សំណុំ

1. សញ្ញាណនៃសំណុំ

1.1 សំណុំកំណត់តាមការរៀបរាប់ឈ្មោះធាតុ

ឧទាហរណ៍ 1 : សុខាបានជ្រើសរើសអក្សរ \(\displaystyle m, a, t, h, s\) ដើម្បីសរសេរពាក្យ \(\displaystyle maths\) ។ អក្សរទាំងនេះបង្កើតបានជាសំណុំមួយ តាងដោយ \(\displaystyle A = \{m, a, t, h, s\}\) ។

• \(\displaystyle a \in A\) (អានថា \(\displaystyle a\) ជាធាតុនៃ \(\displaystyle A\))
• \(\displaystyle b \notin A\) (អានថា \(\displaystyle b\) មិនមែនជាធាតុនៃ \(\displaystyle A\))
• ចំនួនធាតុនៃសំណុំ \(\displaystyle A\) តាងដោយ \(\displaystyle n(A) = 5\) ។

1.2 សំណុំកំណត់តាមលក្ខណៈរួមនៃធាតុ

ឧទាហរណ៍ ៖

• \(\displaystyle E = \{x \mid x \text{ ជាចំនួនគត់វិជ្ជមានតូចជាង } 10\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\)
• \(\displaystyle F = \{y \mid y^2 - 4 = 0\} = \{2, -2\}\)
• \(\displaystyle G = \{x \mid x \text{ ជាចំនួនគត់សេសចែកដាច់នឹង } 2\} = \emptyset\) ។

1.3 សំណុំរាប់អស់ និងសំណុំអនន្ត

1.4 សំណុំដែលមានធាតុមិនមែនជាចំនួន

• រង្វង់ផ្ចិត \(\displaystyle O\) កាំ \(\displaystyle r\) ៖ គឺជាសំណុំចំណុច \(\displaystyle P\) ក្នុងប្លង់ដែល \(\displaystyle \{P \mid OP = r\}\) ។ ផ្នែកខាងក្នុងរង្វង់គឺ \(\displaystyle \{P \mid OP < r\}\) និងផ្នែកខាងក្រៅគឺ \(\displaystyle \{P \mid OP > r\}\) ។
• ក្រាបនៃអនុគមន៍ ៖ ក្រាបនៃ \(\displaystyle y = x^2\) គឺជាសំណុំចំណុចកូអរដោនេ \(\displaystyle \{(x, y) \mid y = x^2, x \in \mathbb{R}\}\) ។

1.5 សំណុំស្មើគ្នា

1.6 សំណុំរង និងសំណុំរងផ្ទាល់

1.7 សំណុំសកល និងសំណុំរងបំពេញ

2. ប្រមាណវិធីលើសំណុំ

2.1 ប្រសព្វនៃសំណុំ (\(\displaystyle A \cap B\))

2.2 ប្រជុំនៃសំណុំ (\(\displaystyle A \cup B\))

លំហាត់គំរូចំណោទ Venn ៖ ក្នុងការស្ទង់មតិសិស្ស \(\displaystyle 150\) នាក់ មាន \(\displaystyle 102\) នាក់ចូលចិត្តគណិត (\(\displaystyle M\)), \(\displaystyle 71\) នាក់ចូលចិត្តខ្មែរ (\(\displaystyle K\)), និង \(\displaystyle 40\) នាក់ចូលចិត្តទាំងពីរមុខ (\(\displaystyle M \cap K\)) ៖

1. ក. សិស្សចូលចិត្តតែគណិតមួយមុខ ៖ \(\displaystyle n(M) - n(M \cap K) = 102 - 40 = 62\) នាក់ ។
2. ខ. សិស្សចូលចិត្តតែខ្មែរមួយមុខ ៖ \(\displaystyle n(K) - n(M \cap K) = 71 - 40 = 31\) នាក់ ។
3. គ. សិស្សចូលចិត្តយ៉ាងហោចមួយមុខ ៖ \(\displaystyle n(M \cup K) = 102 + 71 - 40 = 133\) នាក់ ។
4. ឃ. សិស្សមិនចូលចិត្តមុខវិជ្ជាទាំងពីរ ៖ \(\displaystyle n(U) - n(M \cup K) = 150 - 133 = 17\) នាក់ ។

