ្មីគឺ \(\displaystyle \frac{5}{3}x\)។ យក \(\displaystyle \frac{5}{3}\) ចែកនឹង ២ បាន \(\displaystyle \frac{5}{6}\)។ លើកជាការេបាន \(\displaystyle \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}\)។ នេះហើយជា "លេខទិព្វ"!

តោះ! អនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖

ដូចនេះ    \(\displaystyle \boxed{F = (3x + 2)(x + 1)}\)

លំហាត់គំរូទី 1 : ចូរគណនា \(\displaystyle A = \frac{x^2 + 7x}{x^2 - 49} - \frac{10}{2x + 4}\) ។

គិតមុនគូ កុំអាលតម្រូវភាគបែងភ្លាមៗ! មើលសិនថាតើប្រភាគនីមួយៗអាចសម្រួលបានឬទេ? យើងត្រូវដាក់ភាគយក និងភាគបែងជាផលគុណកត្តាសិន។

តោះ! អនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖ \(\displaystyle A = \frac{x(x + 7)}{(x - 7)(x + 7)} - \frac{10}{2(x + 2)}\)    (ដាក់ជាផលគុណកត្តា)

ឥឡូវយើងឃើញថាប្រភាគទីមួយមាន \(\displaystyle (x+7)\) រួម រីឯប្រភាគទីពីរអាចសម្រួលលេខ 10 នឹង 2 បាន។ \(\displaystyle A = \frac{x}{x - 7} - \frac{5}{x + 2}\)    (ដោយឧបមាថា \(\displaystyle x \neq -7\) និង \(\displaystyle x \neq -2\))

ពេលនេះភាគបែងគឺ \(\displaystyle (x-7)\) និង \(\displaystyle (x+2)\)។ ដូច្នេះភាគបែងរួមគឺ \(\displaystyle (x-7)(x+2)\)។ \(\displaystyle = \frac{x(x + 2)}{(x - 7)(x + 2)} - \frac{5(x - 7)}{(x - 7)(x + 2)}\)    (តម្រូវភាគបែង)

\(\displaystyle = \frac{x(x + 2) - 5(x - 7)}{(x - 7)(x + 2)}\)    (បូកដកភាគយក)

\(\displaystyle = \frac{x^2 + 2x - 5x + 35}{(x - 7)(x + 2)}\)    (ពង្រាយភាគយក)

\(\displaystyle = \frac{x^2 - 3x + 35}{(x - 7)(x + 2)}\)    (បូកដកតួដូចគ្នា)

លំហាត់គំរូទី 2 (ភាគបែងខុសគ្នាទាំងស្រុង) : ចូរគណនា \(\displaystyle B = \frac{1}{x^2 - 1} - \frac{1}{x^2 + x}\) ។

គិតមុនគូ ប្រភាគទាំងពីរមានភាគបែង \(\displaystyle x^2 - 1\) និង \(\displaystyle x^2 + x\) ដែលមើលទៅខុសគ្នាស្រឡះ។ យើងមិនអាចគ្រាន់តែយកវាគុណខ្វែងគ្នាបានទេ (ព្រោះវានឹងចេញកន្សោមវែងណាស់)។ វិធីល្អគឺត្រូវដាក់ភាគបែងទាំងពីរជាផលគុណកត្តាសិន រួចទើបរកភាគបែងរួមតូចបំផុត (LCM)។

តោះ! អនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖

ភាគបែងរួមគឺ \(\displaystyle x(x - 1)(x + 1)\)។ យើងត្រូវគុណបំពេញភាគយកនៃប្រភាគនីមួយៗឱ្យត្រូវនឹងភាគបែងរួម៖

ដូចនេះ    \(\displaystyle \boxed{B = \frac{1}{x(x - 1)(x + 1)}}\)

ឧទាហរណ៍ទី 1 (វិធីគុណ) : គណនា \(\displaystyle \frac{a}{a + 2} \times \frac{3a + 6}{a^2 - 4a}\)

