មេរៀនទី ១៤ លក្ខណៈមុំនៃរង្វង់ — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ៩

✓គោលបំណងសិក្សា

គណនាមុំចារិកក្នុងរង្វង់ និងបង្ហាញលក្ខណៈរបស់វា
គណនាមុំឈមនៃចតុកោណចារិកក្នុងរង្វង់
គណនាមុំក្នុង មុំក្រៅ និងមុំកើតដោយបន្ទាត់ប៉ះរង្វង់និងអង្កត់ធ្នូ។

1. មុំផ្ចិត

នៅថ្នាក់ទី 8 យើងបានសិក្សារួចមកហើយនូវមុំផ្ចិត ។

ឧទាហរណ៍ទី 1 ៖ គេមានរង្វង់ផ្ចិត $\displaystyle O$ គេគូសកាំ $\displaystyle OP$ និង $\displaystyle OR$ គេបានមុំផ្ចិតពីរ គឺមុំល្មម $\displaystyle \angle POR$ ស្កាត់ដោយធ្នូតូច $\displaystyle PR$ និងមុំផត $\displaystyle \angle POR$ ស្កាត់ដោយធ្នូធំ $\displaystyle PR$ ។ មុំទាំងពីរនេះហៅថាមុំផ្ចិត ។

ឧទាហរណ៍ទី 2 ៖ គេមានធ្នូពីរ $\displaystyle AB$ និង $\displaystyle DC$ នៅលើរង្វង់ផ្ចិត $\displaystyle O$ ។ ធ្នូ $\displaystyle AB$ ស្កាត់ដោយមុំផ្ចិត $\displaystyle \angle AOB$ និងធ្នូ $\displaystyle DC$ ស្កាត់ដោយមុំផ្ចិត $\displaystyle \angle COD$ ។ បើធ្នូ $\displaystyle AB$ និងធ្នូ $\displaystyle DC$ ត្រួតស៊ីគ្នានោះ ធ្នូទាំងពីរប៉ុនគ្នា គេបានមុំផ្ចិតដែលស្កាត់ធ្នូទាំងពីរក៏ប៉ុនគ្នាដែរ ។

ជាទូទៅ ៖ ក្នុងរង្វង់មួយធ្នូពីរប៉ុនគ្នា ស្កាត់ដោយមុំផ្ចិតពីរប៉ុនគ្នា ហើយច្រាសមកវិញកាលណាមុំផ្ចិតពីរប៉ុនគ្នានោះធ្នូស្កាត់ទាំងពីរក៏ប៉ុនគ្នា ។

លំហាត់គំរូ ៖ នៅក្នុងរង្វង់ផ្ចិត $\displaystyle O$ គេឱ្យអង្កត់ផ្ចិត $\displaystyle AD$ ហើយ $\displaystyle C$ ជាចំណុចមួយនៃធ្នូ $\displaystyle BD$ ដែល $\displaystyle \arc{AB} = 40^\circ$ និង $\displaystyle \arc{CD} = 60^\circ$ ។ ចូរគណនារង្វាស់ $\displaystyle \angle AOC$ ។

ចម្លើយ ៖

\[\begin{aligned} \angle AOC &= \angle AOB + \angle BOC \\ \angle AOB &= \arc{AB} = 40^\circ \quad \text{(មុំផ្ចិតស្កាត់ធ្នូ $AB$)} \\ \angle BOC &= 180^\circ - \angle AOB - \angle COD \\ \angle BOC &= 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ \end{aligned}\]

នាំឱ្យ $\displaystyle \angle AOC = 40^\circ + 80^\circ = 120^\circ$ ។ ដូចនេះ $\displaystyle \angle AOC = 120^\circ$ ។

ប្រតិបត្តិ ៖ គេឱ្យរង្វង់ផ្ចិត $\displaystyle O$ និង $\displaystyle B$ ជាចំណុចកណ្តាលនៃធ្នូ $\displaystyle AC$ ។ ចូរបង្ហាញថា $\displaystyle \angle AOB = \angle COB$ ។

2. មុំចារិកក្នុងរង្វង់

2.1. និយមន័យ

ឧទាហរណ៍ ៖ គេមានរង្វង់ផ្ចិត $\displaystyle O$ គេគូសអង្កត់ធ្នូពីរ $\displaystyle AN$ និង $\displaystyle NB$ កាត់គ្នាត្រង់ចំណុច $\displaystyle N$ មួយនៅលើរង្វង់ ។ គេបានមុំ $\displaystyle \angle ANB$ ជាមុំដែលស្ថិតនៅលើរង្វង់ ហៅថាមុំចារិកក្នុងរង្វង់ដែលស្កាត់ធ្នូ $\displaystyle AQB$ ។

និយមន័យ ៖ មុំចារិកក្នុងរង្វង់ជាមុំដែលមានកំពូលស្ថិតនៅលើរង្វង់ ហើយជ្រុងទាំងពីរជាអង្កត់ធ្នូ ។

លំហាត់គំរូ ៖ តើមុំខាងក្រោមនេះជាមុំចារិកក្នុងរង្វង់ ឬទេ ? ព្រោះអ្វី ?

ចម្លើយ ៖ ក. មុំ $\displaystyle \angle xAy$ មិនមែនជាមុំចារិកក្នុងរង្វង់ទេព្រោះកំពូល $\displaystyle A$ មិនស្ថិតនៅលើរង្វង់ ។ ខ. មុំ $\displaystyle \angle xAy$ មិនមែនជាមុំចារិកក្នុងរង្វង់ទេព្រោះជ្រុង $\displaystyle Ay$ នៅក្រៅរង្វង់ ។

ប្រតិបត្តិ ៖ តាមរូបខាងស្ដាំនេះ តើមានមុំចារិកក្នុងរង្វង់ប៉ុន្មាន ?

2.2. មុំចារិកក្នុងរង្វង់និងធ្នូ

ឧទាហរណ៍ទី 1 ៖ គេឱ្យ $\displaystyle \angle ABC$ ជាមុំចារិកក្នុងរង្វង់មានផ្ចិត $\displaystyle O$ ។ $\displaystyle BC$ ជាអង្កត់ផ្ចិត ។ បង្ហាញថា $\displaystyle \angle ABC = \frac{1}{2}\arc{AC}$ ។

គូសភ្ជាប់ $\displaystyle OA$ គេបានត្រីកោណសមបាត $\displaystyle AOB$ ($\displaystyle OA = OB = r$ កាំរង្វង់) ។ ដូចនេះ $\displaystyle \angle A = \angle B$ ។ តែមុំ $\displaystyle \angle AOC = \angle A + \angle B$ មុំក្រៅនៃ $\displaystyle \triangle AOB$ ។ $\displaystyle \angle AOC = 2\angle B$ ឬ $\displaystyle \angle B = \frac{1}{2}\angle AOC$ ។ ដោយមុំ $\displaystyle \angle AOC = \arc{AC}$ (មុំផ្ចិតស្កាត់ដោយធ្នូ $\displaystyle AC$) នាំឱ្យ $\displaystyle \angle B = \frac{1}{2}\arc{AC}$ ។

ឧទាហរណ៍ទី 2 ៖ គេឱ្យ $\displaystyle \angle ABC$ ចារិកក្នុងរង្វង់ផ្ចិត $\displaystyle O$ ដែលផ្ចិត $\displaystyle O$ ស្ថិតក្នុង $\displaystyle \angle AOB$ ។ បង្ហាញថា $\displaystyle \angle ABC = \frac{1}{2}\arc{AC}$ ។