3. លក្ខណៈនៃប្រមាណវិធីលើសំណុំ

4. លំហាត់មេរៀនទី 2

1. កំណត់សំណុំតាមការរៀបរាប់ឈ្មោះធាតុ និងកំណត់ចំនួនធាតុ ៖

   1. ក. \(\displaystyle A = \{x \in \mathbb{Z} \mid 2 < x < 5\} = \{3, 4\} \implies n(A) = 2\)
   2. ខ. \(\displaystyle B = \{x \in \mathbb{Z} \mid 3 \le x \le 15\} \implies n(B) = 15 - 3 + 1 = 13\)
   3. គ. \(\displaystyle C = \{x \mid x \text{ ជាពហុគុណនៃ } 3 \text{ និង } 1 \le x \le 25\} = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24\} \implies n(C) = 8\)
   4. ឃ. \(\displaystyle D = \{x \mid x \text{ ជាពហុគុណនៃ } 5 \text{ និង } 7 \le 2x \le 31\} = \{5, 10, 15\} \implies n(D) = 3\) ។

2. កំណត់សំណុំតាមលក្ខណៈរួម និងតាមការរៀបរាប់ឈ្មោះធាតុ ៖

   1. ក. សំណុំចំនួនគត់សេសវិជ្ជមានតូចជាង \(\displaystyle 13\) ៖ \(\displaystyle \{1, 3, 5, 7, 9, 11\}\)
   2. ខ. សំណុំចំនួនគត់ធម្មជាតិ \(\displaystyle 7\) ចំនួនដំបូង ៖ \(\displaystyle \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) (ឬ \(\displaystyle \{1, \dots, 7\}\))
   3. គ. ពហុគុណវិជ្ជមាននៃ \(\displaystyle 3\) តូចជាង \(\displaystyle 19\) ៖ \(\displaystyle \{3, 6, 9, 12, 15, 18\}\)
   4. ឃ. ពហុគុណនៃ \(\displaystyle 5\) នៅចន្លោះពី \(\displaystyle 4\) ដល់ \(\displaystyle 26\) ៖ \(\displaystyle \{5, 10, 15, 20, 25\}\) ។

3. គេឱ្យ \(\displaystyle F = \{x \in \mathbb{Z}^+ \mid x \text{ ជាតួចែកនៃ } 30\}\) និង \(\displaystyle R = \{x \in \mathbb{Z}^+ \mid x \text{ គូ និងជាពហុគុណនៃ } 3, 2 \le x \le 30\}\) ៖

   1. ក. \(\displaystyle F = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\}\) និង \(\displaystyle R = \{6, 12, 18, 24, 30\}\)
   2. ខ. ធាតុ \(\displaystyle x \in F\) និង \(\displaystyle x \in R\) គឺ \(\displaystyle F \cap R = \{6, 30\}\) ។

4. គេឱ្យសំណុំសកល \(\displaystyle U = \{5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\}\) ៖