គិតមុនគូ សម្រាប់វិធីគុណ យើងមិនចាំបាច់តម្រូវភាគបែងទេ។ គ្រាន់តែដាក់គ្រប់យ៉ាងជាផលគុណកត្តា រួចឆូតសម្រួលគ្នាពីលើចុះក្រោម ហើយចុងក្រោយយក សល់លើគុណសល់លើ, សល់ក្រោមគុណសល់ក្រោម។

តោះ! អនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖ \(\displaystyle \frac{a}{a + 2} \times \frac{3a + 6}{a^2 - 4a} = \frac{a}{a + 2} \times \frac{3(a + 2)}{a(a - 4)}\) \(\displaystyle = \frac{a \times 3(a + 2)}{(a + 2) \times a(a - 4)}\) \(\displaystyle = \frac{3a(a + 2)}{a(a + 2)(a - 4)}\) សម្រួលកត្តា \(\displaystyle a\) និង \(\displaystyle (a + 2)\) ទាំងលើទាំងក្រោម នោះយើងនៅសល់តែ៖ \(\displaystyle = \frac{3}{a - 4}\)

ឧទាហរណ៍ទី 2 (វិធីចែក) : គណនា \(\displaystyle \frac{4t + 6}{t} \div \frac{4t^2 - 9}{t^2}\)

គិតមុនគូ ចែកនឹងប្រភាគ គឺគុណនឹងចម្រាស់របស់វា។ បន្ទាប់ពីត្រឡប់ប្រភាគក្រោយហើយ អនុវត្តវិធីគុណដូចធម្មតា។

តោះ! អនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖ \(\displaystyle \frac{4t + 6}{t} \div \frac{4t^2 - 9}{t^2} = \frac{2(2t + 3)}{t} \div \frac{(2t - 3)(2t + 3)}{t^2}\)    (ដាក់ជាផលគុណកត្តាសិន)

\(\displaystyle = \frac{2(2t + 3)}{t} \times \frac{t^2}{(2t - 3)(2t + 3)}\)    (ប្ដូរចែកទៅគុណ ហើយត្រឡប់ប្រភាគ)

\(\displaystyle = \frac{2t^2(2t + 3)}{t(2t - 3)(2t + 3)}\)    (គុណចូលគ្នា)

\(\displaystyle = \frac{2t}{2t - 3}\)    (សម្រួល \(\displaystyle t\) និង \(\displaystyle (2t+3)\) ចោល)

ឧទាហរណ៍ទី 3 (ប្រភាគជាន់គ្នា) : គណនា \(\displaystyle C = \frac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}}\)

គិតមុនគូ នៅពេលឃើញប្រភាគជាន់គ្នា កុំភ័យ! វិធីងាយបំផុតគឺគិតថាវាជាការចែករវាងភាគយកធំ និងភាគបែងធំ (\(\displaystyle C = \text{ភាគយកធំ} \div \text{ភាគបែងធំ}\))។ ជំហានដំបូង យើងត្រូវតម្រូវភាគបែងផ្នែកខាងលើឱ្យចប់សព្វគ្រប់សិន ហើយក៏តម្រូវភាគបែងផ្នែកខាងក្រោមឱ្យចប់សព្វគ្រប់ដែរ ទើបធ្វើប្រមាណវិធីចែកជាក្រោយ។

តោះ! អនុវត្តទាំងអស់គ្នា៖ ផ្នែកភាគយកធំ៖ \(\displaystyle 1 - \frac{1}{x} = \frac{x}{x} - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}\)
ផ្នែកភាគបែងធំ៖ \(\displaystyle 1 + \frac{1}{x} = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = \frac{x + 1}{x}\)

យកមកជួសចូលប្រភាគដើមវិញ យើងបាន៖ \(\displaystyle C = \frac{\frac{x - 1}{x}}{\frac{x + 1}{x}}\)

ពេលនេះវាចូលរាងការចែកប្រភាគ (\(\displaystyle A \div B\)) ដែលយើងត្រូវប្តូរចែកទៅគុណ រួចត្រឡប់ប្រភាគក្រោយ៖

សម្រួលកត្តា \(\displaystyle x\) ទាំងលើទាំងក្រោមចោល យើងនៅសល់៖

ដូចនេះ    \(\displaystyle \boxed{C = \frac{x - 1}{x + 1}}\)