មេរៀនទី ៧ មធ្យមស្ថិតិ — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ៩

✓គោលបំណងសិក្សា

គណនាមធ្យម មេដ្យាន និងម៉ូត។
គណនាមធ្យម មេដ្យាន និងម៉ូតតាមតារាងនៃប្រេកង់កើន។

WWARM UP

រំលឹកចំណេះដឹង
សួស្ដីប្អូនៗ! នៅក្នុងជីវភាពប្រចាំថ្ងៃ ប្អូនៗប្រហែលជាធ្លាប់ឮពាក្យថា «មធ្យម» ញឹកញាប់ណាស់ មែនទេ? ឧទាហរណ៍ដូចជា «ពិន្ទុមធ្យមប្រចាំខែ» «កម្ពស់មធ្យមនៃសិស្សក្នុងថ្នាក់» ឬ «ប្រាក់ចំណាយមធ្យមប្រចាំថ្ងៃ»។ ការស្វែងរកតម្លៃកណ្ដាលដែលតំណាងឱ្យទិន្នន័យទាំងមូល គឺជាផ្នែកមួយដ៏សំខាន់នៃវិទ្យាសាស្ត្រស្ថិតិ។ តោះ! ថ្ងៃនេះយើងនឹងមករៀនពីរបៀបរកតម្លៃតំណាងទិន្នន័យទាំងនោះ តាមរយៈ មធ្យម មេដ្យាន និងម៉ូត ទាំងអស់គ្នា!

$\displaystyle 1$. មធ្យម

iងាយយល់

ងាយយល់
មធ្យម (Mean) គឺជាការយករបស់ទាំងអស់មកបូកបញ្ចូលគ្នា រួចចែកឱ្យស្មើៗគ្នា។ ឧទាហរណ៍ បើប្អូនមានស្ករគ្រាប់ ៣ គ្រាប់ ហើយមិត្តភក្តិប្អូនមាន ៥ គ្រាប់ បើយើងចង់ឱ្យម្នាក់ៗមានស្ករគ្រាប់ស្មើគ្នា យើងយកវាមកបូកចូលគ្នា (៣+៥=៨) រួចចែកជាពីរ នោះម្នាក់ៗនឹងទទួលបាន ៤ គ្រាប់។ លេខ ៤ នេះហើយជា «មធ្យម»!

១ឧទាហរណ៍ទី ១

ឧទាហរណ៍ទី $\displaystyle 1$
គេកត់ត្រាចំនួនភ្ញៀវដែលបានចូលមកកម្សាន្តជារៀងរាល់ថ្ងៃ ហើយទទួលបានលទ្ធផលដូចខាងក្រោម៖

ថ្ងៃ	ចន្ទ	អង្គារ	ពុធ	ព្រហស្បតិ៍	សុក្រ	សៅរ៍	អាទិត្យ
ចំនួនភ្ញៀវ	$\displaystyle 18$	$\displaystyle 12$	$\displaystyle 30$	$\displaystyle 26$	$\displaystyle 38$	$\displaystyle 42$	$\displaystyle 48$

យើងសង្កេតឃើញថា ភ្ញៀវដែលបានចូលមកកម្សាន្តមានចំនួនមិនស្មើគ្នាទេរៀងរាល់ថ្ងៃ។ បើម្ចាស់ហាងចង់ដឹងថាជាមធ្យមមានភ្ញៀវប៉ុន្មាននាក់ក្នុងមួយថ្ងៃ គាត់ត្រូវរក «មធ្យម»។

ជំហានដោះស្រាយ
យើងត្រូវយកចំនួនភ្ញៀវសរុប មកចែកឱ្យចំនួនថ្ងៃសរុប (៧ថ្ងៃ)៖

\[\bar{x} = \frac{18 + 12 + 30 + 26 + 38 + 42 + 48}{7} = \frac{214}{7} \approx 30.5\]

គេចាត់ទុកចំនួននោះដោយ $\displaystyle 30$។ ក្នុងករណីនេះម្ចាស់ហាងតែងតែប្រាប់គេថា «ហាងខ្ញុំមានភ្ញៀវជាមធ្យមចំនួន ៣០ នាក់»។
ចំណាំ៖ គេតាង $\displaystyle \bar{x}$ (អានថា អិចបារ) ជាមធ្យមនៃទិន្នន័យ។

២ឧទាហរណ៍ទី ២

ឧទាហរណ៍ទី $\displaystyle 2$
គេស្រង់ចំនួនភ្ញៀវដែលបានជិះរថយន្តឈ្នួលចំនួន $\displaystyle 30$ ថ្ងៃ ដោយទទួលបានលទ្ធផលដូចខាងក្រោម៖

$\displaystyle 20$	$\displaystyle 16$	$\displaystyle 18$	$\displaystyle 10$	$\displaystyle 20$	$\displaystyle 16$	$\displaystyle 18$	$\displaystyle 20$	$\displaystyle 14$	$\displaystyle 16$
$\displaystyle 10$	$\displaystyle 16$	$\displaystyle 20$	$\displaystyle 18$	$\displaystyle 12$	$\displaystyle 12$	$\displaystyle 10$	$\displaystyle 18$	$\displaystyle 16$	$\displaystyle 20$
$\displaystyle 14$	$\displaystyle 16$	$\displaystyle 17$	$\displaystyle 20$	$\displaystyle 12$	$\displaystyle 14$	$\displaystyle 18$	$\displaystyle 20$	$\displaystyle 16$	$\displaystyle 14$

គិតមុនគូ
តើប្អូនៗចង់យកលេខទាំង ៣០ នេះមកបូកបញ្ចូលគ្នាម្តងមួយៗដែរឬទេ? វាប្រាកដជាចំណាយពេលយូរ ហើយងាយនឹងបូកខុសទៀត! វិធីដែលឆ្លាតវៃជាងនេះ គឺយើងរាប់មើលថាតើលេខនីមួយៗកើតឡើងប៉ុន្មានដង (ហៅថាប្រេកង់) រួចសង់ជាតារាង។

ជំហានទី១៖ សង់តារាងប្រេកង់ និងផលគុណ

តាង $\displaystyle x$ ជាចំនួនភ្ញៀវ និង $\displaystyle f$ ជាប្រេកង់ (ចំនួនថ្ងៃ)។
គុណ $\displaystyle x$ នឹង $\displaystyle f$ ដើម្បីបានផលបូកនៃក្រុមនីមួយៗ រួចបូកសរុប។

ជំហានទី២៖ គណនាមធ្យមភាគ
ជំនួសឱ្យការបូកលេខទាំង ៣០ វែងអន្លាយ ពេលនេះយើងគ្រាន់តែយកផលបូកសរុបចែកនឹងប្រេកង់សរុប៖

\[\bar{x} = \frac{481}{30} = 16.03\]

គេចាត់ទុកចំនួនភ្ញៀវជាមធ្យម $\displaystyle \bar{x} \approx 16$ នាក់។

ចំនួនភ្ញៀវ $\displaystyle x$	ប្រេកង់ $\displaystyle f$	ផលគុណ $\displaystyle x f$
$\displaystyle 10$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 30$
$\displaystyle 12$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 36$
$\displaystyle 14$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle 56$
$\displaystyle 16$	$\displaystyle 7$	$\displaystyle 112$
$\displaystyle 17$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 17$
$\displaystyle 18$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle 90$
$\displaystyle 20$	$\displaystyle 7$	$\displaystyle 140$
សរុប	$\displaystyle 30$	$\displaystyle 481$

ដូចនេះ $\displaystyle \bar{x} = \frac{x_1 f_1 + x_2 f_2 + x_3 f_3 + x_4 f_4 + x_5 f_5 + x_6 f_6 + x_7 f_7}{f_1 + f_2 + f_3 + f_4 + f_5 + f_6 + f_7}$ ។

!ពន្យល់ពិសេស

គន្លឹះគ្រូ៖
ចងចាំជានិច្ច! រាល់ពេលឃើញទិន្នន័យច្រើនៗ និងដដែលៗ កុំអង្គុយបូកវាម្តងមួយៗឱ្យសោះ! ត្រូវរៀបវាចូលក្នុង "តារាងប្រេកង់" ហើយបង្កើតជួរឈរ "ផលគុណ $\displaystyle xf$" មួយទៀត នោះប្អូនៗនឹងគណនាបានលឿន និងច្បាស់លាស់បំផុត។

Tជាទូទៅ

ជាទូទៅ៖ មធ្យមកំណត់ $\displaystyle \bar{x} = \frac{x_1 f_1 + x_2 f_2 + \dots + x_n f_n}{f_1 + f_2 + \dots + f_n}$ ។

៣ឧទាហរណ៍ទី ៣

លំហាត់គំរូទី $\displaystyle 1$
សុខបានប្រឡងលើមុខវិជ្ជាទាំង $\displaystyle 9$ ដោយទទួលបានពិន្ទុមធ្យម $\displaystyle 78$ ។ ដោយដឹងថាពិន្ទុលម្អិតទៅតាមមុខវិជ្ជាមាន $\displaystyle 90, 95, 75, 80, 85, 65, 70, 60$ ហើយនៅសល់ពិន្ទុនៃមុខវិជ្ជាមួយទៀតដែលសុខពុំបានចាំ។ ចូរកំណត់រកពិន្ទុដែលភ្លេចនោះ។

