- កំណត់ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលពិសោធន៍មួយដង
- កំណត់ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍បំពែញ
- កំណត់ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលពិសោធន៍ច្រើនដង ។
ត្រៀមខ្លួន៖
សួស្ដីប្អូនៗ! នៅពេលដែលប្អូនៗបោះកាក់មួយ ឬគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយ តើប្អូនៗអាចទាយដឹងមុនច្បាស់ ១០០% ថាវានឹងចេញលេខប៉ុន្មានឬទេ? ប្រាកដណាស់គឺអត់ទេ! ប៉ុន្តែបើយើងសួរថា "តើលទ្ធផលណាខ្លះអាចកើតមាន?" និង "តើលទ្ធផលទាំងនោះមានឱកាសស្មើគ្នាឬទេ?" នោះហើយជាការចាប់ផ្ដើមនៃមេរៀន ប្រូបាប (Probability) របស់យើងនៅថ្ងៃនេះ! តោះយើងទៅស្វែងយល់ទាំងអស់គ្នា!
\(\displaystyle 1\). ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍
តើប្រូបាបជាអ្វី?
ឧបមាថាប្អូនមានអក្សរ ៦ សន្លឹក ដែលផ្សំបានជាពាក្យ BANANA ដាក់ក្នុងថង់មួយ។ បើគេឱ្យប្អូនបិទភ្នែក រួចលូកចាប់យកអក្សរមួយសន្លឹក តើមានអ្វីខ្លះដែលអាចកើតឡើង?
ក្នុងពាក្យ BANANA មានអក្សរ \(\displaystyle B\) ចំនួន 1, អក្សរ \(\displaystyle A\) ចំនួន 3 (A, A, A), និងអក្សរ \(\displaystyle N\) ចំនួន 2 (N, N)។
ដូចនេះ លទ្ធផលដែលអាចកើតមានឡើងទាំងអស់គឺ \(\displaystyle \{B, A, A, A, N, N\}\) ។
- លទ្ធផលទាំង ៦ ខាងលើនេះ ហៅថា «ព្រឹត្តិការណ៍អាច»។ ដោយសារវាមាន ៦ សន្លឹក នោះយើងនិយាយថា ចំនួនករណីអាច = ៦។
- ចុះបើប្អូនចង់ចាប់បានអក្សរ \(\displaystyle A\) វិញ? ការចាប់បានអក្សរ \(\displaystyle A\) ហៅថា «ព្រឹត្តិការណ៍ស្រប»។ ដោយសារក្នុងថង់មានអក្សរ \(\displaystyle A\) ដល់ទៅ ៣ សន្លឹក នោះយើងនិយាយថា ចំនួនករណីស្រប = ៣។
ដើម្បីដឹងថាប្អូនមានសង្ឃឹមប៉ុន្មានភាគរយក្នុងការចាប់បានអក្សរ \(\displaystyle A\) យើងគ្រាន់តែយក៖
ងាយយល់
តួលេខ \(\displaystyle 50\%\) នេះប្រាប់ថាយើងមានសង្ឃឹម ៥០% ក្នុងការចាប់បានអក្សរ \(\displaystyle A\)។ ក្នុងគណិតវិទ្យា គេប្រើអក្សរ \(\displaystyle P\) ដើម្បីតាងឱ្យ «ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ» (Probability)។
ជាទូទៅ៖ ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយកំណត់ដោយ
ឧទាហរណ៍ទី \(\displaystyle 1\)
ថង់មួយមានឃ្លីបួនដែលបិទអក្សរ \(\displaystyle a, A, b, B\) ។ គេចាប់យកឃ្លីពីរចេញពីថង់ព្រមគ្នា។ ចូររៀបរាប់ព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចកើតមានឡើង រួចគណនាប្រូបាបដែលចាប់បានឃ្លីពីរ ដែលមានអក្សរតូចមួយនិងអក្សរធំមួយ។
គិតមុនគូ
ដោយសារគេចាប់ឃ្លីពីរ "ព្រមគ្នា" វាមានន័យថាការចាប់បាន \(\displaystyle (a, A)\) គឺដូចគ្នានឹង \(\displaystyle (A, a)\) ដែរ (មិនគិតលំដាប់មុនក្រោយទេ)។ យើងត្រូវសរសេរគូដែលអាចកើតមានទាំងអស់សិនទើបមិនច្រឡំ!
