មេរៀនទី ១៨ សូលីត — គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី ៩

វត្ថុបំណង

កំណត់ផ្ទៃក្រឡាខាងនិងផ្ទៃក្រឡាទាំងអស់នៃសូលីត
គណនាមាឌសូលីតតាមរូបមន្ត ទំនាក់ទំនងផ្ទៃក្រឡា និងមាឌនៃសូលីត
គណនាផលធៀបផ្ទៃក្រឡានិងមាឌនៃរូបដូចគ្នា ។

1. ផ្ទៃក្រឡានិងមាឌនៃសូលីត

1.1. ផ្ទៃក្រឡាខាងនៃសូលីត

មុននឹងសិក្សាផ្ទៃក្រឡានៃសូលីត គេត្រូវស្គាល់ធាតុសូលីតដូចខាងក្រោម ។

សូលីតដែលគេជួបប្រទះញឹកញាប់គឺ ពីរ៉ាមីតដូចខាងក្រោម ។

\(\displaystyle [OS]\) កែងនឹងប្លង់បាតហៅថាកម្ពស់នៃពីរ៉ាមីត
\(\displaystyle [SH] \perp [AB]\) ឬ \(\displaystyle [SH] \perp [BC]\) ឬ \(\displaystyle [SH] \perp [CD]\) ហៅថា អាប៉ូតែម ។

ដើម្បីគណនាផ្ទៃក្រឡានៃសូលីត គេពន្លាតពីរ៉ាមីតនិយ័តដែលមានបាតជាការេដាក់លើប្លង់មួយ ។

\[\begin{aligned} S_L &= 4 \times S_{CDS} \\ &= 4 \times \frac{1}{2}DC \times HS \\ &= \frac{1}{2} \times \underbrace{4DC}_{\text{បរិមាត្របាត}} \times \underbrace{HS}_{\text{អាប៉ូតែម}} \end{aligned}\]

ជារួម : ផ្ទៃក្រឡាខាងនៃពីរ៉ាមីតនិយ័តស្មើនឹងផលគុណរវាងកន្លះបរិមាត្របាតនិងអាប៉ូតែម

\[S_L = \frac{1}{2} \times p \times a \quad (p : \text{បរិមាត្រពហុកោណនិយ័តបាត} \quad , \quad a : \text{អាប៉ូតែម}) \text{ ។}\]

ដូចគ្នានេះដែរ បើគេពន្លាតផ្ទៃខាងនៃកោណដោយកាត់តាមជានេត្រមួយដាក់លើប្លង់ នោះគេបានចម្រៀកថាសមួយហើយវណ្ឌកំណត់ចម្រៀកថាសនេះមានរង្វាស់ស្មើនឹងបរិមាត្រនៃរង្វង់បាតរបស់កោណ ។ (ថាសផ្ចិត \(\displaystyle S\) កាំ \(\displaystyle a\))

ចម្រៀកថាសជាផ្នែកមួយនៃថាសដែលត្រូវនឹងប្រវែងធ្នូ \(\displaystyle 2\pi R\) តាង \(\displaystyle S\) ជាផ្ទៃក្រឡានៃចម្រៀកថាស ផ្ទៃថាស \(\displaystyle \pi a^2\) ត្រូវនឹងប្រវែងធ្នូ \(\displaystyle 2\pi a\) ផ្ទៃចម្រៀកថាស \(\displaystyle S\) ត្រូវនឹងប្រវែងធ្នូ \(\displaystyle 2\pi R\)

\[\frac{\pi a^2}{S} = \frac{2\pi a}{2\pi R} \quad , \quad S = \frac{2\pi^2 R a^2}{2\pi a} = \pi R a\]

ជារួម : ផ្ទៃក្រឡាខាងនៃកោណគឺ \(\displaystyle S_L = \pi R a\) (\(\displaystyle R\) កាំបាត , \(\displaystyle a\) ជានេត្រ)ផ្ទៃក្រឡាទាំងអស់គឺ \(\displaystyle S_T = \pi R a + \pi R^2 = \pi R(a + R)\)

លំហាត់គំរូទី 1 : ចូរគណនាផ្ទៃក្រឡាខាងនៃពីរ៉ាមីតនិយ័ត (តាមរូបខាងក្រោម) ។

ចម្លើយ : ផ្ទៃក្រឡាខាង

\[\begin{aligned} S_L &= \frac{1}{2}pa \\ &= \frac{1}{2}(6 \times 6) \times 7 \\ &= 126 \end{aligned}\]

