មេរៀនទី ១៩ ត្រីកោណមាត្រ — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ៩

✓គោលបំណងសិក្សា

កំណត់ជ្រុងឈម ជ្រុងជាប់ និងអ៊ីប៉ូតេនុសធៀបនឹងមុំស្រួចមួយ។
ពន្យល់ថា ផលធៀបត្រីកោណមាត្រកើតពីលក្ខណៈដូចគ្នានៃត្រីកោណកែង។
ប្រើ \(\displaystyle \sin\), \(\displaystyle \cos\) និង \(\displaystyle \tan\) ដើម្បីរកប្រវែងជ្រុង ឬរង្វាស់មុំ។
ប្រើតម្លៃពិសេសនៃមុំ \(\displaystyle 30^\circ\), \(\displaystyle 45^\circ\) និង \(\displaystyle 60^\circ\)។
បង្កើតគំរូ និងដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែងដែលមានមុំលើ និងមុំចុះ។

សំណួរបើកមេរៀន

អ្នកឈរនៅលើដីអាចរកកម្ពស់ដើមឈើ ឬអគារដោយមិនចាំបាច់ឡើងទៅវាស់ផ្ទាល់។ តើត្រូវវាស់អ្វីខ្លះ? ក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងប្រើចម្ងាយផ្ដេក មុំលើ និង ផលធៀបជ្រុងនៃត្រីកោណកែង ដើម្បីឆ្លើយសំណួរនេះ។

រំលឹកចំណេះដឹងមុន៖ ក្នុងត្រីកោណកែង ជ្រុងដែលទល់នឹងមុំកែងហៅថា អ៊ីប៉ូតេនុស។ បើជ្រុងមុំកែងមានប្រវែង \(\displaystyle a,b\) និងអ៊ីប៉ូតេនុសមាន ប្រវែង \(\displaystyle c\) នោះ \(\displaystyle a^2+b^2=c^2\)។

1. ផលធៀបត្រីកោណមាត្រក្នុងត្រីកោណកែង

1.1. ឈ្មោះជ្រុងធៀបនឹងមុំ

ក្នុងត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) កែងត្រង់ \(\displaystyle C\) យើងពិនិត្យមុំស្រួច \(\displaystyle A\)៖

\(\displaystyle AB\) ជា អ៊ីប៉ូតេនុស ព្រោះវាទល់នឹងមុំកែង។
\(\displaystyle BC\) ជា ជ្រុងឈមមុំ \(\displaystyle A\)។
\(\displaystyle AC\) ជា ជ្រុងជាប់មុំ \(\displaystyle A\) ដែលមិនមែនជាអ៊ីប៉ូតេនុស។

ចំណាំ៖ ពាក្យ “ឈម” និង “ជាប់” ប្រែប្រួលតាមមុំដែលយើងកំពុងពិនិត្យ ប៉ុន្តែអ៊ីប៉ូតេនុសមិនប្រែប្រួលទេ។

1.2. ហេតុអ្វីផលធៀបជ្រុងអាស្រ័យតែលើមុំ?

ត្រីកោណកែងពីរដែលមានមុំស្រួចមួយស្មើគ្នា ជាត្រីកោណដូចគ្នាតាមករណី មុំ–មុំ។ ដូច្នេះ ផលធៀបរវាងជ្រុងត្រូវគ្នារបស់វាស្មើគ្នា។ នេះមានន័យថា សម្រាប់មុំ \(\displaystyle A\) មួយ តម្លៃ \(\displaystyle \frac{\text{ជ្រុងឈម}}{\text{អ៊ីប៉ូតេនុស}}\), \(\displaystyle \frac{\text{ជ្រុងជាប់}}{\text{អ៊ីប៉ូតេនុស}}\) និង \(\displaystyle \frac{\text{ជ្រុងឈម}}{\text{ជ្រុងជាប់}}\) នៅថេរ ទោះបីត្រីកោណធំ ឬតូចក៏ដោយ។

1.3. និយមន័យ sine, cosine និង tangent

ក្នុងត្រីកោណកែងដែលមានមុំស្រួច \(\displaystyle \theta\)៖

\[\sin\theta=\frac{\text{ជ្រុងឈម}}{\text{អ៊ីប៉ូតេនុស}}, \qquad \cos\theta=\frac{\text{ជ្រុងជាប់}}{\text{អ៊ីប៉ូតេនុស}}, \qquad \tan\theta=\frac{\text{ជ្រុងឈម}}{\text{ជ្រុងជាប់}}.\]