គេមាន $\displaystyle \angle ABC$ ជាមុំចារិកក្នុងរង្វង់ ។ គូសអង្កត់ផ្ចិតពីចំណុច $\displaystyle B$ កាត់ផ្ចិត $\displaystyle O$ ជួបរង្វង់ត្រង់ $\displaystyle D$ ។

\[\begin{aligned} \angle ABC &= \angle ABD + \angle DBC \\ &= \frac{1}{2}\arc{AD} + \frac{1}{2}\arc{DC} \quad \text{(តាមឧទាហរណ៍ទី 1)} \\ &= \frac{1}{2}(\arc{AD} + \arc{DC}) \\ &= \frac{1}{2}\arc{AC} \end{aligned}\]

ដូចនេះ $\displaystyle \angle ABC = \frac{1}{2}\arc{AC}$ ។

ជាទូទៅ ៖ គ្រប់មុំចារិកក្នុងរង្វង់មានរង្វាស់ស្មើនឹងកន្លះ រង្វាស់ធ្នូដែលស្កាត់ដោយមុំនោះ ។

លំហាត់គំរូ ៖ ចូរគណនារង្វាស់ធ្នូ $\displaystyle AB$, $\displaystyle AC$, $\displaystyle BC$ តាមរូបខាងស្ដាំ ។

ចម្លើយ ៖

\[\begin{aligned} \arc{BC} &= 2\angle A = 2 \times 40^\circ = 80^\circ \\ \arc{AC} &= 2\angle B = 2 \times 60^\circ = 120^\circ \\ \arc{AB} &= 2\angle C = 2 \times 80^\circ = 160^\circ \text{ ។} \end{aligned}\]

ប្រតិបត្តិ ៖ គេមាន $\displaystyle \angle ABC$ ចារិកក្នុងរង្វង់ផ្ចិត $\displaystyle O$ ដែលមានចំណុច $\displaystyle O$ ស្ថិតនៅក្រៅ $\displaystyle \angle ABC$ ។ ដោយប្រើលក្ខណៈនៃឧទាហរណ៍ទី 1 ចូរបង្ហាញថា $\displaystyle \angle ABC = \frac{1}{2}\arc{AC}$ (រូបខាងស្ដាំ) ។

2.3. មុំចារិកក្នុងរង្វង់ស្កាត់ធ្នូតែមួយ

ឧទាហរណ៍ ៖ គូសរង្វង់ផ្ចិត $\displaystyle O$ និងកាំ $\displaystyle 5cm$ ។ គេដៅចំណុចពីរ $\displaystyle A$ និង $\displaystyle B$ នៅលើរង្វង់ ។ ដៅចំណុចពីរ $\displaystyle P$ និង $\displaystyle Q$ លើធ្នូធំ $\displaystyle AB$ ។ ភ្ជាប់ $\displaystyle AP$, $\displaystyle AQ$, $\displaystyle BP$ និង $\displaystyle BQ$ ។

ក. រង្វាស់មុំ $\displaystyle \angle APB$ និង $\displaystyle \angle AQB$ តើអ្នកសង្កេតឃើញដូចម្តេច ?

ខ. ដៅចំណុច $\displaystyle R$ មួយទៀតនៅលើធ្នូធំ $\displaystyle AB$ ។ ភ្ជាប់ $\displaystyle AR$ និង $\displaystyle BR$ ។ រង្វាស់មុំ $\displaystyle \angle ARB$ តើអ្នកសង្កេតឃើញដូចម្តេច ? តាមសកម្មភាពនេះយើងសង្កេតឃើញថារង្វាស់មុំ $\displaystyle \angle APB = \angle AQB = \angle ARB$ ។

ជាទូទៅ ៖ គ្រប់មុំចារិកក្នុងដែលស្កាត់ធ្នូតែ 1 មានរង្វាស់ស្មើគ្នា ។

\[\begin{aligned} a &= b \\ c &= d \end{aligned}\]

ឧទាហរណ៍ ៖ តាមរូបខាងស្ដាំនេះចូររករង្វាស់មុំ $\displaystyle a$ និង $\displaystyle b$ ។

$\displaystyle a = 32^\circ$ (មុំស្កាត់ធ្នូ $\displaystyle MN$ តែមួយ)
$\displaystyle b = 10^\circ$ (មុំស្កាត់ធ្នូ $\displaystyle PQ$ តែមួយ) ។

លំហាត់គំរូ ៖ គេឱ្យអង្កត់ធ្នូ $\displaystyle BD = DC, \angle ABD = 42^\circ$ និង $\displaystyle \angle DBC = 65^\circ$ (ដូចរូបខាងស្ដាំ) ។

ចូរគណនា ៖ ក. $\displaystyle \angle BDC$ ខ. $\displaystyle \angle BAC$ គ. $\displaystyle \angle DAB$ ឃ. $\displaystyle \angle DEC$ ។

ចម្លើយ ៖ ក. ក្នុង $\displaystyle \triangle BDC$

\[\begin{aligned} \text{គេបាន } \angle BDC + \angle DCB + \angle DBC &= 180^\circ \quad \text{(ផលបូកមុំនៃត្រីកោណមួយ)} \\ \angle DBC &= 65^\circ \quad \text{(សមត្ថកម្ម)} \\ \angle DCB &= \angle DBC \quad \text{(មុំបាតនៃត្រីកោណសមបាត)} \\ \angle DCB &= 65^\circ \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \text{ដូចនេះ } \angle BDC + 65^\circ + 65^\circ &= 180^\circ \\ \text{នាំឱ្យ } \angle BDC &= 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \\ \text{ដូចនេះ } \angle BDC &= 50^\circ \text{ ។} \end{aligned}\]

ខ. គេបាន $\displaystyle \angle BAC = \angle BDC$ (មុំចារិកក្នុងរង្វង់ស្កាត់ធ្នូ $\displaystyle BC$ តែមួយ) នាំឱ្យ $\displaystyle \angle BAC = 50^\circ$ ។

គ. គេមាន $\displaystyle \angle DAB = \angle DAC + \angle BAC$

\[\begin{aligned} \angle DAC &= \angle DBC \quad \text{(មុំចារិកក្នុងរង្វង់ស្កាត់ធ្នូ $DC$ តែមួយ)} \\ \angle DBC &= 65^\circ \quad \text{(សមត្ថកម្ម)} \\ \text{នាំឱ្យ } \angle DAC &= 65^\circ \text{ ។} \end{aligned}\]

តាមចំណុច ខ. $\displaystyle \angle BAC = 50^\circ$

\[\begin{aligned} \text{ដូចនេះ } \angle DAB &= 65^\circ + 50^\circ = 115^\circ \\ \angle DAB &= 115^\circ \text{ ។} \end{aligned}\]

ឃ. ក្នុង $\displaystyle \triangle DEC$ គេបាន

\[\begin{aligned} \angle DEC + \angle EDC + \angle ECD &= 180^\circ \quad \text{(ផលបូកមុំត្រីកោណ)} \\ \angle EDC &= \angle BDC \\ \angle EDC &= 50^\circ \quad \text{(ពីសំណួរ ក)} \\ \angle ECD &= \angle ACD \\ \angle ACD &= \angle ABD \quad \text{(មុំចារិកក្នុងរង្វង់ស្កាត់ធ្នូ $AD$ តែមួយ)} \\ \angle ACD &= 42^\circ \\ \text{នាំឱ្យ } \angle ECD &= 42^\circ \text{ ។} \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \text{ដូចនេះ } \angle DEC + 50^\circ + 42^\circ &= 180^\circ \\ \angle DEC &= 180^\circ - 92^\circ = 88^\circ \\ \angle DEC &= 88^\circ \text{ ។} \end{aligned}\]

