KhmerMathគណិតវិទ្យាខ្មែរ
ធ្វើតេស្ត CBA
  1. ទំព័រដើម
  2. ថ្នាក់ទី ១០
  3. មេរៀន
  4. ជំពូកទី ២ · មេរៀនទី ១
១
ជំពូកទី ២ : តក្កវិទ្យា សំណុំ និងចំនួន · មេរៀនទី ១

តក្កវិទ្យា

ឧទាហរណ៍ ១០ប្រតិបត្តិ ២

អារីស្តូត និងកំណើតនៃតក្កវិទ្យា

នៅក្នុងជំពូកនេះ គេចាប់ផ្តើមសិក្សាអំពីបញ្ញត្តិមូលដ្ឋាននៃតក្កវិទ្យា សំណុំ និងរបៀបធ្វើសម្រាយបញ្ជាក់គណិតវិទ្យា តាមបែបតក្កវិទ្យាដែលជាមធ្យោបាយដ៏សំខាន់មួយក្នុងការអភិវឌ្ឍបំណិនគិត និងការដោះស្រាយចំណោទបញ្ហាតាមបែបគណិតវិទ្យា ។ បន្ទាប់ពីទទួលបានបញ្ញត្តិមូលដ្ឋាននៃតក្កវិទ្យា សំណុំ និងបំណិនក្នុងការធ្វើសម្រាយបញ្ជាក់គណិតវិទ្យា គេនឹងអាចឈានទៅសិក្សាពីសញ្ញាណ និងប្រមាណវិធីនៃចំនួនសនិទាន អសនិទាន ចំនួនពិត និងសិក្សាអំពីប្រព័ន្ធរបាប់គោល ១០ និងគោល ២ ដែលមានសារៈសំខាន់សម្រាប់ការសិក្សាផ្នែកវិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រ និងអេឡិចត្រូនិក ។

✓វត្ថុបំណង
  1. ប្រាប់ពីសញ្ញាណសំណើ និងកំណត់តម្លៃភាពពិតនៃសំណើបានត្រឹមត្រូវ
  2. កំណត់សំណើឈ្នាប់តក្កវិទ្យា និងបកស្រាយតម្លៃភាពពិតនៃសំណើឈ្នាប់តក្កវិទ្យាបានត្រឹមត្រូវ
  3. ដោះស្រាយលំហាត់ដោយស្រាយបញ្ជាក់តាមបែបតក្កវិទ្យាបានត្រឹមត្រូវ ។

1. សំណើ និងតម្លៃភាពពិត

ឧទាហរណ៍ 1 : ក្នុងការពិភាក្សាគ្នា គេតែងសង្កេតឃើញថា មានការលើកឡើងនូវអំណះអំណាងផ្សេងៗគ្នា ដែលអំណះអំណាងខ្លះពិត ខ្លះមិនពិត (ពេលដែលគេដឹង) និងខ្លះទៀតមិនអាចសន្និដ្ឋានបាន ៖

  1. ក. «\(\displaystyle 5\) ជាចំនួនបឋម» ជាអំណះអំណាងពិត ។
  2. ខ. «ខែធ្នូមាន \(\displaystyle 5\) ថ្ងៃ» ជាអំណះអំណាងមិនពិត ។
  3. គ. «សុភីមានមាឌតូច» ជាអំណះអំណាងមិនអាចថាពិតឬមិនពិត ព្រោះគេមិនបានកំណត់ថាទំហំខ្លួនប៉ុនណាដែលបញ្ជាក់ថាមានមាឌតូចនោះ ។

អំណះអំណាង (ក) ដែលគេអាចសម្រេចបានថាពិត និងអំណះអំណាង (ខ) ដែលគេអាចសម្រេចថាមិនពិត ហៅថា សំណើ ។ ចំណែកអំណះអំណាង (គ) មិនមែនជាសំណើទេ ។

គេតាងឈ្មោះនៃសំណើដោយអក្សរតូច \(\displaystyle p, q, r, s, \dots\)

និយមន័យ

សំណើ គឺជាអំណះអំណាងទាំងឡាយណាដែលគេអាចសម្រេចបានច្បាស់លាស់ថាពិត ឬមិនពិត (តែមិនអាចពិតផងនិងមិនពិតផងក្នុងពេលតែមួយបានឡើយ) ។