ពាក្យជំនួយចងចាំ៖ SOH–CAH–TOA។

លំហាត់គំរូទី 1 ត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) កែងត្រង់ \(\displaystyle C\) មាន \(\displaystyle BC=3\,\mathrm{cm}\), \(\displaystyle AC=4\,\mathrm{cm}\) និង \(\displaystyle AB=5\,\mathrm{cm}\)។ រក \(\displaystyle \sin A,\cos A\) និង \(\displaystyle \tan A\)។

ដំណោះស្រាយ

\[\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac35,\qquad \cos A=\frac{AC}{AB}=\frac45,\qquad \tan A=\frac{BC}{AC}=\frac34.\]

ពិនិត្យការយល់ដឹង សម្រាប់ត្រីកោណដដែល សរសេរ \(\displaystyle \sin B,\cos B\) និង \(\displaystyle \tan B\)។

2. រកជ្រុង និងមុំដែលមិនស្គាល់

2.1. ជ្រើសរើសផលធៀបត្រឹមត្រូវ

គូស ឬសម្គាល់ត្រីកោណកែង និងមុំដែលពាក់ព័ន្ធ។
ដាក់ឈ្មោះជ្រុងថា ឈម ជាប់ ឬអ៊ីប៉ូតេនុស។
ជ្រើស \(\displaystyle \sin,\cos\) ឬ \(\displaystyle \tan\) ដែលប្រើតែជ្រុងស្គាល់ និងជ្រុងត្រូវរក។
សរសេរសមីការ រួចដោះស្រាយដោយរក្សាទុកតម្លៃក្នុងម៉ាស៊ីនគិតលេខ មិនបង្គត់មុនពេក។
ពិនិត្យឯកតា និងថាចម្លើយសមហេតុផលឬទេ។

ប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខ៖ ត្រូវកំណត់ម៉ាស៊ីនគិតលេខនៅរបៀបដឺក្រេ (DEG)។ ដើម្បីរកមុំពីផលធៀប ប្រើអនុគមន៍បញ្ច្រាស \(\displaystyle \sin^{-1}\), \(\displaystyle \cos^{-1}\) ឬ \(\displaystyle \tan^{-1}\)។ សញ្ញា \(\displaystyle \sin^{-1}\) មានន័យថា “inverse sine” មិនមែន \(\displaystyle \frac1{\sin}\) ទេ។

លំហាត់គំរូទី 2៖ រកជ្រុង ត្រីកោណកែងមួយមានមុំ \(\displaystyle 38^\circ\) និងអ៊ីប៉ូតេនុស \(\displaystyle 12\,\mathrm{cm}\)។ រកជ្រុងឈមមុំ \(\displaystyle 38^\circ\)។

ដំណោះស្រាយ តាងជ្រុងត្រូវរកដោយ \(\displaystyle x\)។ ដោយស្គាល់ជ្រុងឈម និងអ៊ីប៉ូតេនុស យើងប្រើ sine៖

\[\sin38^\circ=\frac{x}{12} \quad\Longrightarrow\quad x=12\sin38^\circ\approx7.39\,\mathrm{cm}.\]

ដូចនេះ \(\displaystyle x\approx7.4\,\mathrm{cm}\) បង្គត់ត្រឹម \(\displaystyle 0.1\,\mathrm{cm}\)។

លំហាត់គំរូទី 3៖ រកមុំ ជណ្ដើរប្រវែង \(\displaystyle 5\,\mathrm{m}\) ផ្អែកនឹងជញ្ជាំង ហើយជើងជណ្ដើរឃ្លាតពីជញ្ជាំង \(\displaystyle 3\,\mathrm{m}\)។ រកមុំ \(\displaystyle \theta\) រវាងជណ្ដើរ និងដី។

ដំណោះស្រាយ

\[\cos\theta=\frac35 \quad\Longrightarrow\quad \theta=\cos^{-1}\!\left(\frac35\right)\approx53.13^\circ.\]