ចម្លើយ
តាង $\displaystyle x$ ជាពិន្ទុនៃមុខវិជ្ជាដែលភ្លេច
យើងបាន $\displaystyle \frac{90 + 95 + 75 + 80 + 85 + 65 + 70 + 60 + x}{9} = 78$
$\displaystyle \frac{620 + x}{9} = 78 \implies 620 + x = 702 \implies x = 82$ ។

៤ឧទាហរណ៍ទី ៤

លំហាត់គំរូទី $\displaystyle 2$
គេឱ្យសិស្សពីរថ្នាក់ដែលមានចំនួនសិស្ស $\displaystyle 25$ នាក់ ស្មើគ្នាដើម្បីប្រឡងមុខវិជ្ជាដូចគ្នាដោយទទួលបានពិន្ទុដូចខាងក្រោម៖

ថ្នាក់ $\displaystyle A$

ពិន្ទុ $\displaystyle x$	ប្រេកង់ $\displaystyle f$	$\displaystyle x f$
$\displaystyle 2$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle 8$
$\displaystyle 3$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle 24$
$\displaystyle 5$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle 30$
$\displaystyle 7$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 14$
$\displaystyle 8$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 16$
$\displaystyle 9$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 27$
សរុប	$\displaystyle 25$	$\displaystyle 119$

ថ្នាក់ $\displaystyle B$

ពិន្ទុ $\displaystyle x$	ប្រេកង់ $\displaystyle f$	$\displaystyle x f$
$\displaystyle 3$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 6$
$\displaystyle 4$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle 32$
$\displaystyle 5$	$\displaystyle 10$	$\displaystyle 50$
$\displaystyle 6$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle 24$
$\displaystyle 9$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 9$
សរុប	$\displaystyle 25$	$\displaystyle 121$

ចូរប្រៀបធៀបមធ្យមពិន្ទុនៃថ្នាក់ទាំងពីរ។

ចម្លើយ
$\displaystyle \bar{X}_A = \frac{119}{25} = 4.76 \qquad \bar{X}_B = \frac{121}{25} = 4.84$
នាំឱ្យ $\displaystyle \bar{X}_B > \bar{X}_A$ បញ្ជាក់ថាពិន្ទុមធ្យមនៃថ្នាក់ $\displaystyle B$ ខ្ពស់ជាងថ្នាក់ $\displaystyle A$។

១សាកល្បងខ្លួនឯងទី ១

ប្រតិបត្តិ
ចូរគណនាមធ្យមនៃតារាងទិន្នន័យខាងក្រោម៖

$\displaystyle x$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 4$
$\displaystyle y$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 2$

$\displaystyle 2$. មេដ្យាន

?សកម្មភាពស្វែងយល់

តើហេតុអ្វីបានជាយើងត្រូវការមេដ្យាន?
មានករណីខ្លះ មធ្យមមិនអាចតំណាងឱ្យទិន្នន័យបានល្អនោះទេ។
ឧទាហរណ៍៖ ចំពោះទិន្នន័យ $\displaystyle 4 \quad 2 \quad 5 \quad 2 \quad 6 \quad 16 \quad 4 \quad 20 \quad 6$
បើគណនាមធ្យម $\displaystyle \bar{x} = \frac{4 + 2 + 5 + 2 + 6 + 16 + 4 + 20 + 6}{9} = 7.2$ ។

ប៉ុន្តែសាករៀបទិន្នន័យពីតូចទៅធំមើល៖

\[2 \quad 2 \quad 4 \quad 4 \quad \mathbf{5} \quad 6 \quad 6 \quad \overset{\bar{x}=7.2}{\vdots} \quad 16 \quad 20\]

ប្អូនៗឃើញទេ? មានទិន្នន័យដល់ទៅ ៧ តួដែលតូចជាងមធ្យម $\displaystyle \bar{x}$ ហើយមានតែ ២ តួប៉ុណ្ណោះដែលធំជាងវា។ នេះមកពីលេខ 16 និង 20 ធំខុសគេពេក ទាញមធ្យមឱ្យឡើងខ្ពស់! ក្នុងករណីនេះ ដើម្បីរកភាពយុត្តិធម៌ គេជ្រើសរើសទិន្នន័យ $\displaystyle 5$ ដែលអង្គុយចំកណ្តាលគេតែម្តង ដើម្បីធ្វើជាតំណាង ដែលយើងហៅថា មេដ្យាន។

iងាយយល់

ងាយយល់
គេតាងមេដ្យានដោយ $\displaystyle m_e$។ ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ $\displaystyle m_e = 5$។ តម្លៃ $\displaystyle 5$ ជាតួទី $\displaystyle 5$ ក្នុងចំណោមតួទាំង $\displaystyle 9$។ ទីតាំងនេះបានដោយ $\displaystyle \frac{9 + 1}{2} = 5$ ។
ដូចនេះ បើ $\displaystyle n$ ជាចំនួនតួនៃទិន្នន័យនោះមេដ្យានត្រូវឋិតនៅទីតាំង $\displaystyle \frac{n + 1}{2}$ ។

មានករណីខ្លះគេក៏អាចកំណត់មេដ្យាននៃទិន្នន័យដែលមានចំនួនគូដូចជា៖

\[4 \quad 4 \quad 5 \quad 7 \quad 8 \quad 9\]

មេដ្យានត្រូវឋិតនៅចន្លោះ $\displaystyle 5$ និង $\displaystyle 7$ ។ ហេតុនេះ $\displaystyle m_e = \frac{5 + 7}{2} = 6$ ។

Tជាទូទៅ

ជាទូទៅ៖ បើទិន្នន័យមួយមាន $\displaystyle n$ តួ មេដ្យាននៃទិន្នន័យមួយដែលបានរៀបតាមលំដាប់មានទីតាំងឋិតនៅតួទី $\displaystyle \frac{n + 1}{2}$ ។

បើ $\displaystyle n$ ជាចំនួនសេស មេដ្យានជាតម្លៃនៃតួកណ្ដាល
បើ $\displaystyle n$ ជាចំនួនគូ មេដ្យានជាមធ្យមនៃតួកណ្ដាលទាំងពីរ។

៥ឧទាហរណ៍ទី ៥

លំហាត់គំរូទី $\displaystyle 1$
តាមតារាងទិន្នន័យនៃឧទាហរណ៍ទី $\displaystyle 2$ ខាងលើ រកមេដ្យាននៃចំនួនភ្ញៀវដែលបានជិះរថយន្ត។

គិតមុនគូ
ដោយសារទិន្នន័យមានដល់ទៅ ៣០ តួ យើងមិនបាច់សរសេរវាតម្រៀបគ្នាពីតូចទៅធំទាំងអស់នោះទេ។ យើងអាចប្រើតារាងប្រេកង់ដើម្បីរាប់ទីតាំងរបស់វាបាន!

ជំហានដោះស្រាយ

១. រកទីតាំងមេដ្យាន៖
ដោយទិន្នន័យមានចំនួនតួ $\displaystyle n = 30$
ទីតាំងនៃមេដ្យានគឺ $\displaystyle \frac{30 + 1}{2} = 15.5$
មានន័យថាមេដ្យានត្រូវឋិតនៅចន្លោះតួទី $\displaystyle 15$ និងតួទី $\displaystyle 16$។

២. រាប់រកតួទី ១៥ និង ១៦ ក្នុងតារាង៖
បូកប្រេកង់ពីលើចុះក្រោម៖ $\displaystyle 3+3+4 = 10$ (ទើបតែដល់តួទី ១០)។
បូកបន្តទៀត៖ $\displaystyle 10+7 = 17$ (អូ! ហួសតួទី ១៥ និង ១៦ បាត់ហើយ!)
នេះមានន័យថា ចាប់ពីតួទី ១១ ដល់ទី ១៧ សុទ្ធតែជាលេខ $\displaystyle 16$។
ដូចនេះ តួទី ១៥ និង ១៦ សុទ្ធតែស្មើ $\displaystyle 16$ ($\displaystyle x_{15} = 16 \ ; \ x_{16} = 16$)។

ដូចនេះ មេដ្យាន $\displaystyle m_e = \frac{16 + 16}{2} = 16$ ។

ចំនួនភ្ញៀវ $\displaystyle x$	ប្រេកង់ $\displaystyle f$	$\displaystyle x f$
$\displaystyle 10$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 30$
$\displaystyle 12$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 36$
$\displaystyle 14$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle 56$
$\displaystyle 16$	$\displaystyle 7$	$\displaystyle 112$
$\displaystyle 17$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 17$
$\displaystyle 18$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle 90$
$\displaystyle 20$	$\displaystyle 7$	$\displaystyle 140$
សរុប	$\displaystyle 30$	$\displaystyle 481$