   1. ក. \(\displaystyle A = \{x \in U \mid x \text{ ជាពហុគុណនៃ } 3\} = \{6, 9, 12\}\)
   2. ខ. \(\displaystyle B = \{x \in U \mid x \text{ ជាតួចែកនៃ } 60\} = \{5, 6, 10, 12\}\)
   3. គ. \(\displaystyle C = \{x \in U \mid x \text{ ជាចំនួនបឋម}\} = \{5, 7, 11, 13\}\) ។
5. គេឱ្យ \(\displaystyle U = \{1, 2, 3, \dots, 20\}\) ។ កំណត់ \(\displaystyle A = \{x \mid x \text{ មិនមែនពហុគុណនៃ } 3\}\) និង \(\displaystyle B = \{x \mid x \text{ ជាពហុគុណនៃ } 3\}\) រួចបង្ហាញថា \(\displaystyle n(A) + n(B) = n(U)\) ។
   ចម្លើយ ៖ \(\displaystyle B = \{3, 6, 9, 12, 15, 18\} \implies n(B) = 6\) ។ នាំឱ្យ \(\displaystyle n(A) = 20 - 6 = 14\) ។ ដូច្នេះ \(\displaystyle 14 + 6 = 20 = n(U)\) ។
6. គេមាន \(\displaystyle U = \{a, b, c, d, e, f, g, h\}\), \(\displaystyle A = \{a, c, e\}\), \(\displaystyle B = \{b, d, f, h\}\) ៖
   \(\displaystyle \bar{A} = \{b, d, f, g, h\}\) និង \(\displaystyle \bar{B} = \{a, c, e, g\}\) ។ ដោយ \(\displaystyle A = \{a, c, e\} \subset \{a, c, e, g\} = \bar{B}\) នោះ \(\displaystyle A\) គឺជាសំណុំរងផ្ទាល់នៃ \(\displaystyle \bar{B}\) ។
7. គេឱ្យ \(\displaystyle A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\), \(\displaystyle B = \{1, 2\}\) និង \(\displaystyle C = \{3, 4, 5, \dots\}\) ៖
   \(\displaystyle A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}\), \(\displaystyle B \cap C = \emptyset\), \(\displaystyle B \cup C = \{1, 2, 3, 4, \dots\} = \mathbb{N}^*\) ។
8. គេមានដ្យាក្រាមវិន \(\displaystyle n(\bar{A} \cap B) = n(A \cap \bar{B})\) ដោយ \(\displaystyle A\) តែម្យ៉ាងមាន \(\displaystyle 2x-5\) ធាតុ, ប្រសព្វមាន \(\displaystyle 2\) ធាតុ, និង \(\displaystyle B\) តែម្យ៉ាងមាន \(\displaystyle x+7\) ធាតុ ៖
   \(\displaystyle 2x - 5 = x + 7 \implies x = 12\) ។
   \(\displaystyle n(A) = (2(12) - 5) + 2 = 19 + 2 = 21\) និង \(\displaystyle n(B) = (12 + 7) + 2 = 19 + 2 = 21\) ។

9. ក្នុងការសម្ភាសអតិថិជន \(\displaystyle 130\) នាក់ ៖ មាន \(\displaystyle 74\) នាក់ទិញផលិតផលក្នុងស្រុក (\(\displaystyle D\)), \(\displaystyle 70\) នាក់ទិញផលិតផលក្រៅស្រុក (\(\displaystyle F\)), និង \(\displaystyle 41\) នាក់ទិញទាំងពីរប្រភេទ (\(\displaystyle D \cap F\)) ៖

   1. ក. ទិញតែក្នុងស្រុក ៖ \(\displaystyle 74 - 41 = 33\) នាក់
   2. ខ. ទិញតែក្រៅស្រុក ៖ \(\displaystyle 70 - 41 = 29\) នាក់
   3. គ. មិនទិញទាំងពីរ ៖ \(\displaystyle 130 - (33 + 29 + 41) = 130 - 103 = 27\) នាក់ ។

10. បកស្រាយផ្នែកឆ្នូតនៃដ្យាក្រាមវិន ៖

    1. ក. ផ្នែករួមនៃ \(\displaystyle A\) និង \(\displaystyle B\) គឺ \(\displaystyle A \cap B\)
    2. ខ. ផ្នែករួមបញ្ចូលគ្នានៃ \(\displaystyle A\) និង \(\displaystyle B\) គឺ \(\displaystyle A \cup B\)
    3. គ. ផ្នែកក្នុង \(\displaystyle A\) តែក្រៅ \(\displaystyle B\) គឺ \(\displaystyle A \setminus B = A \cap \bar{B}\)
    4. ឃ. ផ្នែកខាងក្រៅ \(\displaystyle A\) និងក្រៅ \(\displaystyle B\) គឺ \(\displaystyle \overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}\) ។

ខ្លឹមសារ៖ សៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី១០ របស់ក្រសួងអប់រំ យុវជន និងកីឡា · វាយអត្ថបទ គូររូបភាពឡើងវិញ និងរៀបចំលើអនឡាញដោយលោកគ្រូ សាន សុខលី សម្រាប់ការសិក្សាដោយឥតគិតថ្លៃ និងមិនរកប្រាក់ចំណេញ។ មិនមែនជាការបោះពុម្ពផ្លូវការរបស់ក្រសួងទេ។