ប្រតិបត្តិ ៖ ក្នុងរូបខាងស្ដាំនេះអង្កត់ធ្នូ $\displaystyle AC$ ប្រសព្វនឹង $\displaystyle BD$ ត្រង់ $\displaystyle I$ ។ គេឱ្យ $\displaystyle \angle ACB = 34^\circ$ និង $\displaystyle \angle CAD = 45^\circ$ ។ ចូរគណនា $\displaystyle \angle AIB$ ។

2.4. មុំផ្ចិតនិងមុំចារិកក្នុងរង្វង់

នេះជាករណីពិសេសនៃទំនាក់ទំនងរវាងមុំផ្ចិតនិងមុំចារិកក្នុងរង្វង់ដែលស្កាត់ធ្នូតែមួយ ។

ឧទាហរណ៍ ៖ គេគូសរង្វង់ផ្ចិត $\displaystyle O$ និងកាំ $\displaystyle 5cm$ ។ ដៅចំណុច $\displaystyle A$, $\displaystyle B$ និង $\displaystyle C$ នៅលើរង្វង់ ។ គេបានមុំ $\displaystyle \angle ABC$ ជាមុំស្រួច ។ ភ្ជាប់ $\displaystyle OA$, $\displaystyle OC$, $\displaystyle AB$ និង $\displaystyle BC$ ។ វាស់មុំ $\displaystyle \angle ABC$ និង $\displaystyle \angle AOC$ ។ តើយើងកត់សម្គាល់ឃើញដូចម្តេច ?

កាលណាយើងវាស់មុំទាំងពីរនេះទៅយើងសង្កេតឃើញថាមុំ $\displaystyle \angle AOC = 2\angle ABC$ ។

\[\begin{aligned} \text{តាមពិត } \angle AOC &= \arc{AC} \quad \text{មុំផ្ចិតស្កាត់ធ្នូ } AC \\ \angle ABC &= \frac{\arc{AC}}{2} \quad \text{មុំចារិកក្នុងស្កាត់ធ្នូ } AC \\ \text{ហេតុនេះ } \angle AOC &= 2\angle ABC \text{ ។} \end{aligned}\]

ជាទូទៅ ៖ មុំផ្ចិតនៃរង្វង់មួយមានរង្វាស់ស្មើនឹងពីរដងមុំចារិកក្នុងរង្វង់ដែលស្កាត់ធ្នូតែមួយ ។

\[a = 2b\]

លំហាត់គំរូទី1 ៖ ក្នុងរូបខាងក្រោមនេះ ចូររករង្វាស់មុំ $\displaystyle x$, $\displaystyle y$ និង $\displaystyle a$ ។

រូប(ក) រូប(ខ) រូប(គ)

ចម្លើយ ៖ ក. គេមាន $\displaystyle \angle BOC = 2\angle BAC$ (មុំផ្ចិតស្មើនឹងពីរដងមុំចារិកក្នុងស្កាត់ធ្នូតែមួយ)

\[\begin{aligned} 76^\circ &= 2x \\ x &= \frac{76^\circ}{2} = 38^\circ \end{aligned}\]

ដូចនេះ $\displaystyle x = 38^\circ$ ។

ខ. គេមាន $\displaystyle y = 2\angle QPR$ (មុំផ្ចិតស្មើនឹងពីរដងមុំចារិកក្នុងរង្វង់ស្កាត់ធ្នូតែមួយ)

\[\begin{aligned} y &= 2 \times 100^\circ = 200^\circ \end{aligned}\]

ដូចនេះ $\displaystyle y = 200^\circ$ ។

គ. $\displaystyle \angle WOY = 360^\circ - 130^\circ = 230^\circ$

\[\begin{aligned} 230^\circ &= 2a \quad \text{(មុំផ្ចិតស្មើនឹងពីរដងនៃមុំចារិកក្នុងស្កាត់ធ្នូតែមួយ)} \\ a &= \frac{230^\circ}{2} = 115^\circ \end{aligned}\]

ដូចនេះ $\displaystyle a = 115^\circ$ ។

លំហាត់គំរូទី2 ៖ រង្វង់មួយមានផ្ចិត $\displaystyle O$ ដែល $\displaystyle \angle OBC = 30^\circ$ ។ ចូរគណនា $\displaystyle \angle BCO$, $\displaystyle \angle BOC$ និង $\displaystyle \angle BAC$ ។

ចម្លើយ ៖ គេមាន $\displaystyle \angle BCO = \angle CBO$ (មុំបាតនៃត្រីកោណសមបាត $\displaystyle BOC$) $\displaystyle \angle BCO = 30^\circ$ ។

ដូចគ្នាដែរគេបាន

\[\begin{aligned} \angle BOC + \angle BCO + \angle CBO &= 180^\circ \quad \text{(ផលបូកមុំក្នុងត្រីកោណ)} \\ \text{នាំឱ្យ } \angle BOC + 30^\circ + 30^\circ &= 180^\circ \\ \text{ដូចនេះ } \angle BOC &= 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \text{ ។} \\ \angle BOC &= 120^\circ \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \text{តែ } \angle BOC &= 2\angle BAC \quad \text{(មុំផ្ចិតស្មើពីរដងមុំចារិកក្នុង)} \\ 2\angle BAC &= 120^\circ \text{ នាំឱ្យ } \angle BAC = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ \text{ ។} \end{aligned}\]

ដូចនេះ $\displaystyle \angle BAC = 60^\circ$ ។

លំហាត់គំរូទី3 ៖ រង្វង់មួយមានផ្ចិត $\displaystyle O$ ដែល $\displaystyle \angle ABO = 30^\circ$ និង $\displaystyle \angle ACO = 20^\circ$ ។ ចូរគណនារង្វាស់មុំ $\displaystyle \angle BAC$ និង $\displaystyle \angle BOC$ ។

ចម្លើយ ៖ គេមាន $\displaystyle \angle BAC = \angle BAO + \angle CAO$

ក្នុង $\displaystyle \triangle BAO$ មាន $\displaystyle \angle BAO = \angle ABO$ (មុំបាតនៃត្រីកោណសមបាត $\displaystyle AOB$) $\displaystyle \angle ABO = 30^\circ$ នាំឱ្យ $\displaystyle \angle BAO = 30^\circ$ ។

ក្នុង $\displaystyle \triangle CAO$ មាន $\displaystyle \angle CAO = \angle ACO$ (មុំបាតនៃត្រីកោណសមបាត $\displaystyle AOC$) $\displaystyle \angle ACO = 20^\circ$ នាំឱ្យ $\displaystyle \angle CAO = 20^\circ$ ។

\[\begin{aligned} \text{ដូចនេះ } \angle BAC &= 30^\circ + 20^\circ = 50^\circ \text{ ។} \\ \angle BOC &= 2\angle BAC \quad \text{(មុំផ្ចិតស្មើពីរដងមុំចារិកក្នុង)} \\ \angle BOC &= 2 \times 50^\circ = 100^\circ \text{ ។} \end{aligned}\]

ប្រតិបត្តិ ៖ រង្វង់មួយមានផ្ចិត $\displaystyle O$ ដែល $\displaystyle \angle AOB = 60^\circ$ ។ ចូរគណនារង្វាស់មុំ $\displaystyle \angle ACB$, $\displaystyle \angle ADB$ និង $\displaystyle \angle AEB$ ។ (រូបខាងស្ដាំ)