២សាកល្បងខ្លួនឯងទី ២

ប្រតិបត្តិ
ចូររកមេដ្យាននៃប្រាក់បៀវត្សរ៍ (ឯកតាគិតជាពាន់រៀល)៖

ប្រាក់បៀវត្សរ៍	$\displaystyle 200$	$\displaystyle 300$	$\displaystyle 350$	$\displaystyle 700$	$\displaystyle 840$	$\displaystyle 950$
ប្រេកង់	$\displaystyle 6$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle 3$. ម៉ូត

៦ឧទាហរណ៍ទី ៦

ឧទាហរណ៍
ខាងក្រោមនេះជាចំនួនទូរទស្សន៍ ដែលបានលក់ដាច់តាមថ្ងៃនីមួយៗ៖

$\displaystyle 1$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle 5$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle 4$
$\displaystyle 3$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 3$

គេផ្ដុំទិន្នន័យនីមួយៗទៅតាមប្រេកង់រួចសង់តារាងប្រេកង់ ដើម្បីរកចំនួនទូរទស្សន៍ដែលបានលក់ជាមធ្យមក្នុងមួយថ្ងៃ។ គេគណនា $\displaystyle \bar{X} = \frac{80}{30} = 2.6$ ដោយចំនួនទូរទស្សន៍ត្រូវតែជាចំនួនគត់។

ដូចនេះគេមិនអាចយក $\displaystyle \bar{X} = 2.6$ តាងឱ្យទិន្នន័យបានទេ ក្នុងករណីនេះគេត្រូវជ្រើសរើសយកទិន្នន័យណាដែលមានប្រេកង់ធំជាងគេ។

តាមតារាងនៃទិន្នន័យមួយថ្ងៃលក់បានទូរទស្សន៍ $\displaystyle 2$ គ្រឿងមានប្រេកង់ធំជាងគេ ហេតុនេះ $\displaystyle 2$ ជាតំណាងឱ្យទិន្នន័យហៅថា ម៉ូត។

ចំនួនទូរទស្សន៍ $\displaystyle x$	ប្រេកង់ $\displaystyle y$	$\displaystyle x f$
$\displaystyle 1$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 3$
$\displaystyle 2$	$\displaystyle 12$	$\displaystyle 24$
$\displaystyle 3$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle 24$
$\displaystyle 4$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle 24$
$\displaystyle 5$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 5$
សរុប	$\displaystyle 30$	$\displaystyle 80$

Tជាទូទៅ

ជាទូទៅ៖ នៅក្នុងទិន្នន័យមួយ ម៉ូតជាតម្លៃនៃទិន្នន័យដែលមានប្រេកង់ធំជាងគេ។

iងាយយល់

ងាយយល់៖ ហេតុអ្វីយើងត្រូវការ មេដ្យាន និង ម៉ូត បើយើងមាន មធ្យម រួចហើយ?

ប្អូនៗប្រហែលជាឆ្ងល់ហើយថា បើយើងមាន «មធ្យម» សម្រាប់រកតំណាងទិន្នន័យទៅហើយ តើយើងនៅត្រូវការ «មេដ្យាន» និង «ម៉ូត» ធ្វើអ្វីទៀត? តោះ! យើងមកស្វែងយល់ទាំងអស់គ្នា៖

មធ្យម ($\displaystyle \bar{x}$)៖ គឺល្អបំផុតនៅពេលដែលទិន្នន័យរបស់យើងមានតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលគ្នា។ ប៉ុន្តែបើសិនជាមានទិន្នន័យណាមួយ ធំខុសគេពេក ឬ តូចខុសគេពេក (ឧទាហរណ៍៖ កម្មករទូទៅបានប្រាក់ខែ $\displaystyle 200$ ដុល្លារ តែអ្នកគ្រប់គ្រងបានដល់ទៅ $\displaystyle 2000$ ដុល្លារ) នោះមធ្យមនឹងត្រូវទាញខិតទៅរកអ្នកគ្រប់គ្រងបាត់ហើយ! ពេលនោះវាមិនអាចតំណាងឱ្យប្រាក់ខែពិតប្រាកដរបស់កម្មករភាគច្រើនបានទេ។
មេដ្យាន ($\displaystyle m_e$)៖ ជាវីរបុរសចូលមកជួយនៅពេលដែលមានបញ្ហាខាងលើ! មេដ្យានគឺជានរណាដែលនៅកណ្ដាលគេជានិច្ច ដូច្នេះទោះបីជាមានតម្លៃណាធំខុសគេប៉ុណ្ណាក៏ដោយ ក៏មេដ្យានមិនខ្វល់ ហើយមិនរងឥទ្ធិពលពីវាឡើយ។ វាពិតជាអាចតំណាងឱ្យទីតាំងកណ្ដាលបានយ៉ាងល្អត្រឹមត្រូវ។
ម៉ូត ($\displaystyle m_o$)៖ ចុះបើប្អូនៗចង់ដឹងថា «តើអ្វីដែលគេចូលចិត្តជាងគេ?» ឬ «អ្វីដែលលក់ដាច់ជាងគេ?» មធ្យម និងមេដ្យានមិនអាចប្រាប់បានទេ។ ម៉ូត ជាអ្នកប្រាប់យើងពីអ្វីដែលលេចឡើងញឹកញាប់ជាងគេ (ឧទាហរណ៍៖ ទំហំស្បែកជើងដែលលក់ដាច់ជាងគេ)។ ពិសេសជាងនេះទៅទៀត សម្រាប់ទិន្នន័យដែលមិនមែនជាលេខ (ដូចជា ពណ៌ដែលគេចូលចិត្ត ម៉ាកទូរសព្ទ) យើងមានតែម៉ូតមួយគត់ដែលអាចប្រើបាន!

៧ឧទាហរណ៍ទី ៧

លំហាត់គំរូ
តើទិន្នន័យមួយណាដែលគួរប្រើមធ្យម មេដ្យាននិងម៉ូត?
ក. ស្បែកជើងដែលលក់ដាច់ជាងគេមានទំហំលេខ $\displaystyle 9\frac{1}{2}$ ។
ខ. វិក្កយបត្រភ្លើងក្នុងមួយខែជាមធ្យម $\displaystyle 150~000$ រៀល។
គ. ពាក់កណ្ដាលនៃបុគ្គលិកទទួលបានប្រាក់ខែ $\displaystyle 420~000$ រៀល។

ចម្លើយ
ក. គេប្រើម៉ូតតាងឱ្យទំហំលេខនៃស្បែកជើង $\displaystyle m_o = 9\frac{1}{2}$ ។
ខ. គេប្រើមធ្យមតាងឱ្យការចំណាយលើថ្លៃភ្លើង $\displaystyle \bar{x} = 150~000$ រៀល។
គ. គេប្រើមេដ្យានតាងឱ្យប្រាក់ខែបុគ្គលិក $\displaystyle m_e = 420~000$ រៀល។

៣សាកល្បងខ្លួនឯងទី ៣

ប្រតិបត្តិ
ចូររកមធ្យម មេដ្យាន និងម៉ូតនៃទិន្នន័យខាងក្រោម៖

\[10 \quad 8 \quad 13 \quad 12 \quad 7\]

×កុំច្រឡំ

កុំច្រឡំ

កុំគិតថាទិន្នន័យតែងតែមានម៉ូតតែមួយជានិច្ច! ពេលខ្លះ វាអាចមានម៉ូតដល់ទៅពីរ (ហៅថា Bimodal) ប្រសិនបើមានទិន្នន័យពីរមានប្រេកង់ធំបំផុតស្មើគ្នា។
បើទិន្នន័យទាំងអស់មានប្រេកង់ស្មើៗគ្នា នោះមានន័យថាវា គ្មានម៉ូត នោះទេ!

$\displaystyle 4$. ការកំណត់មធ្យមស្ថិតិតាមតារាងប្រេកង់កើន

iងាយយល់

ងាយយល់
នៅពេលដែលយើងមានទិន្នន័យច្រើន ហើយលេខខុសៗគ្នាស្ទើរតែទាំងអស់ (ឧទាហរណ៍ កម្ពស់ ឬ ម៉ាស របស់មនុស្ស) ការបង្កើតតារាងប្រេកង់ធម្មតានឹងមានប្រវែងវែងអន្លាយ។ ដូច្នេះហើយ ទើបគេត្រូវចងវាជា "ថ្នាក់" ឬ "ចន្លោះ" ដើម្បីងាយស្រួលមើល និងគណនា។ តែបញ្ហាគឺថានៅពេលវាជាប់ជាថ្នាក់ យើងមិនដឹងថាលេខពិតប្រាកដជាអ្វីនោះទេ ហេតុនេះទើបយើងត្រូវយក ផ្ចិតនៃថ្នាក់ (តម្លៃកណ្តាលនៃថ្នាក់) មកប្រើជាតំណាង!