តម្លៃភាពពិត

  • បើសំណើ \(\displaystyle p\) ពិត នោះគេថា \(\displaystyle p\) មានតម្លៃភាពពិតស្មើនឹង \(\displaystyle 1\) ។ គេកំណត់សរសេរ ត.\(\displaystyle (p) = 1\) (ឬ \(\displaystyle \text{T}\)) ។
  • បើសំណើ \(\displaystyle p\) មិនពិត នោះគេថា \(\displaystyle p\) មានតម្លៃភាពពិតស្មើនឹង \(\displaystyle 0\) ។ គេកំណត់សរសេរ ត.\(\displaystyle (p) = 0\) (ឬ \(\displaystyle \text{F}\)) ។
✎ប្រតិបត្តិ

ចូរជ្រើសរើសអំណះអំណាងដែលជាសំណើក្នុងចំណោមអំណះអំណាងខាងក្រោម ហើយកំណត់តម្លៃភាពពិត ៖

  1. ក. សត្វគោតូចជាងសត្វឆ្មា ។ (ជាសំណើ, តម្លៃភាពពិត ត. = 0)
  2. ខ. \(\displaystyle 2021\) ចែកដាច់នឹង \(\displaystyle 3\) ។ (ជាសំណើ, \(\displaystyle 2+0+2+1=5\) មិនចែកដាច់នឹង 3 \(\displaystyle \implies\) ត. = 0)
  3. គ. ថ្ងៃស្អែកនឹងមានភ្លៀងខ្លាំងបំផុតនៅភ្នំពេញ ។ (មិនមែនជាសំណើទេ ព្រោះមិនទាន់អាចសម្រេចថាពិតឬមិនពិត)

2. ឈ្នាប់តក្កវិទ្យា

2.1 ឈ្នាប់និង (\(\displaystyle \wedge\) - Conjunction)

គេភ្ជាប់សំណើ \(\displaystyle p\) និង \(\displaystyle q\) ដោយឈ្នាប់ «និង» នោះគេបានសំណើថ្មីមួយហៅថា សំណើឈ្នាប់និង តាងដោយ \(\displaystyle p \wedge q\) (អានថា \(\displaystyle p\) និង \(\displaystyle q\)) ។

តារាងភាពពិតនៃឈ្នាប់និង

\(\displaystyle p\)\(\displaystyle q\)\(\displaystyle p \wedge q\)
\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 1\)
\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 0\)
\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 0\)
\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 0\)

សម្គាល់ ៖ សំណើ \(\displaystyle p \wedge q\) ពិតតែក្នុងករណីសំណើ \(\displaystyle p\) និង \(\displaystyle q\) ពិតទាំងពីរព្រមគ្នា ។

•លំហាត់គំរូ

គេមានសំណើពីរ \(\displaystyle p : \text{«} 7 \text{ ជាតួចែកនៃ } 15 \text{»}\) និង \(\displaystyle q : \text{«} 7 \text{ ជាចំនួនបឋម»}\) ។ កំណត់សំណើ \(\displaystyle p \wedge q\) និងតម្លៃភាពពិតនៃ \(\displaystyle p \wedge q\) ។

ដំណោះស្រាយ
  • \(\displaystyle p \wedge q : \text{«} 7 \text{ ជាតួចែកនៃ } 15 \text{ និងជាចំនួនបឋម»}\)
  • ដោយ ត.\(\displaystyle (p) = 0\) និង ត.\(\displaystyle (q) = 1\) នោះ ត.\(\displaystyle (p \wedge q) = 0\) ។
✎ប្រតិបត្តិ

គេមានសំណើពីរ \(\displaystyle r : 24 \text{ ជាពហុគុណនៃ } 6\) និង \(\displaystyle s : 24 \text{ ជាចំនួនគត់គូ}\) ។ ចូរកំណត់សំណើ \(\displaystyle r \wedge s\) និង ត.\(\displaystyle (r \wedge s)\) ។
ចម្លើយ ៖ \(\displaystyle r \wedge s : \text{«} 24 \text{ ជាពហុគុណនៃ } 6 \text{ និងជាចំនួនគត់គូ»}\) ។ ដោយ ត.\(\displaystyle (r)=1\) និង ត.\(\displaystyle (s)=1\) នោះ ត.\(\displaystyle (r \wedge s) = 1\) ។

