មេរៀនទី 1: វ៉ិចទ័រនិងប្រមាណវិធីលើវ៉ិចទ័រ

1. អត្ថន័យនៃវ៉ិចទ័រ វ៉ិចទ័រស្មើគ្នា និងវ៉ិចទ័រផ្ទុយគ្នា

• វ៉ិចទ័រ ៖ អង្កត់មានទិសដៅដែលមិនគិតពីទីតាំងហៅថា វ៉ិចទ័រ ។ វ៉ិចទ័រ \(\displaystyle \vec{AB}\) មានចំណុច \(\displaystyle A\) ជាគល់ និង \(\displaystyle B\) ជាចុង ។
• ប្រវែង (ម៉ូឌុល) ៖ ចម្ងាយពី \(\displaystyle A\) ទៅ \(\displaystyle B\) គឺជាប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ \(\displaystyle \vec{AB}\) តាងដោយ \(\displaystyle |\vec{AB}|\) ឬ \(\displaystyle \|\vec{AB}\|\) ។
• វ៉ិចទ័រស្មើគ្នា ៖ វ៉ិចទ័រពីរស្មើគ្នា លុះត្រាតែវាមានទិសដៅដូចគ្នា និងមានប្រវែងស្មើគ្នា (\(\displaystyle \vec{u} = \vec{v}\)) ។
• វ៉ិចទ័រផ្ទុយគ្នា ៖ វ៉ិចទ័រពីរផ្ទុយគ្នា លុះត្រាតែវាមានទិសស្របគ្នា ប្រវែងស្មើគ្នា តែទិសដៅផ្ទុយគ្នា (\(\displaystyle \vec{AB} = -\vec{BA}\)) ។
• វ៉ិចទ័រសូន្យ ៖ ជាវ៉ិចទ័រដែលមានគល់និងចុងត្រួតស៊ីគ្នា មានប្រវែងស្មើ 0 កំណត់សរសេរ \(\displaystyle \vec{AA} = \vec{0}\) ។

2. ប្រមាណវិធីបូកនិងដកវ៉ិចទ័រ

• វិធានត្រីកោណ (ទំនាក់ទំនង Chasles) ៖ ចំពោះបីចំណុច \(\displaystyle A, B, C\) ណាក៏ដោយក្នុងប្លង់ គេបាន ៖

  \[\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\]

• វិធានប្រលេឡូក្រាម ៖ បើ \(\displaystyle ABCD\) ជាប្រលេឡូក្រាម នោះផលបូកវ៉ិចទ័រដែលមានគល់រួម \(\displaystyle A\) គឺ ៖

  \[\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}\]
• ផលដកវ៉ិចទ័រ ៖ \(\displaystyle \vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})\) ឬ \(\displaystyle \vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}\) ។

3. ផលគុណវ៉ិចទ័រនឹងចំនួនពិត និងកូអរដោនេវ៉ិចទ័រ

បើ \(\displaystyle \vec{u}\) ជាវ៉ិចទ័រ និង \(\displaystyle k\) ជាចំនួនពិត នោះផលគុណ \(\displaystyle k\vec{u}\) ជាវ៉ិចទ័រមួយដែលមាន ៖

• ទិសស្របនឹង \(\displaystyle \vec{u}\), មានប្រវែង \(\displaystyle |k\vec{u}| = |k| \cdot |\vec{u}|\)
• ទិសដៅដូច \(\displaystyle \vec{u}\) បើ \(\displaystyle k > 0\) និងទិសដៅផ្ទុយពី \(\displaystyle \vec{u}\) បើ \(\displaystyle k < 0\) ។

ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ \(\displaystyle (O, \vec{i}, \vec{j})\) ៖

• វ៉ិចទ័រ \(\displaystyle \vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}\) កំណត់ដោយកូអរដោនេ \(\displaystyle \vec{u} = (x, y)\) ។
• ប្រវែងវ៉ិចទ័រ ៖ \(\displaystyle |\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2}\) ។

• វ៉ិចទ័រភ្ជាប់ពីរចំណុច \(\displaystyle A(x_A, y_A)\) និង \(\displaystyle B(x_B, y_B)\) ៖

  \[\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A), \quad AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\]
• វ៉ិចទ័រកូលីនេអ៊ែរ (ស្របគ្នា) ៖ \(\displaystyle \vec{u}(x_1, y_1)\) និង \(\displaystyle \vec{v}(x_2, y_2)\) កូលីនេអ៊ែរគ្នា \(\displaystyle \iff x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0\) ។

4. ផលគុណស្កាលែនៃពីរវ៉ិចទ័រ (Dot Product)

និយមន័យ ៖ ផលគុណស្កាលែនាំឱ្យចេញជាចំនួនពិត ៖

ដែល \(\displaystyle \theta\) ជាមុំរវាងវ៉ិចទ័រទាំងពីរ \(\displaystyle \vec{u}\) និង \(\displaystyle \vec{v}\) ។

• កន្សោមវិភាគ ៖ បើ \(\displaystyle \vec{u} = (x_1, y_1)\) និង \(\displaystyle \vec{v} = (x_2, y_2)\) នោះ ៖

  \[\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2\]
• កូស៊ីនុសមុំ ៖ \(\displaystyle \cos \theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \dfrac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}\sqrt{x_2^2 + y_2^2}}\) ។

• លក្ខខណ្ឌអរតូកូណាល់ (កែងគ្នា) ៖

  \[\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0\]

លំហាត់គំរូ

លំហាត់គំរូ ៖ ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ គេមានចំណុច \(\displaystyle A(1, 2)\), \(\displaystyle B(4, 6)\) និង \(\displaystyle C(-2, 6)\) ។

1. គណនាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ \(\displaystyle \vec{AB}\) និងប្រវែង \(\displaystyle AB\) ។
2. គណនាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ \(\displaystyle \vec{AC}\) និងផលគុណស្កាលែ \(\displaystyle \vec{AB} \cdot \vec{AC}\) ។
3. បង្ហាញថា ត្រីកោណ \(\displaystyle ABC\) ជាត្រីកោណកែងត្រង់ \(\displaystyle A\) ។

ដំណោះស្រាយ ៖

1. \(\displaystyle \vec{AB} = (4 - 1, 6 - 2) = (3, 4)\) នាំឱ្យ \(\displaystyle AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\) ឯកតា ។
2. \(\displaystyle \vec{AC} = (-2 - 1, 6 - 2) = (-3, 4)\) ។
   ផលគុណស្កាលែ ៖ \(\displaystyle \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (3)(-3) + (4)(4) = -9 + 16 = 7\) ។
3. ពិនិត្យផលគុណស្កាលែ \(\displaystyle \vec{AB} \cdot \vec{BC}\) ៖ \(\displaystyle \vec{BC} = (-2 - 4, 6 - 6) = (-6, 0)\) នាំឱ្យ \(\displaystyle \vec{AB} \cdot \vec{BC} = 3(-6) + 4(0) = -18 \neq 0\) ។ (បើគណនា \(\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) នោះកែងគ្នា) ។

ខ្លឹមសារ៖ សៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី១០ របស់ក្រសួងអប់រំ យុវជន និងកីឡា · វាយអត្ថបទ គូររូបភាពឡើងវិញ និងរៀបចំលើអនឡាញដោយលោកគ្រូ សាន សុខលី សម្រាប់ការសិក្សាដោយឥតគិតថ្លៃ និងមិនរកប្រាក់ចំណេញ។ មិនមែនជាការបោះពុម្ពផ្លូវការរបស់ក្រសួងទេ។