ដូចនេះ ផ្ទៃក្រឡាខាងនៃពីរ៉ាមីតនិយ័តគឺ \(\displaystyle S_L = 126\text{cm}^2\) ។

លំហាត់គំរូទី 2 : ចូរគណនាផ្ទៃក្រឡាទាំងអស់នៃពីរ៉ាមីតនិយ័ត (តាមរូបខាងក្រោម) ។

ចម្លើយ : ផ្ទៃក្រឡាខាង

\[\begin{aligned} S_L &= \frac{1}{2}pa \\ &= \frac{1}{2}(15 \times 4) \times 12 \\ &= 360 \text{ ។} \end{aligned}\]

ផ្ទៃក្រឡាបាត

\[\begin{aligned} S_B &= a^2 \\ &= 15^2 \\ &= 225 \text{ ។} \end{aligned}\]

ផ្ទៃក្រឡាទាំងអស់

\[\begin{aligned} S_T &= S_L + S_B \\ &= 360 + 225 \\ &= 585 \text{ ។} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ផ្ទៃក្រឡាទាំងអស់គឺ : \(\displaystyle S_T = 585\text{cm}^2\) ។

លំហាត់គំរូទី 3 : ចូរគណនាផ្ទៃក្រឡាខាងនិងផ្ទៃក្រឡាទាំងអស់នៃកោណ (តាមរូបខាងស្តាំ) ។ (\(\displaystyle \pi \approx 3.14\))

ចម្លើយ : ផ្ទៃក្រឡាខាង

\[\begin{aligned} S_L &= \pi R a \\ &= 3.14 \times 4 \times 13 \\ &= 163.28\text{cm}^2 \text{ ។} \end{aligned}\]

ផ្ទៃក្រឡាទាំងអស់

\[\begin{aligned} S_T &= \pi R(R + a) \\ &= 3.14 \times 4(4 + 13) \\ &= 213.52\text{cm}^2 \text{ ។} \end{aligned}\]

ប្រតិបត្តិ : ចូរគណនាផ្ទៃក្រឡាខាងនិងផ្ទៃក្រឡាទាំងអស់តាមរូបខាងក្រោម ។

1.2. មាឌនៃសូលីត

ខាងក្រោមនេះជារូបមន្តនៃមាឌសូលីត ។

រូប

ឈ្មោះ

មាឌ \(\displaystyle (V)\)

ពីរ៉ាមីត

\(\displaystyle V = \frac{1}{3} S_B \times h\)

\(\displaystyle SO = h\) ជាកម្ពស់ពីរ៉ាមីត

\(\displaystyle S_B\) ផ្ទៃក្រឡាបាត

កោណ

\(\displaystyle V = \frac{1}{3} \pi R^2 h\)

\(\displaystyle SO = h\) ជាកម្ពស់កោណ

\(\displaystyle R\) កាំនៃថាសបាត

ស៊្វែ ឬ ប៊ូល

\(\displaystyle S = 4\pi R^2 \quad , \quad V = \frac{4}{3} \pi R^3\)

\(\displaystyle O\) ហៅថា ផ្ចិតនៃប៊ូល ឬ ស៊្វែ

\(\displaystyle [OA] \ , \ [OD]\) ហៅថា កាំ

\(\displaystyle OA = OB = OC = OD = R\)

\(\displaystyle [BC]\) ហៅថា អង្កត់ផ្ចិត

\(\displaystyle BC = 2R\)

លំហាត់គំរូទី 1 : ចូររកមាឌនៃពីរ៉ាមីត (រូបខាងស្តាំ) ។

ចម្លើយ : មាឌនៃពីរ៉ាមីត

ផ្ទៃក្រឡាបាត

\[\begin{aligned} S_B &= 18 \times 18 \\ &= 324\text{cm}^2 \text{ ។} \end{aligned}\]

មាឌនៃពីរ៉ាមីត

\[\begin{aligned} V &= \frac{S_B \times h}{3} \\ &= \frac{324 \times 30}{3} = 3240 \\ &= 3240\text{cm}^3 \end{aligned}\]

ដូចនេះ មាឌនៃពីរ៉ាមីត \(\displaystyle V = 3240\text{cm}^3\) ។

លំហាត់គំរូទី 2 : កោណមួយមានកម្ពស់ \(\displaystyle 24\text{cm}\) ហើយមានមាឌ \(\displaystyle 3018\text{cm}^3\) ។ ចូររកផ្ទៃក្រឡាបាតកោណ ។