C. មុំចារឹកក្នុងកន្លះរង្វង់

ឧទាហរណ៍៖ គេមានរង្វង់ផ្ចិត $\displaystyle O$ និង $\displaystyle AB$ ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់។ គេបាន

$\displaystyle AB$ ជាអង្កត់ផ្ចិត
ធ្នូ $\displaystyle ADB$ និងធ្នូ $\displaystyle ACB$ ជាកន្លះរង្វង់
$\displaystyle \angle ACB$ ជាមុំចារឹកលើរង្វង់ ។

គេថា $\displaystyle \angle ACB$ ជាមុំចារឹកក្នុងកន្លះរង្វង់ដែលផ្គុំដោយអង្កត់ផ្ចិតនោះ

\[\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB \qquad (\angle AOB=180^\circ \text{ ជាមុំរាប})\]

គេបាន

\[\frac{1}{2}\times 180^\circ=90^\circ\]

ដូចនេះ

\[\angle ACB=90^\circ ។\]

ជាទូទៅ៖ គ្រប់មុំចារឹកក្នុងកន្លះរង្វង់ជាមុំកែង។

\[a=90^\circ ។\]

លំហាត់គំរូទី ១៖ តាមរូបខាងស្ដាំនេះ $\displaystyle AB$ ជាអង្កត់ផ្ចិត។ ចូរគណនារង្វាស់មុំ $\displaystyle a$ និង $\displaystyle b$ ។

ចម្លើយ៖ គេបាន

\[a=90^\circ\]

ជាមុំចារឹកក្នុងកន្លះរង្វង់ ។

ក្នុង $\displaystyle \triangle ABC$ មាន

\[a+60^\circ+b=180^\circ\]

\[90^\circ+60^\circ+b=180^\circ\]

នាំឱ្យ

\[b=180^\circ-150^\circ=30^\circ\]

ដូចនេះ

\[b=30^\circ ។\]

លំហាត់គំរូទី ២៖ រង្វង់មួយដែលមានផ្ចិត $\displaystyle O$ និងអង្កត់ផ្ចិត $\displaystyle AB$ ។ ចូរគណនា $\displaystyle a$ និង $\displaystyle b$ (()រូបខាងស្ដាំ()) ។

ចម្លើយ៖ $\displaystyle a=\angle BAC$ មុំចារឹកក្នុងធ្នូ $\displaystyle BC$ តែមួយ ដូចនេះ

\[a=21^\circ ។\]

នៅក្នុង $\displaystyle \triangle ABC$ គេបាន

\[\angle BAC+\angle ACB+b=180^\circ\]

\[\angle ACB=90^\circ\]

មុំចារឹកក្នុងកន្លះរង្វង់

\[\angle BAC=21^\circ\]

សម្មតិកម្ម ។

ដូចនេះ

\[21^\circ+90^\circ+b=180^\circ\]

នាំឱ្យ

\[b=180^\circ-111^\circ=69^\circ\]

ដូចនេះ

\[b=69^\circ ។\]

លំហាត់គំរូទី ៣៖ គេមានរង្វង់ដែលមានផ្ចិត $\displaystyle O$ និង $\displaystyle PT$ ជាបន្ទាត់ប៉ះទៅនឹងរង្វង់ត្រង់ $\displaystyle T$ ។ បើ $\displaystyle \angle TAP=35^\circ$ ។

ចូរគណនា៖ ក. $\displaystyle \angle ATB$ ខ. $\displaystyle \angle APT$ គ. $\displaystyle \angle BTP$

ចម្លើយ៖

ក.

\[\angle ATB=90^\circ\]

មុំចារឹកក្នុងកន្លះរង្វង់ ។

ខ. ក្នុង $\displaystyle \triangle APT$ គេបាន

\[\angle APT+\angle PTA+\angle PAT=180^\circ\]

ផលបូកមុំក្នុងត្រីកោណ $\displaystyle APT$

\[\angle TAP=35^\circ\]

សម្មតិកម្ម

\[\angle TAP=\angle OTA=35^\circ\]

មុំបាតនៃត្រីកោណសមបាត

\[\angle ATP=\angle ATO+\angle OTP ។\]

ដោយ $\displaystyle TP$ ជាបន្ទាត់ប៉ះនឹងរង្វង់ និង $\displaystyle OT$ ជាកាំនៃរង្វង់

គេបាន

\[\angle OTP=90^\circ\]

\[\angle ATP=35^\circ+90^\circ=125^\circ\]

ដូចនេះ

\[\angle APT+35^\circ+125^\circ=180^\circ\]

\[\angle APT=180^\circ-160^\circ=20^\circ\]

\[\angle APT=20^\circ ។\]

គ.

\[\angle ATB=\angle BTP+\angle ATP\]

\[90^\circ+\angle BTP=125^\circ\]

\[\angle BTP=125^\circ-90^\circ=35^\circ ។\]

ប្រតិបត្តិ៖ តាមរូបខាងស្ដាំនេះមានរង្វង់ដែលមានផ្ចិត $\displaystyle O$ និងអង្កត់ផ្ចិត $\displaystyle AC$ ហើយ $\displaystyle AD=DC$ ។ ចូរគណនារង្វាស់មុំ $\displaystyle x,\ y,\ z$ ។

D. មុំឈមនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់

និយមន័យ

ចតុកោណដែលមានកំពូលទាំងបួនស្ថិតនៅលើរង្វង់មួយ ហៅថាចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់។ រង្វង់នោះហៅថារង្វង់កាត់ក្រៅចតុកោណ។ ក្នុងចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ $\displaystyle ABCD$ គេមាន $\displaystyle \angle A$ និង $\displaystyle \angle C$ ជាមុំឈមនឹងគ្នា ហើយ $\displaystyle \angle B$ និង $\displaystyle \angle D$ ក៏ជាមុំឈមនឹងគ្នាដែរ។

លក្ខណៈមុំឈម

ឧទាហរណ៍ទី ១៖ គេមានរង្វង់ផ្ចិត $\displaystyle O$ និងកាំមានប្រវែង $\displaystyle 5\mathrm{cm}$ ។ គេជ្រើសចំណុច $\displaystyle A,\ B,\ C$ និង $\displaystyle D$ តាមលំដាប់នៅលើរង្វង់។ ភ្ជាប់ $\displaystyle AB,\ BC,\ DC$ និង $\displaystyle DA$ ដើម្បីទទួលបានចតុកោណ $\displaystyle ABCD$ ចារឹកក្នុងរង្វង់ផ្ចិត $\displaystyle O$ ។

ក. តាមរូបខាងស្ដាំ $\displaystyle \angle DAB$ និង $\displaystyle \angle DCB$ រួមគ្នាមានរង្វាស់ស្មើបាន

\[\angle DAB+\angle DCB=180^\circ ។\]

ខ. តាមរូប $\displaystyle \angle CBA$ និង $\displaystyle \angle CDA$ រួមគ្នាមានរង្វាស់ស្មើបាន

\[\angle CBA+\angle CDA=180^\circ ។\]

ឧទាហរណ៍ទី ២៖ គេឱ្យចតុកោណ $\displaystyle ABCD$ ចារឹកក្នុងរង្វង់ដែលមានផ្ចិត $\displaystyle O$ ។ ចូរបង្ហាញថា

ក.

\[\angle BAD+\angle BCD=180^\circ\]

ខ.

\[\angle ABC+\angle ADC=180^\circ ។\]