៨ឧទាហរណ៍ទី ៨

ឧទាហរណ៍ទី $\displaystyle 1$
ខាងក្រោមនេះជាលទ្ធផលនៃពិន្ទុសិស្សមួយថ្នាក់៖

ពិន្ទុ $\displaystyle x$	ប្រេកង់ $\displaystyle f$	$\displaystyle x f$	ប្រេកង់កើន
$\displaystyle 1$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle 4$
$\displaystyle 2$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle 10$	$\displaystyle 9$
$\displaystyle 3$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle 11$
$\displaystyle 4$	$\displaystyle 10$	$\displaystyle 40$	$\displaystyle 21$
$\displaystyle 5$	$\displaystyle 15$	$\displaystyle 75$	$\displaystyle 36$
$\displaystyle 6$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle 48$	$\displaystyle 44$
$\displaystyle 7$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle 28$	$\displaystyle 48$
$\displaystyle 9$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 18$	$\displaystyle 50$
សរុប	$\displaystyle 50$	$\displaystyle 229$

គិតមុនគូ
តារាងនេះបានផ្ដល់ព័ត៌មានយ៉ាងពេញលេញ (មានទាំងប្រេកង់ ផលគុណ និងប្រេកង់កើន)។ យើងគ្រាន់តែទាញយកទិន្នន័យពីតារាងនេះ មកអនុវត្តតាមរូបមន្តប៉ុណ្ណោះ។

ជំហានដោះស្រាយ

ការកំណត់មធ្យម ($\displaystyle \bar{x}$)៖
យើងដឹងថារូបមន្ត $\displaystyle \bar{x} = \frac{x_1 f_1 + x_2 f_2 + \dots + x_n f_n}{f_1 + f_2 + \dots + f_n}$
តាមជួរឈរទី $\displaystyle 3$ (ផលបូកនៃ $\displaystyle x f$) គឺ $\displaystyle 229$
តាមជួរឈរទី $\displaystyle 4$ (ផលបូកប្រេកង់ $\displaystyle f$) គឺ $\displaystyle 50$
ដូចនេះ $\displaystyle \bar{x} = \frac{229}{50} = 4.58$
ការកំណត់មេដ្យាន ($\displaystyle m_e$)៖
ចំនួនសិស្សសរុប $\displaystyle n = 50$ នាក់។ ទីតាំងនៃមេដ្យានគឺ $\displaystyle \frac{50 + 1}{2} = 25.5$។
យើងត្រូវមើលលើជួរឈរ ប្រេកង់កើន៖
- ត្រឹមពិន្ទុ $\displaystyle 4$ មានប្រេកង់កើនស្មើនឹង $\displaystyle 21$ (ពុំទាន់ដល់តួទី ២៥ ទេ)
- ចូលដល់ពិន្ទុ $\displaystyle 5$ ប្រេកង់កើនលោតដល់ $\displaystyle 36$ ដូច្នេះតួទី $\displaystyle 25.5$ ប្រាកដជាស្ថិតនៅក្នុងក្រុមដែលបានពិន្ទុ $\displaystyle 5$ នេះឯង។
ដូចនេះ មេដ្យាន $\displaystyle m_e = 5$ ។
ការកំណត់ម៉ូត ($\displaystyle m_o$)៖
យើងគ្រាន់តែស្វែងរកពិន្ទុណាដែលមានចំនួនសិស្ស (ប្រេកង់) ច្រើនជាងគេបំផុត។ តាមតារាង សិស្សដែលបានពិន្ទុ $\displaystyle 5$ មានដល់ទៅ $\displaystyle 15$ នាក់។
ដូចនេះ ម៉ូត $\displaystyle m_o = 5$ ។

៩ឧទាហរណ៍ទី ៩

ឧទាហរណ៍ទី $\displaystyle 2$
ខាងក្រោមនេះជាលទ្ធផលម៉ាសសិស្សមួយថ្នាក់៖

ម៉ាសជា kg	$\displaystyle 30-40$	$\displaystyle 40-50$	$\displaystyle 50-60$	$\displaystyle 60-70$	$\displaystyle 70-80$	$\displaystyle 80-90$	$\displaystyle 90-100$
ប្រេកង់	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle 10$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle 3$

គិតមុនគូ
នៅទីនេះ ម៉ាសត្រូវបានចែកជាថ្នាក់។ យើងមិនអាចយកចន្លោះថ្នាក់មកគុណជាមួយប្រេកង់បានទេ។ ដំណោះស្រាយគឺត្រូវរក "ផ្ចិតនៃថ្នាក់" ដោយយក (តម្លៃខាងដើម + តម្លៃខាងចុង)/2។ ឧទាហរណ៍ ថ្នាក់ $\displaystyle 30-40$ មានផ្ចិត $\displaystyle \frac{30+40}{2} = 35$។

ជំហានទី១៖ សង់តារាងបន្ថែមជួរឈរចាំបាច់
យើងត្រូវការជួរឈរ "ផ្ចិតនៃថ្នាក់ ($\displaystyle x$)", "ផលគុណ ($\displaystyle xf$)" និង "ប្រេកង់កើន"។

ថ្នាក់នៃម៉ាស	ប្រេកង់ $\displaystyle f$	ផ្ចិតនៃថ្នាក់ $\displaystyle x$	$\displaystyle x f$	ប្រេកង់កើន
$\displaystyle 30-40$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 35$	$\displaystyle 70$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle 40-50$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle 45$	$\displaystyle 270$	$\displaystyle 8$
$\displaystyle 50-60$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle 55$	$\displaystyle 275$	$\displaystyle 13$
$\displaystyle 60-70$	$\displaystyle 10$	$\displaystyle 65$	$\displaystyle 650$	$\displaystyle 23$
$\displaystyle 70-80$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle 75$	$\displaystyle 600$	$\displaystyle 31$
$\displaystyle 80-90$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle 85$	$\displaystyle 510$	$\displaystyle 37$
$\displaystyle 90-100$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 95$	$\displaystyle 285$	$\displaystyle 40$
សរុប	$\displaystyle 40$		$\displaystyle 2660$

ជំហានទី២៖ គណនាតាមរូបមន្ត

ការកំណត់មធ្យម ($\displaystyle \bar{x}$)៖
$\displaystyle \bar{x} = \frac{\text{ផលបូក } xf}{\text{ផលបូក } f} = \frac{2660}{40} = 66.5$ គីឡូក្រាម។
ការកំណត់មេដ្យាន ($\displaystyle m_e$)៖
ចំនួនសិស្ស $\displaystyle n = 40$។ ទីតាំងនៃមេដ្យានគឺ $\displaystyle \frac{40 + 1}{2} = 20.5$។
មើលលើជួរឈរប្រេកង់កើន តួទី $\displaystyle 20.5$ ធ្លាក់ចំថ្នាក់ $\displaystyle 60-70$ (ព្រោះប្រេកង់កើនឡើងដល់ ២៣)។
ដូចនេះ មេដ្យានចំថ្នាក់ $\displaystyle 60-70$ ។
ការកំណត់ម៉ូត ($\displaystyle m_o$)៖
ថ្នាក់ដែលមានប្រេកង់ធំជាងគេគឺ ថ្នាក់ $\displaystyle 60-70$ (មានសិស្ស $\displaystyle 10$ នាក់)។
ដូចនេះ ថ្នាក់ម៉ូតគឺ $\displaystyle 60-70$ ។

១០ឧទាហរណ៍ទី ១០

លំហាត់គំរូ
ក្នុងការបំពេញសំណួរ សិស្សខ្លះអាចបញ្ចប់លឿន ហើយខ្លះទៀតយឺត ។ ខាងក្រោមនេះជារយៈពេលគិតជានាទី $\displaystyle x$ ដែលសិស្សបានបំពេញសំណួរ៖

ថ្នាក់នៃពេល (នាទី)	$\displaystyle 10-15$	$\displaystyle 15-20$	$\displaystyle 20-25$	$\displaystyle 25-30$	$\displaystyle 30-35$
ប្រេកង់ $\displaystyle f$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle 10$	$\displaystyle 12$	$\displaystyle 3$

ចូរកំណត់ មធ្យម មេដ្យាន និងម៉ូត។

ចម្លើយ
តាមតារាងនេះអ្នកដែលអាចប្រើពេលពី $\displaystyle 10$ ហើយតិចជាង $\displaystyle 15$ នាទី ដើម្បីបញ្ចប់សំណួរមានតែ $\displaystyle 2$ នាក់។
រកផ្ចិតនៃថ្នាក់នីមួយៗ៖
$\displaystyle \frac{10 + 15}{2} = 12.5 \ , \ \frac{15 + 20}{2} = 17.5 \ , \ \frac{20 + 25}{2} = 22.5 \ , \ \frac{25 + 30}{2} = 27.5 \ , \ \frac{30 + 35}{2} = 32.5$