ដូចនេះ \(\displaystyle \theta\approx53.1^\circ\)។

កំហុសដែលជួបញឹកញាប់

ជ្រើសជ្រុង “ជាប់” ដោយភ្លេចថាអ៊ីប៉ូតេនុសមិនត្រូវហៅថាជ្រុងជាប់។
ប្រើ \(\displaystyle \tan\) ទោះបីទិន្នន័យមានអ៊ីប៉ូតេនុស។
ដាក់ម៉ាស៊ីនគិតលេខនៅរបៀបរ៉ាដ្យង់ (RAD)។
បង្គត់តម្លៃនៅជំហានកណ្ដាល បណ្ដាលឱ្យចម្លើយចុងក្រោយខុស។

3. មុំលើ មុំចុះ និងការបង្កើតគំរូ

3.1. មុំលើ និងមុំចុះ

មុំលើ ជាមុំរវាងបន្ទាត់ផ្ដេក និងបន្ទាត់មើលឡើងលើ។
មុំចុះ ជាមុំរវាងបន្ទាត់ផ្ដេក និងបន្ទាត់មើលចុះក្រោម។

ក្នុងរូប បើអ្នកសង្កេតនៅកម្ពស់ \(\displaystyle e\) ពីដី ឈរចម្ងាយផ្ដេក \(\displaystyle d\) ពីវត្ថុ និងវាស់មុំលើបាន \(\displaystyle \theta\) នោះ

\[\tan\theta=\frac{h-e}{d} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{h=d\tan\theta+e}.\]

លំហាត់គំរូទី 4៖ កម្ពស់ដងទង់ជាតិ ឧបករណ៍វាស់នៅកម្ពស់ \(\displaystyle 1.5\,\mathrm{m}\) ពីដី និងនៅចម្ងាយ \(\displaystyle 18\,\mathrm{m}\) ពីគល់ដងទង់ជាតិ។ មុំលើទៅកំពូលស្មើ \(\displaystyle 32^\circ\)។ រកកម្ពស់ដងទង់ជាតិ។

ដំណោះស្រាយ

\[h=18\tan32^\circ+1.5\approx12.75\,\mathrm{m}.\]

ដូចនេះ ដងទង់ជាតិមានកម្ពស់ប្រហែល \(\displaystyle 12.8\,\mathrm{m}\)។

ការបកស្រាយភាពត្រឹមត្រូវ បើចម្ងាយ ឬមុំវាស់បានមិនត្រឹមត្រូវ ចម្លើយកម្ពស់ក៏មានកំហុសដែរ។ យើងគួរបង្គត់ចម្លើយឱ្យសមស្របនឹងភាពត្រឹមត្រូវនៃទិន្នន័យ ហើយមិនគួររាយការណ៍ខ្ទង់ច្រើនជាងការវាស់ជាក់ស្ដែងទេ។

4. តម្លៃពិសេស

4.1. មុំ \(\displaystyle 30^\circ\) និង \(\displaystyle 60^\circ\)

បំបែកត្រីកោណសម័ង្សជ្រុង \(\displaystyle a\) ដោយកម្ពស់មួយ៖

តាមទ្រឹស្ដីបទពីតាករ កម្ពស់ស្មើ \(\displaystyle \frac{a\sqrt3}{2}\)។ ដូច្នេះ

\[\sin30^\circ=\frac12,\quad \cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2},\quad \tan30^\circ=\frac{\sqrt3}{3},\]

\[\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2},\quad \cos60^\circ=\frac12,\quad \tan60^\circ=\sqrt3.\]

4.2. មុំ \(\displaystyle 45^\circ\)

ក្នុងត្រីកោណកែងសមបាត ជ្រុងមុំកែងទាំងពីរស្មើ \(\displaystyle a\) និងអ៊ីប៉ូតេនុស ស្មើ \(\displaystyle a\sqrt2\)។ ដូច្នេះ

\[\sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}, \qquad \tan45^\circ=1.\]

\(\displaystyle \theta\)	\(\displaystyle 30^\circ\)	\(\displaystyle 45^\circ\)	\(\displaystyle 60^\circ\)
\(\displaystyle \sin\theta\)	\(\displaystyle \frac12\)	\(\displaystyle \frac{\sqrt2}{2}\)	\(\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\)
\(\displaystyle \cos\theta\)	\(\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\)	\(\displaystyle \frac{\sqrt2}{2}\)	\(\displaystyle \frac12\)
\(\displaystyle \tan\theta\)	\(\displaystyle \frac{\sqrt3}{3}\)	\(\displaystyle 1\)	\(\displaystyle \sqrt3\)