ជំហានដោះស្រាយ
បើគេផ្គូអក្សរម្ដងពីរ គេបានព្រឹត្តិការណ៍អាចដូចខាងក្រោម៖ \(\displaystyle \{aA, ab, aB, Ab, AB, bB\}\) មាន ៦ ករណី។ ដូចនេះ ចំនួនករណីអាច = ៦។
យើងចង់បានតែព្រឹត្តិការណ៍ដែលមាន "អក្សរតូច ១ និងអក្សរធំ ១"។ ក្នុងចំណោម ៦ ខាងលើ មានតែ៖ \(\displaystyle \{aA, aB, Ab, bB\}\) នោះទេ! ដូចនេះ ចំនួនករណីស្រប = ៤។
ប្រូបាបដែលចាប់បានឃ្លីមានអក្សរតូចមួយនិងអក្សរធំមួយ៖
ឧទាហរណ៍ទី \(\displaystyle 2\)
គេធ្វើតេស្តលើអំពូលភ្លើង \(\displaystyle 500\) គ្រឿង ហើយបានរកឃើញមានអំពូល \(\displaystyle 4\) ដែលខូច។
ក. ចូររកប្រូបាបនៃការរកឃើញអំពូលភ្លើងខូចនោះ។
ខ. បើក្រុមហ៊ុនត្រូវលក់អំពូលភ្លើងចំនួន \(\displaystyle 8~500\) គ្រឿង តើត្រូវត្រៀមអំពូលប៉ុន្មាន ដើម្បីទុកថែមឱ្យអតិថិជន?
ជំហានដោះស្រាយ
ក. ប្រូបាបដែលគេរកឃើញអំពូលខូច៖
ចំនួនអំពូលសរុប (ករណីអាច) = \(\displaystyle 500\)
ចំនួនអំពូលខូច (ករណីស្រប) = \(\displaystyle 4\)
ខ. ចំនួនអំពូលដែលត្រូវថែម៖
ដោយសារអំពូលតែងតែខូចជាមធ្យម \(\displaystyle 0.8\%\) នោះបើលក់ \(\displaystyle 8~500\) គ្រឿង ក្រុមហ៊ុននឹងមានអំពូលខូចប្រមាណ៖ \(\displaystyle 0.8\% \times 8500 = 68\) អំពូល។ ដូចនេះគេត្រូវថែមឱ្យអតិថិជនចំនួន \(\displaystyle 68\) អំពូល។
ឧទាហរណ៍ទី \(\displaystyle 3\)
គេស្ទាបស្ទង់ចំណង់ចំណូលចិត្តនៃភ្ញៀវទេសចរទៅតាមកម្រិតអាយុ ចំពោះរមណីយដ្ឋានបីសំខាន់ៗ រួមមាន ប្រាសាទអង្គរវត្ត ឆ្នេរសមុទ្រ តំបន់ជនជាតិ ហើយទទួលបានលទ្ធផលខាងក្រោម៖
| អាយុ \(\displaystyle x\) | អង្គរវត្ត | ឆ្នេរសមុទ្រ | តំបន់ជនជាតិ |
| \(\displaystyle x < 30\) | 46 | 92 | 5 |
| \(\displaystyle 30 \le x < 50\) | 72 | 61 | 34 |
| \(\displaystyle 50 \le x\) | 67 | 20 | 48 |
ក. ចូររកប្រូបាបអ្នកដែលមានអាយុក្រោម 30 ឆ្នាំដែលចូលចិត្តដើរកម្សាន្តនៅឆ្នេរសមុទ្រ។
ខ. ចូររកប្រូបាបដែលអ្នកមានអាយុចាប់ពី 30 ឆ្នាំឡើង ដែលចូលចិត្តទៅកម្សាន្តនៅអង្គរវត្ត ឬតំបន់ជនជាតិ។
ជំហានដោះស្រាយ
ក. ព្រឹត្តិការណ៍អាច គឺជាចំនួនមនុស្សដែលមានអាយុក្រោម 30 ឆ្នាំសរុប៖ ចំនួនករណីអាច \(\displaystyle = 46 + 92 + 5 = 143\) នាក់។