2.2 ឈ្នាប់ឬ (\(\displaystyle \vee\) - Disjunction)

គេភ្ជាប់សំណើ \(\displaystyle p\) និង \(\displaystyle q\) ដោយឈ្នាប់ «ឬ» នោះគេបានសំណើថ្មីហៅថា សំណើឈ្នាប់ឬ តាងដោយ \(\displaystyle p \vee q\) (អានថា \(\displaystyle p\) ឬ \(\displaystyle q\)) ។

តារាងភាពពិតនៃឈ្នាប់ឬ

\(\displaystyle p\)\(\displaystyle q\)\(\displaystyle p \vee q\)
\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 1\)
\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 1\)
\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 1\)
\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 0\)

សម្គាល់ ៖ សំណើ \(\displaystyle p \vee q\) មិនពិតតែក្នុងករណីដែលសំណើ \(\displaystyle p\) និង \(\displaystyle q\) មិនពិតទាំងពីរព្រមគ្នា ។ ក្រៅពីនោះវាជាសំណើពិតជានិច្ច ។

•លំហាត់គំរូ

គេមានសំណើពីរ \(\displaystyle r : 2021 \text{ ចែកដាច់នឹង } 3\) និង \(\displaystyle s : 2024 \text{ ជាចំនួនគត់គូ}\) ។ កំណត់សំណើ \(\displaystyle r \vee s\) និងតម្លៃភាពពិត ។

ដំណោះស្រាយ

\(\displaystyle r \vee s : \text{«} 2021 \text{ ចែកដាច់នឹង } 3 \text{ ឬ } 2024 \text{ ជាចំនួនគត់គូ»}\) ។
ដោយ ត.\(\displaystyle (r) = 0\), ត.\(\displaystyle (s) = 1\) នោះ ត.\(\displaystyle (r \vee s) = 1\) ។

2.3 ឈ្នាប់មិន (\(\displaystyle \sim\) ឬ \(\displaystyle \bar{p}\) - Negation)

សំណើបដិសេធនៃសំណើ \(\displaystyle p\) ហៅថា សំណើឈ្នាប់មិន តាងដោយ \(\displaystyle \bar{p}\) ឬ \(\displaystyle \sim p\) (អានថាមិន \(\displaystyle p\)) ។

តារាងភាពពិតនៃឈ្នាប់មិន

\(\displaystyle p\)\(\displaystyle \bar{p}\)
\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 0\)
\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 1\)
ជាទូទៅ
  1. បដិសេធពីរដង ៖ \(\displaystyle \bar{\bar{p}} = p\) ។

  2. លក្ខណៈដឺម៉កហ្កង់ (De Morgan Laws) ៖

    \[\overline{p \wedge q} = \bar{p} \vee \bar{q} \quad \text{និង} \quad \overline{p \vee q} = \bar{p} \wedge \bar{q}\]

តារាងផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខណៈ De Morgan

\(\displaystyle p\)\(\displaystyle q\)\(\displaystyle p \wedge q\)\(\displaystyle \overline{p \wedge q}\)\(\displaystyle \bar{p}\)\(\displaystyle \bar{q}\)\(\displaystyle \bar{p} \vee \bar{q}\)\(\displaystyle p \vee q\)\(\displaystyle \overline{p \vee q}\)\(\displaystyle \bar{p} \wedge \bar{q}\)
\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 0\)
\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 0\)
\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 0\)
\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 1\)

2.4 ឈ្នាប់នាំឱ្យ (\(\displaystyle \Rightarrow\) - Implication)

សំណើ «បើ \(\displaystyle p\) នោះ \(\displaystyle q\)» ភ្ជាប់ដោយឈ្នាប់នាំឱ្យ ហៅថា សំណើលក្ខខណ្ឌ តាងដោយ \(\displaystyle p \Rightarrow q\) ។
ក្នុងនេះ \(\displaystyle p\) ហៅថា បុព្វសំណើ (សម្មតិកម្ម) ហើយ \(\displaystyle q\) ហៅថា វិបាក (សេចក្តីសន្និដ្ឋាន) ។

តារាងភាពពិតនៃឈ្នាប់នាំឱ្យ

\(\displaystyle p\)\(\displaystyle q\)\(\displaystyle p \Rightarrow q\)
\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 1\)
\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 0\)
\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 1\)
\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 1\)