ចម្លើយ : ផ្ទៃក្រឡាបាតកោណ

តាមរូបមន្ត \(\displaystyle V = \frac{S_B \times h}{3}\) នាំឱ្យ \(\displaystyle S_B = \frac{3V}{h}\)

\[\begin{aligned} S_B &= \frac{3018 \times 3}{24} \\ &= 377.25 \text{ ។} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ផ្ទៃក្រឡាបាតកោណ \(\displaystyle S_B = 377.25\text{cm}^2\) ។

លំហាត់គំរូទី 3 : ចូររកផ្ទៃក្រឡាស៊្វែនិងមាឌប៊ូលដែលកាំមានប្រវែង \(\displaystyle 14\text{cm}\) ។

ចម្លើយ : ផ្ទៃក្រឡាស៊្វែ

\[\begin{aligned} S &= 4\pi R^2 \\ &= 4 \times 3.14 \times (14)^2 \\ &= 2461.76\text{cm}^2 \text{ ។} \end{aligned}\]

មាឌប៊ូល

\[\begin{aligned} V &= \frac{4}{3} \pi R^3 \\ &= \frac{4}{3} \times 3.14 \times (14)^3 \\ &= 11488.21\text{cm}^3 \text{ ។} \end{aligned}\]

ប្រតិបត្តិ : កោណមួយមានកម្ពស់ \(\displaystyle 28\text{cm}\) និង កាំនៃថាសបាតមានប្រវែង \(\displaystyle 13\text{cm}\) ។ ចូរគណនាមាឌកោណគិតជា \(\displaystyle \text{dm}^3\) ។

2. ផលធៀបនៃផ្ទៃក្រឡានិងមាឌនៃរូបដូចគ្នា

2.1. ផលធៀបផ្ទៃក្រឡានៃរូបដូចគ្នា

ឧទាហរណ៍ទី 1 : គេមានការេ \(\displaystyle A\) និងការេ \(\displaystyle B\) ជាការេដូចគ្នារូបខាងក្រោម ។ តើផលធៀបនៃផ្ទៃក្រឡារបស់វាស្មើនឹងប៉ុន្មាន ?

ផ្ទៃក្រឡាការេ \(\displaystyle A\) ស្មើនឹង \(\displaystyle 1 \times 1 = 1\text{cm}^2\)

ផ្ទៃក្រឡាការេ \(\displaystyle B\) ស្មើនឹង \(\displaystyle 3 \times 3 = 9\text{cm}^2\)

ផលធៀបរវាងជ្រុងនៃការេទាំងពីរគឺ \(\displaystyle \frac{1}{3}\)

ផលធៀបរវាងផ្ទៃក្រឡានៃការេទាំងពីរគឺ \(\displaystyle \frac{1}{9} = \left(\frac{1}{3}\right)^2\) ។

ឧទាហរណ៍ទី 2 : គេមានចតុកោណកែងពីរ (ដូចរូបខាងស្តាំ) ។

ផលធៀបរវាងបណ្តោយទាំងពីរស្មើនឹង \(\displaystyle \frac{15}{10} = \frac{3}{2}\)

ផលធៀបរវាងទទឹងទាំងពីរស្មើនឹង \(\displaystyle \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\)

ផលធៀបរវាងផ្ទៃក្រឡាទាំងពីរស្មើនឹង

\[\frac{15 \times 6}{10 \times 4} = \frac{3 \times 3}{2 \times 2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 \text{ ។}\]

សម្គាល់ : ជ្រុងនៃចតុកោណកែងទាំងពីរសមាមាត្រគ្នាជាចតុកោណកែងដូចគ្នា ។

ជារួម : កាលណារូបពីរដូចគ្នាផលធៀបរវាងផ្ទៃក្រឡាស្មើនឹងការេនៃផលធៀបរវាងធាតុត្រូវគ្នាពីរ ។

លំហាត់គំរូទី 1 : ត្រីកោណទាំងពីរខាងស្តាំនេះជាត្រីកោណដូចគ្នា ។ ចូររកផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ \(\displaystyle S\) ។

ចម្លើយ : ផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ \(\displaystyle S\)

បើ \(\displaystyle S\) ជាផ្ទៃក្រឡាដែលត្រូវរក

គេបាន

\[\begin{aligned} \frac{S}{144} &= \left(\frac{12}{16}\right)^2 \\ &= \left(\frac{3}{4}\right)^2 \\ &= \frac{9}{16} \end{aligned}\]

នាំឱ្យ

\[\begin{aligned} S &= \frac{9}{16} \times 144 \\ &= 81 \end{aligned}\]