ថ្នាក់នៃពេល	ប្រេកង់ $\displaystyle f$	ផ្ចិតនៃថ្នាក់ $\displaystyle x$	$\displaystyle x f$	ប្រេកង់កើន
$\displaystyle 10-15$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 12.5$	$\displaystyle 25$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle 15-20$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle 17.5$	$\displaystyle 87.5$	$\displaystyle 7$
$\displaystyle 20-25$	$\displaystyle 10$	$\displaystyle 22.5$	$\displaystyle 225$	$\displaystyle 17$
$\displaystyle 25-30$	$\displaystyle 12$	$\displaystyle 27.5$	$\displaystyle 330$	$\displaystyle 29$
$\displaystyle 30-35$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 32.5$	$\displaystyle 97.5$	$\displaystyle 32$
សរុប			$\displaystyle 765$

ការកំណត់មធ្យម៖ $\displaystyle \bar{x} = \frac{765}{32} \approx 23.9$
ការកំណត់ម៉ូត៖ $\displaystyle 25-30$ ជាម៉ូត ព្រោះមានប្រេកង់ $\displaystyle 12$ ធំជាងគេ
ការកំណត់មេដ្យាន៖ មេដ្យានមានទីតាំង $\displaystyle \frac{32 + 1}{2} = 16.5$ ។ ដូចនេះ ថ្នាក់ $\displaystyle 20-25$ ជាមេដ្យាន។

៤សាកល្បងខ្លួនឯងទី ៤

ប្រតិបត្តិ
ចូរគណនាមធ្យម មេដ្យាន និងម៉ូតនៃទិន្នន័យ៖

ថ្នាក់	$\displaystyle 21-28$	$\displaystyle 28-35$	$\displaystyle 35-42$	$\displaystyle 42-49$	$\displaystyle 49-56$	$\displaystyle 56-63$	$\displaystyle 63-70$
ប្រេកង់	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 7$	$\displaystyle 12$	$\displaystyle 15$	$\displaystyle 12$	$\displaystyle 7$	$\displaystyle 3$

សង្ខេបមេរៀន

សេចក្តីសង្ខេបមេរៀន

មធ្យម ($\displaystyle \bar{x}$): កំណត់ដោយផលបូកនៃទិន្នន័យទាំងអស់ចែកនឹងចំនួនទិន្នន័យសរុប។ សម្រាប់ទិន្នន័យមានប្រេកង់៖ $\displaystyle \bar{x} = \frac{x_1 f_1 + x_2 f_2 + \dots + x_n f_n}{f_1 + f_2 + \dots + f_n}$។
មធ្យមសម្រាប់ទិន្នន័យជាថ្នាក់: ត្រូវរកផ្ចិតនៃថ្នាក់ ដើម្បីតាងឱ្យទិន្នន័យក្នុងថ្នាក់នោះ រួចគណនាដូចមធ្យមមានប្រេកង់។
មេដ្យាន ($\displaystyle m_e$): ជាតម្លៃកណ្តាលនៃទិន្នន័យដែលបានរៀបតាមលំដាប់ពីតូចទៅធំ។ វាមានទីតាំងនៅតួទី $\displaystyle \frac{n+1}{2}$។
បើ $\displaystyle n$ សេស៖ $\displaystyle m_e$ ជាតម្លៃនៃ តួកណ្ដាល។
បើ $\displaystyle n$ គូ៖ $\displaystyle m_e$ ជា មធ្យម នៃតួកណ្ដាលទាំងពីរ។
មេដ្យានតាមតារាងប្រេកង់កើន: គេប្រើប្រេកង់កើន ដើម្បីងាយស្រួលរកទីតាំងរបស់មេដ្យាន $\displaystyle \frac{n+1}{2}$ ថាវាស្ថិតក្នុងថ្នាក់ណា ឬទិន្នន័យមួយណា។
ម៉ូត ($\displaystyle m_o$): ជាតម្លៃនៃទិន្នន័យ ឬថ្នាក់ ដែលមានប្រេកង់ធំជាងគេ (លេចឡើងញឹកញាប់ជាងគេ)។

▷លំហាត់

លំហាត់អនុវត្ត

៧.១

គេធ្វើការសិក្សាលើចំនួនសិស្សទៅតាមកម្រិតថ្នាក់ ហើយទទួលបានទិន្នន័យដូចខាងក្រោម៖

ថ្នាក់	ចំនួនសិស្ស
ថ្នាក់មត្តេយ្យ	$\displaystyle 20$	$\displaystyle 20$	$\displaystyle 21$	$\displaystyle 21$
ថ្នាក់ទី $\displaystyle 1$	$\displaystyle 22$	$\displaystyle 23$	$\displaystyle 22$	$\displaystyle 23$
ថ្នាក់ទី $\displaystyle 2$	$\displaystyle 20$	$\displaystyle 19$	$\displaystyle 21$	$\displaystyle 20$
ថ្នាក់ទី $\displaystyle 3$	$\displaystyle 22$	$\displaystyle 23$	$\displaystyle 23$	$\displaystyle 23$
ថ្នាក់ទី $\displaystyle 4$	$\displaystyle 27$	$\displaystyle 27$	$\displaystyle 26$
ថ្នាក់ទី $\displaystyle 5$	$\displaystyle 20$	$\displaystyle 19$	$\displaystyle 22$	$\displaystyle 20$
ថ្នាក់ទី $\displaystyle 6$	$\displaystyle 23$	$\displaystyle 24$	$\displaystyle 24$	$\displaystyle 24$

ចូររកមធ្យម មេដ្យាន និងម៉ូតនៃចំនួនសិស្សក្នុងមួយថ្នាក់។

៧.២

មនុស្សមួយក្រុមសាកល្បងហាត់ប្រាណដើម្បីបញ្ចុះម៉ាសគិតជា $\displaystyle kg$ ហើយទទួលបានលទ្ធផលដូចខាងក្រោម៖

$\displaystyle 4$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 10$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 4$
$\displaystyle 8$	$\displaystyle 10$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 7$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 4$
$\displaystyle 6$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle 7$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle 4$

គណនាមធ្យម មេដ្យាន និងម៉ូត។

៧.៣

ចូរគណនាមធ្យម មេដ្យាន និងម៉ូតតាមទិន្នន័យខាងក្រោម៖

$\displaystyle x$	$\displaystyle 16$	$\displaystyle 18$	$\displaystyle 19$	$\displaystyle 20$	$\displaystyle 21$	$\displaystyle 30$
$\displaystyle f$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle 9$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 1$

៧.៤ ចូរគណនាមធ្យម មេដ្យាន និងម៉ូតតាមទិន្នន័យខាងក្រោម៖
ក.

ខ.

គ.

៧.៥

ទិន្នន័យខាងក្រោមជាចំនួនកូនរបស់បុគ្គលិកនៃរោងចក្រមួយ៖

$\displaystyle 0$

$\displaystyle 1$

$\displaystyle 3$

$\displaystyle 1$

$\displaystyle 3$

$\displaystyle 0$

$\displaystyle 4$

$\displaystyle 3$

$\displaystyle 1$

$\displaystyle 0$

$\displaystyle 5$

$\displaystyle 6$

$\displaystyle 2$

$\displaystyle 3$

$\displaystyle 2$

$\displaystyle 4$

$\displaystyle 1$

$\displaystyle 6$

$\displaystyle 5$

$\displaystyle 6$

$\displaystyle 0$

$\displaystyle 1$

$\displaystyle 2$

$\displaystyle 3$

$\displaystyle 5$

$\displaystyle 1$

$\displaystyle 3$

$\displaystyle 2$

$\displaystyle 1$

$\displaystyle 2$

$\displaystyle 1$

$\displaystyle 3$

$\displaystyle 4$

$\displaystyle 1$

$\displaystyle 0$

$\displaystyle 3$

$\displaystyle 1$

$\displaystyle 3$

$\displaystyle 6$

$\displaystyle 0$

$\displaystyle 3$

$\displaystyle 4$

$\displaystyle 1$

$\displaystyle 3$

$\displaystyle 2$

$\displaystyle 3$

$\displaystyle 0$

$\displaystyle 2$

$\displaystyle 4$

$\displaystyle 1$

$\displaystyle 3$

$\displaystyle 4$

$\displaystyle 1$

$\displaystyle 5$

$\displaystyle 6$

$\displaystyle 3$

ក. ចូរបង្កើតតារាងប្រេកង់ ប្រេកង់ធៀបកើនជាភាគរយ។
ខ. ចូរគណនាមេដ្យាន។

៧.៦

តារាងខាងក្រោមនេះ ជាបំណែងចែកសីតុណ្ហភាពតាមខែនីមួយៗ៖

ខែ

មករា

កុម្ភៈ

មីនា

មេសា

ឧសភា

មិថុនា

កក្កដា

សីហា

កញ្ញា

តុលា

វិច្ឆិកា

ធ្នូ

$\displaystyle ^\circ C$

$\displaystyle 14$$\displaystyle ^\circ$

$\displaystyle 23$$\displaystyle ^\circ$

$\displaystyle 32$$\displaystyle ^\circ$

$\displaystyle 35$$\displaystyle ^\circ$

$\displaystyle 30$$\displaystyle ^\circ$

$\displaystyle 29$$\displaystyle ^\circ$

$\displaystyle 25$$\displaystyle ^\circ$

$\displaystyle 22$$\displaystyle ^\circ$

$\displaystyle 18$$\displaystyle ^\circ$

$\displaystyle 15$$\displaystyle ^\circ$

ក. ចូរគណនាម៉ូត។
ខ. ចូរគណនាសីតុណ្ហភាពមធ្យម។

៧.៧ នៅឆមាសទី $\displaystyle 1$ សុខប្រឡង $\displaystyle 8$ មុខវិជ្ជាទទួលបានមធ្យមភាគពិន្ទុ $\displaystyle 89$ ។ តើនៅឆមាសទី $\displaystyle 2$ នេះសុខត្រូវប្រឹងបង្កើនពិន្ទុប៉ុន្មានទៀតទើបធានាឱ្យមធ្យមភាគពិន្ទុរបស់គេស្មើនឹង $\displaystyle 90$ ។