សម្គាល់ ៖ សំណើ \(\displaystyle p \Rightarrow q\) មិនពិតតែក្នុងករណីមួយគត់ គឺ \(\displaystyle p\) ពិត ហើយ \(\displaystyle q\) មិនពិត (\(\displaystyle 1 \Rightarrow 0\) គឺ \(\displaystyle 0\)) ។

សំណើទាក់ទងនឹង \(\displaystyle p \Rightarrow q\) ៖

  • សំណើច្រាស (Converse) ៖ \(\displaystyle q \Rightarrow p\)
  • សំណើផ្ទុយ (Inverse) ៖ \(\displaystyle \bar{p} \Rightarrow \bar{q}\)
  • សំណើផ្ទុយពីសម្មតិកម្ម (Contrapositive) ៖ \(\displaystyle \bar{q} \Rightarrow \bar{p}\)

សន្និដ្ឋានសំខាន់ ៖ សំណើដើម \(\displaystyle p \Rightarrow q\) និងសំណើផ្ទុយពីសម្មតិកម្ម \(\displaystyle \bar{q} \Rightarrow \bar{p}\) មានតម្លៃភាពពិតដូចគ្នាជានិច្ច ៖

\[(p \Rightarrow q) \iff (\bar{q} \Rightarrow \bar{p})\]

2.5 ឈ្នាប់សមមូល (\(\displaystyle \Leftrightarrow\) - Equivalence)

សំណើ «\(\displaystyle p\) លុះត្រាតែ \(\displaystyle q\)» ឬ «\(\displaystyle p\) សមមូល \(\displaystyle q\)» តាងដោយ \(\displaystyle p \Leftrightarrow q\) ។

ជាទូទៅ
\[p \Leftrightarrow q = (p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p)\]

សម្គាល់ ៖ សំណើ \(\displaystyle p \Leftrightarrow q\) ពិត លុះត្រាតែសំណើទាំងពីរមានតម្លៃភាពពិតដូចគ្នា (ពិតទាំងពីរ ឬមិនពិតទាំងពីរ) ។
ពេលនោះ គេថាសំណើ \(\displaystyle p\) ជា លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ សម្រាប់សំណើ \(\displaystyle q\) ។

តារាងភាពពិតនៃឈ្នាប់សមមូល

\(\displaystyle p\)\(\displaystyle q\)\(\displaystyle p \Rightarrow q\)\(\displaystyle q \Rightarrow p\)\(\displaystyle p \Leftrightarrow q\)
\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 1\)
\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 0\)
\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 0\)
\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 1\)

3. ប្រភេទនៃសម្រាយបញ្ជាក់គណិតវិទ្យា

3.1 ការស្រាយបញ្ជាក់ដោយផ្ទាល់ (Direct Proof)

ជាការស្រាយបញ្ជាក់ត្រង់ៗពីសម្មតិកម្ម \(\displaystyle p\) តាមទ្រឹស្តីបទ រូបមន្ត ឬនិយមន័យរហូតទាញបានសេចក្តីសន្និដ្ឋាន \(\displaystyle q\) ។

១លំហាត់គំរូ ១

បង្ហាញថាបើ \(\displaystyle x\) និង \(\displaystyle y\) ជាចំនួនសនិទាន នោះ \(\displaystyle x+y\) គឺជាចំនួនសនិទាន ។
ដំណោះស្រាយ ៖ តាង \(\displaystyle x = \frac{a}{b}\) និង \(\displaystyle y = \frac{m}{n}\) ដែល \(\displaystyle a, b, m, n \in \mathbb{Z}\) និង \(\displaystyle b, n \ne 0\) ។
គេបាន \(\displaystyle x+y = \frac{a}{b} + \frac{m}{n} = \frac{an+bm}{bn}\) ។
ដោយ \(\displaystyle an+bm \in \mathbb{Z}\) និង \(\displaystyle bn \in \mathbb{Z}\) (\(\displaystyle bn \ne 0\)) នាំឱ្យ \(\displaystyle x+y\) ជាចំនួនសនិទាន (ពិត) ។

២លំហាត់គំរូ ២

ក្នុង \(\displaystyle \triangle ABC\) ដែល \(\displaystyle EF \parallel BC\) ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថា \(\displaystyle \frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC} = \frac{EF}{BC}\) ។