ព្រឹត្តិការណ៍ស្រប គឺជាអ្នកចូលចិត្តទៅឆ្នេរសមុទ្រ (អាយុក្រោម 30)៖ ចំនួនករណីស្រប \(\displaystyle = 92\) នាក់។
ខ. ព្រឹត្តិការណ៍អាច គឺជាចំនួនមនុស្សអាយុពី 30 ឆ្នាំឡើងសរុប៖ ចំនួនករណីអាច \(\displaystyle = 72 + 61 + 34 + 67 + 20 + 48 = 302\) នាក់។
ព្រឹត្តិការណ៍ស្រប គឺជាអ្នកចូលចិត្តទៅអង្គរវត្ត ឬតំបន់ជនជាតិ ក្នុងវ័យនោះ៖ ចំនួនករណីស្រប \(\displaystyle = 72 + 67 + 34 + 48 = 221\) នាក់។
ឧទាហរណ៍ទី \(\displaystyle 4\)
ថង់មួយមានឃ្លីពណ៌សនិងខ្មៅសរុប 15 គ្រាប់។ គេឱ្យសិស្សចាប់យកឃ្លីម្ដងមួយចេញពីថង់ រួចកត់ត្រាទុក ហើយដាក់ឃ្លីនោះចូលក្នុងថង់វិញ។ គេធ្វើបែបនេះរហូតដល់គ្រប់ 100 ដង។ លទ្ធផលឃើញថា ឃ្លីខ្មៅចេញ 40 ដង។ ចូរទាយរកចំនួនឃ្លីពណ៌ខ្មៅនិងពណ៌សដែលមានក្នុងថង់!
គិតមុនគូ
បើយើងចង់រកចំនួនឃ្លីខ្មៅ យើងអាចប្រើប្រូបាបដែលយើងទើបតែធ្វើការពិសោធន៍រាប់រយដងនេះឯងមកជួយ! គេដឹងថាប្រូបាបតាមពិសោធន៍គឺស្មើនឹង \(\displaystyle 40/100\)។
ជំហានដោះស្រាយ
តាង \(\displaystyle x\) ជាចំនួនឃ្លីពណ៌ខ្មៅក្នុងថង់។
តាមទ្រឹស្តី ប្រូបាបដែលចាប់បានឃ្លីខ្មៅគឺ \(\displaystyle P = \frac{x}{15}\) ។
តាមការពិសោធន៍ជាក់ស្តែង ប្រូបាបគឺ \(\displaystyle P = \frac{40}{100}\) ។
ដូចនេះ យើងផ្ទឹមវាបញ្ចូលគ្នា៖
យើងបាន ឃ្លីពណ៌ខ្មៅមាន ៦ គ្រាប់។ ចំនួនឃ្លីពណ៌សគឺ \(\displaystyle 15 - 6 = 9\) គ្រាប់។
សម្គាល់៖ ក្នុងពិសោធន៍ជាក់ស្តែង វាមិនមែនចេញចំ ៤០ ដងនោះទេ វាអាចចេញ ៣៨ ដង ឬ ៤១ ដង ដែលធ្វើឱ្យ \(\displaystyle x \approx 5.7\) ឬ \(\displaystyle 6.15\) ប៉ុន្តែដោយសារចំនួនឃ្លីជាចំនួនគត់ យើងអាចកាត់យកលេខ ៦ បាន។
ប្រតិបត្តិ
ថង់មួយមានឃ្លីពណ៌ខ្មៅ 4 និងឃ្លីពណ៌ស 2។
- បើគេឱ្យ "ក" ចាប់យកឃ្លី 1 ពីថង់ ចូររកប្រូបាបដែល ក ចាប់បានឃ្លីពណ៌ខ្មៅ។
- ឧបមាថា ក ចាប់បានឃ្លីខ្មៅ 1 ហើយមិនដាក់ឃ្លីនោះចូលថង់វិញទេ។ បន្ទាប់មក "ខ" បន្តចាប់យកឃ្លីមួយទៀត។ ចូររកប្រូបាបដែល ខ ចាប់បានឃ្លីពណ៌ខ្មៅ។
\(\displaystyle 2\). ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍បំពេញ
តើអ្វីទៅជាព្រឹត្តិការណ៍បំពេញ?