ក. គេបាន

\[\angle BAD=\frac{1}{2}\arc{BCD}\]

\[\angle BCD=\frac{1}{2}\arc{BAD}\]

\[\angle BAD+\angle BCD =\frac{1}{2}\left(\arc{BCD}+\arc{BAD}\right)\]

\[=\frac{1}{2}\times 360^\circ=180^\circ ។\]

ខ. គេបាន

\[\angle ABC=\frac{1}{2}\arc{ADC}\]

\[\angle ADC=\frac{1}{2}\arc{ABC}\]

\[\angle ABC+\angle ADC =\frac{1}{2}\left(\arc{ADC}+\arc{ABC}\right)\]

\[=\frac{360^\circ}{2}=180^\circ ។\]

ជាទូទៅ៖ ចំពោះចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ មុំឈមគ្នាមានផលបូកស្មើ $\displaystyle 180^\circ$។

\[a+c=180^\circ\]

\[b+d=180^\circ ។\]

លំហាត់គំរូ៖ គេឱ្យចតុកោណ $\displaystyle ABCD$ ចារឹកក្នុងរង្វង់ដែលមានផ្ចិត $\displaystyle O$ ដូចរូបខាងក្រោម។ ចូរគណនារង្វាស់ $\displaystyle x$ និង $\displaystyle y$ ។

ចម្លើយ៖

\[\angle DAB+\angle DCB=180^\circ\]

មុំឈមនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់

\[80^\circ+y=180^\circ\]

នាំឱ្យ

\[y=180^\circ-80^\circ=100^\circ\]

ដូចនេះ

\[y=100^\circ ។\]

\[\angle ABC+\angle ADC=180^\circ\]

មុំឈមនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់

\[70^\circ+x=180^\circ\]

នាំឱ្យ

\[x=180^\circ-70^\circ=110^\circ ។\]

ប្រតិបត្តិ៖ តាមរូបខាងស្ដាំនេះ ចូរគណនារង្វាស់ $\displaystyle a$ និង $\displaystyle b$ ។

E. មុំក្រៅនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់

ឧទាហរណ៍៖ គេមានចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ $\displaystyle PQRS$ ។ គេពន្លាតជ្រុងមួយនៃចតុកោណ $\displaystyle PS$ រហូតដល់ $\displaystyle T$ ។

គេសង្កេតឃើញថា

\[x+y=180^\circ\]

មុំជាប់នៅលើបន្ទាត់ត្រង់

និង

\[y+z=180^\circ\]

មុំឈមនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ ។

ដូច្នេះគេបាន

\[x+y=y+z\]

\[x=z\]

$\displaystyle x$ ជាមុំក្រៅចតុកោណ $\displaystyle PQRS$ ចារឹកក្នុងរង្វង់ និង $\displaystyle z$ ជាមុំចារឹកក្នុងចតុកោណឈមជាមួយនឹង $\displaystyle x$ ។

ជាទូទៅ៖ មុំក្រៅចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់មានរង្វាស់ស្មើនឹងមុំឈមចារឹកក្នុងចតុកោណនោះ។

\[p=q,\qquad r=s ។\]

លំហាត់គំរូទី ១៖ $\displaystyle ABCD$ ជាចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ដែលមាន $\displaystyle AD=AB$ និង $\displaystyle AD$ អូសបន្តទៅ $\displaystyle E$ ។ បើ $\displaystyle \angle CDE=70^\circ$ និង $\displaystyle \angle CDB=72^\circ$ ។

ចូរគណនា៖ ក. $\displaystyle \angle BAD$ ខ. $\displaystyle \angle BCD$ ។

ចម្លើយ៖

\[\angle ADB+\angle BDC+\angle CDE=180^\circ\]

មុំជាប់គ្នា

\[\angle ADB+72^\circ+70^\circ=180^\circ\]

\[\angle ADB=180^\circ-70^\circ-72^\circ=38^\circ ។\]

ដោយ

\[\angle BAD+\angle ADB+\angle DBA=180^\circ\]

ផលបូកមុំក្នុងត្រីកោណមួយ

ដោយ

\[\angle ADB=\angle DBA\]

មុំបាតនៃត្រីកោណសមបាត

\[\angle BAD+38^\circ+38^\circ=180^\circ\]

\[\angle BAD=180^\circ-76^\circ=104^\circ\]

ដូចនេះ

\[\angle BCD+\angle BAD=180^\circ\]

មុំឈមនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់

\[\angle BCD=180^\circ-104^\circ=76^\circ ។\]

លំហាត់គំរូទី ២៖ គេមានចតុកោណ $\displaystyle ABDC$ និង $\displaystyle CDFE$ ជាចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ (()រូបខាងស្ដាំ()) ។ ចូរគណនាមុំ $\displaystyle a$ ។

ចម្លើយ៖ គេមាន $\displaystyle CDFE$ ជាចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់

\[a=\angle ACD\]

មុំក្រៅចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ស្មើនឹងមុំឈម

ក្នុងចតុកោណ $\displaystyle ABDC$ គេមាន

\[\angle ACD+\angle ABD=180^\circ\]

មុំឈមនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់

\[\angle ACD+85^\circ=180^\circ\]

\[\angle ACD=180^\circ-85^\circ=95^\circ\]

\[a=\angle ACD=95^\circ ។\]

លំហាត់គំរូទី ៣៖ $\displaystyle EFGH$ ជាចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ដែលមាន $\displaystyle EH$ ស្របទៅនឹង $\displaystyle FG$ ហើយ $\displaystyle DG$ ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ផ្ចិត $\displaystyle O$ ។ គេឱ្យ $\displaystyle \angle DOH=82^\circ$ និង $\displaystyle \angle DGE=17^\circ$ ។

ចូរគណនា៖ ក. $\displaystyle \angle HEG$ ខ. $\displaystyle \angle HGF$ គ. $\displaystyle \angle FEG$ ។

ចម្លើយ៖

ក.

\[\angle HOG+\angle HOD=180^\circ\]

មុំបន្ទាត់ត្រង់

\[\angle HOG+82^\circ=180^\circ\]

\[\angle HOG=180^\circ-82^\circ=98^\circ\]

\[2\times \angle HEG=\angle HOG\]

មុំផ្ចិតស្មើពីរដងមុំចារឹកក្នុងរង្វង់

\[2\times \angle HEG=98^\circ\]

នាំឱ្យ

\[\angle HEG=\frac{98^\circ}{2}=49^\circ ។\]

ខ.

\[\angle EGF=\angle HEG\]

មុំឆ្លាស់ក្នុង $\displaystyle FG\parallel EH$

\[\angle EGF=49^\circ\]

\[\angle OGH+\angle HOG+\angle OHG=180^\circ\]

ផលបូកមុំក្នុងត្រីកោណ

\[\angle OGH=\angle OHG\]

មុំបាតនៃត្រីកោណសមបាត

\[2\angle OGH=180^\circ-\angle HOG\]

\[\angle OGH=\frac{180^\circ-98^\circ}{2}=41^\circ ។\]

នាំឱ្យ

\[\angle HGF=\angle OGH+\angle DGE+\angle EGF\]

\[=41^\circ+17^\circ+49^\circ=107^\circ ។\]

គ.

\[\angle FEH+\angle HGF=180^\circ\]

មុំឈមនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់

\[\angle FEH=180^\circ-107^\circ=73^\circ\]

នាំឱ្យ

\[\angle FEG=\angle FEH-\angle GEH\]

\[=73^\circ-49^\circ=24^\circ ។\]