៧.៨

ក្នុងការពិសោធបណ្ដុះកូនប៉េងប៉ោះ ដោយប្រើជីគីមីអស់រយៈពេល មួយសប្ដាហ៍គេទទួលបានលទ្ធផលនៃបម្រែបម្រួល កម្ពស់កូនប៉េងប៉ោះដូចតារាងខាងក្រោម៖

កម្ពស់ (mm)	$\displaystyle 0-5$	$\displaystyle 5-10$	$\displaystyle 10-15$	$\displaystyle 15-20$	$\displaystyle 20-25$	$\displaystyle 25-30$	$\displaystyle 30-35$
ចំនួនកូនប៉េងប៉ោះ	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 15$	$\displaystyle 72$	$\displaystyle 15$	$\displaystyle 91$	$\displaystyle 35$	$\displaystyle 8$

ក. ចូរបង្កើតតារាងដែលបង្ហាញពីប្រេកង់ ប្រេកង់កើន និងប្រេកង់ថយ។
ខ. ចូររកចំនួនកូនប៉េងប៉ោះដែលមានកម្ពស់យ៉ាងតិច 20mm និង 35mm ។
គ. ចូររកម៉ូត មេដ្យាន និងកម្ពស់មធ្យមនៃកូនប៉េងប៉ោះ។ ចូរប្រៀបធៀបមេដ្យាននិងមធ្យម។

៧.៩

តារាងខាងក្រោមជាបរិមាណទឹកដោះគោម្សៅ ដែលទារកបៅអស់ក្នុងមួយថ្ងៃ។

ទឹកដោះគោ (g)	$\displaystyle 40-45$	$\displaystyle 45-50$	$\displaystyle 50-55$	$\displaystyle 55-60$	$\displaystyle 60-65$	$\displaystyle 65-70$	$\displaystyle 70-75$	$\displaystyle 75-80$	$\displaystyle 80-85$	$\displaystyle 85-90$
ចំនួនក្មេង	$\displaystyle 8$	$\displaystyle 11$	$\displaystyle 31$	$\displaystyle 61$	$\displaystyle 54$	$\displaystyle 58$	$\displaystyle 43$	$\displaystyle 25$	$\displaystyle 17$	$\displaystyle 7$

ក. ចូររកចំនួនទារកដែលបៅទឹកដោះគោក្នុងមួយថ្ងៃ។
ខ. តើក្នុងមួយថ្ងៃគិតជាមធ្យមទារកម្នាក់បៅទឹកដោះគោម្សៅអស់ប៉ុន្មានក្រាម?
គ. ចូរគណនាម៉ូត។
ឃ. ចូរគណនាមេដ្យាន រួចបកស្រាយតាមក្រាប។

៧.១០

ក្រោយពីរង្វាស់កម្ពស់សិស្សនៃវិទ្យាល័យមួយ គេបានលទ្ធផលដូចតារាងខាងក្រោម៖

កម្ពស់ (cm)	$\displaystyle 145-150$	$\displaystyle 150-155$	$\displaystyle 155-160$	$\displaystyle 160-165$	$\displaystyle 165-170$	$\displaystyle 170-175$	$\displaystyle 175-180$
ចំនួនសិស្ស	$\displaystyle 31$	$\displaystyle 95$	$\displaystyle 131$	$\displaystyle 272$	$\displaystyle 120$	$\displaystyle 77$	$\displaystyle 48$

ក. ចូរបង្កើតតារាងប្រេកង់ ប្រេកង់កើន។
ខ. ចូរសង់ក្រាប នៃពហុកោណប្រេកង់កើន។
គ. ចូរគណនាមេដ្យាន រួចបកស្រាយនៅលើក្រាប។

ការវាយតម្លៃសមត្ថភាព (PISA)

PISA ៧.១

១. ការបញ្ជាទិញស្បែកជើង (Ordering Shoes for a Store)

ម្ចាស់ហាងលក់ស្បែកជើងកីឡាម្នាក់ បានកត់ត្រាទំហំស្បែកជើងដែលលក់ដាច់បំផុតក្នុងរយៈពេលមួយសប្តាហ៍។ ទិន្នន័យទំហំស្បែកជើង (គិតជាលេខអឺរ៉ុប) របស់អតិថិជនមានដូចខាងក្រោម៖

\[38, 39, 40, 42, 41, 40, 39, 40, 43, 40, 41, 39, 40, 42, 40\]

សំណួរទី១៖ តើទំហំស្បែកជើងលេខប៉ុន្មានដែលលក់ដាច់ជាងគេបំផុត (ម៉ូត)?
ចម្លើយ៖

សំណួរទី២៖ តើមេដ្យាននៃទំហំស្បែកជើងនេះគឺលេខប៉ុន្មាន?

ក. $\displaystyle 39$
ខ. $\displaystyle 40$
គ. $\displaystyle 41$
ឃ. $\displaystyle 42$

សំណួរទី៣៖ ម្ចាស់ហាងគ្រោងនឹងបញ្ជាទិញស្តុកស្បែកជើងថ្មីចូល។ តើគាត់គួរប្រើ "មធ្យម" "មេដ្យាន" ឬ "ម៉ូត" នៃទិន្នន័យនេះដើម្បីសម្រេចចិត្តថាតើគួរទិញស្បែកជើងទំហំណាច្រើនជាងគេ? ពន្យល់ពីហេតុផលរបស់អ្នក។
ចម្លើយ៖

ធ្វើលើកុំព្យូទ័រ តាមរបៀបតេស្ត PISA▶ សាកធ្វើលំហាត់នេះ តេស្តពេញ (៥ ភារកិច្ច)

PISA ៧.២

២. ប្រាក់ខែបុគ្គលិក (Employee Salaries and Outliers)

នៅក្នុងក្រុមហ៊ុនតូចមួយមានបុគ្គលិក ៧ នាក់។ ប្រាក់ខែរបស់ពួកគេ (គិតជាដុល្លារអាមេរិក) មានដូចខាងក្រោម៖

\[\$250, \quad \$250, \quad \$300, \quad \$350, \quad \$400, \quad \$450, \quad \$5000\]

(សម្គាល់៖ អ្នកដែលទទួលបានប្រាក់ខែ $\displaystyle \$5000$ គឺជាអគ្គនាយកក្រុមហ៊ុន)។

សំណួរទី១៖ តើប្រាក់ខែមធ្យមរបស់បុគ្គលិកទាំង ៧ នាក់ក្នុងក្រុមហ៊ុននេះគឺប៉ុន្មាន?
ចម្លើយ៖

សំណួរទី២៖ តើប្រាក់ខែមេដ្យានរបស់ក្រុមហ៊ុននេះមានចំនួនប៉ុន្មាន?
ចម្លើយ៖

សំណួរទី៣៖ អគ្គនាយកក្រុមហ៊ុនបានផ្សព្វផ្សាយក្នុងការជ្រើសរើសបុគ្គលិកថ្មីថា៖ «មកធ្វើការនៅក្រុមហ៊ុនយើងមក! ប្រាក់ខែមធ្យមរបស់បុគ្គលិកយើងគឺ ១០០០ ដុល្លារឯណោះ!»។ តើការនិយាយបែបនេះអាចធ្វើឱ្យអ្នកដាក់ពាក្យយល់ច្រឡំដែរឬទេ? តើគួរប្រើមធ្យម ឬមេដ្យាន ដើម្បីតំណាងឱ្យប្រាក់ខែទូទៅរបស់បុគ្គលិកនៅទីនេះ? ពន្យល់។
ចម្លើយ៖

ធ្វើលើកុំព្យូទ័រ តាមរបៀបតេស្ត PISA▶ សាកធ្វើលំហាត់នេះ តេស្តពេញ (៥ ភារកិច្ច)

PISA ៧.៣

៣. គ្រាប់បាល់របស់ខ្សែប្រយុទ្ធ (A Striker's Goal Scoring Record)