ដូចនេះ \(\displaystyle S = 81\text{cm}^2\) ។

លំហាត់គំរូទី 2 : គេមានចតុកោណកែងពីរដូចគ្នាដែលមានមានផ្ទៃក្រឡារៀងគ្នាស្មើនឹង \(\displaystyle 18\text{dm}^2\) និង \(\displaystyle 8\text{dm}^2\) ។ ចូរគណនាបណ្តោយចតុកោណធំដោយដឹងថា ចតុកោណតូចមានបណ្តោយស្មើនឹង \(\displaystyle 6\text{dm}\) ។

ចម្លើយ : ចូរប្រវែងចតុកោណកែងធំ

តាង \(\displaystyle x\) ជាបណ្តោយចតុកោណកែងធំ

គេបាន

\[\begin{aligned} \frac{18}{8} &= \left(\frac{x}{6}\right)^2 \\ \frac{9}{4} &= \frac{x^2}{36} \\ x^2 &= \frac{9}{4} \times 36 \\ &= 81 \end{aligned}\]

នាំឱ្យ

\[\begin{aligned} x &= \sqrt{81} \\ &= 9 \text{ ។} \end{aligned}\]

ដូចនេះ បណ្តោយចតុកោណកែងធំគឺ \(\displaystyle x = 9\text{dm}\) ។

លំហាត់គំរូទី 3 : នៅពេលសិក្សាមេរៀនភូមិវិទ្យាលោកគ្រូបានយកផែនទីនៃខេត្តមួយរបស់សាលារៀនដែលមានមាត្រដ្ឋាន \(\displaystyle \frac{1}{2~500}\) ។ គេដឹងថាបរិមាត្រនៃដីធ្លាសាលារៀននៅលើប្លង់មានរាងចតុកោណកែងមានរង្វាស់ \(\displaystyle 3\text{cm}\) និង \(\displaystyle 2\text{cm}\) ។ ចូរគណនាផ្ទៃក្រឡាដីធ្លារបស់សាលារៀនពិត ។

ចម្លើយ : ផ្ទៃក្រឡាដីធ្លាសាលារៀន

នៅក្នុងផែនទីជាប្លង់រួមតូចនៃទីធ្លាសាលារៀនដែលមានផលធៀបមាត្រដ្ឋានស្មើនឹង \(\displaystyle \frac{1}{2~500}\)

បើ \(\displaystyle S\) ជាផ្ទៃក្រឡារបស់សាលារៀន ហើយ \(\displaystyle S'\) ជាផ្ទៃក្រឡានៅក្នុងផែនទី

គេបាន

\[\frac{S'}{S} = \left(\frac{1}{2~500}\right)^2\]

នាំឱ្យ

\[S = S' \times (2~500)^2\]

តែ

\[\begin{aligned} S' &= 2 \times 3 \\ &= 6 \end{aligned}\]

នោះ

\[\begin{aligned} S &= S' \times (2~500)^2 \\ &= 6 \times (2~500)^2 = 37~500~000 \\ S &= 375 \times 10^5\text{cm}^2 \quad \text{ឬ} \quad S = 3~750\text{m}^2 \text{ ។} \end{aligned}\]

ដូចនេះ ទីធ្លាសាលារៀនមានផ្ទៃក្រឡា \(\displaystyle S = 3~750\text{m}^2\) ។

ប្រតិបត្តិ : ចូរសរសេរផលធៀបបរិមាត្រនិងផលធៀបផ្ទៃក្រឡានៃរូបដូចគ្នាខាងក្រោម ។

2.2. ផលធៀបមាឌនៃសូលីតដូចគ្នា

ឧទាហរណ៍ទី 1 : គេមានគូបពីរ (ដូចរូបខាងស្តាំ)

មាឌរបស់គូប (a) ស្មើនឹង \(\displaystyle V_a = 1 \times 1 \times 1 = 1\text{cm}^3\)

មាឌរបស់គូប (b) ស្មើនឹង \(\displaystyle V_b = 2 \times 2 \times 2 = 8\text{cm}^3\)

ផលធៀបបរិមាត្រស្មើនឹង \(\displaystyle \frac{1}{2}\)

ផលធៀបមាឌស្មើនឹង \(\displaystyle \frac{1 \times 1 \times 1}{2 \times 2 \times 2} = \left(\frac{1}{2}\right)^3\) ។

ឧទាហរណ៍ទី 2 : ចូរពិនិត្យប្រអប់ពីរដូចគ្នា (រូបខាងក្រោម) ។

ផលធៀបបណ្តោយស្មើនឹង \(\displaystyle \frac{15}{10} = \frac{3}{2}\)

ផលធៀបទទឹងស្មើនឹង \(\displaystyle \frac{12}{8} = \frac{3}{2}\)

ផលធៀបកម្ពស់ស្មើនឹង \(\displaystyle \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\)