លំហាត់គំរូទី 5 រកប្រវែង \(\displaystyle x\) បើ \(\displaystyle x\) ជាជ្រុងឈមមុំ \(\displaystyle 60^\circ\) និងជ្រុងជាប់មានប្រវែង \(\displaystyle 8\,\mathrm{cm}\)។

\[\tan60^\circ=\frac{x}{8} \quad\Longrightarrow\quad x=8\sqrt3\,\mathrm{cm}.\]

5. ទំនាក់ទំនងសំខាន់

សម្រាប់មុំស្រួច \(\displaystyle A\) ក្នុងត្រីកោណកែង៖

\[\boxed{\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}}, \qquad \boxed{\sin^2A+\cos^2A=1}.\]

បើ \(\displaystyle A+B=90^\circ\) នោះមុំ \(\displaystyle A\) និង \(\displaystyle B\) ជាមុំបំពេញគ្នា ហើយ

\[\boxed{\sin A=\cos B}, \qquad \boxed{\cos A=\sin B}.\]

លំហាត់គំរូទី 6 បើ \(\displaystyle \sin A=\frac35\) និង \(\displaystyle A\) ជាមុំស្រួច រក \(\displaystyle \cos A\) និង \(\displaystyle \tan A\)។

ដំណោះស្រាយ

\[\cos A=\sqrt{1-\sin^2A} =\sqrt{1-\frac9{25}}=\frac45, \qquad \tan A=\frac{\sin A}{\cos A}=\frac34.\]

6. លំហាត់អនុវត្ត

ក. ជំនាញមូលដ្ឋាន

ក្នុងត្រីកោណកែងមួយ សម្រាប់មុំ \(\displaystyle \theta\) គេមានជ្រុងឈម \(\displaystyle =5\), ជ្រុងជាប់ \(\displaystyle =12\) និងអ៊ីប៉ូតេនុស \(\displaystyle =13\)។ រក \(\displaystyle \sin\theta,\cos\theta\) និង \(\displaystyle \tan\theta\)។
រក \(\displaystyle x\) បង្គត់ត្រឹម \(\displaystyle 0.1\)៖
\(\displaystyle \sin42^\circ=\frac{x}{15}\)
\(\displaystyle \cos27^\circ=\frac{8}{x}\)
\(\displaystyle \tan63^\circ=\frac{x}{9}\)
រក \(\displaystyle \theta\) បង្គត់ត្រឹម \(\displaystyle 0.1^\circ\)៖
\(\displaystyle \tan\theta=\frac7{10}\)
\(\displaystyle \sin\theta=\frac9{14}\)
\(\displaystyle \cos\theta=0.36\)

ខ. ការគិតពិចារណា

សិស្សម្នាក់សរសេរ \(\displaystyle \sin A=\frac{\text{ជ្រុងជាប់}}{\text{អ៊ីប៉ូតេនុស}}\)។ ពន្យល់កំហុស និងកែឱ្យត្រឹមត្រូវ។
ដោយមិនប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខ ប្រៀបធៀប \(\displaystyle \sin30^\circ,\sin45^\circ,\sin60^\circ\) និងពន្យល់លំនាំ។
បើ \(\displaystyle A+B=90^\circ\) និង \(\displaystyle \sin A=0.62\) តើ \(\displaystyle \cos B\) ស្មើប៉ុន្មាន? ពន្យល់ហេតុផល។

គ. បញ្ហាជាក់ស្ដែង

ខ្សែយោងប្រវែង \(\displaystyle 14\,\mathrm{m}\) ចងពីកំពូលបង្គោលមកដី ហើយផ្ដុំជាមួយដីមុំ \(\displaystyle 58^\circ\)។ រកកម្ពស់បង្គោល។
ពីចំណុចមួយចម្ងាយ \(\displaystyle 25\,\mathrm{m}\) ពីគល់អគារ គេវាស់មុំលើបាន \(\displaystyle 40^\circ\)។ ភ្នែកអ្នកវាស់នៅកម្ពស់ \(\displaystyle 1.6\,\mathrm{m}\)។ រកកម្ពស់អគារ។
ផ្លូវឡើងមួយកើនកម្ពស់ \(\displaystyle 1.2\,\mathrm{m}\) ក្នុងចម្ងាយផ្ដេក \(\displaystyle 15\,\mathrm{m}\)។ រកមុំទំនោររបស់ផ្លូវ។