ប្អូនៗសាកស្រមៃមើលកាក់មួយដែលមានម្ខាងជារូប (តាងដោយ H - Head) និងម្ខាងទៀតជាអក្សរ (តាងដោយ T - Tail)។
បើប្អូនបោះកាក់នោះ លទ្ធផលដែលអាចចេញគឺ \(\displaystyle \{H, T\}\)។
បើការចេញរូប \(\displaystyle H\) ជា «ព្រឹត្តិការណ៍ស្រប» នោះការចេញអក្សរ \(\displaystyle T\) ត្រូវបានហៅថា «ព្រឹត្តិការណ៍បំពេញ» នៃ \(\displaystyle H\) ព្រោះវាជាព្រឹត្តិការណ៍តែមួយគត់ដែលនៅសល់!
- ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ស្រប (ចេញ \(\displaystyle H\)) គឺ \(\displaystyle P = \frac{1}{2}\)
- ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍បំពេញ (ចេញ \(\displaystyle T\)) គឺ \(\displaystyle P' = \frac{1}{2}\)
បើប្អូនយកវាបូកបញ្ចូលគ្នា៖ \(\displaystyle P + P' = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\) ពិតប្រាកដមែន!
ជាទូទៅ៖ បើ \(\displaystyle P'\) ជាប្រូបាបបំពេញនៃ \(\displaystyle P\) នោះយើងតែងតែបានទំនាក់ទំនង៖
ឧទាហរណ៍ទី \(\displaystyle 1\)
គេបោះកាក់ម្ដងពីរព្រមគ្នា។ ចូររកប្រូបាបដែលបោះបានមុខពីរផ្សេងគ្នារួចទាញរកប្រូបាបដែលបោះបានមុខពីរដូចគ្នា។
គិតមុនគូ
ប្រូបាបបោះបាន "មុខដូចគ្នា" និង "មុខខុសគ្នា" គឺជាប្រូបាបបំពេញគ្នា! ព្រោះបោះកាក់ពីរ បើមិនដូចគ្នា ក៏ខុសគ្នាដែរ វាអត់មានជម្រើសទី៣ទេ។
ជំហានដោះស្រាយ
បើគេបោះកាក់ម្ដងពីរ ព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចកើតមានឡើងគឺ \(\displaystyle \{HH, TT, HT, TH\}\)។
ប្រូបាបដែលបោះបានមុខពីរផ្សេងគ្នា (\(\displaystyle HT\) ឬ \(\displaystyle TH\)) គឺ៖ \(\displaystyle P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)។
បើ \(\displaystyle P'\) ជាប្រូបាបដែលចេញមុខពីរដូចគ្នា នោះវាជាប្រូបាបបំពេញនៃ \(\displaystyle P\)៖
ឧទាហរណ៍ទី \(\displaystyle 2\)
ថាសមួយមានបីចំណែកប៉ុនគ្នាកំណត់ដោយអក្សរ \(\displaystyle B, A, A\)។ បន្ទាប់ពីបង្វិលថាសរួច គេប្រើព្រួញកត់សម្គាល់។
បើកត់បានអក្សរ \(\displaystyle B\) ជាព្រឹត្តិការណ៍ស្រប នោះព្រឹត្តិការណ៍ដែលកត់បានអក្សរ \(\displaystyle A\) ជាព្រឹត្តិការណ៍បំពេញ!