ដំណោះស្រាយ ៖ តាមទ្រឹស្តីបទតាលែស ក្នុង \(\displaystyle \triangle ABC\) មាន \(\displaystyle EF \parallel BC\) គេបាន \(\displaystyle \frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC} \quad (1)\) ។
សង់បន្ទាត់ \(\displaystyle EN \parallel AC\) (\(\displaystyle N\) នៅលើ \(\displaystyle BC\)) នោះចតុកោណ \(\displaystyle EFCN\) ជាប្រលេឡូក្រាម \(\displaystyle \implies NC = EF\) ។
តាមតាលែស គេបាន \(\displaystyle \frac{NC}{BC} = \frac{AE}{AB} \implies \frac{EF}{BC} = \frac{AE}{AB} \quad (2)\) ។
តាម (1) និង (2) ទាញបាន \(\displaystyle \frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC} = \frac{EF}{BC}\) (ពិត) ។

3.2 ការស្រាយបញ្ជាក់តាមសំណើផ្ទុយពីសម្មតិកម្ម (Contrapositive Proof)

ដើម្បីបង្ហាញថាសំណើ \(\displaystyle p \Rightarrow q\) ពិត គេអាចបង្ហាញថាសំណើ \(\displaystyle \bar{q} \Rightarrow \bar{p}\) ពិត ព្រោះសំណើទាំងពីរមានតម្លៃភាពពិតដូចគ្នា ។

ជំហានទាំង ៣ នៃសម្រាយបញ្ជាក់ ៖

  1. កំណត់សំណើ \(\displaystyle p\) និង \(\displaystyle q\) នៃសំណើដើម \(\displaystyle p \Rightarrow q\) ។
  2. កំណត់សំណើបដិសេធ \(\displaystyle \bar{p}\) និង \(\displaystyle \bar{q}\) ។
  3. សន្មតថា \(\displaystyle \bar{q}\) ពិត រួចបកស្រាយទាញរកឱ្យបាន \(\displaystyle \bar{p}\) ពិត ។ នោះទាញបាន \(\displaystyle p \Rightarrow q\) ពិត ។
•លំហាត់គំរូ

បង្ហាញថា «បើ \(\displaystyle n^2\) ជាចំនួនគត់គូ នោះ \(\displaystyle n\) ជាចំនួនគត់គូ» ។
ដំណោះស្រាយ ៖

  • សំណើដើម \(\displaystyle p \Rightarrow q\) ៖ \(\displaystyle p : n^2 \text{ ជាចំនួនគត់គូ}\), \(\displaystyle q : n \text{ ជាចំនួនគត់គូ}\) ។
  • សំណើផ្ទុយពីសម្មតិកម្ម \(\displaystyle \bar{q} \Rightarrow \bar{p}\) ៖ «បើ \(\displaystyle n\) ជាចំនួនគត់សេស នោះ \(\displaystyle n^2\) ជាចំនួនគត់សេស» ។
  • បង្ហាញថា \(\displaystyle \bar{q} \Rightarrow \bar{p}\) ពិត ៖ បើ \(\displaystyle n\) ជាចំនួនគត់សេស គេអាចតាង \(\displaystyle n = 2k+1\) (\(\displaystyle k \in \mathbb{Z}\)) ។
    គេបាន \(\displaystyle n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2+2k) + 1 = 2m+1\) (\(\displaystyle m = 2k^2+2k \in \mathbb{Z}\)) ។
    ដូច្នេះ \(\displaystyle n^2\) ជាចំនួនគត់សេស \(\displaystyle \implies \bar{p}\) ពិត ។
    សន្និដ្ឋាន ៖ \(\displaystyle \bar{q} \Rightarrow \bar{p}\) ពិត នាំឱ្យសំណើដើម «បើ \(\displaystyle n^2\) ជាចំនួនគត់គូ នោះ \(\displaystyle n\) ជាចំនួនគត់គូ» ពិត ។

3.3 ការស្រាយបញ្ជាក់តាមសំណើផ្ទុយពីការពិត (Proof by Contradiction)