ប្រតិបត្តិ៖ គេមានចតុកោណ $\displaystyle ABCD$ ចារឹកក្នុងរង្វង់ដែលមាន $\displaystyle AB=BC$ ។ គេអូសបន្ត $\displaystyle CD$ ដល់ $\displaystyle E$ ដែលមាន $\displaystyle \angle ACE=27^\circ$ និង $\displaystyle \angle ADE=76^\circ$ ។

ចូរគណនា៖ ក. $\displaystyle \angle ACB$ ខ. $\displaystyle \angle BAD$ ។

F. មុំដែលមានកំពូលមិននៅលើរង្វង់

មុំក្នុងរង្វង់

មុំក្នុងរង្វង់ជាមុំដែលមានកំពូលនៅក្នុងរង្វង់។

ឧទាហរណ៍៖ គេមាន $\displaystyle \angle AED$ ជាមុំក្នុងរង្វង់ដែលមានផ្ចិត $\displaystyle O$ ។ បង្ហាញថា

\[\angle AED=\frac{1}{2}\left(\arc{AD}+\arc{BC}\right) ។\]

គេបាន

\[\angle C=\frac{1}{2}\arc{AD}\]

មុំចារឹកកាត់ធ្នូ $\displaystyle AD$

\[\angle A=\frac{1}{2}\arc{BC}\]

មុំចារឹកកាត់ធ្នូ $\displaystyle BC$

តែ

\[\angle AED=\angle A+\angle C\]

មុំក្រៅត្រីកោណ

\[\angle AED=\frac{1}{2}\left(\arc{AD}+\arc{BC}\right) ។\]

ជាទូទៅ៖ មុំក្នុងរង្វង់មានរង្វាស់ស្មើនឹង កន្លះផលបូករង្វាស់ធ្នូដែលកាត់ដោយជ្រុងទាំងពីរ។

លំហាត់គំរូ៖ ក្នុងរូបខាងស្ដាំនេះ ចូរគណនា $\displaystyle \angle SPQ$ ។

ចម្លើយ៖ គេបាន

\[\angle SPQ=\frac{1}{2}\left(\arc{SQ}+\arc{RT}\right)\]

\[\angle SPQ=\frac{1}{2}(112^\circ+38^\circ)\]

\[=\frac{1}{2}(150^\circ)=75^\circ ។\]

ប្រតិបត្តិ៖ គេមាន $\displaystyle \angle CMD$ ជាមុំក្នុងរង្វង់ដែលមានផ្ចិត $\displaystyle O$ ដូចរូបខាងស្ដាំ។ គេឱ្យថា $\displaystyle \angle CAD=60^\circ$ និង $\displaystyle \angle ADB=75^\circ$ ។

ចូរគណនា $\displaystyle \angle CMD$ ។

មុំក្រៅរង្វង់

មុំក្រៅរង្វង់ជាមុំដែលមានកំពូលនៅក្រៅរង្វង់ ហើយមានជ្រុងទាំងពីរកាត់រង្វង់។

ឧទាហរណ៍៖ គេមាន $\displaystyle \angle AED$ ជាមុំក្រៅរង្វង់ដែលមានផ្ចិត $\displaystyle O$ ។ បង្ហាញថា

\[\angle AED=\frac{1}{2}\left(\arc{AD}-\arc{BC}\right) ។\]

គេបាន

\[\angle AED+\angle CAE=\angle ACD\]

\[\angle AED=\angle ACD-\angle CAE\]

\[=\frac{1}{2}\arc{AD}-\frac{1}{2}\arc{BC}\]

\[=\frac{1}{2}\left(\arc{AD}-\arc{BC}\right) ។\]

ជាទូទៅ៖ មុំក្រៅរង្វង់មានរង្វាស់ស្មើនឹង កន្លះផលដករង្វាស់ធ្នូដែលកាត់ដោយជ្រុងទាំងពីរនោះ។

លំហាត់គំរូ៖ ចូរគណនា $\displaystyle \angle D$ ក្នុងរូបខាងក្រោម។

ចម្លើយ៖

ក.

\[\angle D=\frac{1}{2}\left(\arc{FH}-\arc{EG}\right)\]

\[=\frac{1}{2}(130^\circ-60^\circ)\]

\[=\frac{70^\circ}{2}=35^\circ ។\]

ខ.

\[\angle D=\frac{1}{2}\left(\arc{TM}-\arc{QM}\right)\]

\[=\frac{1}{2}(150^\circ-70^\circ)\]

\[=\frac{1}{2}\times 80^\circ\]

\[=40^\circ ។\]

ប្រតិបត្តិ៖ ចូរគណនា $\displaystyle \angle D$ ក្នុងរូបខាងស្ដាំនេះ។

G. មុំផ្គុំដោយបន្ទាត់ប៉ះនិងអង្កត់ធ្នូ

ឧទាហរណ៍ទី ១៖ ក្នុងរូបខាងក្រោមនេះ មាន $\displaystyle PA$ ជាអង្កត់ធ្នូដែលចែករង្វង់ជាពីរផ្នែក។ $\displaystyle XPY$ ជាបន្ទាត់ប៉ះនឹងរង្វង់ត្រង់ $\displaystyle P$ ។ $\displaystyle \angle ABP$ ជាមុំចារឹកក្នុងរង្វង់ដែលមានអង្កត់ធ្នូ $\displaystyle PA$ នៅក្នុងនោះ $\displaystyle \angle XPA$ ជាមុំដែលផ្គុំដោយបន្ទាត់ប៉ះនិងអង្កត់ធ្នូ $\displaystyle PA$ ។

ឧទាហរណ៍ទី ២៖ ក្នុងរង្វង់ដែលមានកាំ $\displaystyle 4\mathrm{cm}$ ។ គេកំណត់ $\displaystyle A,\ B$ និង $\displaystyle P$ នៅលើរង្វង់បានជាត្រីកោណ $\displaystyle PBA$ មាន $\displaystyle \angle B$ ជាមុំមួយ។ គេមានបន្ទាត់ $\displaystyle XY$ ប៉ះនឹងរង្វង់ត្រង់ $\displaystyle P$ ហើយ $\displaystyle \angle XPA$ និង $\displaystyle \angle PBA$ ។ គេសង្កេតឃើញថារង្វាស់មុំនេះស្មើគ្នា គេអាចសរសេរថា

\[\angle XPA=\angle PBA ។\]

ជាទូទៅ៖ មុំដែលផ្គុំដោយបន្ទាត់ប៉ះនិងអង្កត់ធ្នូត្រូវស្មើនឹងមុំចារឹកក្នុងរង្វង់ដែលមានអង្កត់ធ្នូនោះ។

សម្រាយបញ្ជាក់៖ គេឱ្យរង្វង់ផ្ចិត $\displaystyle O$ និង $\displaystyle AT$ ជាបន្ទាត់ប៉ះនឹងរង្វង់ត្រង់ $\displaystyle A$ ហើយ $\displaystyle \angle ACB$ ជាមុំចារឹកក្នុងរង្វង់ដែលមានអង្កត់ធ្នូ $\displaystyle AB$ នៅក្នុងនោះ។

បង្ហាញថា

\[\angle TAB=\angle ACB ។\]

ការស្រាយបញ្ជាក់នេះចំពោះ $\displaystyle \angle TAB$ ជាមុំស្រួច។ គូសអង្កត់ផ្ចិត $\displaystyle AD$ ។

គេបាន

\[\angle TAD=90^\circ\]

ដូចនេះ

\[\angle TAB=90^\circ-\angle BAD \qquad\text{(1)}\]