ប្រូបាបដែលកត់បាន \(\displaystyle B\) គឺ \(\displaystyle P = \frac{1}{3}\)
ប្រូបាបដែលកត់បាន \(\displaystyle A\) គឺ \(\displaystyle P' = \frac{2}{3}\)
យើងឃើញថា \(\displaystyle P + P' = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1\)។
ប្រតិបត្តិ
ក្រុមហ៊ុនមួយមានបុគ្គលិកចំនួន 250 នាក់។ គេដឹងថាអ្នកដែលធ្វើដំណើរដោយរថយន្តផ្ទាល់ខ្លួនមានចំនួន 50 នាក់។ រកប្រូបាបដែលបុគ្គលិកធ្វើដំណើរដោយមធ្យោបាយដទៃទៀត។
\(\displaystyle 3\). ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលពិសោធច្រើនដង
នៅពេលដែលយើងបោះកាក់ ឬឡុកឡាក់ច្រើនដងជាប់ៗគ្នា តើលទ្ធផលវាកើនឡើងយ៉ាងដូចម្តេច? លោកគ្រូនឹងបង្ហាញតាមរយៈឧទាហរណ៍ខាងក្រោម៖
- ករណីបោះកាក់ ១ ដង៖ ព្រឹត្តិការណ៍អាច \(\displaystyle \{T, H\}\) មាន ២ ករណី។
ករណីបោះកាក់ ២ ដង៖
ព្រឹត្តិការណ៍អាចមាន ៤ ករណីគឺ \(\displaystyle \{TT, TH, HT, HH\}\)។ (ចំណាំ៖ \(\displaystyle HT\) មានន័យថាបោះលើកទី១ចេញ H លើកទី២ចេញ T)។
ករណីបោះកាក់ ៣ ដង៖
ព្រឹត្តិការណ៍អាចមាន ៨ ករណីគឺ \(\displaystyle \{TTT, TTH, THT, THH, HTT, HTH, HHT, HHH\}\)។
- ករណីបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ ២ ដង៖
ដោយសារឡុកឡាក់មាន ៦ មុខ នោះបោះ ២ ដងវានឹងបង្កើតបាន ៦ \(\displaystyle \times\) ៦ = ៣៦ ករណី!
\(\displaystyle (1,1)(1,2)\dots (1,6)\) រហូតដល់ \(\displaystyle (6,6)\) ។
ឧទាហរណ៍ទី \(\displaystyle 1\)
តើប្រូបាបនៃការបោះកាក់បាន \(\displaystyle T\) សុទ្ធ នឹងថយចុះយ៉ាងណាពេលយើងបោះកាន់តែច្រើនដង?
- ករណីបោះ 1 ដង៖ ប្រូបាបបាន \(\displaystyle T\) គឺ \(\displaystyle P(T) = \frac{1}{2}\)
- ករណីបោះ 2 ដង៖ ប្រូបាបបាន \(\displaystyle TT\) គឺ \(\displaystyle P(TT) = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2}\)
- ករណីបោះ 3 ដង៖ ប្រូបាបបាន \(\displaystyle TTT\) គឺ \(\displaystyle P(TTT) = \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3}\)
- រកប្រូបាបដែលបោះបាន \(\displaystyle TTTT\) (៤ដង) គឺ \(\displaystyle P(TTTT) = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}\)
ឧទាហរណ៍ទី \(\displaystyle 2\)
គ្រួសារមួយចង់បានកូនតាមលំដាប់លំដោយគឺ "ប្រុស, ស្រី, ប្រុស" (តាងដោយ BGB)។ តើគេអាចមានក្ដីសង្ឃឹមប៉ុន្មានភាគរយ?
ជំហានដោះស្រាយ
ព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចកើតមានទាំងអស់ (ករណីយកូន ៣នាក់) មាន ៨ ករណី៖
\(\displaystyle BGG, BGB, BBG, BBB, GGG, GGB, GBG, GBB\)
មានតែ ១ ករណីគត់ដែលត្រូវនឹងបំណងគឺ BGB ដូចនេះ \(\displaystyle P(BGB) = \frac{1}{8} = 12.5\%\)។
ប្រតិបត្តិ
គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយចំនួនពីរដង។
- ចូររកប្រូបាបដែលចេញលេខដូចគ្នា។
- ចូររកប្រូបាបដែលផលបូកគ្រាប់ឡុកឡាក់ទាំងពីរស្មើនឹង 10។
\(\displaystyle 4\). ផលបូក និងផលគុណប្រូបាប
៤.១ ផលបូកប្រូបាប
ហេតុអ្វីបានជាយើងត្រូវបូកប្រូបាប?
ឧទាហរណ៍៖ ប្អូនចង់បោះឡុកឡាក់មួយឱ្យចេញលេខ 1 ឬ លេខ 2។
ចំនួនករណីស្របគឺមាន ២ របៀប ហើយករណីអាចមាន ៦ របៀប ដូចនេះ \(\displaystyle P(1 \text{ ឬ } 2) = \frac{2}{6}\)។
ប៉ុន្តែបើយើងបំបែកវាគិតម្តងមួយៗ៖ \(\displaystyle P(1) = \frac{1}{6}\) និង \(\displaystyle P(2) = \frac{1}{6}\)។
យើងឃើញថា \(\displaystyle \frac{2}{6} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6}\) ពោលគឺ \(\displaystyle P(1 \text{ ឬ } 2) = P(1) + P(2)\) ។ ឃើញទេ! ពេលយើងប្រើពាក្យថា "ឬ" យើងអាចបូកប្រូបាបវាបញ្ចូលគ្នាបាន!