វិធីនេះតម្រូវឱ្យគេឧបមាថាសំណើបដិសេធ \(\displaystyle \bar{p}\) ពិត រួចបកស្រាយរហូតដល់ទទួលបានលទ្ធផលមួយដែលផ្ទុយពីទ្រឹស្តីគណិតវិទ្យា ឬផ្ទុយពីសម្មតិកម្មដើម ។ ដូច្នេះ \(\displaystyle \bar{p}\) មិនពិត នាំឱ្យសំណើដើម \(\displaystyle p\) ត្រូវតែពិត ។

•លំហាត់គំរូ

បង្ហាញថា \(\displaystyle \sqrt{2}\) ជាចំនួនអសនិទាន ។
ដំណោះស្រាយ ៖

  • ឧបមាផ្ទុយពីការពិតថា \(\displaystyle \sqrt{2}\) ជាចំនួនសនិទាន ។
  • នោះគេអាចសរសេរ \(\displaystyle \sqrt{2} = \frac{a}{b}\) ដែល \(\displaystyle a, b \in \mathbb{Z}\), \(\displaystyle b \ne 0\) និង \(\displaystyle \text{GCD}(a, b) = 1\) (ប្រភាគសម្រួលរួច) ។
  • លើកជាការេ ៖ \(\displaystyle 2 = \frac{a^2}{b^2} \implies a^2 = 2b^2\) នាំឱ្យ \(\displaystyle a^2\) ជាចំនួនគត់គូ នាំឱ្យ \(\displaystyle a\) ក៏ជាចំនួនគត់គូដែរ ។
  • តាង \(\displaystyle a = 2k\) (\(\displaystyle k \in \mathbb{Z}\)) \(\displaystyle \implies (2k)^2 = 2b^2 \implies 4k^2 = 2b^2 \implies b^2 = 2k^2\) ។
    ដូច្នេះ \(\displaystyle b^2\) ជាចំនួនគត់គូ នាំឱ្យ \(\displaystyle b\) ក៏ជាចំនួនគត់គូដែរ ។
  • ដោយ \(\displaystyle a\) និង \(\displaystyle b\) សុទ្ធតែជាចំនួនគត់គូ នោះ \(\displaystyle \text{GCD}(a, b) \ge 2\) ដែលផ្ទុយពីការសន្មតថា \(\displaystyle \text{GCD}(a, b) = 1\) ។
  • ដូច្នេះ ការឧបមាខាងលើមិនពិត \(\displaystyle \implies \sqrt{2}\) គឺជាចំនួនអសនិទាន (ពិត) ។

3.4 ការស្រាយបញ្ជាក់តាមទ្វេលក្ខខណ្ឌ (Biconditional Proof)

ដើម្បីបង្ហាញថាសំណើ \(\displaystyle p \Leftrightarrow q\) ពិត គេត្រូវបង្ហាញពីលក្ខខណ្ឌទាំងពីរ ៖

  1. បង្ហាញថា \(\displaystyle p \Rightarrow q\) ពិត (\(\displaystyle p\) ជាលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ \(\displaystyle q\))
  2. បង្ហាញថា \(\displaystyle q \Rightarrow p\) ពិត (\(\displaystyle p\) ជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ \(\displaystyle q\))
•លំហាត់គំរូ

បង្ហាញថា \(\displaystyle x^2+5x+6 = 0\) លុះត្រាតែ \(\displaystyle x=-2\) ឬ \(\displaystyle x=-3\) ។
ដំណោះស្រាយ ៖

  • \(\displaystyle p \Rightarrow q\) ៖ បើ \(\displaystyle x^2+5x+6=0 \iff (x+2)(x+3)=0 \implies x=-2\) ឬ \(\displaystyle x=-3\) (ពិត) ។
  • \(\displaystyle q \Rightarrow p\) ៖ បើ \(\displaystyle x=-2 \implies (-2)^2+5(-2)+6 = 4-10+6=0\) (ពិត) ។
    បើ \(\displaystyle x=-3 \implies (-3)^2+5(-3)+6 = 9-15+6=0\) (ពិត) ។
  • សន្និដ្ឋាន ៖ \(\displaystyle (x^2+5x+6=0) \Leftrightarrow (x=-2 \text{ ឬ } x=-3)\) ពិត ។

3.5 ការស្រាយបញ្ជាក់តាមឧទាហរណ៍ផ្ទញ់ (Proof by Counterexample)