ម្យ៉ាងទៀតនៅក្នុង $\displaystyle \triangle ABD$

\[\angle ABD=90^\circ\]

ដូចនេះ

\[\angle ADB=90^\circ-\angle BAD \qquad\text{(2)}\]

តាម ((1)) និង ((2)) និងលក្ខណៈនៃមុំចារឹកក្នុងរង្វង់ គេបាន

\[\angle TAB=\angle ADB=\angle ACB\]

ដូចនេះ

\[\angle TAB=\angle ACB ។\]

លំហាត់គំរូទី ១៖ ក្នុងរូបខាងស្ដាំនេះ មាន $\displaystyle ST$ ជាបន្ទាត់ប៉ះនឹងរង្វង់។ ចូររករង្វាស់មុំ $\displaystyle a$ និង $\displaystyle b$ ។

ចម្លើយ៖

គេបាន

\[a=60^\circ\]

មុំដែលផ្គុំដោយបន្ទាត់ប៉ះនិងអង្កត់ធ្នូ

\[b=45^\circ\]

មុំដែលផ្គុំដោយបន្ទាត់ប៉ះនិងអង្កត់ធ្នូ

លំហាត់គំរូទី ២៖ ក្នុងរូបខាងស្ដាំនេះ មាន $\displaystyle ST$ ជាបន្ទាត់ប៉ះនឹងរង្វង់ត្រង់ $\displaystyle A$ និង $\displaystyle BC$ ជាអង្កត់ផ្ចិត។ បើ $\displaystyle \angle SAB=40^\circ$ ។

ចូរគណនា៖ ក. $\displaystyle \angle CAT$ ខ. $\displaystyle \angle CBA$ ។

ចម្លើយ៖

ក. គេបាន

\[\angle BAC=90^\circ\]

មុំចារឹកក្នុងកន្លះរង្វង់

\[\angle CAT=\angle SAT-\angle BAC-\angle SAB\]

\[\angle CAT=180^\circ-90^\circ-40^\circ=50^\circ ។\]

ខ. គេបាន

\[\angle CBA=\angle CAT=50^\circ\]

មុំដែលផ្គុំដោយបន្ទាត់ប៉ះនិងអង្កត់ធ្នូ ។

លំហាត់គំរូទី ៣៖ គេឱ្យរង្វង់ផ្ចិត $\displaystyle O$ និង $\displaystyle ST$ ជាបន្ទាត់ប៉ះនឹងរង្វង់ត្រង់ $\displaystyle E$ ហើយ $\displaystyle SHF$ ជាបន្ទាត់កាត់។ គេឱ្យ $\displaystyle FG=FE$, $\displaystyle \angle HES=30^\circ$ និង $\displaystyle \angle FET=56^\circ$ ។

ចូរគណនា៖ ក. $\displaystyle \angle GFE$ ខ. $\displaystyle \angle HSE$ ។

ចម្លើយ៖

ក. គេបាន

\[\angle FGE=56^\circ\]

មុំដែលផ្គុំដោយបន្ទាត់ប៉ះនិងអង្កត់ធ្នូ

ដូចនេះ

\[\angle GFE=180^\circ-\angle FGE-\angle GEF\]

ផលបូកមុំក្នុងត្រីកោណសមបាត

\[=180^\circ-56^\circ-56^\circ=68^\circ\]

\[\angle GFE=68^\circ ។\]

ខ. គេបាន

\[\angle HFE=30^\circ\]

មុំដែលផ្គុំដោយបន្ទាត់ប៉ះនិងអង្កត់ធ្នូ

\[\angle HSE+\angle HFE=\angle FET\]

មុំក្រៅត្រីកោណ

\[\angle HSE+30^\circ=58^\circ\]

\[\angle HSE=58^\circ-30^\circ=28^\circ\]

ដូចនេះ

\[\angle HSE=28^\circ ។\]

ប្រតិបត្តិ៖ គេឱ្យរង្វង់ដែលមានផ្ចិត $\displaystyle O$ និង $\displaystyle ST$ ជាបន្ទាត់ប៉ះនឹងរង្វង់ត្រង់ $\displaystyle E$ ។ គេឱ្យអង្កត់ $\displaystyle DE=DF$ និង $\displaystyle \angle FET=40^\circ$ ។