ជាទូទៅ៖
ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ “A ឬ B” ស្មើនឹងផលបូកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍នោះ ៖
ចំណាំ៖ ផលបូកនៃប្រូបាបក្នុងវិញ្ញាសាតែមួយទាំងអស់ត្រូវស្មើនឹង \(\displaystyle 1\) ជានិច្ច!
(ឧទាហរណ៍៖ \(\displaystyle P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1\))
៤.២ ផលគុណប្រូបាប
ឧទាហរណ៍ (វិញ្ញាសាហូតហើយដាក់វិញ)
ក្នុងថង់មួយមានឃ្លីពណ៌ស \(\displaystyle 2\) និងឃ្លីពណ៌ខ្មៅ \(\displaystyle 3\)។ គេចាប់យកឃ្លីម្ដងមួយៗ ហើយដាក់ចូលវិញ។ រកប្រូបាបដែលចាប់បានឃ្លីពណ៌សមួយ និងខ្មៅមួយ (ស ហើយ ខ្មៅ)។
គិតមុនគូ
ដោយសារគេហូតហើយដាក់ចូលវិញ ការចាប់លើកទី១ មិនប៉ះពាល់ដល់ការចាប់លើកទី២ទេ (យើងហៅថា ព្រឹត្តិការណ៍មិនទាក់ទងគ្នា)។
ជំហានដោះស្រាយ
ប្រូបាបចាប់បានស លើកទី១៖ \(\displaystyle P(\text{ស}) = \frac{2}{5}\)
ប្រូបាបចាប់បានខ្មៅ លើកទី២៖ \(\displaystyle P(\text{ខ}) = \frac{3}{5}\)
ដោយព្រឹត្តិការណ៍កើតឡើងបន្តបន្ទាប់គ្នា យើងអាចគុណវា៖
ជាទូទៅ៖ ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ “A និង B” ដែលមិនទាក់ទងគ្នា ស្មើនឹងផលគុណប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនោះ៖
ឧទាហរណ៍ (វិញ្ញាសាហូតហើយមិនដាក់វិញ)
ចុះបើក្នុងថង់ដដែល (ស ២, ខ្មៅ ៣) គេចាប់យកឃ្លីម្ដងមួយៗ ប៉ុន្តែមិនដាក់ចូលវិញទេ?
គិតមុនគូ
ការមិនដាក់ចូលវិញ មានន័យថាឃ្លីសរុបក្នុងថង់នឹងថយចុះ ១ គ្រាប់សម្រាប់ការចាប់លើកទី២។ (យើងហៅថា ព្រឹត្តិការណ៍ទាក់ទងគ្នា)!
ជំហានដោះស្រាយ
ប្រូបាបចាប់បានស លើកទី១៖ \(\displaystyle P(\text{ស}) = \frac{2}{5}\)
(ឥឡូវក្នុងថង់សល់តែឃ្លី ៤ គ្រាប់ទេ គឺ ស ១, ខ្មៅ ៣)
ប្រូបាបចាប់បានខ្មៅ លើកទី២ (យើងតាងដោយ \(\displaystyle P(\text{ខ} / \text{ស})\) គឺប្រូបាប ខ កើតក្រោយ ស) ៖ \(\displaystyle P(\text{ខ} / \text{ស}) = \frac{3}{4}\)
ដូចនេះ ប្រូបាបសរុបគឺ៖
គន្លឹះគ្រូ (ឬ vs និង)៖
ចាំទុកណា! បើប្រើពាក្យថា «ឬ» (A ឬ B) គឺត្រូវយកប្រូបាបមក «បូក» គ្នា (+)! ប៉ុន្តែបើប្រើពាក្យថា «និង/ហើយបន្ទាប់មក» (A និង B) គឺត្រូវយកប្រូបាបមក «គុណ» គ្នា (\(\displaystyle \times\))!