អ្នកចាត់ការក្រុមបាល់ទាត់ម្នាក់ កំពុងពិចារណាទិញខ្សែប្រយុទ្ធថ្មីម្នាក់ចូលក្រុម។ គាត់បានពិនិត្យមើលកំណត់ត្រាគ្រាប់បាល់ដែលខ្សែប្រយុទ្ធរូបនេះទាត់បញ្ចូលទី ក្នុងការប្រកួត ១០ លើកចុងក្រោយរបស់គេ៖

\[0, \quad 0, \quad 0, \quad 1, \quad 0, \quad 0, \quad 5, \quad 4, \quad 0, \quad 0\]

សំណួរទី១៖ តើម៉ូតនៃចំនួនគ្រាប់បាល់គឺប៉ុន្មាន?
ចម្លើយ៖

សំណួរទី២៖ តើជាមធ្យម ខ្សែប្រយុទ្ធរូបនេះទាត់បញ្ចូលទីបានប៉ុន្មានគ្រាប់ក្នុងការប្រកួតមួយលើក?
ចម្លើយ៖

សំណួរទី៣៖ ភ្នាក់ងាររបស់កីឡាកររូបនេះនិយាយថា៖ «កីឡាកររបស់ខ្ញុំតែងតែទាត់បញ្ចូលទីបាន ១ គ្រាប់ជានិច្ចក្នុងការប្រកួតនីមួយៗ!» (ដោយសំអាងលើមធ្យមភាគ)។ ប៉ុន្តែអ្នកគាំទ្រវិញនិយាយថា៖ «កីឡាករនេះភាគច្រើនលេងមិនដែលចូលសោះ!» (ដោយសំអាងលើម៉ូត)។ តើអ្នកគិតថាការវាស់វែងមួយណា (មធ្យម ឬ ម៉ូត) ដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីទម្រង់លេងជាក់ស្តែងរបស់កីឡាករនេះបានល្អជាង? ហេតុអ្វី?
ចម្លើយ៖

ធ្វើលើកុំព្យូទ័រ តាមរបៀបតេស្ត PISA▶ សាកធ្វើលំហាត់នេះ តេស្តពេញ (៥ ភារកិច្ច)

PISA ៧.៤

៤. ការរង់ចាំរថយន្តក្រុង (Waiting for the Bus)

និស្សិតម្នាក់បានកត់ត្រារយៈពេលរង់ចាំរថយន្តក្រុង (គិតជានាទី) ក្នុងរយៈពេល ៣០ ថ្ងៃជាប់ៗគ្នា។ ទិន្នន័យត្រូវបានចងក្រងជាតារាងប្រេកង់ និងប្រេកង់កើន ដូចខាងក្រោម៖

រយៈពេល (នាទី)	ប្រេកង់ ($\displaystyle f$)	ផ្ចិតថ្នាក់ ($\displaystyle x$)	ប្រេកង់កើន
$\displaystyle 0-5$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle 2.5$	$\displaystyle 4$
$\displaystyle 5-10$	$\displaystyle 12$	$\displaystyle 7.5$	$\displaystyle 16$
$\displaystyle 10-15$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle 12.5$	$\displaystyle 24$
$\displaystyle 15-20$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle 17.5$	$\displaystyle 29$
$\displaystyle 20-25$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 22.5$	$\displaystyle 30$

សំណួរទី១៖ តើម៉ូតស្ថិតនៅក្នុងថ្នាក់នៃរយៈពេលមួយណា?
ចម្លើយ៖

សំណួរទី២៖ ដោយប្រើប្រេកង់កើន តើមេដ្យាននៃការរង់ចាំស្ថិតនៅក្នុងថ្នាក់មួយណា?

ក. $\displaystyle 0-5$
ខ. $\displaystyle 5-10$
គ. $\displaystyle 10-15$
ឃ. $\displaystyle 15-20$

សំណួរទី៣៖ ចូរគណនារយៈពេលរង់ចាំជាមធ្យម ($\displaystyle \bar{x}$) ដោយប្រើរូបមន្តមធ្យមនៃទិន្នន័យជាថ្នាក់។
ចម្លើយ៖

ធ្វើលើកុំព្យូទ័រ តាមរបៀបតេស្ត PISA▶ សាកធ្វើលំហាត់នេះ តេស្តពេញ (៥ ភារកិច្ច)

PISA ៧.៥

៥. ការវាយតម្លៃពិន្ទុគុណភាពទំនិញ (Product Quality Ratings)

ហាងអនឡាញមួយអនុញ្ញាតឱ្យអតិថិជនផ្តល់ពិន្ទុគុណភាពទំនិញ (ពី ១ ផ្កាយ ដល់ ៥ ផ្កាយ)។ ទំនិញប្រភេទ A ទទួលបានការវាយតម្លៃពីអតិថិជនចំនួន ១០០ នាក់ដូចខាងក្រោម៖

១ ផ្កាយ៖ ៥ នាក់
២ ផ្កាយ៖ ១០ នាក់
៣ ផ្កាយ៖ ១៥ នាក់
៤ ផ្កាយ៖ ២០ នាក់
៥ ផ្កាយ៖ ៥០ នាក់

សំណួរទី១៖ តើពិន្ទុប៉ុន្មានផ្កាយដែលជា "ម៉ូត" នៃការវាយតម្លៃនេះ?
ចម្លើយ៖

សំណួរទី២៖ ដោយសង់ប្រេកង់កើន តើមេដ្យាននៃចំនួនផ្កាយគឺប៉ុន្មាន?
ចម្លើយ៖

សំណួរទី៣៖ ក្រុមហ៊ុនលក់ទំនិញបាននិយាយថា៖ «ទំនិញប្រភេទ A មានមធ្យមភាគពិន្ទុត្រឹមតែ ៤.០ ផ្កាយប៉ុណ្ណោះ វាមិនទាន់ល្អឥតខ្ចោះទេ»។ ប៉ុន្តែអ្នកគ្រប់គ្រងទីផ្សារតវ៉ាថា៖ «ប៉ុន្តែអតិថិជនភាគច្រើនលើសលប់ (៥០%) ពេញចិត្តខ្លាំង និងផ្តល់ឱ្យដល់ទៅ ៥ ផ្កាយ!»។ ផ្អែកលើគំនិតរបស់អ្នក តើការវាយតម្លៃគុណភាពទំនិញនេះ គួរតែពឹងផ្អែកលើ "មធ្យម" ឬ "ម៉ូត" ទើបស័ក្តិសមជាង? ពន្យល់។
ចម្លើយ៖

ធ្វើលើកុំព្យូទ័រ តាមរបៀបតេស្ត PISA▶ សាកធ្វើលំហាត់នេះ តេស្តពេញ (៥ ភារកិច្ច)

\(\displaystyle 20\)	\(\displaystyle 16\)	\(\displaystyle 18\)	\(\displaystyle 10\)	\(\displaystyle 20\)	\(\displaystyle 16\)	\(\displaystyle 18\)	\(\displaystyle 20\)	\(\displaystyle 14\)	\(\displaystyle 16\)
\(\displaystyle 10\)	\(\displaystyle 16\)	\(\displaystyle 20\)	\(\displaystyle 18\)	\(\displaystyle 12\)	\(\displaystyle 12\)	\(\displaystyle 10\)	\(\displaystyle 18\)	\(\displaystyle 16\)	\(\displaystyle 20\)
\(\displaystyle 14\)	\(\displaystyle 16\)	\(\displaystyle 17\)	\(\displaystyle 20\)	\(\displaystyle 12\)	\(\displaystyle 14\)	\(\displaystyle 18\)	\(\displaystyle 20\)	\(\displaystyle 16\)	\(\displaystyle 14\)

ចំនួនភ្ញៀវ \(\displaystyle x\)	ប្រេកង់ \(\displaystyle f\)	ផលគុណ \(\displaystyle x f\)
\(\displaystyle 10\)	\(\displaystyle 3\)	\(\displaystyle 30\)
\(\displaystyle 12\)	\(\displaystyle 3\)	\(\displaystyle 36\)
\(\displaystyle 14\)	\(\displaystyle 4\)	\(\displaystyle 56\)
\(\displaystyle 16\)	\(\displaystyle 7\)	\(\displaystyle 112\)
\(\displaystyle 17\)	\(\displaystyle 1\)	\(\displaystyle 17\)
\(\displaystyle 18\)	\(\displaystyle 5\)	\(\displaystyle 90\)
\(\displaystyle 20\)	\(\displaystyle 7\)	\(\displaystyle 140\)
សរុប	\(\displaystyle 30\)	\(\displaystyle 481\)

ពិន្ទុ \(\displaystyle x\)	ប្រេកង់ \(\displaystyle f\)	\(\displaystyle x f\)
\(\displaystyle 2\)	\(\displaystyle 4\)	\(\displaystyle 8\)
\(\displaystyle 3\)	\(\displaystyle 8\)	\(\displaystyle 24\)
\(\displaystyle 5\)	\(\displaystyle 6\)	\(\displaystyle 30\)
\(\displaystyle 7\)	\(\displaystyle 2\)	\(\displaystyle 14\)
\(\displaystyle 8\)	\(\displaystyle 2\)	\(\displaystyle 16\)
\(\displaystyle 9\)	\(\displaystyle 3\)	\(\displaystyle 27\)
សរុប	\(\displaystyle 25\)	\(\displaystyle 119\)