ចូរគណនា៖

ក. $\displaystyle \angle EOF$

ខ. $\displaystyle \angle DES$ ។

? លំហាត់

គេឱ្យរង្វង់ដែលមានផ្ចិត $\displaystyle O$ ហើយអង្កត់ធ្នូ $\displaystyle AC = AB$ និង $\displaystyle \angle ABC = 65^\circ$ ។ ចូររករង្វាស់មុំ $\displaystyle \angle ACB$ និង $\displaystyle \angle ABO$ (រូបខាងស្ដាំ) ។
តាមរូបខាងស្ដាំនេះ ចូររករង្វាស់មុំ $\displaystyle \angle ACD$ , $\displaystyle \angle BAE$ និង $\displaystyle \angle BDC$ ។
ក្នុងរង្វង់ដែលមានផ្ចិត $\displaystyle O$ គេឱ្យអង្កត់ធ្នូ $\displaystyle AB$ ស្របនឹង $\displaystyle CD$ ។ ចូរគណនារង្វាស់មុំ $\displaystyle \angle BCD$ , $\displaystyle \angle ADC$ និង $\displaystyle \angle ABC$ ។
តាមរូបខាងស្ដាំនេះ ចូររករង្វាស់មុំ $\displaystyle x$ និង $\displaystyle y$ ។
គេឱ្យរង្វង់ដែលមានផ្ចិត $\displaystyle O$ ។ អង្កត់ធ្នូ $\displaystyle AC$ និង $\displaystyle BD$ កាត់គ្នាត្រង់ $\displaystyle I$ និង $\displaystyle \angle CAB = 40^\circ$ , $\displaystyle \angle AIB = 60^\circ$ ។ ចូរគណនារង្វាស់មុំ
ក. $\displaystyle \angle ACD$ ខ. $\displaystyle \angle CAD$ ។
បីចំណុច $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ , $\displaystyle C$ ឋិតនៅលើរង្វង់ដែលមានផ្ចិត $\displaystyle O$ ដូចរូបខាងស្ដាំនេះ ។ គេឱ្យ $\displaystyle \angle AOC = 120^\circ$ ។ ចូរគណនារង្វាស់មុំ $\displaystyle \angle ABC$ ។
ក្នុងរូបខាងស្ដាំនេះគេមាន $\displaystyle O$ ជាផ្ចិតនៃរង្វង់ ។ អង្កត់ធ្នូ $\displaystyle AD$ ស្របនឹង $\displaystyle BC$ និង $\displaystyle \angle ACB = 45^\circ$ , $\displaystyle \angle ACD = 25^\circ$ ។ ចូរគណនារង្វាស់មុំ
ក. $\displaystyle \angle ADC$ ខ. $\displaystyle \angle OAB$ ។
ក្នុងរូបខាងស្ដាំនេះមានចំណុច $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ , $\displaystyle C$ និង $\displaystyle D$ នៅលើរង្វង់ផ្ចិត $\displaystyle O$ ។ បើគេបន្លាយ អង្កត់ធ្នូ $\displaystyle AB$ និង $\displaystyle CD$ កាត់គ្នាត្រង់ $\displaystyle P$ ហើយ $\displaystyle \angle CBD = 35^\circ$ , $\displaystyle \angle CAP = 70^\circ$ និង $\displaystyle \angle DBP = 75^\circ$ ។
ចូរគណនា ៖ ក. $\displaystyle \angle ACD$ ខ. $\displaystyle \angle APC$ គ. $\displaystyle \angle DAB$ ។
ក្នុងរង្វង់ដែលមានផ្ចិត $\displaystyle O$ និង $\displaystyle AC$ ជាអង្កត់ផ្ចិត ។ គេបន្លាយអង្កត់ធ្នូ $\displaystyle BA$ និង $\displaystyle CD$ ជួបគ្នាត្រង់ $\displaystyle T$ ហើយ $\displaystyle AT = AC$ និង $\displaystyle \angle ATD = 20^\circ$ ។ ចូរគណនារង្វាស់មុំ
ក. $\displaystyle \angle ADB$ ខ. $\displaystyle \angle BOC$ គ. $\displaystyle \angle BDC$ ។
ក្នុងរង្វង់ផ្ចិត $\displaystyle O$ ដែលមានអង្កត់ផ្ចិត $\displaystyle QS$ ប្រសព្វនឹងអង្កត់ធ្នូ $\displaystyle PR$ ត្រង់ $\displaystyle M$ ចំណុចកណ្តាលនៃ $\displaystyle PR$ ។ គេឱ្យ $\displaystyle \angle POQ = 134^\circ$ ។ ចូរគណនារង្វាស់មុំ
ក. $\displaystyle \angle PRQ$ ខ. $\displaystyle \angle RPQ$ គ. $\displaystyle \angle RSQ$ ។
គេមានរង្វង់ដែលមានផ្ចិត $\displaystyle O$ និង $\displaystyle PQ$ ជាបន្ទាត់ប៉ះរង្វង់ ត្រង់ $\displaystyle R$ ។ $\displaystyle RS$ ជាអង្កត់ផ្ចិតនិង $\displaystyle \angle ROQ = 48^\circ$ ។ ចូរគណនារង្វាស់មុំ
ក. $\displaystyle \angle OQR$ ខ. $\displaystyle \angle RST$ គ. $\displaystyle \angle TRQ$ ។
គេមានរង្វង់ផ្ចិត $\displaystyle O$ និង $\displaystyle ABE$ ជាត្រីកោណ ។ បើរង្វង់កាត់ $\displaystyle BE$ ត្រង់ $\displaystyle C$ និង $\displaystyle AC$ ត្រង់ $\displaystyle D$ ។ ចូរគណនារង្វាស់មុំ $\displaystyle x$ , $\displaystyle y$ និង $\displaystyle z$ ។
គេមាន $\displaystyle ABCD$ ជាចតុកោណចារិកក្នុងរង្វង់ដែលមាន $\displaystyle AB = BC$ និង $\displaystyle \angle ACE = 25^\circ$ ។ គេបន្លាយ $\displaystyle CD$ ដល់ $\displaystyle E$ និង $\displaystyle \angle ADE = 80^\circ$ ។
ចូរគណនារង្វាស់មុំ ក. $\displaystyle \angle ABC$ ខ. $\displaystyle \angle BAD$ ។
គេមាន $\displaystyle TKXM$ និង $\displaystyle SNXL$ ជាបន្ទាត់ប៉ះរង្វង់មួយដូចរូបខាងស្ដាំនេះ ។ $\displaystyle JKL$ ស្ថិតលើបន្ទាត់តែមួយនិង $\displaystyle \angle TKJ = 56^\circ$ ហើយ $\displaystyle \angle NJK = 40^\circ$ ។ ចូរគណនា
រង្វាស់មុំ ក. $\displaystyle \angle MLN$ ខ. $\displaystyle \angle LMN$ គ. $\displaystyle \angle KLN$ ។

ការវាយតម្លៃសមត្ថភាព (PISA)

PISA ១៤.១

កង់វិលយក្ស (Ferris Wheel)

គំនូរមិនតាមខ្នាត

កង់វិលយក្សមួយមានរាងជារង្វង់ផ្ចិត $\displaystyle O$។ កន្ត្រកអ្នកដំណើរស្ថិតនៅចំណុច $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, និង $\displaystyle C$ លើរង្វង់នៃកង់វិល។ វិស្វករបានវាស់មុំនៅផ្ចិត $\displaystyle \angle AOB = 90^\circ$ ដើម្បីគណនាគម្លាតរវាងកន្ត្រក។

សំណួរទី១៖ តើមុំ $\displaystyle \angle ACB$ ដែលអ្នកដំណើរនៅចំណុច $\displaystyle C$ មើលទៅកន្ត្រក $\displaystyle A$ និង $\displaystyle B$ មានទំហំប៉ុន្មានដឺក្រេ? ចូរពន្យល់ដោយប្រើលក្ខណៈមុំចារិកក្នុងរង្វង់។

ធ្វើលើកុំព្យូទ័រ តាមរបៀបតេស្ត PISA▶ សាកធ្វើលំហាត់នេះ តេស្តពេញ (៣ ភារកិច្ច)

PISA ១៤.២

តំបន់សុវត្ថិភាពសមុទ្រ (Marine Safety Zone)

កោះតូចមួយ $\displaystyle O$ ត្រូវបានហ៊ុមព័ទ្ធដោយតំបន់ថ្មប៉ប្រះទឹកជារាងរង្វង់។ កប៉ាល់មួយនៅចំណុច $\displaystyle P$ ចង់បើកទៅកាន់ចំណុច $\displaystyle T$ និង $\displaystyle S$ ដែលជាព្រំប្រទល់សុវត្ថិភាព (បន្ទាត់ប៉ះរង្វង់ចេញពីចំណុច $\displaystyle P$)។

សំណួរទី១៖ បើកប៉ាល់នៅចម្ងាយ $\displaystyle OP = 5\mathrm{km}$ ពីចំណុចកណ្តាលកោះ ហើយកាំនៃតំបន់ថ្មប៉ប្រះទឹកគឺ $\displaystyle r = 2\mathrm{km}$ តើចម្ងាយពីកប៉ាល់ទៅចំណុចប៉ះ $\displaystyle T$ ($\displaystyle PT$) មានប្រវែងប៉ុន្មាន?

ធ្វើលើកុំព្យូទ័រ តាមរបៀបតេស្ត PISA▶ សាកធ្វើលំហាត់នេះ តេស្តពេញ (៣ ភារកិច្ច)

PISA ១៤.៣

បង្អួចតុបតែង (Decorative Window)

ជាងឈើម្នាក់កំពុងធ្វើបង្អួចរាងចតុកោណចារិកក្នុងរង្វង់ $\displaystyle ABCD$ ដែលមាន អង្កត់ទ្រូង $\displaystyle AC$ និង $\displaystyle BD$ ជាអង្កត់ផ្ចិតរង្វង់ ហើយកាត់គ្នាត្រង់ $\displaystyle E$។ គាត់វាស់បានមុំ $\displaystyle \angle ADB = 45^\circ$ និង $\displaystyle \angle BAC = 45^\circ$។

សំណួរទី១៖ ដោយប្រើលក្ខណៈមុំចារិកក្នុងរង្វង់ និងចតុកោណចារិកក្នុងរង្វង់ ចូរគណនាមុំ $\displaystyle \angle ACD$ និងមុំ $\displaystyle \angle BDC$ ។ តើបង្អួចនេះជារាងចតុកោណកែងឬទេ? ហេតុអ្វី?

ធ្វើលើកុំព្យូទ័រ តាមរបៀបតេស្ត PISA▶ សាកធ្វើលំហាត់នេះ តេស្តពេញ (៣ ភារកិច្ច)