ដើម្បីបង្ហាញថាអំណះអំណាងមួយ «មិនពិត» គេគ្រាន់តែរកឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែងតែមួយគត់ (ហៅថា ឧទាហរណ៍ផ្ទញ់) ដែលមិនផ្ទៀងផ្ទាត់អំណះអំណាងនោះជាការស្រេច ។

១លំហាត់គំរូ ១

តើពិតដែរឬទេដែលថា «គ្រប់ចំនួនបឋមសុទ្ធតែជាចំនួនសេស»?
ដំណោះស្រាយ ៖ មិនពិតទេ ព្រោះចំនួន \(\displaystyle 2\) ជាចំនួនបឋម តែជាចំនួនគត់គូ ។ (\(\displaystyle 2\) ជាឧទាហរណ៍ផ្ទញ់) ។

២លំហាត់គំរូ ២

តើសំណើ «បើ \(\displaystyle a > b\) នោះ \(\displaystyle a^2 > b^2\) ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត \(\displaystyle a, b\)» ពិតឬទេ?
ដំណោះស្រាយ ៖ មិនពិតទេ ព្រោះយក \(\displaystyle a = 1\) និង \(\displaystyle b = -3\) គេបាន \(\displaystyle 1 > -3\) តែ \(\displaystyle 1^2 = 1 < (-3)^2 = 9\) ។ (នេះជាឧទាហរណ៍ផ្ទញ់) ។

4. លំហាត់មេរៀនទី 1

  1. គេមានសំណើពីរ \(\displaystyle p : \text{«ចំនួនសិស្សមធ្យមសិក្សាកំពុងកើនឡើង»}\) និង \(\displaystyle q : \text{«សិស្សភាគច្រើនចូលចិត្តរៀនគណិតវិទ្យា»}\) ។ សរសេរជាឃ្លាចំពោះសំណើនីមួយៗ ៖

    1. ក. \(\displaystyle p \wedge q\)
    2. ខ. \(\displaystyle p \vee q\)
    3. គ. \(\displaystyle \bar{q}\) ។

  2. គេមានសំណើពីរ ៖ \(\displaystyle p : \text{«ដារ៉ាជាសិស្សពូកែគណិតវិទ្យា»}\) និង \(\displaystyle q : \text{«ដារ៉ាដណ្តើមបានមេដាយមាសក្នុងការប្រឡងគណិតវិទ្យា»}\) ។
    ចូរសរសេរសំណើខាងក្រោមដោយប្រើនិមិត្តសញ្ញាតក្កវិទ្យា ៖

    1. ក. ដារ៉ាជាសិស្សពូកែគណិតវិទ្យា និងដណ្តើមបានមេដាយមាសក្នុងការប្រឡង (\(\displaystyle p \wedge q\))
    2. ខ. ដារ៉ាមិនមែនជាសិស្សពូកែគណិតវិទ្យា (\(\displaystyle \bar{p}\))
    3. គ. ដារ៉ាជាសិស្សពូកែគណិតវិទ្យា ឬដណ្តើមបានមេដាយមាស (\(\displaystyle p \vee q\))
    4. ឃ. ដារ៉ាជាសិស្សពូកែគណិតវិទ្យា ឬដណ្តើមមិនបានមេដាយមាស (\(\displaystyle p \vee \bar{q}\))
    5. ង. ដារ៉ាមិនមែនជាសិស្សពូកែគណិតវិទ្យា និងដណ្តើមមិនបានមេដាយមាស (\(\displaystyle \bar{p} \wedge \bar{q}\)) ។

  3. សរសេរសំណើបដិសេធនៃសំណើខាងក្រោមដោយប្រើលក្ខណៈ De Morgan ៖

    1. ក. ម៉ាស៊ីនផ្ញើសារជាប់រវល់ និងម៉ាស៊ីនថតចម្លងខូច ។
    2. ខ. បាល់ទី 1 ពណ៌ស ឬបាល់ទី 2 ពណ៌ក្រហម ។
    3. គ. អាវយឺតមានស្នាមប្រឡាក់ និងមិនមែនលក់នៅហាងសុរិយា ។