ពិន្ទុ \(\displaystyle x\)	ប្រេកង់ \(\displaystyle f\)	\(\displaystyle x f\)
\(\displaystyle 3\)	\(\displaystyle 2\)	\(\displaystyle 6\)
\(\displaystyle 4\)	\(\displaystyle 8\)	\(\displaystyle 32\)
\(\displaystyle 5\)	\(\displaystyle 10\)	\(\displaystyle 50\)
\(\displaystyle 6\)	\(\displaystyle 4\)	\(\displaystyle 24\)
\(\displaystyle 9\)	\(\displaystyle 1\)	\(\displaystyle 9\)
សរុប	\(\displaystyle 25\)	\(\displaystyle 121\)

\(\displaystyle x\)	\(\displaystyle 0\)	\(\displaystyle 1\)	\(\displaystyle 2\)	\(\displaystyle 3\)	\(\displaystyle 4\)
\(\displaystyle y\)	\(\displaystyle 3\)	\(\displaystyle 6\)	\(\displaystyle 5\)	\(\displaystyle 2\)	\(\displaystyle 2\)

មធ្យមស្ថិតិ

\(\displaystyle 1\). មធ្យម

\(\displaystyle 2\). មេដ្យាន

\(\displaystyle 3\). ម៉ូត

\(\displaystyle 4\). ការកំណត់មធ្យមស្ថិតិតាមតារាងប្រេកង់កើន

ការវាយតម្លៃសមត្ថភាព (PISA)

១. ការបញ្ជាទិញស្បែកជើង (Ordering Shoes for a Store)

២. ប្រាក់ខែបុគ្គលិក (Employee Salaries and Outliers)

៣. គ្រាប់បាល់របស់ខ្សែប្រយុទ្ធ (A Striker's Goal Scoring Record)

៤. ការរង់ចាំរថយន្តក្រុង (Waiting for the Bus)

៥. ការវាយតម្លៃពិន្ទុគុណភាពទំនិញ (Product Quality Ratings)

ប្រាក់បៀវត្សរ៍	\(\displaystyle 200\)	\(\displaystyle 300\)	\(\displaystyle 350\)	\(\displaystyle 700\)	\(\displaystyle 840\)	\(\displaystyle 950\)
ប្រេកង់	\(\displaystyle 6\)	\(\displaystyle 2\)	\(\displaystyle 2\)	\(\displaystyle 1\)	\(\displaystyle 1\)	\(\displaystyle 1\)

ចំនួនទូរទស្សន៍ \(\displaystyle x\)	ប្រេកង់ \(\displaystyle y\)	\(\displaystyle x f\)
\(\displaystyle 1\)	\(\displaystyle 3\)	\(\displaystyle 3\)
\(\displaystyle 2\)	\(\displaystyle 12\)	\(\displaystyle 24\)
\(\displaystyle 3\)	\(\displaystyle 8\)	\(\displaystyle 24\)
\(\displaystyle 4\)	\(\displaystyle 6\)	\(\displaystyle 24\)
\(\displaystyle 5\)	\(\displaystyle 1\)	\(\displaystyle 5\)
សរុប	\(\displaystyle 30\)	\(\displaystyle 80\)

ម៉ាសជា kg	\(\displaystyle 30-40\)	\(\displaystyle 40-50\)	\(\displaystyle 50-60\)	\(\displaystyle 60-70\)	\(\displaystyle 70-80\)	\(\displaystyle 80-90\)	\(\displaystyle 90-100\)
ប្រេកង់	\(\displaystyle 2\)	\(\displaystyle 6\)	\(\displaystyle 5\)	\(\displaystyle 10\)	\(\displaystyle 8\)	\(\displaystyle 6\)	\(\displaystyle 3\)

ថ្នាក់នៃម៉ាស	ប្រេកង់ \(\displaystyle f\)	ផ្ចិតនៃថ្នាក់ \(\displaystyle x\)	\(\displaystyle x f\)	ប្រេកង់កើន
\(\displaystyle 30-40\)	\(\displaystyle 2\)	\(\displaystyle 35\)	\(\displaystyle 70\)	\(\displaystyle 2\)
\(\displaystyle 40-50\)	\(\displaystyle 6\)	\(\displaystyle 45\)	\(\displaystyle 270\)	\(\displaystyle 8\)
\(\displaystyle 50-60\)	\(\displaystyle 5\)	\(\displaystyle 55\)	\(\displaystyle 275\)	\(\displaystyle 13\)
\(\displaystyle 60-70\)	\(\displaystyle 10\)	\(\displaystyle 65\)	\(\displaystyle 650\)	\(\displaystyle 23\)
\(\displaystyle 70-80\)	\(\displaystyle 8\)	\(\displaystyle 75\)	\(\displaystyle 600\)	\(\displaystyle 31\)
\(\displaystyle 80-90\)	\(\displaystyle 6\)	\(\displaystyle 85\)	\(\displaystyle 510\)	\(\displaystyle 37\)
\(\displaystyle 90-100\)	\(\displaystyle 3\)	\(\displaystyle 95\)	\(\displaystyle 285\)	\(\displaystyle 40\)
សរុប	\(\displaystyle 40\)		\(\displaystyle 2660\)

ថ្នាក់នៃពេល (នាទី)	\(\displaystyle 10-15\)	\(\displaystyle 15-20\)	\(\displaystyle 20-25\)	\(\displaystyle 25-30\)	\(\displaystyle 30-35\)
ប្រេកង់ \(\displaystyle f\)	\(\displaystyle 2\)	\(\displaystyle 5\)	\(\displaystyle 10\)	\(\displaystyle 12\)	\(\displaystyle 3\)

ថ្នាក់	\(\displaystyle 21-28\)	\(\displaystyle 28-35\)	\(\displaystyle 35-42\)	\(\displaystyle 42-49\)	\(\displaystyle 49-56\)	\(\displaystyle 56-63\)	\(\displaystyle 63-70\)
ប្រេកង់	\(\displaystyle 3\)	\(\displaystyle 7\)	\(\displaystyle 12\)	\(\displaystyle 15\)	\(\displaystyle 12\)	\(\displaystyle 7\)	\(\displaystyle 3\)

កម្ពស់ (mm)	\(\displaystyle 0-5\)	\(\displaystyle 5-10\)	\(\displaystyle 10-15\)	\(\displaystyle 15-20\)	\(\displaystyle 20-25\)	\(\displaystyle 25-30\)	\(\displaystyle 30-35\)
ចំនួនកូនប៉េងប៉ោះ	\(\displaystyle 3\)	\(\displaystyle 15\)	\(\displaystyle 72\)	\(\displaystyle 15\)	\(\displaystyle 91\)	\(\displaystyle 35\)	\(\displaystyle 8\)

ទឹកដោះគោ (g)	\(\displaystyle 40-45\)	\(\displaystyle 45-50\)	\(\displaystyle 50-55\)	\(\displaystyle 55-60\)	\(\displaystyle 60-65\)	\(\displaystyle 65-70\)	\(\displaystyle 70-75\)	\(\displaystyle 75-80\)	\(\displaystyle 80-85\)	\(\displaystyle 85-90\)
ចំនួនក្មេង	\(\displaystyle 8\)	\(\displaystyle 11\)	\(\displaystyle 31\)	\(\displaystyle 61\)	\(\displaystyle 54\)	\(\displaystyle 58\)	\(\displaystyle 43\)	\(\displaystyle 25\)	\(\displaystyle 17\)	\(\displaystyle 7\)

កម្ពស់ (cm)	\(\displaystyle 145-150\)	\(\displaystyle 150-155\)	\(\displaystyle 155-160\)	\(\displaystyle 160-165\)	\(\displaystyle 165-170\)	\(\displaystyle 170-175\)	\(\displaystyle 175-180\)
ចំនួនសិស្ស	\(\displaystyle 31\)	\(\displaystyle 95\)	\(\displaystyle 131\)	\(\displaystyle 272\)	\(\displaystyle 120\)	\(\displaystyle 77\)	\(\displaystyle 48\)

រយៈពេល (នាទី)	ប្រេកង់ (\(\displaystyle f\))	ផ្ចិតថ្នាក់ (\(\displaystyle x\))	ប្រេកង់កើន
\(\displaystyle 0-5\)	\(\displaystyle 4\)	\(\displaystyle 2.5\)	\(\displaystyle 4\)
\(\displaystyle 5-10\)	\(\displaystyle 12\)	\(\displaystyle 7.5\)	\(\displaystyle 16\)
\(\displaystyle 10-15\)	\(\displaystyle 8\)	\(\displaystyle 12.5\)	\(\displaystyle 24\)
\(\displaystyle 15-20\)	\(\displaystyle 5\)	\(\displaystyle 17.5\)	\(\displaystyle 29\)
\(\displaystyle 20-25\)	\(\displaystyle 1\)	\(\displaystyle 22.5\)	\(\displaystyle 30\)