7. ផ្នែកពង្រីក៖ ត្រីកោណមិនកែង

ផ្នែកនេះសម្រាប់សិស្សដែលចង់ស្វែងយល់បន្ថែម។ សម្រាប់ត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) ដែល \(\displaystyle a,b,c\) ទល់នឹងមុំ \(\displaystyle A,B,C\) រៀងគ្នា៖

\[\boxed{a^2=b^2+c^2-2bc\cos A}\]

ជាច្បាប់កូស៊ីនុស និង

\[\boxed{\mathcal A=\frac12bc\sin A}\]

ជារូបមន្តផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ។

ឧទាហរណ៍ពង្រីក បើ \(\displaystyle b=8\), \(\displaystyle c=5\) និង \(\displaystyle A=60^\circ\) នោះ

\[a^2=8^2+5^2-2(8)(5)\cos60^\circ=49, \qquad a=7.\]

សង្ខេបមេរៀន

សម្គាល់ជ្រុងឈម ជ្រុងជាប់ និងអ៊ីប៉ូតេនុសធៀបនឹងមុំ។
ប្រើ SOH–CAH–TOA ដើម្បីជ្រើសផលធៀបត្រឹមត្រូវ។
ប្រើអនុគមន៍បញ្ច្រាសដើម្បីរកមុំ និងកំណត់ម៉ាស៊ីននៅ DEG។
ក្នុងបញ្ហាកម្ពស់ ត្រូវបូកកម្ពស់ភ្នែក ឬឧបករណ៍ពេលចាំបាច់។
ពិនិត្យឯកតា ភាពសមហេតុផល និងបង្គត់ត្រឹមត្រូវ។

វាយតម្លៃខ្លួនឯង ខ្ញុំអាច៖

\(\displaystyle \bigcirc\) ជ្រើស \(\displaystyle \sin,\cos\) ឬ \(\displaystyle \tan\) បានត្រឹមត្រូវ។
\(\displaystyle \bigcirc\) រកជ្រុង និងមុំក្នុងត្រីកោណកែង។
\(\displaystyle \bigcirc\) ដោះស្រាយបញ្ហាមុំលើ និងពន្យល់ភាពត្រឹមត្រូវនៃចម្លើយ។

ការវាយតម្លៃសមត្ថភាព (PISA)

PISA ១៩.១

ត្រួតពិនិត្យដើមឈើ (Inspecting a Tree)

អ្នកជំនាញឈរចម្ងាយ \(\displaystyle 20\) m ពីដើមឈើ។ ឧបករណ៍នៅកម្ពស់ \(\displaystyle 1.5\) m ពីដី និងវាស់មុំលើទៅកំពូលដើមឈើបាន \(\displaystyle 35^\circ\)។ ឱ្យ \(\displaystyle \tan35^\circ\approx0.700\)។

សំណួរទី១៖ សរសេរសមីការត្រីកោណមាត្រសម្រាប់រកកម្ពស់ \(\displaystyle h\) របស់ដើមឈើ ដោយបង្ហាញថាកម្ពស់ឧបករណ៍ត្រូវបានរាប់បញ្ចូល។
ចម្លើយ៖

សំណួរទី២៖ គណនា \(\displaystyle h\)។ ចម្លើយ៖

សំណួរទី៣៖ បើចម្ងាយ \(\displaystyle 20\) m ត្រូវបានវាស់ខុសត្រឹម \(\displaystyle 0.5\) m តើកំហុសលើកម្ពស់ដែលគណនាបានប្រហែលប៉ុន្មានម៉ែត្រ? បង្ហាញវិធីគណនា។
ចម្លើយ៖

ធ្វើលើកុំព្យូទ័រ តាមរបៀបតេស្ត PISA▶ សាកធ្វើលំហាត់នេះ ធ្វើតាមរបៀបតេស្តពិត