  4. កំណត់តម្លៃភាពពិតនៃសំណើខាងក្រោម ៖

    1. ក. \(\displaystyle 3+4 = 7\) និងខែមករាមានចំនួន 32 ថ្ងៃ (តម្លៃភាពពិត = 0)
    2. ខ. \(\displaystyle 3+4 = 7\) ឬខែមករាមានចំនួន 32 ថ្ងៃ (តម្លៃភាពពិត = 1)
    3. គ. បើ \(\displaystyle 10+5 = 15\) នោះ \(\displaystyle 56 \div 7 = 8\) (តម្លៃភាពពិត = 1)
    4. ឃ. បើ \(\displaystyle 2\) ជាចំនួនគូ និង \(\displaystyle 6\) ជាចំនួនសេស នោះ \(\displaystyle 15\) ជាចំនួនសេស (តម្លៃភាពពិត = 1) ។

  5. សង់តារាងភាពពិតនៃសំណើ ៖

    1. ក. \(\displaystyle \bar{p} \vee \bar{q}\)
    2. ខ. \(\displaystyle \overline{p \vee q}\)
    3. គ. \(\displaystyle p \vee (q \wedge \bar{p})\) ។
  6. ដោយប្រើសម្រាយបញ្ជាក់តាមសំណើផ្ទុយពីសម្មតិកម្ម ចូរបង្ហាញថាបើ \(\displaystyle x^2-1 < 0\) នោះ \(\displaystyle -1 < x < 1\) ។

  7. សរសេរសំណើផ្ទុយពីសម្មតិកម្មនៃសំណើខាងក្រោម ៖

    1. ក. បើខ្ញុំសិក្សាគណិតវិទ្យា នោះខ្ញុំនឹងប្រឡងជាប់អាហារូបករណ៍ ។
    2. ខ. បើ \(\displaystyle x\) ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន នោះ \(\displaystyle x^2\) ជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន ។
    3. គ. បើផែនដីវិលជុំវិញព្រះអាទិត្យ នោះព្រះចន្ទនឹងវិលជុំវិញផែនដី ។
  8. ដោយប្រើសម្រាយបញ្ជាក់តាមសំណើផ្ទុយពីការពិត បង្ហាញថា \(\displaystyle \sqrt{5}\) ជាចំនួនអសនិទាន និង \(\displaystyle \sqrt{p}\) ជាចំនួនអសនិទានចំពោះគ្រប់ចំនួនបឋម \(\displaystyle p\) ។

  9. រកឧទាហរណ៍ផ្ទញ់នៃអំណះអំណាងខាងក្រោម ៖

    1. ក. ផលគុណនៃចំនួនអសនិទានពីរខុសគ្នា តែងតែជាចំនួនអសនិទាន ។ (\(\displaystyle \sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4\) ជាចំនួនសនិទាន)
    2. ខ. បើ \(\displaystyle x \ge \sqrt{7}\) នោះ \(\displaystyle x \le 3\) ។ (ឧទាហរណ៍ \(\displaystyle x = 5 \ge \sqrt{7}\) តែ \(\displaystyle 5 > 3\))
    3. គ. \(\displaystyle f(n) = n^2+n+1\) ជាពហុគុណនៃ 3 ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់វិជ្ជមាន \(\displaystyle n\) ។ (យក \(\displaystyle n=1 \implies f(1)=3\) ពិត, តែយក \(\displaystyle n=2 \implies f(2)=7\) មិនមែនជាពហុគុណនៃ 3) ។
  10. ប្រើសម្រាយបញ្ជាក់តាមសំណើផ្ទុយពីសម្មតិកម្ម ដើម្បីបង្ហាញថាបើ \(\displaystyle x, y\) ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន ហើយផលគុណ \(\displaystyle xy\) ជាចំនួនគត់សេស នោះ \(\displaystyle x\) និង \(\displaystyle y\) សុទ្ធតែជាចំនួនគត់សេស ។

ខ្លឹមសារ៖ សៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី១០ របស់ក្រសួងអប់រំ យុវជន និងកីឡា · វាយអត្ថបទ គូររូបភាពឡើងវិញ និងរៀបចំលើអនឡាញដោយលោកគ្រូ សាន សុខលី សម្រាប់ការសិក្សាដោយឥតគិតថ្លៃ និងមិនរកប្រាក់ចំណេញ។ មិនមែនជាការបោះពុម្ពផ្លូវការរបស់ក្រសួងទេ។