ផលធៀបមាឌស្មើនឹង \(\displaystyle \frac{3 \times 3 \times 3}{2 \times 2 \times 2} = \left(\frac{3}{2}\right)^3\)

ប្រអប់មានវិមាត្រសមាមាត្រគ្នាជាប្រអប់ដូចគ្នា ។

ជារួម : កាលណាសូលីតពីរដូចគ្នាផលធៀបរវាងមាឌ ស្មើនឹងគូបនៃផលធៀបរវាងធាតុត្រូវគ្នាពីរ ។

លំហាត់គំរូទី 1 : ផលធៀបរវាងផ្ទៃក្រឡាទាំងអស់នៃគូបស្មើនឹង \(\displaystyle \frac{16}{25}\) ។ ចូរគណនាផលធៀបរវាងជ្រុងនិងផលធៀបរវាងមាឌនៃគូបពីរដូចគ្នា ។

ចម្លើយ : យើងដឹងថាផលធៀបរវាងផ្ទៃក្រឡាស្មើនឹងការេផលធៀបរវាងជ្រុងត្រូវគ្នា

តាង \(\displaystyle x\) ជាផលធៀបរវាងជ្រុងនោះ : \(\displaystyle x^2 = \frac{16}{25} \quad , \quad x = \frac{4}{5}\)

ដូចនេះផលធៀបរវាងមាឌស្មើនឹង \(\displaystyle \left(\frac{4}{5}\right)^3 = \frac{64}{125}\) ។

លំហាត់គំរូទី 2 : ផលធៀបរវាងបណ្តោយនៃប្រលេពីប៉ែតកែងដូចគ្នាពីរស្មើនឹង \(\displaystyle \frac{4}{3}\) ។ បើប្រលេពីប៉ែតកែងតូចមានមាឌ \(\displaystyle 54\text{dm}^3\) ចូររកមាឌប្រលេពីប៉ែតកែងធំ ។

ចម្លើយ : មាឌប្រលេពីប៉ែតកែងធំ

តាង \(\displaystyle V\) ជាមាឌនៃប្រលេពីប៉ែតកែងធំ

គេបាន

\[\begin{aligned} \frac{V}{54} &= \left(\frac{4}{3}\right)^3 \\ &= \frac{64}{27} \end{aligned}\]

នាំឱ្យ

\[\begin{aligned} V &= \frac{64}{27} \times 54 \\ &= 128\text{dm}^3 \end{aligned}\]

ដូចនេះ \(\displaystyle V = 128\text{dm}^3\) ។

លំហាត់គំរូទី 3 : ផលធៀបរវាងផ្ទៃក្រឡាទាំងអស់នៃគូបស្មើនឹង \(\displaystyle 16 : 25\) ។ តើគូបធំមានម៉ាសប៉ុន្មានបើគេដឹងថាគូបតូចមានម៉ាសស្មើនឹង \(\displaystyle 32\text{g}\) (គូបទាំងពីរធ្វើពីវត្ថុធាតុតែមួយ) ។ គូបទាំងពីរជាគូបដូចគ្នា ។

ចម្លើយ : ម៉ាសគូបធំ

ផលធៀបរវាងផ្ទៃក្រឡាទាំងអស់ \(\displaystyle \frac{S}{S'} = \frac{16}{25} = \left(\frac{4}{5}\right)^2\)

ផលធៀបរវាងមាឌ \(\displaystyle \frac{v}{V} = \left(\frac{4}{5}\right)^3 = \frac{64}{125}\)

យើងដឹងថាផលធៀបរវាងម៉ាសគូបទាំងពីរស្មើនឹងផលធៀបរវាងមាឌរបស់វា

បើ \(\displaystyle m\) និង \(\displaystyle M\) ជាម៉ាសនៃគូបទាំងពីរនាំឱ្យ \(\displaystyle \frac{m}{M} = \frac{v \cdot \mu}{V \cdot \mu} = \frac{v}{V} = \frac{64}{125}\) ដែល \(\displaystyle \mu\) ជាម៉ាសមាឌ

\[\begin{aligned} M &= \frac{125 \times m}{64} \\ &= \frac{125}{64} \times 32 \\ &= 62.5 \end{aligned}\]

ដូចនេះ \(\displaystyle M = 62.5\text{g}\) ។

ប្រតិបត្តិ : គេឱ្យ \(\displaystyle DE \parallel BC \quad AD = 3\text{cm} \quad , \quad AB = 5\text{cm}\) ។ ដោយដឹងថាផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ \(\displaystyle ADE = 6\text{cm}^2\) ។