លំហាត់អនុវត្តន៍
- គេចាប់យកអក្សរមួយនៃពាក្យ PHNOM PENH ដោយចៃដន្យ ។ ចូររកប្រូបាបដែលចាប់បាន៖ ក. អក្សរ P ខ. អក្សរ H គ. អក្សរ O ឬ M ឃ. អក្សរ P ឬ N ។
- សុខនិយាយថា "ខ្ញុំកំពុងនឹករកចំនួនសេសមួយដែលឋិតក្នុងចន្លោះពី 1 ដល់ 21" ។ សៅរីនិយាយថា "ខ្ញុំក៏កំពុងនឹករកចំនួនគូមួយដែលឋិតក្នុងចន្លោះពី 1 ដល់ 21 ដែរ" ។ តើប្រូបាបនៃចំនួនដែលសុខនិងសៅរីកំពុងនឹករកស្មើគ្នា ឬទេ ?
ការអង្កេតលើមធ្យោបាយធ្វើដំណើររវាងអ្នកភូមិនៅក្នុងក្រុងនិងអ្នករស់នៅជាយក្រុងទទួលបានទិន្នន័យដូចខាងក្រោម ៖
អ្នកភូមិនៅក្នុងក្រុង អ្នកភូមិនៅជាយក្រុង សរុប រថយន្ត 182 52 234 ម៉ូតូ 254 338 592 ក. ចូររកប្រូបាបនៃអ្នកធ្វើដំណើរដោយម៉ូតូ ។ ខ. ចូររកប្រូបាបនៃអ្នកធ្វើដំណើរដោយរថយន្ត ។ គ. បើគេអញ្ជើញភ្ញៀវ 1200 នាក់ដើម្បីចូលរួមក្នុងពិធីជប់លៀងពាណិជ្ជកម្មក្នុងនោះភ្ញៀវ 760 នាក់ជាអ្នករស់នៅក្នុងក្រុងហើយភ្ញៀវ 440 ជាអ្នករស់នៅជាយក្រុង ។ តើគេត្រូវត្រៀមចំណតរថយន្តប៉ុន្មានកន្លែង ?
ការស្ទាបស្ទង់មតិរវាងគាំទ្រដល់បេក្ខជន 3 នាក់ A, B, C ដោយទទួលបានលទ្ធផលដូចខាងក្រោម ។
គាំទ្រ មិនគាំទ្រ គ្មានយោបល់ សរុប \(\displaystyle A\) 1420 74 182 1676 \(\displaystyle B\) 846 26 122 994 \(\displaystyle C\) 570 41 60 671 សរុប 2836 141 364 3341 ក. ចូររកប្រូបាបនៃសំឡេងដែលមិនគាំទ្របេក្ខជន \(\displaystyle A\) ខ. ចូររកប្រូបាបនៃសំឡេងមិនគាំទ្របេក្ខជន \(\displaystyle B\) ឬ \(\displaystyle C\) គ. ចូររកប្រូបាបនៃការគ្មានយោបល់ចំពោះបេក្ខជន \(\displaystyle A\)
- ក្នុងថង់មួយដែលមានតែឃ្លីពណ៌សនិងខ្មៅ ។ ចូររកប្រូបាបដែលចាប់បានឃ្លីពណ៌សដោយដឹងថាប្រូបាបដែលចាប់បានឃ្លីពណ៌ខ្មៅស្មើនឹង \(\displaystyle \frac{2}{5}\) ។
- ថង់មួយមានឃ្លី 6 ក្នុងនោះមានឃ្លីពណ៌ខ្មៅ 4 និងពណ៌ស 2 ។ គេចាប់ឃ្លីម្ដងពីរព្រមគ្នាចេញពីថង់ ។
ក. ចូររកប្រូបាបដែលចាប់បានឃ្លីពណ៌សទាំងពីរ ។
ខ. ចូររកប្រូបាបដែលចាប់ឃ្លីពណ៌ខ្មៅមួយយ៉ាងតិច ។
© ២០២៦ លោកគ្រូ សាន សុខលី · «គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី៩ បែបទំនើប» · រក្សាសិទ្ធិគ្រប់យ៉ាង។ សៀវភៅនេះកំពុងសរសេរ ខ្លឹមសារអាចនឹងកែប្រែ។