ក. ចូររកក្រឡាផ្ទៃត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\)
ខ. ចូររកក្រឡាផ្ទៃចតុកោណ \(\displaystyle DECB\) ។

លំហាត់

ចូររកផ្ទៃក្រឡាខាងនិងផ្ទៃក្រឡាទាំងអស់នៃរូបខាងក្រោម ។
ចូររកមាឌកោណដែលមានកម្ពស់និងកាំបាតក្នុងករណីនីមួយៗខាងក្រោម ។
ក. \(\displaystyle R = 5\text{cm}\) , \(\displaystyle h = 12\text{cm}\)
ខ. \(\displaystyle R = 3.4\text{cm}\) , \(\displaystyle h = 8.9\text{cm}\)
គ. \(\displaystyle R = 3.7\text{cm}\) , \(\displaystyle h = 7\text{cm}\)
ឃ. \(\displaystyle R = 5.2\text{cm}\) , \(\displaystyle h = 11\text{cm}\)
ង. \(\displaystyle R = \sqrt{5}\text{mm}\) , \(\displaystyle h = 13.4\text{mm}\)
ច. \(\displaystyle R = 7\text{dm}\) , \(\displaystyle h = 16\text{dm}\) ។
ចូររកផ្ទៃក្រឡាស៊្វែនិងមាឌប៊ូលក្នុងករណីនីមួយៗខាងក្រោម ។
ក. \(\displaystyle R = 3\text{cm}\)
ខ. \(\displaystyle D = 18\text{dm}\)
គ. \(\displaystyle R = 3.7\text{cm}\)
ឃ. \(\displaystyle D = 23.2\text{cm}\) ។
ចូររកកាំស៊្វែដោយស្គាល់ផ្ទៃក្រឡាដូចខាងក្រោម ។
ក. \(\displaystyle S = \frac{36}{25}\pi\text{cm}^2\)
ខ. \(\displaystyle S = \frac{46}{16}\pi\text{m}^2\)
គ. \(\displaystyle S = \frac{12}{5}\pi\text{dm}^2\)
ឃ. \(\displaystyle S = 1~764\pi\text{cm}^2\) ។
ចូររកកាំនៃប៊ូលដោយស្គាល់មាឌ
ក. \(\displaystyle V = 288\pi\text{cm}^3\)
ខ. \(\displaystyle V = \frac{32}{16}\pi\text{m}^3\) ។
គេឱ្យកោណមួយនិងកន្លះស៊្វែដូចរូបខាងស្តាំ ។
ក. ចូររកមាឌទាំងអស់នៃសូលីត ។
ខ. ចូររកផ្ទៃក្រឡាទាំងអស់នៃសូលីត ។
គេឱ្យបន្ទាត់ \(\displaystyle AB \parallel CD\) ដែល \(\displaystyle \frac{BE}{CE} = \frac{1}{2}\) ។ ផ្ទៃក្រឡា \(\displaystyle \Delta CED\) ស្មើនឹង \(\displaystyle 16\text{cm}^2\) ចូររកផ្ទៃក្រឡា \(\displaystyle \Delta AEB\) ។
តើផ្ទៃក្រឡាការេ \(\displaystyle DEFG\) តូចជាងផ្ទៃក្រឡា \(\displaystyle ABCD\) ប៉ុន្មានដង ?
គេឱ្យប្រលេឡូក្រាម \(\displaystyle ABCD\) និង \(\displaystyle I\) ជាចំណុចកណ្ដាលនៃ \(\displaystyle AB\) ។ បន្ទាត់ \(\displaystyle BD\) និង \(\displaystyle CI\) ប្រសព្វគ្នាត្រង់ \(\displaystyle O\) ។ តើផ្ទៃក្រឡា \(\displaystyle \Delta BIO\) តូចជាងផ្ទៃក្រឡា \(\displaystyle \Delta DOC\) ប៉ុន្មានដង ?
រូបថតនៃផ្ទាំងមួយមានកំពស់ \(\displaystyle 3\text{cm}\) និងមានផ្ទៃក្រឡាស្មើនឹង \(\displaystyle 9\text{cm}^2\) ។ គេដឹងថាជញ្ជាំងមានកម្ពស់ពិត \(\displaystyle 6\text{m}\) ។ តើវាមានផ្ទៃក្រឡាពិតប្រាកដប៉ុន្មាន \(\displaystyle \text{m}^2\) ។
ផ្ទៃក្រឡានៃទីធ្លាសាលាមួយមានរង្វាស់ \(\displaystyle 144\text{cm}^2\) នៅក្នុងផែនទី 1 ហើយមានរង្វាស់ស្មើនឹង \(\displaystyle 256\text{cm}^2\) នៅក្នុងផែនទីពីរ ។ ដោយដឹងថាវិមាត្រមួយនៃទីធ្លានោះស្មើនឹង \(\displaystyle 18\text{cm}\) នៅក្នុងផែនទីទីមួយ ។ តើវិមាត្រនោះស្មើនឹងប៉ុន្មាន \(\displaystyle \text{cm}\) នៅក្នុងផែនទីទីពីរ ?
ទីធ្លាមួយមានផ្ទៃក្រឡាពិត \(\displaystyle 9~600\text{m}^2\) ។ តើផ្ទៃក្រឡានេះមានប៉ុន្មាន \(\displaystyle \text{cm}^2\) នៅក្នុងប្លង់មួយដែលមានមាត្រដ្ឋាន \(\displaystyle \frac{1}{2~500}\) ។
គេកាត់កោណឱ្យស្របនឹងបាតជាបីចំណែក (ដូចរូបខាងស្តាំ) ។ មុខកាត់មានអង្កត់ផ្ចិតរៀងគ្នា \(\displaystyle 6\text{cm}\) និង \(\displaystyle 10\text{cm}\) ។
ក. ចូរគណនា \(\displaystyle x\)
ខ. ចូររកមាឌនៃកោណនោះ ។
\(\displaystyle SABCD\) ជាពីរ៉ាមីតដែលមានបាតជាការេ ។ ជ្រុងនៃការេនេះមានប្រវែង \(\displaystyle 60\text{cm}\) ។ កម្ពស់ \(\displaystyle [SO]\) នៃពីរ៉ាមីតមានប្រវែង \(\displaystyle 80\text{cm}\) គេកាត់ពីរ៉ាមីតនេះឱ្យស្របនឹងបាត ។ គេបានការេ \(\displaystyle EFGK\) ។ គេឱ្យ \(\displaystyle OO' = x\) ។
ក. ចូររកជ្រុងនៃការេ \(\displaystyle EFGK\) តាមតម្លៃ \(\displaystyle x\) ។
ខ. បើ \(\displaystyle x = 30\text{cm}\) គណនាមាឌនៃកំណាត់ពីរ៉ាមីតខណ្ឌដោយ \(\displaystyle ABCD\) និង \(\displaystyle EFGK\) ។
តាមរូបខាងស្តាំនេះគេឱ្យ \(\displaystyle BA = 6\) , \(\displaystyle SA = 8\) , \(\displaystyle SA' = \frac{2}{3}SA\) ។ រង្វាស់គិតជា \(\displaystyle \text{cm}\) ។
ក. ចូរគណនា \(\displaystyle A'B'\) ។
ខ. ចូរគណនាផ្ទៃក្រឡានៃការេ \(\displaystyle A'B'C'D'\) រួចផ្ទៀងផ្ទាត់ថាផ្ទៃក្រឡា \(\displaystyle A'B'C'D' = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times\) ផ្ទៃក្រឡា \(\displaystyle ABCD\) ។
គ. ចូរបង្ហាញថា \(\displaystyle SO' = \frac{2}{3}SO\) រួចទាញបញ្ជាក់ថាមាឌ \(\displaystyle SA'B'C'D' = \left(\frac{2}{3}\right)^3 \times\) មាឌ \(\displaystyle SABCD\) ។
ក្នុងរូបខាងស្តាំនេះគេឱ្យ \(\displaystyle SM' = \frac{1}{2}SM\) , \(\displaystyle SO = 10\text{cm}\) , \(\displaystyle OM = 6\text{cm}\) ។
ក. ចូរគណនា \(\displaystyle O'M'\) រួចផ្ទៀងផ្ទាត់ផ្ទៃក្រឡាថាស \(\displaystyle (O') = \left(\frac{1}{2}\right)^2\) ផ្ទៃក្រឡាថាស \(\displaystyle (O)\)
ខ. ចូរបង្ហាញថា \(\displaystyle SO' = \frac{1}{2}SO\) ។
គ. ចូរស្រាយបញ្ជាក់ថា មាឌនៃកោណនៃកំពូល \(\displaystyle S\) និងបាត \(\displaystyle O'\) ស្មើនិងមាឌនៃកោណនៃកំពូល \(\displaystyle S\) និងបាត \(\displaystyle (O)\) គុណនិង \(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^3\) ។
អ្នកលក់ឪឡឹកម្នាក់កំណត់លក់ផ្លែឪឡឹកតូចពីរ ថ្លៃស្មើនិងផ្លែឪឡឹកធំមួយ ។ ដោយកាំនៃផ្លែឪឡឹកតូចស្មើនិង \(\displaystyle \frac{3}{4}\) នៃកាំឪឡឹកធំ ។ តើអ្នកទិញគួរជ្រើសរើសមួយណាដើម្បីបានចំណេញជាង ?
ឈ្មួញម្នាក់លក់ម៉ាស៊ីនបោកខោអាវពីរប្រភេទដែលមានរាងស៊ីឡាំងដូចគ្នា ។ តែវិមាត្រនៃម៉ាស៊ីនទីមួយស្មើនឹង \(\displaystyle \frac{9}{10}\) នៃវិមាត្រម៉ាស៊ីនទីពីរ ។ តម្លៃនៃម៉ាស៊ីនតូចស្មើនឹង \(\displaystyle \frac{7}{10}\) នៃម៉ាស៊ីនធំ ។ តើគេគួរជ្រើសរើសយកម៉ាស៊ីនប្រភេទណាទើបចំណេញជាង ?
ស៊ីឡាំងមួយមានរង្វាស់កាំ \(\displaystyle R\) និងកម្ពស់ \(\displaystyle h\) គេយកកោណដែលមានរង្វាស់កាំ \(\displaystyle R\) និងកម្ពស់ \(\displaystyle h\) ដាក់ក្នុងស៊ីឡាំងតាមរូប ។
ក. ចូរគណនាមាឌកោណនិងមាឌនៃស៊ីឡាំង
ខ. ចូរគណនាផលធៀបរវាងមាឌនៃកោណនិងមាឌនៃស៊ីឡាំង ។
កោណមួយមានរង្វាស់កាំ \(\displaystyle R\) និងកម្ពស់ \(\displaystyle h\) នៅក្នុងកោណនោះមានស៊ីឡាំងមួយដែលមានរង្វាស់កាំស្មើនឹង \(\displaystyle \frac{R}{2}\) ។
ក. ចូរគណនាមាឌនៃស៊ីឡាំងនោះ
ខ. ចូរគណនាផលធៀបរវាងមាឌនៃស៊ីឡាំងនិងមាឌនៃកោណ ។
គូបមួយមានរង្វាស់ជ្រុងស្មើនឹង \(\displaystyle 2a\) នៅក្នុងគូបនោះគេមានស៊ីឡាំងមួយដែលមានរង្វាស់កាំស្មើនឹង \(\displaystyle a\) និងមានកម្ពស់ស្មើនឹង \(\displaystyle 2a\) ។
ក. ចូរគណនាមាឌនៃស៊ីឡាំង
ខ. ចូរគណនាផលធៀបរវាងមាឌនៃស៊ីឡាំងនិងមាឌនៃគូប ។
គូបមួយមានរង្វាស់ជ្រុង \(\displaystyle 2\text{cm}\) ហើយស៊្វែរមានកាំ \(\displaystyle r\) ។ ចូរកំណត់កាំ \(\displaystyle r\) ដោយដឹងថាមាឌនៃគូបស្មើនឹងពីរដងនៃមាឌស៊្វែ ។ គេបង្គត់ \(\displaystyle \pi = 3\) ។
ផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណសម័ង្សដែលមានជ្រុង \(\displaystyle 1\text{cm}\) ។ តើត្រូវជាប៉ុន្មានភាគរយនៃផ្ទៃក្រឡានៃការេដែលមានរង្វាស់ជ្រុង \(\displaystyle 1\text{cm}\) ។

ការវាយតម្លៃសមត្ថភាព (PISA)

PISA ១៨.១

ធុងទឹកភ្លៀង (Rainwater Tank)

ធុងទឹករាងស៊ីឡាំងមានកាំបាត \(\displaystyle 1.2\) m និងកម្ពស់ \(\displaystyle 2\) m។ ប្រើ \(\displaystyle \pi\approx3.14\) និង \(\displaystyle 1\,\mathrm{m^3}=1000\) លីត្រ។

សំណួរទី១៖ គណនាមាឌអតិបរមារបស់ធុងគិតជា \(\displaystyle \mathrm{m^3}\)។
ចម្លើយ៖

សំណួរទី២៖ បម្លែងមាឌនោះទៅជាលីត្រ។ ចម្លើយ៖

សំណួរទី៣៖ នៅរដូវប្រាំង ធុងមានទឹកត្រឹម \(\displaystyle 75\%\)។ តើមានទឹកប៉ុន្មានលីត្រ?
ចម្លើយ៖

ធ្វើលើកុំព្យូទ័រ តាមរបៀបតេស្ត PISA▶ សាកធ្វើលំហាត់នេះ ធ្វើតាមរបៀបតេស្តពិត